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軸對稱問題有限元求解體系 版權信息
- ISBN：9787030718709
- 條形碼：9787030718709 ; 978-7-03-071870-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
軸對稱問題有限元求解體系 內容簡介
軸對稱彈性問題的應力分析，是工程構件中大量遇到、并需正確解決的重要課題之一。本書將國內、外所有解決此問題的單變量及多變量軸對稱有限環(huán)元，以變分原理為綱，進行了全面篩選、歸納整理。其中，也包括作者多年的研究成果。書中系統(tǒng)論述了各類軸對稱有限環(huán)元，其建立所依據的變分原理及泛函導出、本質約束條件、單元建立及單剛計算、斂散問題、應用實例與數值比較，單元特點及存在問題。此書反映了用有限元方法解決軸對稱問題前沿性的新近突破，對拓展軸對稱環(huán)元的廣闊應用與高等有限元學科的發(fā)展，起了開路作用。它是一部系統(tǒng)性強、且理論聯(lián)系實際，具有創(chuàng)新性的學術專著。
軸對稱問題有限元求解體系 目錄
目錄
前言
第1章 小位移變形彈性理論基本方程 1
1.1 應力、應變、位移、體積力、表面力 1
1.2 應變能和余能 2
1.2.1 應變能密度 2
1.2.2 余能密度 3
1.3 小位移變形彈性理論基本方程 3
1.3.1 平衡方程（力學方程） 4
1.3.2 應變-位移方程（幾何方程） 5
1.3.3 應力-應變關系（物理方程或本構方程） 6
1.3.4 邊界條件 12
1.4 散度定理 13
1.5 小結 14
參考文獻 15
第2章 小位移變形彈性理論經典變分原理及廣義變分原理 16
2.1 小位移變形彈性理論*小勢能（位能）原理 16
2.1.1 *小勢能原理及泛函約束條件 16
2.1.2 證明 17
2.2 *小余能原理 22
2.2.1 *小余能原理及泛函約束條件 22
2.2.2 證明 23
2.3 小位移變形彈性理論廣義變分原理 26
2.4 Hellinger-Reissner 廣義變分原理 27
2.4.1 Hellinger-Reissner變分原理泛函ΠHR (σ ，u) 的建立 27
2.4.2 Hellinger-Reissner 變分原理注意事項 30
2.5 (ε，u)雙變量廣義變分原理 31
2.5.1 （ε，u）雙變量廣義變分原理泛函ΠP2 (ε，u)的建立 31
2.5.2 P2 Π (ε ，u)變分原理的注意事項 34
2.6 這兩種廣義變分原理泛函之間的關系 35
2.7 Hu-Washizu廣義變分原理 37
2.7.1 Hu-Washizu變分原理泛函HW Π的建立 37
2.7.2 對Hu-Washizu廣義變分原理的論戰(zhàn) 39
2.8 小結 43
2.8.1 小位移變形彈性理論靜力問題 43
2.8.2 彈性理論常規(guī)變分原理之間的關系 45
參考文獻 48
第3章 根據*小勢能原理建立的軸對稱位移元（Ⅰ） 50
3.1 協(xié)調的假定位移有限元 50
3.1.1 變分原理 50
3.1.2 單元列式 51
3.2 有限元收斂準則 幾何各向同性 54
3.2.1 有限元單調收斂準則 54
3.2.2 非協(xié)調元的收斂條件 55
3.2.3 幾何各向同性 63
3.3 軸對稱問題 63
3.3.1 軸對稱問題的場變量 64
3.3.2 軸對稱問題基本方程 64
3.4 3 結點三角形軸對稱位移元（一）（元LDT） 66
3.4.1 位移場 u 66
3.4.2 元內一點的應力及應變以結點位移表示 68
3.4.3 建立單元剛度陣 69
3.4.4 等效結點載荷 76
3.4.5 數值算例 76
3.4.6 三角形元應用推廣 82
3.5 3 結點三角形軸對稱位移元（二）（元LDTC） 91
3.5.1 基本列式 91
3.5.2 基本列式討論 95
3.5.3 算例 96
3.6 3 結點三角形軸對稱位移元（三） 98
3.6.1 單元建立 98
3.6.2 數值算例 101
3.7 4結點三角形軸對稱位移元 103
