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一致模 版權(quán)信息
- ISBN：9787030746764
- 條形碼：9787030746764 ; 978-7-03-074676-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊(cè)數(shù)：暫無(wú)
- 重量：暫無(wú)
- 所屬分類：>
一致模 內(nèi)容簡(jiǎn)介
本書首先考慮偏序集上簡(jiǎn)單的聚合模型三角模和三角余模，為后面討論混合型聚合模型提供一些準(zhǔn)備；之后闡述單位閉區(qū)間上幾類特殊的一致模的特征；在此基礎(chǔ)上研究一般格上的一致模和零模；*后將一致模和零模進(jìn)行的推廣得到半一致模和左(右)半一致模并探討左(右)半一致模的構(gòu)造問(wèn)題。主要包括：偏序集上的三角模和三角余模以及它們誘導(dǎo)的模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵；單位閉區(qū)間上的一致模的分類及幾類特殊一致模的特征刻畫；一致模和零模的構(gòu)造與表示，一致模誘導(dǎo)的模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵的特征以及相互關(guān)系；完備格上左(右)半一致模、模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵的構(gòu)造以及相互關(guān)系。
一致模 目錄
目錄
《模糊數(shù)學(xué)與系統(tǒng)及其應(yīng)用叢書》序
前言
第1章 預(yù)備知識(shí) 1
1.1 偏序集 1
1.1.1 偏序集的概念 1
1.1.2 剩余映射和Galois關(guān)聯(lián) 6
1.2 格 9
1.2.1 半格和格的概念 10
1.2.2 完備格、分配格和模格 12
1.2.3 Brouwer格和Heyting格 16
1.2.4 序半群和剩余格 17
1.2.5 FL代數(shù)和交換FLw代數(shù) 21
第2章 偏序集或格上的模糊聯(lián)結(jié)詞 25
2.1 三角模和三角余模 25
2.1.1 三角模和三角余模概念 25
2.1.2 三角模的直積和直積分解 33
2.1.3 [0，1]上的三角模和三角余模 41
2.2 模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵 49
2.2.1 否定、模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵 49
2.2.2 （S，N）蘊(yùn)涵和S蘊(yùn)涵 57
2.2.3 R蘊(yùn)涵 60
2.2.4 三角模和三角余模誘導(dǎo)的QL蘊(yùn)涵 67
2.2.5 上、下近似模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵 70
第3章 [0，1]上的一致模 77
3.1 [0，1]上一致模及其連續(xù)性 77
3.1.1 一致模概念 77
3.1.2 ]0，1[2內(nèi)連續(xù)的一致模 81
3.1.3 幾乎連續(xù)的一致模 88
3.2 可表示一致模 90
3.2.1 可表示一致模的概念及性質(zhì) 90
3.2.2 可表示一致模的特征 93
3.3 冪等一致模 101
3.3.1 冪等一致模的特征 101
3.3.2 具有左、右伴隨性質(zhì)的冪等一致模的特征 107
3.4 基礎(chǔ)算子連續(xù)的一致模 112
3.4.1 連續(xù)阿基米德情形 112
3.4.2 A（e）上局部?jī)?nèi)部情形 118
第4章 有界格上的一致模 123
4.1 一致模的概念和結(jié)構(gòu) 123
4.1.1 一致模的概念和性質(zhì) 123
