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高等數學(上)(第二版) 版權信息
- ISBN：9787030726032
- 條形碼：9787030726032 ; 978-7-03-072603-2
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高等數學(上)(第二版) 內容簡介
本套書是依據教育部《經濟管理類數學課程教學基本要求》，針對高等學校經濟類、管理類各專業的教學實際編寫的高等數學或微積分課程教材，分上、下兩冊。本書是上冊，內容包括函數、極限與連續，導數與微分，微分中值定理與導數的應用，不定積分，定積分及其應用。每節后配有（A）、（B）兩組習題，每章后配有總習題，（B）組習題為滿足有較高要求的讀者配備，題型豐富，梯度難度恰到好處。
高等數學(上)(第二版) 目錄
目錄
第1章 函數、極限與連續 1
1.1 函數 2
1.1.1 集合、區間與鄰域 2
1.1.2 函數的概念 4
1.1.3 函數的特性 9
1.1.4 初等函數 11
1.1.5 常用經濟函數 15
習題1.1 17
1.2 數列的極限 19
1.2.1 數列極限的定義 19
1.2.2 數列極限的性質 23
習題1.2 24
1.3 函數的極限 25
1.3.1 自變量絕對值無限增大時函數的極限 25
1.3.2 自變量趨于有限值時函數的極限 27
1.3.3 函數極限的性質 30
習題1.3 31
1.4 無窮小與無窮大 32
1.4.1 無窮小 32
1.4.2 無窮小的性質 33
1.4.3 無窮大 34
習題1.4 35
1.5 極限的運算法則 36
1.5.1 極限的四則運算法則 36
1.5.2 復合函數的極限運算法則 39
習題1.5 40
1.6 極限存在的準則及兩個重要極限 40
1.6.1 極限存在的準則 41
1.6.2 兩個重要極限 42
習題1.6 46
1.7 無窮小的比較 47
習題1.7 49
1.8 函數的連續性及間斷點 50
1.8.1 函數連續性的概念 50
1.8.2 函數的間斷點 53
1.8.3 初等函數的連續性 54
習題1.8 56
1.9 閉區間上連續函數的性質 57
1.9.1 *大值和*小值定理與有界性定理 57
1.9.2 零點定理與介值定理 58
習題1.9 60
小結 60
總習題1 67
第2章 導數與微分 71
2.1 導數的概念 72
2.1.1 引例 72
2.1.2 導數的定義 73
2.1.3 導數的幾何意義 75
2.1.4 左、右導數 76
2.1.5 可導與連續的關系 76
習題2.1 78
2.2 導數的基本公式及運算法則 79
2.2.1 導數的四則運算法則 79
2.2.2 反函數的求導法則 81
2.2.3 基本初等函數的求導公式 82
2.2.4 復合函數的求導法則 82
習題2.2 84
2.3 隱函數和由參數方程所確定的函數的導數 85
2.3.1 隱函數的導數 85
2.3.2 對數求導法 87
2.3.3 參數方程表示的函數的導數 88
習題2.3 89
2.4 高階導數 89
習題2.4 93
2.5 函數的微分 93
2.5.1 引例 94
2.5.2 微分的概念 94
2.5.3 函數可微的充要條件 95
2.5.4 微分的幾何意義 96
2.5.5 微分的運算法則 96
2.5.6 微分在近似計算中的應用 97
習題2.5 98
2.6 邊際與彈性 99
2.6.1 邊際分析 99
2.6.2 彈性分析 101
習題2.6 103
小結 104
總習題2 106
第3章 微分中值定理與導數的應用 109
3.1 微分中值定理 110
3.1.1 羅爾中值定理 110
3.1.2 拉格朗日中值定理 111
3.1.3 柯西中值定理 114
習題3.1 115
3.2 洛必達法則 116
3.2.1 型未定式 116
