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代數選講 版權信息
- ISBN：9787030742063
- 條形碼：9787030742063 ; 978-7-03-074206-3
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
代數選講 內容簡介
針對報考數學專業研究生的讀者深入學習高等代數而編寫，以數學的思想為主線，以高等代數主要內容為基礎，以高等代數問題的主要解決方法技巧為重點，言簡意賅地講述高等代數考研題常用思想。...................................
代數選講 目錄
目錄
前言
第1章基本知識1
1.1基本概念1
1.2基本結論5
第2章特殊與一般21
2.1特殊與一般關系闡述21
2.2典型的例子24
第3章五個重要結論52
3.1五個重要結論的內容52
3.2典型的例子55
第4章擴充與限制91
4.1主要內容概述91
4.2典型的例子92
第5章遞推與數學歸納法104
5.1主要內容概述104
5.2典型的例子106
第6章化歸思想134
6.1主要內容概述134
6.2典型的例子134
第7章利用多項式的根171
7.1主要內容概述171
7.2典型的例子171
第8章整體與局部177
8.1主要內容概述177
8.2典型的例子177
第9章構造思想218
9.1主要內容概述218
9.2典型的例子219
參考文獻227
前言
第1章基本知識1
1.1基本概念1
1.2基本結論5
第2章特殊與一般21
2.1特殊與一般關系闡述21
2.2典型的例子24
第3章五個重要結論52
3.1五個重要結論的內容52
3.2典型的例子55
第4章擴充與限制91
4.1主要內容概述91
4.2典型的例子92
第5章遞推與數學歸納法104
5.1主要內容概述104
5.2典型的例子106
第6章化歸思想134
6.1主要內容概述134
6.2典型的例子134
第7章利用多項式的根171
7.1主要內容概述171
7.2典型的例子171
第8章整體與局部177
8.1主要內容概述177
8.2典型的例子177
第9章構造思想218
9.1主要內容概述218
9.2典型的例子219
參考文獻227
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代數選講 節選
第1章基本知識 本章所列的基本知識，是絕大多數高等代數教材中都會有的，屬于高等代數*基本的內容.本書可供已經學習過高等代數的同學復習考研使用，結論作為常識，除特別原因，一般不重復列出證明. 1.1基本概念 定義1.1.1n階行列式指的是數學記號. 它表示n!項的代數和，每一項是一切可能的取自不同行、不同列的n個元素的乘積a1j1a2j2 anjn.項a1j1a2j2 anjn帶有符號，即 這里是對數碼1，2， ，n構成的所有排列j1j2 jn求和. 有時用符號jaijj或det(aij)表示上述n階行列式.一階行列式jaj就是數a. 定義1.1.2設A是數域F上的n階方陣，λ2F.如果存在F上的n維非零列向量α，使得 Aα=λα， 那么稱λ是A的特征根，稱α為矩陣A的屬于特征根λ的特征向量. 定義1.1.3設A=(aij)2Mn(F).稱n階行列式為A的特征多項式. 將行列式det(xI A)展開，可得一個關于x的多項式:稱fA(x)中xn.1的系數的相反數a11+a22++ann為矩陣A的跡，記作tr(A). 定義1.1.4設.如果存在可逆矩陣P2Mn(F)，使得，那么稱矩陣A與B相似，記作AB. 矩陣的相似關系滿足：自反性、對稱性和傳遞性. 定義1.1.5設A是n階實對稱矩陣.如果A的正慣性指數p等于n，那么稱A是正定矩陣. 顯然正定矩陣的行列式大于零. 定義1.1.6設是實數域上的n元二次型.如果對變量x1，x2， ，xn任取一組不全為零的實數，實二次型f(x1，x2， ，xn)的函數值都是正數，那么就稱二次型f(x1，x2， ，xn)是正定二次型. 定義1.1.7設F是一個數域，x是一個文字.數域F上關于文字x的一元多項式是指形式表達式，這里n是非負整數，并且a0，a1，a2， ，an.1，an都是F中的數. 