4.1.2 一致模的結(jié)構(gòu) 133
4.2 一致模的構(gòu)造及表示143
4.2.1 Umin（e）和Umax（e）中一致模的表示 143
4.2.2 構(gòu)造U1min（e）和U0max（e）中一致模 153
4.2.3 構(gòu)造Urmin（e）和Urmax（e）中一致模 156
4.3 一致模誘導(dǎo)的模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵 161
4.3.1 （U，N）蘊(yùn)涵和（U，N）余蘊(yùn)涵 161
4.3.2 RU蘊(yùn)涵和RU余蘊(yùn)涵 165
4.3.3 （U，N）蘊(yùn)涵、余蘊(yùn)涵和RU蘊(yùn)涵、余蘊(yùn)涵的關(guān)系 179
4.3.4 一致模誘導(dǎo)的QL蘊(yùn)涵和QL余蘊(yùn)涵 184
第5章 完備格上的左（右）半一致模 188
5.1 左（右）半一致模 188
5.1.1 左（右）半一致模的概念 188
5.1.2 上、下近似左（右）半一致模 199
5.2 左（右）半一致模誘導(dǎo)的模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵 211
5.2.1 左（右）半一致模的剩余蘊(yùn)涵和剩余余蘊(yùn)涵 212
5.2.2 上、下近似左（右）半一致模與上、下近似模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵 220
參考文獻(xiàn) 233
索引 242
《模糊數(shù)學(xué)與系統(tǒng)及其應(yīng)用叢書》已出版書目
《模糊數(shù)學(xué)與系統(tǒng)及其應(yīng)用叢書》序
前言
第1章 預(yù)備知識(shí) 1
1.1 偏序集 1
1.1.1 偏序集的概念 1
1.1.2 剩余映射和Galois關(guān)聯(lián) 6
1.2 格 9
1.2.1 半格和格的概念 10
1.2.2 完備格、分配格和模格 12
1.2.3 Brouwer格和Heyting格 16
1.2.4 序半群和剩余格 17
1.2.5 FL代數(shù)和交換FLw代數(shù) 21
第2章 偏序集或格上的模糊聯(lián)結(jié)詞 25
2.1 三角模和三角余模 25
2.1.1 三角模和三角余模概念 25
2.1.2 三角模的直積和直積分解 33
2.1.3 [0，1]上的三角模和三角余模 41
2.2 模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵 49
2.2.1 否定、模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵 49
2.2.2 （S，N）蘊(yùn)涵和S蘊(yùn)涵 57
2.2.3 R蘊(yùn)涵 60
2.2.4 三角模和三角余模誘導(dǎo)的QL蘊(yùn)涵 67
2.2.5 上、下近似模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵 70
第3章 [0，1]上的一致模 77
3.1 [0，1]上一致模及其連續(xù)性 77
3.1.1 一致模概念 77
3.1.2 ]0，1[2內(nèi)連續(xù)的一致模 81
3.1.3 幾乎連續(xù)的一致模 88
3.2 可表示一致模 90
3.2.1 可表示一致模的概念及性質(zhì) 90
3.2.2 可表示一致模的特征 93
3.3 冪等一致模 101
3.3.1 冪等一致模的特征 101
3.3.2 具有左、右伴隨性質(zhì)的冪等一致模的特征 107
3.4 基礎(chǔ)算子連續(xù)的一致模 112
3.4.1 連續(xù)阿基米德情形 112
3.4.2 A（e）上局部?jī)?nèi)部情形 118
第4章 有界格上的一致模 123