3.2.2 型未定式 118
3.2.3 其他類型未定式 119
習題3.2 120
3.3 利用導數研究函數的性態 121
3.3.1 函數的單調性 121
3.3.2 函數的極值 124
3.3.3 曲線的凹凸性及拐點 127
3.3.4 曲線的漸近線 130
3.3.5 函數圖形的描繪 131
習題3.3 133
3.4 函數的*值及其應用 135
3.4.1 函數的*值 135
3.4.2 *值在經濟學中的應用 136
習題3.4 140
小結 142
總習題3 145
第4章 不定積分 149
4.1 不定積分的概念及性質 150
4.1.1 原函數 150
4.1.2 不定積分的定義 150
4.1.3 不定積分的幾何意義 152
4.1.4 不定積分的性質 152
4.1.5 基本積分表 153
4.1.6 直接積分法 154
習題4.1 155
4.2 換元積分法 156
4.2.1 **類換元積分法 156
4.2.2 第二類換元積分法 160
習題4.2 163
4.3 分部積分法 165
習題4.3 167
4.4 有理函數的積分 168
習題4.4 171
小結 172
總習題4 173
第5章 定積分及其應用 175
5.1 定積分的概念 176
5.1.1 引例 176
5.1.2 定積分的定義 178
5.1.3 定積分的幾何意義 180
習題5.1 181
5.2 定積分的性質 182
習題5.2 184
5.3 微積分基本公式 184
5.3.1 積分上限函數及其導數 185
5.3.2 微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式） 186
習題5.3 188
5.4 定積分的計算 189
5.4.1 定積分的換元積分法 189
5.4.2 定積分的分部積分法 192
習題5.4 194
5.5 廣義積分 195
5.5.1 無限區間上的廣義積分 196
5.5.2 無界函數的廣義積分 197
5.5.3 Γ函數 199
習題5.5 200
5.6 定積分的應用 201
5.6.1 微元法 201
5.6.2 平面圖形的面積 203
5.6.3 體積 206
5.6.4 定積分在經濟中的應用 208
習題5.6 210
小結 212
總習題5 213
參考答案 215
附錄A 初等數學中的常用公式 234
附錄B 積分表 239
第1章 函數、極限與連續 1
1.1 函數 2
1.1.1 集合、區間與鄰域 2
1.1.2 函數的概念 4
1.1.3 函數的特性 9
1.1.4 初等函數 11
1.1.5 常用經濟函數 15
習題1.1 17
1.2 數列的極限 19
1.2.1 數列極限的定義 19
1.2.2 數列極限的性質 23
習題1.2 24
1.3 函數的極限 25
1.3.1 自變量絕對值無限增大時函數的極限 25
1.3.2 自變量趨于有限值時函數的極限 27
1.3.3 函數極限的性質 30
習題1.3 31
1.4 無窮小與無窮大 32
1.4.1 無窮小 32
1.4.2 無窮小的性質 33
1.4.3 無窮大 34
習題1.4 35
1.5 極限的運算法則 36
1.5.1 極限的四則運算法則 36
1.5.2 復合函數的極限運算法則 39
習題1.5 40
1.6 極限存在的準則及兩個重要極限 40
1.6.1 極限存在的準則 41
1.6.2 兩個重要極限 42
習題1.6 46
1.7 無窮小的比較 47
習題1.7 49
1.8 函數的連續性及間斷點 50
1.8.1 函數連續性的概念 50
1.8.2 函數的間斷點 53
1.8.3 初等函數的連續性 54
習題1.8 56
1.9 閉區間上連續函數的性質 57
1.9.1 *大值和*小值定理與有界性定理 57
1.9.2 零點定理與介值定理 58
習題1.9 60
小結 60
總習題1 67
第2章 導數與微分 71