通常，我們把多項式用f(x)，g(x)， 來表示.數域F上關于文字x的全體多項式的集合記為F[x]. 規定x0=1，則一元多項式f(x)=a0+a1x++anxn可以表示為，其中aixi稱為多項式f(x)的i次項，ai稱為i次項的系數，零次項a0通常也稱為f(x)的常數項. 各項系數都為0的多項式稱為零多項式，記為0. 定義1.1.8在多項式中，如果an6=0，那么稱n是f(x)的次數，記為degf(x)，并且稱anxn為f(x)的首項，an為首項系數.如果an=1，就稱f(x)為首一多項式. 零多項式是F[x]中唯一沒有次數的多項式. 定義1.1.9設f(x)與g(x)是F[x]中的多項式.如果f(x)與g(x)的同次項的系數相等，那么就稱f(x)與g(x)相等，記為f(x)=g(x). 定義1.1.10設f(x)，g(x)2F[x].若存在h(x)2F[x]，使得f(x)=g(x)h(x)，則稱g(x)整除f(x)，記作g(x)jf(x).同時稱g(x)為f(x)的因式，稱f(x)為g(x)的倍式. 定義1.1.11設A是數域F上的n階方陣.F[x]中使得p(A)=0的次數*低的首一非零多項式p(x)稱為A的*小多項式. 定義1.1.12稱多項式xn 1的n個不同的復數根ωk(0.k.n 1)為n次單位根. 定義1.1.13若所有的n次單位根ωk(0.k.n 1)都是某個給定的n次單位根ωm的冪，則稱ωm為n次本原單位根. 定義1.1.14設A=(aij)是數域F上的n階方陣，且. 取定A的第i1，i2， ，ik行和第i1，i2， ，ik列，位于這k行和k列交叉處的元素按照原來的位置構成的k階行列式叫作矩陣A的一個k階主子式，記為Δ(i1，i2， ，ik). 定義1.1.15設α1，α2， ，αr是數域F上向量空間V的r個向量.如果存在F中一組不全為零的數k1，k2， ，kr，使得k1α1+k2α2+ +krαr=0，那么稱向量α1，α2， ，αr線性相關.若當且僅當k1=k2= =kr=0時上式才成立，則稱向量α1，α2， ，αr線性無關. 定義1.1.16設向量組fαi1，αi2， ，αirg是向量組fα1，α2， ，αsg的部分組.稱fαi1，αi2， ，αirg是fα1，α2， ，αsg的極大無關組，如果 (i)向量組fαi1，αi2， ，αirg線性無關; (ii)fα1，α2， ，αsg中的任意r+1個向量(如果有的話)構成的向量組總是線性相關的. 定義1.1.17設W，W′都是向量空間V的子空間.若V=WW′，則稱W′為W的一個余子空間(或補子空間)，也稱W是W′的一個余子空間. 定義1.1.18齊次線性方程組的解空間的一個基叫作該方程組的一個基礎解系. 定義1.1.19設λ2F，A2Mn(F)，λ是A的特征根.稱Vλ為A的屬于特征根λ的特征子空間. 定義1.1.20設λ2F，A2Mn(F).如果λ是A的特征根，那么λ作為A的特征多項式的根時的重數稱為λ的代數重數，A的屬于特征根λ的特征子空間Vλ的維數稱為λ的幾何重數.幾何重數總是小于等于代數重數. 定義1.1.21設σ是F上向量空間V的線性變換，W是σ的不變子空間.若只考慮σ在W上的作用，就得到W的一個線性變換，記為σjW，即對任意. 若ξ62W，則σjW(ξ)就沒有意義.σjW稱為σ在W上的限制. 定義1.1.22設σ是向量空間V的一個線性變換.由V中全體向量在σ之下的像構成的集合稱為σ的像(或σ的值域)，記作Imσ(或σ(V));由零向量在σ之下的全體原像構成的集合稱為σ的核，記作Kerσ，即. 定義1.1.23稱Imσ的維數為線性變換σ的秩，記作秩σ.稱Kerσ的維數為線性變換σ的零度. 定義1.1.24設V是實數域R上的向量空間.如果有一個映射，為方便，將f(α，β)記作hα，βi，它具有以下三條性質， 那么hα，βi稱為向量α與β的內積，V叫作對這個內積來說的一個歐幾里得(Euclid)空間，簡稱歐氏空間. (i)對稱性：; (ii)線性性; (iii)非負性：對任意α2V，有hα，αi.0，當且僅當α=0時，hα，αi=0. 定義1.1.24中的(ii)線性性與以下兩條等價： (iv); (v). 定義1.1.25設實系數線性方程組無解，即不論x1，x2， ，xs取哪一組實數值，s元實函數的值都大于零.