4.1 一致模的概念和結(jié)構(gòu) 123
4.1.1 一致模的概念和性質(zhì) 123
4.1.2 一致模的結(jié)構(gòu) 133
4.2 一致模的構(gòu)造及表示143
4.2.1 Umin（e）和Umax（e）中一致模的表示 143
4.2.2 構(gòu)造U1min（e）和U0max（e）中一致模 153
4.2.3 構(gòu)造Urmin（e）和Urmax（e）中一致模 156
4.3 一致模誘導(dǎo)的模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵 161
4.3.1 （U，N）蘊(yùn)涵和（U，N）余蘊(yùn)涵 161
4.3.2 RU蘊(yùn)涵和RU余蘊(yùn)涵 165
4.3.3 （U，N）蘊(yùn)涵、余蘊(yùn)涵和RU蘊(yùn)涵、余蘊(yùn)涵的關(guān)系 179
4.3.4 一致模誘導(dǎo)的QL蘊(yùn)涵和QL余蘊(yùn)涵 184
第5章 完備格上的左（右）半一致模 188
5.1 左（右）半一致模 188
5.1.1 左（右）半一致模的概念 188
5.1.2 上、下近似左（右）半一致模 199
5.2 左（右）半一致模誘導(dǎo)的模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵 211
5.2.1 左（右）半一致模的剩余蘊(yùn)涵和剩余余蘊(yùn)涵 212
5.2.2 上、下近似左（右）半一致模與上、下近似模糊蘊(yùn)涵和模糊余蘊(yùn)涵 220
參考文獻(xiàn) 233
索引 242
《模糊數(shù)學(xué)與系統(tǒng)及其應(yīng)用叢書》已出版書目
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一致模 節(jié)選
第1章預(yù)備知識(shí) 本章介紹序代數(shù)理論中偏序集、剩余映射、關(guān)聯(lián)映射、序半群和剩余格等知識(shí)，為后面討論各種聚合模型和多值邏輯中聯(lián)結(jié)詞之間的關(guān)系做些必要的準(zhǔn)備工作.只要讀者熟悉有關(guān)集合與代數(shù)(可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1])中的一些基本概念即可閱讀本章. 1.1偏序集 本節(jié)首先引入偏序集的概念，接著定義和討論剩余映射和關(guān)聯(lián)映射，為后面討論多值邏輯中聯(lián)結(jié)詞之間的關(guān)聯(lián)性做些必要的準(zhǔn)備工作. 1.1.1偏序集的概念 定義1.1.1[2.4]設(shè)E是一個(gè)非空集合，.是E上的一個(gè)二元關(guān)系.若具有 (1)自反性，即 (2)反對(duì)稱性，即 (3)傳遞性，即 則稱為偏序關(guān)系，并稱關(guān)于構(gòu)成偏序集，或者稱為偏序集，不致混淆時(shí)，簡(jiǎn)稱為偏序集. 設(shè)是偏序集，任意給定x，y∈E.若，則稱x小于或者等于y.若與至少有一個(gè)成立，則稱x與y是可比的;否則稱x與y是不可比的，記作.若且，則稱x小于y，記作x<> 仍設(shè)是偏序集. 對(duì)于任意給定的a∈E，我們將E中與元素a不可比的所有元素組成的集合記作Ia，即. 設(shè)X是E的一個(gè)非空子集.若X中任意兩個(gè)元素都是可比的，則稱X為鏈.特別地，當(dāng)E是一個(gè)鏈時(shí)，稱.為全序關(guān)系(或線序關(guān)系)，并稱為全序集(相應(yīng)地，線序集).若X中任意兩個(gè)不同元素都是不可比的，則稱X為中的一個(gè)反鏈. 例1.1.1設(shè)E={a，b，c}是三元集.我們定義E上的二元關(guān)系和如下: 再定義E上的二元關(guān)系如下:對(duì)于任意的，或者x=b且y=b，或者x=b且y=c，或者x=y=c.