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近世代數 版權信息
- ISBN：9787030742766
- 條形碼：9787030742766 ; 978-7-03-074276-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
近世代數 內容簡介
本書系統介紹了群、環、域等三種代數系統的基本理論、性質和研究方法.本書參考了大量國內外相關教材、專著、論文文獻,并結合作者多年來在近世代數教學中的實踐經驗編寫而成.全書共五章,第1章是基礎知識.第2、3和第4章包含了群、環和域的基本內容.第5章對環做了進一步的討論.每節都配有適量的習題,其題量和難度都比較適中.本書脈絡清晰,內容深入淺出,通俗易懂.
近世代數 目錄
目錄
序言
前言
第1章 基礎知識 1
1.1 集合 1
1.2 映射 3
1.3 等價關系與劃分 7
1.4 代數運算與運算律 10
1.5 同態與同構 14
第2章 群論 17
2.1 群的定義 18
2.2 子群 25
2.3 循環群 30
2.4 置換群 36
2.5 陪集與拉格朗日定理 40
2.6 正規子群和商群 47
2.7 群同態基本定理 52
2.8 群的同構定理 58
第3章 環 64
3.1 基本概念 64
3.1.1 環的定義 64
3.1.2 環的性質 66
3.1.3 環的一些例子 68
3.2 整環、除環與域 71
3.2.1 零因子 71
3.2.2 單位 72
3.2.3 整環、除環和域的異同 75
3.3 子環 77
3.3.1 子環 77
3.3.2 特征 79
3.4 理想 80
3.4.1 概念和性質 80
3.4.2 主理想 82
3.4.3 商環 84
3.5 素理想與極大理想 86
3.5.1 素理想 86
3.5.2 極大理想 87
3.6 環的同態與同構 89
3.6.1 環的同態與同構的概念 89
3.6.2 環的同態與同構定理 91
3.6.3 環同態的應用 92
3.7 直和與分解 94
3.7.1 直和 94
3.7.2 中國剩余定理 96
3.8 分式域 99
3.9 多項式環 102
3.9.1 定義與性質 102
3.9.2 根與不可約 105
3.10 交換環中的因子分解 108
3.10.1 定義 108
3.10.2 唯一分解整環 110
3.10.3 歐氏環 113
第4章 域 116
4.1 擴域與素域 116
4.1.1 素域 116
4.1.2 擴域的結構 118
4.2 單擴域 122
4.3 代數擴域 127
4.3.1 向量空間 127
4.3.2 代數擴域 128
4.4 多項式的分裂域 132
4.5 有限域 137
第5章 環的進一步討論 142
5.1 伽羅瓦環GR（4m） 142
5.2 有限域上多項式環的理想 147
參考文獻 154
序言
前言
第1章 基礎知識 1
1.1 集合 1
1.2 映射 3
1.3 等價關系與劃分 7
1.4 代數運算與運算律 10
1.5 同態與同構 14
第2章 群論 17
2.1 群的定義 18
2.2 子群 25
2.3 循環群 30
2.4 置換群 36
2.5 陪集與拉格朗日定理 40
2.6 正規子群和商群 47
2.7 群同態基本定理 52
2.8 群的同構定理 58
第3章 環 64
3.1 基本概念 64
3.1.1 環的定義 64
3.1.2 環的性質 66
3.1.3 環的一些例子 68
3.2 整環、除環與域 71
3.2.1 零因子 71
3.2.2 單位 72
3.2.3 整環、除環和域的異同 75
3.3 子環 77
3.3.1 子環 77
3.3.2 特征 79
3.4 理想 80
3.4.1 概念和性質 80
3.4.2 主理想 82
3.4.3 商環 84
3.5 素理想與極大理想 86
3.5.1 素理想 86
3.5.2 極大理想 87
3.6 環的同態與同構 89
3.6.1 環的同態與同構的概念 89
3.6.2 環的同態與同構定理 91
3.6.3 環同態的應用 92
3.7 直和與分解 94
3.7.1 直和 94
3.7.2 中國剩余定理 96
3.8 分式域 99
3.9 多項式環 102
3.9.1 定義與性質 102
3.9.2 根與不可約 105
3.10 交換環中的因子分解 108
3.10.1 定義 108
3.10.2 唯一分解整環 110
3.10.3 歐氏環 113
第4章 域 116
4.1 擴域與素域 116
4.1.1 素域 116
4.1.2 擴域的結構 118
4.2 單擴域 122
4.3 代數擴域 127
4.3.1 向量空間 127
4.3.2 代數擴域 128
4.4 多項式的分裂域 132
4.5 有限域 137
第5章 環的進一步討論 142
5.1 伽羅瓦環GR（4m） 142
5.2 有限域上多項式環的理想 147
參考文獻 154
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近世代數 節選