2.1 導數的概念 72
2.1.1 引例 72
2.1.2 導數的定義 73
2.1.3 導數的幾何意義 75
2.1.4 左、右導數 76
2.1.5 可導與連續的關系 76
習題2.1 78
2.2 導數的基本公式及運算法則 79
2.2.1 導數的四則運算法則 79
2.2.2 反函數的求導法則 81
2.2.3 基本初等函數的求導公式 82
2.2.4 復合函數的求導法則 82
習題2.2 84
2.3 隱函數和由參數方程所確定的函數的導數 85
2.3.1 隱函數的導數 85
2.3.2 對數求導法 87
2.3.3 參數方程表示的函數的導數 88
習題2.3 89
2.4 高階導數 89
習題2.4 93
2.5 函數的微分 93
2.5.1 引例 94
2.5.2 微分的概念 94
2.5.3 函數可微的充要條件 95
2.5.4 微分的幾何意義 96
2.5.5 微分的運算法則 96
2.5.6 微分在近似計算中的應用 97
習題2.5 98
2.6 邊際與彈性 99
2.6.1 邊際分析 99
2.6.2 彈性分析 101
習題2.6 103
小結 104
總習題2 106
第3章 微分中值定理與導數的應用 109
3.1 微分中值定理 110
3.1.1 羅爾中值定理 110
3.1.2 拉格朗日中值定理 111
3.1.3 柯西中值定理 114
習題3.1 115
3.2 洛必達法則 116
3.2.1 型未定式 116
3.2.2 型未定式 118
3.2.3 其他類型未定式 119
習題3.2 120
3.3 利用導數研究函數的性態 121
3.3.1 函數的單調性 121
3.3.2 函數的極值 124
3.3.3 曲線的凹凸性及拐點 127
3.3.4 曲線的漸近線 130
3.3.5 函數圖形的描繪 131
習題3.3 133
3.4 函數的*值及其應用 135
3.4.1 函數的*值 135
3.4.2 *值在經濟學中的應用 136
習題3.4 140
小結 142
總習題3 145
第4章 不定積分 149
4.1 不定積分的概念及性質 150
4.1.1 原函數 150
4.1.2 不定積分的定義 150
4.1.3 不定積分的幾何意義 152
4.1.4 不定積分的性質 152
4.1.5 基本積分表 153
4.1.6 直接積分法 154
習題4.1 155
4.2 換元積分法 156
4.2.1 **類換元積分法 156
4.2.2 第二類換元積分法 160
習題4.2 163
4.3 分部積分法 165
習題4.3 167
4.4 有理函數的積分 168
習題4.4 171
小結 172
總習題4 173
第5章 定積分及其應用 175
5.1 定積分的概念 176
5.1.1 引例 176
5.1.2 定積分的定義 178
5.1.3 定積分的幾何意義 180
習題5.1 181
5.2 定積分的性質 182
習題5.2 184
5.3 微積分基本公式 184
5.3.1 積分上限函數及其導數 185
5.3.2 微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式） 186
習題5.3 188
5.4 定積分的計算 189
5.4.1 定積分的換元積分法 189
5.4.2 定積分的分部積分法 192
習題5.4 194
5.5 廣義積分 195
5.5.1 無限區間上的廣義積分 196
5.5.2 無界函數的廣義積分 197
5.5.3 Γ函數 199
習題5.5 200
5.6 定積分的應用 201
5.6.1 微元法 201
5.6.2 平面圖形的面積 203
5.6.3 體積 206
5.6.4 定積分在經濟中的應用 208
習題5.6 210
小結 212
總習題5 213
參考答案 215
附錄A 初等數學中的常用公式 234
附錄B 積分表 239