顯然和都是偏序關(guān)系. 例1.1.2不難驗(yàn)證:任何一個(gè)集合X的冪集P(X)關(guān)于X的子集之間的包含關(guān)系.構(gòu)成偏序集.正整數(shù)集N關(guān)于整除關(guān)系|(m|n是指m整除n)構(gòu)成偏序集.實(shí)數(shù)集R以及其中的各個(gè)區(qū)間關(guān)于實(shí)數(shù)之間平常的“小于或等于”關(guān)系.都構(gòu)成全序集，實(shí)數(shù)集R的任何非空子集關(guān)于實(shí)數(shù)之間平常的“小于或等于”關(guān)系.也都構(gòu)成全序集. 本書中，不致混淆時(shí)，[0，1]總表示實(shí)數(shù)集R的子集，其中0和1都是實(shí)數(shù).每當(dāng)我們提及[0，1]上的偏序關(guān)系時(shí)，總是表示實(shí)數(shù)之間平常的大小關(guān)系. 有限集上的偏序關(guān)系可以用Hasse圖來(lái)表示:用圓圈或點(diǎn)表示元素.當(dāng)時(shí)，把y畫在較x高些的位置，并用線段將x和y連接起來(lái). 例如，令E1={1，2，3，4，6，12}，則(E1，|)是偏序集，其中|表示E1中各個(gè)數(shù)之間的整除關(guān)系.圖1.1就是偏序關(guān)系|的Hasse圖.又如，設(shè){a，b，c}是三元集(即由三個(gè)不同元素a，b，c組成的集合)，令E2=P({a，b，c})，則(E2，.)為偏序集，其中.表示{a，b，c}的子集之間的包含關(guān)系.圖1.2就是偏序關(guān)系.的Hasse圖. 這里我們特別強(qiáng)調(diào)一下:對(duì)于任意給定的偏序集和，只有在E1=E2并且和是相同的偏序關(guān)系時(shí)，我們才認(rèn)為和是同一個(gè)偏序集.換句話說(shuō)，即使E1=E2，只要和不是同一個(gè)偏序關(guān)系，我們就認(rèn)為和不是同一個(gè)偏序集.其次，在同時(shí)談?wù)摱鄠(gè)偏序關(guān)系時(shí)，一般地說(shuō)，對(duì)于不同的偏序關(guān)系應(yīng)該采用不同的名稱和記號(hào)來(lái)稱呼和表示它們，以示區(qū)別.但是，對(duì)于不同集合上的偏序關(guān)系，只要不會(huì)引起混淆，也允許用相同的名稱和記號(hào)(例如.)來(lái)稱呼和表示它們. 定義1.1.2[5]設(shè)(E，.)是偏序集，X為E的一個(gè)子集，a∈E.若對(duì)于任意的x∈X總有，則稱a為X的一個(gè)下界(相應(yīng)地，上界).若a為X的一個(gè)下界(上界)，并且對(duì)于X的每個(gè)下界(相應(yīng)地，上界)b總有(相應(yīng)地，)，則稱a為X的下確界(相應(yīng)地，上確界). 顯而易見(jiàn)，當(dāng)E的一個(gè)非空子集X有下確界(上確界)時(shí)，其下確界(相應(yīng)地，上確界)是唯一的.當(dāng)E的一個(gè)非空子集X有下確界(上確界)時(shí)，我們將其下確界(相應(yīng)地，上確界)記作infX(相應(yīng)地，supX).特別地，當(dāng)E有下確界時(shí)，稱(E，.)為下有界的，并且稱infE為E的*小元，不致混淆時(shí)記作0;當(dāng)E有上確界時(shí)，稱(E，.)為上有界的，并且稱supE為E的*大元，不致混淆時(shí)記作1. 容易看出:E中任意元素都是E的空子集的下界(上界).這樣，E的空子集的下確界(上確界)存在當(dāng)且僅當(dāng)E有*大元(相應(yīng)地，*小元).因此我們約定，上有界偏序集的空子集的下確界inf為1，下有界偏序集的空子集的上確界sup為0. 若(E，.)既下有界又上有界，則稱(E，.)為有界偏序集. 