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計算方法 版權信息
- ISBN：9787030318657
- 條形碼：9787030318657 ; 978-7-03-031865-7
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
計算方法 內容簡介
本教材重點介紹計算機上常用的典型數(shù)值計算方法和基本理論。主要內容包括數(shù)值計算中的誤差分析；線性方程組與非線性方程組的解法；矩陣特征值與特征向量的計算方法；非線性方程求根的方法；數(shù)值逼近的插值法與數(shù)據(jù)擬合法；數(shù)值積分與數(shù)值微分方法；常微分方程初值問題的數(shù)值解法等。教材內容力求精練充實，由淺入深，認為取材適當。我們從典型算法與實際問題著手，循序漸進，用簡潔而易懂的語言、實際例子來介紹一些算法的理論與實現(xiàn)過程。每章的主要內容都有較明確簡潔的算法與實例，著重訓練讀者的計算能力，培養(yǎng)讀者解決實際問題的方法和創(chuàng)新能力。每章都配有適量的習題，便于讀者掌握和鞏固重點內容、算法與基本思想。
計算方法 目錄
目錄
第1章 引論 1
1.1 數(shù)值問題的計算方法 1
1.2 浮點數(shù) 2
1.3 誤差、有效數(shù)字 3
1.4 誤差的估計 7
1.5 在近似計算中需要注意的若干問題 9
習題1 15
第2章 插值法與數(shù)值微分 16
2.1 拉格朗日（Lagrange）插值 17
2.2 牛頓（Newtton)插值 20
2.3 埃爾米特（Hermite）插值 25
2.4 分段插值 26
2.5 三次樣條插值 29
2.6 插值余項公式 32
2.7 數(shù)值微分 35
習題2 37
第3章 數(shù)據(jù)擬合法 38
3.1 *小二乘原理 38
3.2 多元線性數(shù)據(jù)擬合 42
3.3 非線性數(shù)據(jù)擬合 45
3.4 正交多項式擬合 48
習題3 50
第4章 數(shù)值積分 52
4.1 數(shù)值和、分初步 52
4.2 復化數(shù)值積分公式 56
4.3 數(shù)值積分公式的誤差估計 57
4.4 逐步梯形方法與龍貝格公式 61
4.5 高斯（Gauss）型求積公式 63
習題4 69
第5章 非線性方程及非線性方程組的解法 71
5.1 對分法 71
5.2 選代法 73
5.3 牛頓迭代法76
5.4 弦位法 79
5.5 解非線性方程組的牛頓迭代法 80
習題5 82
第6章 解線性方程組的直接法 84
6.1 高斯消去法 85
6.2 選主元素法 91
6.3 矩陣的LU 分解 96
6.4 矩陣的PLU 分解 99
6.5 矩陣的LLT 分解 104
習題6 107
第7章 解線性方程組的迭代法 109
7.1 范數(shù) 109
7.2 幾種常用的選代格式 114
7.3 選代法的收斂性 118
7.4誤差分析 126
習題7 130
第8章 矩陣特征值與特征向量的計算 132
8.1 引言 132
8.2 幕法 134
8.3 幕法的加速與降階 141
8.4 反革法 143
8.5 計算實對稱矩陣特征值和特征向量的對分法 144
8.6 雅可比（Jacobi）方法 149
習題8 157
第9章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法 158
9.1 引言 158
9.2 幾種簡單的數(shù)值解法 159
9.3 龍格-庫塔方法 168
9.4 線性多步法 174
習題9 177
部分習題參考答案 179
參考文獻 187
第1章 引論 1
1.1 數(shù)值問題的計算方法 1
1.2 浮點數(shù) 2
1.3 誤差、有效數(shù)字 3
1.4 誤差的估計 7
1.5 在近似計算中需要注意的若干問題 9
習題1 15
第2章 插值法與數(shù)值微分 16
2.1 拉格朗日（Lagrange）插值 17
2.2 牛頓（Newtton)插值 20
2.3 埃爾米特（Hermite）插值 25
2.4 分段插值 26
2.5 三次樣條插值 29
2.6 插值余項公式 32
2.7 數(shù)值微分 35
習題2 37
第3章 數(shù)據(jù)擬合法 38
3.1 *小二乘原理 38
3.2 多元線性數(shù)據(jù)擬合 42
3.3 非線性數(shù)據(jù)擬合 45
3.4 正交多項式擬合 48
習題3 50
第4章 數(shù)值積分 52
4.1 數(shù)值和、分初步 52
4.2 復化數(shù)值積分公式 56
4.3 數(shù)值積分公式的誤差估計 57
4.4 逐步梯形方法與龍貝格公式 61
4.5 高斯（Gauss）型求積公式 63
習題4 69
第5章 非線性方程及非線性方程組的解法 71
5.1 對分法 71
5.2 選代法 73