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高等數學(上)(第二版) 節選
第1章 函數、極限與連續 由于社會經濟和科學技術發展的需要，數學在經歷數千年的發展之后進入了從形的研究向數的研究的新時代，由常量數學發展為變量數學，微積分的創立是這一時期*突出的成就之一.微積分研究的基本對象是定義在實數集上的函數. 極限是研究函數的基本方法，連續函數則是函數的一種重要屬性，因而本章是整個微積分學的基礎.本章主要介紹函數的概念及其基本性質、數列和函數的極限及其基本性質、連續函數的概念及其基本性質，為進一步學好微積分打下一個良好的基礎. 1.1 函數 1.1.1 集合、區間與鄰域 1.集合 自從德國數學家康托爾（Cantor）于19世紀末創立集合論以來，集合論的概念和方法已滲透到數學的各個分支，成為現代數學的基礎和語言.集合是數學中的一個*基本的概念，它在現代數學和工程技術中有著非常重要的作用.一般地，具有某種特定性質的對象的全體稱為集合.組成這個集合的對象稱為該集合的元素.例如：某人通訊錄好友的全體組成一個集合，其中每一個好友為該集合的一個元素；整數的全體組成整數集合，每個整數是它的元素等. 習慣上，用大寫的英文字母A，B，C， 表示集合，用小寫的英文字母a，b，c， 表示集合的元素.若a是集合A的元素，則稱a屬于A，記為a∈A；否則稱a不屬于A，記為aA（或aA）.含有有限個元素的集合稱為有限集；由無限個元素組成的集合稱為無限集；不含任何元素的集合稱為空集，用表示.例如，某人通訊錄好友的全體組成的集合是有限集；全體整數組成的集合是無限集；方程的實根組成的集合是空集. 元素都是數的集合稱為數集.全體自然數組成的集合稱為自然數集，記為N；全體整數組成的集合稱為整數集，記為Z；全體有理數組成的集合稱為有理數集，記為Q；全體實數組成的集合稱為實數集，記為R.如無特別說明，本書中提到的數都是實數. 集合的表示方法主要有列舉法和描述法.列舉法是將集合的元素一一列舉出來，寫在一對花括號內，如.描述法是在花括號內指明集合中元素所具有的性質，即將具有某種性質特征的元素x所組成的集合A記為.例如，由方程x2－5x+4=0的根構成的集合，可記為. 設A，B是兩個集合，若A的每個元素都是B的元素，則稱A是B的子集，記為（或），讀為A被B包含（或B包含A）；若，且有元素，但，則稱A是B的真子集，記為.例如，NZQR. 注 規定空集為任何集合的子集，即對任何集A，若，且，則稱集合A與集合B相等，記為.例如，設，則. 由屬于A或屬于B的所有元素組成的集合稱為A與B的并集，記為，即由同時屬于A與B的元素組成的集合稱為A與B的交集，記為，即由屬于A但不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集，記為A\B(或A-B)，即兩個集合的并集、交集、差集如圖1.1.1陰影部分所示. 圖1.1.1 在研究某個問題時，如果所考慮的一切集合都是某個集合S的子集，則稱S為基本集或全集. S中的任何集合A關于S的差集稱為A的補集（或余集），記為. 集合運算具有下列性質： （1）交換律； （2）結合律； （3）分配律； （4）對偶律 . 2.區間 區間是用得較多的一類數集.設a和b都是實數，且a 以上四種區間的長度都是有限的，因此統稱為有限區間.稱a為區間的左端點，b為區間的右端點，數稱為區間長度.此外還有無限區間，如這里記號“-∞”和“+∞”分別表示“負無窮大”和“正無窮大”. 3.鄰域 鄰域也是常用的一類數集，是微積分學中經常用到的一個概念. 設a是一個給定的實數，δ（通常是很小的正數）是某一正數，稱數集為點a的δ鄰域，記為，即 其中稱點a為該鄰域的中心，δ為鄰域的半徑.在數軸上表示以a為中心、長度為2δ的對稱開區間，如圖1.1.2所示. 圖1.1.2 若將鄰域的中心去掉，所得到的數集稱為點a的去心δ鄰域，記為，即稱區間為點a的左δ鄰域，區間為點a的右δ鄰域. 