利用已知偏序集構(gòu)造新偏序集，不僅是尋求新偏序集的一個(gè)途徑，而且對(duì)我們剖析偏序集的結(jié)構(gòu)很有幫助.構(gòu)造偏序集的“直積”是*常用的一種構(gòu)造新偏序集的方法. 現(xiàn)在設(shè){(Eα，.)}α∈A是一簇偏序集.定義集族{Eα}α∈A的直積上的二元關(guān)系.如下:對(duì)于任意的 則(E，.)是偏序集.這個(gè)偏序集稱為偏序集族{(Eα，.)}α∈A的直積. 特別地，當(dāng)A={1，2}時(shí)，將集族的直積記作E1×E2.它是形如(x，y)(其中x∈E1，y∈E2)的有序二元組全體組成的集合，即 我們現(xiàn)在介紹一下對(duì)偶原理. 設(shè)是任意一個(gè)偏序集.定義E上的二元關(guān)系如下: 容易驗(yàn)證，.d也是偏序關(guān)系.我們稱.d為.的對(duì)偶關(guān)系，并稱的對(duì)偶偏序集. 顯然，若偏序集有*小元0(*大元1)，則偏序集有*大元0(相應(yīng)地，*小元1). 我們稱P是關(guān)于偏序集(E，.)的一個(gè)命題，就是指它是用“.”，“.”，“=”以及括號(hào)等符號(hào)將E中的一些元素按一定規(guī)則連接起來(lái)而構(gòu)成的一個(gè)具有明確內(nèi)涵的陳述句.將命題P中所有的“.”和“.”都分別換成“.d”和“.d”(其余部分不變)后所構(gòu)成的新命題稱為命題P的對(duì)偶命題，記作Pd.如果命題P對(duì)任意偏序集(E，.)都成立，那么命題P對(duì)偏序集(E，.d)當(dāng)然成立，即命題P的對(duì)偶命題Pd成立.根據(jù)定義，“.d”就是“.”，“.d”就是“.”.所以我們有 對(duì)偶原理(關(guān)于偏序集)如果關(guān)于偏序集的一個(gè)命題P對(duì)任意的偏序集都成立，那么將命題P中所有的“.”和“.”都分別換成“.”和“.”后所構(gòu)成的新命題也成立. 映射是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)永恒的話題，我們討論偏序集時(shí)將一直圍繞著這個(gè)話題. 定義1.1.3設(shè)(E，.)和(F，.)都是偏序集，φ是E到F的映射.若φ滿足條件: 則稱φ為(E，.)到(F，.)的保序映射，不致混淆時(shí)，簡(jiǎn)稱φ為E到F的保序映射，有時(shí)也稱φ是E到F的單調(diào)遞增映射.若φ滿足條件: 則稱φ為(E，.)到(F，.)的反序映射，不致混淆時(shí)，簡(jiǎn)稱φ為E到F的反序映射，有時(shí)也稱φ是E到F的單調(diào)遞減映射. 顯而易見(jiàn)，對(duì)于任意的偏序集(E，.)和(F，.)，總存在E到F的保序映射.例如，任取a∈F，規(guī)定φ(x)=a，.x∈E，則φ為E到F的保序映射.又如，集合E的恒等映射1E是E到E的保序映射. 設(shè)(E，.)，(F，.)和(G，.)都是偏序集，φ是E到F的映射，并且.是F到G的映射.若φ和.都是保序映射，或者都是反序映射，則 φ是保序映射;若φ和.中一個(gè)是保序映射，而另一個(gè)是反序映射，則 φ是反序映射. 定義1.1.4設(shè)(E，.)和(F，.)都是偏序集，φ1和φ2都是E到F的映射.若對(duì)于E中每個(gè)元素x總有φ1(x).φ2(x)，則稱φ1小于或等于φ2，記作φ1.φ2;也可以稱φ2大于或等于φ1，記作φ2.φ1. 顯然，定義1.1.4所界定的E到F的映射之間的“小于或等于”關(guān)系.也是偏序關(guān)系.對(duì)于E到F的任意給定的兩個(gè)映射φ1和φ2，到底“φ1.φ2”成立與否，不僅與φ1和φ2本身有關(guān)，還與E和F上的具體偏序關(guān)系有關(guān). 命題1.1.1設(shè)(E，.)，(F，.)和(G，.)都是偏序集，φ1和φ2都是E到F的映射，.1和.2都是F到G的映射.則下列斷言成立: (1)若.1 2，則.1.φ1 2.φ1. (2)若φ1.