5.3 牛頓迭代法76
5.4 弦位法 79
5.5 解非線性方程組的牛頓迭代法 80
習題5 82
第6章 解線性方程組的直接法 84
6.1 高斯消去法 85
6.2 選主元素法 91
6.3 矩陣的LU 分解 96
6.4 矩陣的PLU 分解 99
6.5 矩陣的LLT 分解 104
習題6 107
第7章 解線性方程組的迭代法 109
7.1 范數(shù) 109
7.2 幾種常用的選代格式 114
7.3 選代法的收斂性 118
7.4誤差分析 126
習題7 130
第8章 矩陣特征值與特征向量的計算 132
8.1 引言 132
8.2 幕法 134
8.3 幕法的加速與降階 141
8.4 反革法 143
8.5 計算實對稱矩陣特征值和特征向量的對分法 144
8.6 雅可比（Jacobi）方法 149
習題8 157
第9章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法 158
9.1 引言 158
9.2 幾種簡單的數(shù)值解法 159
9.3 龍格-庫塔方法 168
9.4 線性多步法 174
習題9 177
部分習題參考答案 179
參考文獻 187
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計算方法 節(jié)選
第1章 引論 1.1 數(shù)值問題的計算方法 計算方法是解決實際問題過程中形成的處理數(shù)值問題的方法，是計算數(shù)學的重要分支之一，也是研究各種數(shù)學問題求解的數(shù)值計算方法。 為了研究某些科學與工程實際問題，首先要依據(jù)物理現(xiàn)象、力學規(guī)律等可觀察的因素，建立問題的數(shù)學模型，這些模型一般為代數(shù)方程、微分方程或更復雜的數(shù)學問題等。科學計算的一個重要內容就是要研究這些數(shù)學問題的數(shù)值計算方法（適合計算機計算的計算方法），即求解數(shù)學模型。因此在計算機成為數(shù)值計算的主要工具以后，學習和研究適合于計算機上使用的數(shù)值計算方法是個重要的問題。利用數(shù)值計算方法解決實際問題的大致過程如下： 實際問題→數(shù)學模型→數(shù)值計算方法→程序設計→上機處理數(shù)據(jù)→輸出數(shù)值結果→分析結果 計算方法涉及的問題和內容很廣，但它主要是討論如何把實際問題歸結為數(shù)值問題，制定數(shù)值問題的算法，同時也討論算法的優(yōu)缺點和數(shù)值解的精度等問題。 所謂的數(shù)值問題就是對給定的問題或模型，給出計算機上可以實現(xiàn)的算法或迭代公式，或利用己知數(shù)據(jù)求出另一組結果數(shù)據(jù)，使得這兩組數(shù)據(jù)滿足預先指定的某種關系而得到的這一組結果數(shù)據(jù)就是數(shù)值解，得出數(shù)值解的過程或方法就稱為數(shù)值算法。 數(shù)值問題的討論通常以數(shù)學分析（或高等數(shù)學）和高等代數(shù)（或線性代數(shù)）作為主要工具和手段，對實際問題進行理論的分析，從而進一步討論和研究數(shù)值問題。計算方法作為數(shù)值分析的一個重要手段也有它自己的理論基礎和基本的一些概念、有關重要的結果、定理等。需要說明的是，計算方法中得到的有關方法和結果在理論上雖不嚴格，但通過實際計算、對比、分析等手段被證明是行之有效的方法和結果因此，計算方法用來進行數(shù)值分析既有純粹數(shù)學的高度抽象性與嚴密科學性的特點，又有應用的廣泛性與實際試驗的高度技術性的特點，是一門與計算機密切配合的實用性很強的數(shù)學內容和課程。 根據(jù)計算方法的數(shù)值分析的特點，學習本課程時首先要注意掌握方法的基本原理和思想、處理問題的技巧及與計算機的結合，其次還要充分重視方法的優(yōu)缺點、數(shù)值結果的誤差、迭代公式的收斂及穩(wěn)定性。 1.2 浮點數(shù) 1.2.1 定點數(shù) 設r是大于1的正整數(shù)，則位數(shù)有限的r進制正數(shù)x可以表示為（1.1）那么x是有l(wèi)位整數(shù)，m位小數(shù)的T進制數(shù)。因為T進制數(shù)的基為r，所以式（1.1）的x還可以表示成（1.2）這種把小數(shù)點固定在指定位置上，位數(shù)有限的數(shù)稱為定點數(shù)。 定點數(shù)的特點是小數(shù)點不能隨意移動。例如要把十進制數(shù)1105.2391，105.1268，0.6表示成l=4，m=4的定點數(shù)，那么可以寫成：1105.2391，0105.1268，0000.6000，也就是說，l=4，m=4，r=10的定點數(shù)是8位定點數(shù)，而所有這樣的8位定點數(shù)中絕對值*大的數(shù)是土9999。9999，絕對值*小的非零數(shù)是土0000.0001.所以說定點數(shù)是有限個、可數(shù)的。 