**章基礎知識 本章主要介紹近世代數中需要用到的基本概念，對熟悉高等代數的人來說，這些概念并不陌生.為了照顧到更多的讀者，我們這里仍然介紹一下. 1.1集合 集合是數學中*基本的概念之一，是研究現代數學的基礎.我們把若干個(可 以是有限個或者無限個)特定的對象組成的全體叫做集合(set)，這些對象稱為集合中的元素(element)或簡稱元. 元素與集合的關系一般是屬于和不屬于.在本書中，習慣用大寫字母來表示 集合，小寫字母表示元素，例如元素a屬于集合A，記作.符號2表示屬于，對應的/2表示不屬于(有些書中用2表示).對于一些典型的集合，有固定的符號來表示，比如所有自然數、整數、有理數、實數和復數組成的集合分別記為N、Z、Q、R和C. 給出一個集合一般有兩種表示方法：一種是列舉出這個集合中的所有元素，稱為列舉法(enumeration method);另一種是描述出這個集合中元素所具有的特征性質，稱為描述法(descriptive method).例如，由數組成的集合可以記為，即列舉出了該集合的所有元素;而我們知道也是方程的兩個根，所以集合又可以表示為. 不包含任何元素的集合稱為空集(empty set)，記為.相對應地，如果一個集合包含了所有要討論的元素，那么稱這個集合為全集(universal set)，記為U. 除了前面提到的元素與集合之間的關系，集合與集合之間也有一定的關系.如果兩個集合A，B含有的元素完全相同，那么稱這兩個集合相等，記為 如果集合A中的元素全是集合B中的元素，那么稱A是B的子集(subset)， 記為 當A不是B的子集時，記為.如果，而且B中還包含其他不屬于A的元素，那么稱A是B的真子集(proper subset)，記為. 規定空集是任何集合的子集.顯然，如果兩個集合A，B同時滿足和，那么這兩個集合相等，即A=B.這是證明兩個集合相等的一個一般方法. 我們一般用符號表示集合A中所含元素的個數，即集合的大小.如果集合A中含有無限多個元素，記;如果集合A中包含n個元素，那么記. 冪集(power set)是由一個集合的所有子集組成的集合.一個集合A的冪集，通常記為P(A).如果，那么 集合與集合之間可以定義一定的運算關系，它們通常指集合的交、并、差、補. 定義1.1.1設A，B為兩集合. 由A和B所有共同的元素組成的集合稱為A與B的交集(intersection set)，簡稱A與B的交，記作，即 由所有屬于A或屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集(union set)，簡稱A與B的并，記作A[B，即 例1.1.1設集合，那么 定義1.1.2對集合A，B，稱為集合A與B的差集(differenceset). 在例1.1.1中，A與B的差集為.特別地，當時，用Bc表示，稱為B(關于A)的補集(complementary set).對集合的交與并有以下性質，證明留給讀者. 性質1.1.3(1) (2) (3) (4) 習題1.1 1.證明： 2.證明： 3.(德 摩根律)證明： 4.A，B兩集合的對稱差集(或環和)定義為 記作A△B.證明： 5.證明： (1) (2) 1.2映射 同集合一樣，映射是數學中另一較為基礎的概念.中學階段所研究的函數是一種映射，這里所講的映射事實上就是函數的一種推廣. 定義1.2.1 與函數相比較，上述定義中的集合A就是函數的定義域，a，b分別對應自變量和因變量.需要注意的是，函數的值域是包含在集合B中的，它們并不一定相等. 例1.2.1設，法則f如下： 則f是A到B的一個映射. 例1.2.2設A是全體整數的集合，B是全體偶數的集合，定義 則f是A到B的一個映射. 例1.2.3設A是非負實數集，B是實數集.對任意，那么對應關系f不是A到B的映射.因為當時，不能由x唯一確定. 定義1.2.2設f是集合A到B的一個映射. 若對于任何b2B，都存在a2A，使得f(a)=b，則稱f為集合A到B的一個滿射(surjection)(映上的). 若對任意a，且，都有，則稱f為集合A到B的一個單射(injection)(1-1的). 若f既是滿射又是單射，則稱映射f為集合A到B的一個雙射(bijection)(一一對應). 例1.2.4上述例1.2.1及例1.2.2中映射f均是雙射. 例1.2.5設A是數域F上全體n階方陣組成的集合，集合.對矩陣，r表示矩陣M的秩，那么法則 是一個滿射，但不是單射. 例1.2.6設A是非負實數集. 證明f是一個雙射. 證明 因此f是滿射. 又對任意，如果，即 那么.因此f是單射.綜上所述，f是雙射. 對有限集合A，B，如果它們的大小相等，即jAj=jBj，并且存在映射，那么 這是用來說明一個映射是雙射的常用方法，證明過程留給讀者. 下面介紹映射的合成. 定義1.2.3設映射以及，那么它們可以通過連續作用得到一個從A到C的映射 例1.2.7 則合成映射為 注意到這里無意義. 例1.2.8設f，g都是實數集R到R的映射，且 那么，也都是R到R的映射，且 顯然，.因此，即使當合成映射，性質1.2.4 即映射的合成滿足結合律. 證明 定義1.2.5 定義1.2.6 定理1.2.7 證明若f是雙射，則對任意，都存在唯一的，使得f(a)=b. 例1.2.9由定理1.2.7可知，例1.2.6中映射f有逆映射.并且容易驗證，其逆映射為
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