設法找c1，c2， ，cs，使當x1=c1，x2=c2， ，xs=cs時，上式的值*小，這樣的c1，c2， ，cs稱為該方程組的*小二乘解，這種問題就叫作*小二乘法問題. 令A=(aij)n×s，X=(x1，x2， ，xs)T，B=(b1，b2， ，bn)T，則上述線性方程組可寫成AX=B. 1.2基本結論 定理1.2.1在n階行列式中取出n個元素作乘積ai1j1ai2j2 ainjn，這里i1i2 in和j1j2 jn都是1，2， ，n這n個數碼的排列，則這一項在行列式中的符號是( 1)π(i1i2 in)+π(j1j2 jn). 定理1.2.2設A是數域F上的n階方陣，λ是一個復數，則λ是A的特征根當且僅當λ滿足等式det(λI A)=0. 定理1.2.2表明，一個復數λ是A的特征根當且僅當λ是A的特征多項式的根. 定理1.2.3設A是n階實對稱矩陣，則A是正定矩陣的充要條件是在實數域上A與n階單位矩陣In合同. 定理1.2.4相似矩陣的特征根相等、跡相等、秩相等、行列式相等. 定理1.2.5設A=(aij)是n階實對稱矩陣，則A是正定矩陣的充要條件是是正定二次型. 定理1.2.6設A=(aij)是n階實對稱矩陣，則以下幾條彼此等價： (i)A是正定矩陣; (ii)對任意的，且i1 (iii)對任意的k2f1，2， ，ng，由A的前k行與前k列交叉處的元素按照原來的位置構成的A的k階子式大于零. 定理1.2.7設f(x)，g(x)是F[x]中的非零多項式，則 (i)當f(x)+g(x)6=0時，有; (ii). 定理1.2.8設f(x)，g(x)，h(x)2F[x]. (i)如果f(x)g(x)=0，那么f(x)=0，或者g(x)=0; (ii)如果f(x)g(x)=f(x)h(x)，且f(x)6=0，那么g(x)=h(x). 定理1.2.9(帶余除法定理)設f(x)，g(x)2F[x]，且g(x)6=0，則 (i)存在q(x)，r(x)2F[x]，使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)， 這里r(x)=0，或者degr(x) (ii)滿足(i)中條件的多項式q(x)和r(x)都是唯一確定的. 我們把這種除法叫作帶余除法.定理中的多項式q(x)，r(x)分別叫作用g(x) 去除f(x)所得的商式和余式，g(x)叫作除式，f(x)叫作被除式. 定理1.2.10在F[x]中， (i)如果g(x)jf(x)，那么對F中任意非零常數c，總有cg(x)jf(x)，g(x)jcf(x); (ii)如果h(x)jg(x)，g(x)jf(x)，那么h(x)jf(x); (iii)如果g(x)jf(x)，g(x)jh(x)，那么g(x)j(f(x)h(x)); (iv)如果g(x)jf(x)，那么對F[x]中任意多項式h(x)，總有g(x)jf(x)h(x); (v)如果g(x)jfi(x)，i=1，2， ，s，那么對F[x]中任意多項式hi(x)，i=1，2， ，s，總有; (vi)設f(x)2F[x]，則對F中的任意非零常數c，總有cjf(x)，cf(x)jf(x); (vii)如果f(x)jg(x)，g(x)jf(x)，那么存在F中的非零常數c，使得f(x)=cg(x). 定理1.2.11設fi(x)2F[x]，i=1，2， ，s. (i)f1(x)，f2(x)， ，fs(x)的*大公因式總是存在的; (ii)若d(x)是f1(x)，f2(x)， ，fs(x)的一個*大公因式，則存在ui(x)2F[x]，i=1，2， ，s，使得sXi=1ui(x)fi(x)=d(x). 定理1.2.12(因式分解及唯一性定理)設f(x)是數域F上的一個次數大于零的多項式，則(i)f(x)可分解為若干個F上的不可約多項式的乘積; (ii)如果f(x)=p1(x)p2(x) pr(x)=q1(x)q2(x) qs(x)， 其中pi(x)，qj(x)(i=1，2， ，r;j=1，2， ，s)都是F上的不可約多項式，那么r=s，且適當地給q1(x)，q2(x)， ，qr(x)重新編號后
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