對于給定的l，m，r組成的定點數(shù)全體用F（l，m，r）來表示，并稱為定點數(shù)的數(shù)系。對不同的l，m，r組成的定點數(shù)的數(shù)系是不同的數(shù)系。 1.2.2 浮點數(shù) 設s是T進制數(shù)，P是十進制的整數(shù)，記x=sxrP，則x是T進制的數(shù)。若s的整數(shù)部分為零，即可表示成（1.3）即s是由t位小數(shù)構成，其中0運向，則有（1.4）這時x稱為t位浮點數(shù)，其中s稱為尾數(shù)，r稱為基數(shù)，p稱為階數(shù)（是一個整數(shù)）。若a1并0，則該浮點數(shù)稱為t位的規(guī)，格化的浮點數(shù)。若取r=10，則式（1.4）就稱為十進制的t位浮點數(shù)。 對于不同的t，浮點數(shù)所表示的數(shù)是不同的，所以可用數(shù)系的方法來表示不同的t所表示的浮點數(shù)。例如F（t，r，p）來表示t位的、T進制的、階數(shù)為p的浮點數(shù)的全體。 例1把以下十進制數(shù)表示成3位的浮點數(shù)和3位的規(guī)格化的浮點數(shù)。 0.015 15.4 0.89 解3位浮點數(shù)的表示是：0.015x100，0.154X102，0.890x100 還可以表示成：0.150x10-1，0.154X102，0.089X101 3位規(guī)格化浮點數(shù)的表示是：0.150x10-1，0.154X102，0.890x100因此3位浮點數(shù)的表示一般不是唯一的，而3位規(guī)格化的浮點數(shù)的表示是唯一的。所以說，一個浮點數(shù)其規(guī)格化的表示是唯一的。 計算機中數(shù)的運算都是以浮點數(shù)的形式來實現(xiàn)的，并以規(guī)定的t位規(guī)格化的浮點數(shù)進行運算 在計算中必須注意浮點數(shù)的運算規(guī)則，就是兩個浮點數(shù)進行加減運算時先要對階，然后計算。即把兩個浮點數(shù)的階數(shù)寫成同一事次，然后才對兩個浮點數(shù)的尾數(shù)進行加減運算。例如對浮點數(shù)x=0.156X103，y=0.08x10-1，在6位的規(guī)格化的浮點數(shù)的計算機上進行運算時有（1.5）。 1.3 誤差、有效數(shù)字 1.3.1 誤差的來源 解決社會、經濟、生態(tài)等領域的實際問題中常用的數(shù)值計算方法包括：函數(shù)的數(shù)值逼近、非線性方程數(shù)值解、數(shù)值線性代數(shù)、數(shù)值微積分和微分方程數(shù)值解等。計算方法與數(shù)值分析不僅要討論這些數(shù)值方法，而且還要研究這些模型和算法的誤差應該強調，誤差分析在計算方法、數(shù)值分析和數(shù)學建模中占有一定地位。 解決實際問題時對問題進行分析研究的基礎上要建立對應的數(shù)學模型來刻畫和描述原問題。在這個建模過程中往往根據(jù)主要因素，并忽略一些次要因素的影響，簡化許多條件，使實際問題理想化，便于用數(shù)學語言、數(shù)學表達式描述和表達原問題。因此，數(shù)學模型是實際問題理想化、簡單化得到的，是實際問題的近似把實際問題的解與數(shù)學模型的解之間的誤差稱為“模型誤差”。 例2設一根鋁棒在溫度t時的實際長度為Lt，在t=0時的實際長度為Lo，用lt來表示鋁棒在溫度為t時的長度的近似值，并己建立了數(shù)學模型（1.6）式中，a是由實驗觀測到的常數(shù)，當不考慮代入數(shù)據(jù)本身的誤差時，Lt-lt就是模型誤差。 數(shù)學模型一旦確定，模型中包含有一些物理量（變量），這些物理量大多都是由觀測、測量得到的即數(shù)值問題的原始數(shù)據(jù)一般是通過大量的實驗和觀測得到的，這些數(shù)據(jù)往往與原問題的實際的精確值有誤差。而數(shù)學模型求解時總要利用一些觀測數(shù)據(jù)，所以不考慮模型誤差時，由于測量儀器精度的限制以及人工干預等多方面的原因，模型中代入的數(shù)據(jù)是有誤差的，因此在求解過程中誤差是不可避免的，這種誤差稱之為“測量誤差”或“觀測誤差”。 用數(shù)值計算方法來求數(shù)學模型的數(shù)值解時，有時只能用有限次的運算來得到數(shù)值解。如求一個無窮級數(shù)（1.7）之和時總是用它前面的若干項的和來近似代替無窮級數(shù)之和，即截去該級數(shù)的后一段而根據(jù)計算方法的理論，迭代公式是需要無限次地循環(huán)下去，所以用級數(shù)的前面若干項的和來近似原級數(shù)時必然產生誤差，由此引入的誤差稱為“截斷誤差”，截斷誤差也稱為方法誤差。 例如對某一函數(shù)f（x）用它的泰勒多項式Pn（x）來近似代替函數(shù)f（x）時，其產生
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