φ2并且.1是保序映射，則.1.φ1 1.φ2. (3)若φ1.φ2，.1 2，并且.1或.2是保序映射，則.1.φ1 2.φ2. 證明直接驗(yàn)證.□ 注意，斷言(3)中前提“.1或.2是保序映射”不能刪去，否則結(jié)論不再普遍成立. 定義1.1.5設(shè)(E，.)是偏序集，D是E的非空子集.若D滿足條件: 則稱D為的下集，不致混淆時(shí)簡(jiǎn)稱為E的下集.若D滿足條件: 則稱D為的上集，不致混淆時(shí)簡(jiǎn)稱為E的上集. 我們約定，空集既是(E，.)的下集，又是(E，.)的上集. 定義1.1.6[5]設(shè)(E，.)是一個(gè)偏序集，y∈E.集合{x∈E|x.y}稱為(E，.)的主下集，簡(jiǎn)稱為E的主下集，記作↓y.集合{x∈E|x.y}稱為(E，.)的主上集，簡(jiǎn)稱為E的主上集，記作↑y. 由于下集和上集是一對(duì)對(duì)偶的概念，因此根據(jù)對(duì)偶原理關(guān)于下集所得到的結(jié)論都可以轉(zhuǎn)換成關(guān)于上集的結(jié)論;反之亦然. 例1.1.3設(shè)X={a，b，c}是三元集，E=P(X)，.表示X的子集之間的包含關(guān)系.由例1.1.2知，(E，.)是偏序集.根據(jù)下集的定義，(E，.)的全部下集如下: 例1.1.4用Q+表示正有理數(shù)組成的集合，則D={q∈Q+|q2.2}是全序集Q+的下集，但它不是Q+的主下集. 下面的命題用下集的概念來(lái)刻畫保序映射. 命題1.1.2設(shè)(E，.)和(F，.)都是偏序集，φ是E到F的映射.則下列斷言成立: (1)φ是E到F的保序映射，當(dāng)且僅當(dāng)F的每個(gè)主下集在φ之下的原像都是E的下集，當(dāng)且僅當(dāng)F的每個(gè)主上集在φ之下的原像都是E的上集. (2)φ是E到F的反序映射，當(dāng)且僅當(dāng)F的每個(gè)主下集在φ之下的原像都是E的上集，當(dāng)且僅當(dāng)F的每個(gè)主上集在φ之下的原像都是E的下集. 證明 這里只證明斷言(1)中**個(gè)結(jié)論成立. 設(shè)φ是E到F的保序映射.考察F的任意一個(gè)主下集↓b:若φ.1(↓b)=.，則φ.1(↓b)是E的下集.現(xiàn)在假設(shè)φ.1(↓b).= 任取y∈φ.1(↓b).假設(shè)x∈E使得x.y.由于φ是E到F的保序映射，因此φ(x).φ(y)=b.根據(jù)↓b的定義，φ(x)∈↓b，從而，x∈φ.1(↓b).由于y∈φ.1(↓b)的任意性，這就表明F的主下集↓b在φ之下的原像φ.1(↓b)是E的下集. 假設(shè)φ不是保序映射，即存在x，y∈E，使得x.y，但是φ(x).φ(y)不成立.令φ(x)=a，φ(y)=b.則y∈φ.1(↓b)，a=φ(x)/∈↓b，從而x/∈φ.1(↓b)，因此φ.1(↓b)不是E的下集.□ 1.1.2剩余映射和Galois關(guān)聯(lián) 定義1.1.7[5]設(shè)和都是偏序集，φ是E到F的映射.若存在F到E的映射，使得 (1.1.1) 則稱φ為到(F，.)的剩余映射(residuated mapping)，不致混淆時(shí)，簡(jiǎn)稱φ為E到F的剩余映射.稱二元組為一個(gè)剩余對(duì)，稱.為φ的右伴隨，φ為.的左伴隨.偏序集到自己的剩余映射又稱E上的剩余映射. 定理1.1.1設(shè)和都是偏序集，φ是E到F的映射.則下列三個(gè)斷言是等價(jià)的. (1)φ是E到F的剩余映射. (2)F的每一個(gè)主下集在φ之下的逆像是E的主下集. (3)φ是保序映射，并且存在保序映射:F→E，使得 (1.1.2) 證明 若φ為E到F的剩余映射，則存在F到E的映射，使得(1.1.1)式成立.這樣對(duì)于F的任意一個(gè)主下集↓b，其中b∈F，都有
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