注不等式意味著，即更一般地，以a為中心的任何開區間均是點a的鄰域，當不需要特別指明鄰域的半徑時，可簡記為. 1.1.2 函數的概念 1.函數的定義 在自然現象或工程技術中，常常會遇到各種各樣的量，如幾何中的長度、面積、體積和經濟學中的產量、成本、利潤等.在某個過程中，保持不變的量稱為常量，取不同值的量稱為變量.例如：圓周率π是永遠不變的量，它是常量；某商品的價格在一定的時間段內是不變的，所以在這段時間內它也是常量；一天中的氣溫、工廠在生產過程中的產量都是不斷變化的量，這些都是變量.又如，北京時間2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號F遙十三運載火箭點火發射，神舟十三號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，順利將翟志剛、王亞平、葉光富三名航天員送入太空，飛行乘組狀態良好，發射取得圓滿成功.火箭飛行過程中，其重力加速度隨著火箭離地面高度的增加而減小，是不斷變化的，所以它是變量. 一般地，在一個問題中往往同時有幾個變量在變化著，而且這些變量并非孤立在變，而是相互聯系、相互制約的.這些變量之間相互依賴的關系刻畫了客觀世界中事物變化的內在規律，函數就是描述變量間相互依賴關系的一種數學模型. 定義1.1.1 設D是一個給定的非空數集，若對任意，按照對應法則，都有唯一確定的與之對應，則稱為定義在D上的一個一元函數，簡稱函數，記為，其中數集D稱為函數的定義域，記為，x為自變量，y為因變量. 若將函數視為一個機器，它將輸入值x作為它的原料，將輸出值作為它的產品，如圖1.1.3所示.每一個輸入值都有唯一相對應的輸出值，但是幾個不同的輸入值有可能輸出相同的值. 對，按照對應法則f，總有確定的值（記為）與之對應，稱為函數在點x0處的函數值.因變量與自變量的這種相依關系通常稱為函數關系. 當自變量x遍取的所有數值時，對應的函數值的全體組成的集合稱為函數f的值域，記為，即 注 函數概念的兩個基本要素是定義域和對應法則.兩個函數相等的充要條件是它們的定義域和對應法則都相同. 通常所說的定義域為使函數的表達式有意義的一切實數所構成的集合，即自變量的取值范圍，這種定義域稱為函數的自然定義域.在實際問題中，函數的定義域應根據問題的實際意義來確定. 從幾何上看，在平面直角坐標系中，點集稱為函數的圖像.函數的圖像通常是一條曲線，也稱為這條曲線的方程.這樣，函數的一些特性常常可借助于幾何直觀來發現；反過來，一些幾何問題也可借助于函數進行理論探討. 例1.1.1 求函數的定義域. 解 要使數學式子有意義，x必須滿足.即，因此函數的定義域為. 例1.1.2判斷下面函數是否相同，并說明理由： （1）與； （2）與； （3）與 （4）與. 解（1）不相同.因為的定義域是，而的定義域是. （2）不相同.雖然與的定義域都是，但對應法則不同. （3）相同.雖然這兩個函數的表現形式不同，但它們的定義域和對應法則均相同，所以這兩個函數相同. （4）相同.雖然這兩個函數的自變量和因變量所用的字母不同，但其定義域和對應法則均相同，所以這兩個函數相同. 例1.1.3 設f(x)的定義域是[0，1]，求函數的定義域. 解 要使函數有定義，x必須滿足 即 所以函數的定義域為. 2.常見的分段函數 在自變量的不同變化范圍內，對應法則用不同數學式子來表示的函數稱為分段函數.常見的分段函數有以下四種. 例1.1.4 絕對值函數的定義域是，值域是，如圖1.1.4所示. 圖1.1.4 圖1.1.5 例1.1.5 符號函數的定義域是，值域是三個點的集合，如圖1.1.5所示. 例1.1.6 *大取整函數，其中為不超過x的*大整數.例如，等.函數的定義域是，值域是整數集.一般地如圖1.1.6所示. 例1.1.7 狄利克雷（Dirichlet）函數
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