3.7.1 單元建立 103
3.7.2 數值算例 106
參考文獻 107
第4章 根據*小勢能原理建立的軸對稱位移元（Ⅱ） 110
4.1 多結點三角形協(xié)調軸對稱位移元的形函數 110
4.1.1 Lagrange定理 110
4.1.2 多種結點三角形軸對稱元的形函數 112
4.1.3 各種一維元 115
4.2 多結點四邊形協(xié)調軸對稱位移元的形函數 116
4.2.1 線性元 116
4.2.2 二次元 117
4.2.3 三次元 119
4.3 軸對稱等參位移元 120
4.3.1 軸對稱等參位移元 120
4.3.2 等參元的收斂性 122
4.3.3 等參元單元列式 126
4.3.4 數值算例 128
4.4 幾種軸對稱元數值比較 134
4.5 4結點非協(xié)調軸對稱位移元（一） 138
4.5.1 廣義協(xié)調元四邊形面積坐標 138
4.5.2 4結點四邊形廣義協(xié)調軸對稱元 140
4.6 4結點非協(xié)調軸對稱位移元（二） 144
4.6.1 建立單元初始位移 144
4.6.2 修正的非協(xié)調位移 146
4.6.3 數值算例 150
4.7 小結 154
參考文獻 156
第5章 根據修正的余能原理Π mc、Π(1)mc 及Hellinger-Reissner原理mR Π
建立的軸對稱有限元 158
5.1 修正的余能原理mc Π 及早期雜交應力元Ⅰ 158
5.1.1 *小余能原理 158
5.1.2 修正的余能原理 159
5.1.3 早期雜交應力元Ⅰ 161
5.2 Hellinger-Reissner原理及早期雜交應力元Ⅱ 163
5.2.1 變分泛函 163
5.2.2 有限元列式 164
5.2.3 幾點注意事項 166
5.3 早期雜交應力元小結 169
5.3.1 兩種早期雜交應力元 169
5.3.2 假定應力雜交模式小結 170
5.4 掃除附加的運動變形模式（掃除多余的零能模式） 170
5.4.1 附加運動變形模式 170
5.4.2 掃除附加運動變形模式 171
5.4.3 選擇單元應力場掃除零能模式的方法及實例 174
5.4.4 對單元穩(wěn)定所需*小應力參數（式（5.4.1））的意見 176
5.5 雜交應力軸對稱元 176
5.5.1 雜交應力軸對稱元列式 176
5.5.2 單元位于對稱軸上問題 179
5.6 一般四邊形4結點軸對稱雜交應力元 180
5.6.1 位移場u 181
5.6.2 假定應力場 182
5.6.3 數值算例 187
5.6.4 小結 196
5.6.5 鋼容器內圓柱形固體火箭推進劑受力分析 197
5.7 一般四邊形8結點軸對稱雜交應力元 205
5.7.1 位移場u 206
5.7.2 假定應力場σ 206
5.7.3 數值算例 212
5.7.4 小結 222
5.8 應用雜交應力模式進行任意載荷下軸對稱構件受力分析 223
5.8.1 有限元列式 223
5.8.2 建立雜交應力元 228
5.8.3 數值算例 230
5.8.4 小結 236
5.9 雜交-Trefftz有限元 236
5.9.1 變分泛函 237
5.9.2 有限元列式 242
5.9.3 修正的余能原理Πm(1c) (u，u)與Π的關系 244
5.10 4結點軸對稱雜交-Trefftz元 245
5.10.1 柱坐標表示的基本方程及邊界條件 245
5.10.2 4結點軸對稱雜交-Trefftz元 246
5.10.3 數值算例 248
5.11 小結 251
參考文獻 254
第6章 根據修正的Hellinger-Reissner原理ΠmR及雜交應力元理性列式所建立的軸對稱元（Ⅰ） 258
6.1 修正的Hellinger-Reissner原理（一） 258
6.1.1 Hellinger-Reissner原理的離散形式 258
6.1.2 修正的Hellinger-Reissner原理（一）ΠmR1 259
6.2 修正的Hellinger-Reissner原理（二）及修正的Hellinger-Reissner原理（三） 262
6.2.1 修正的Hellinger-Reissner原理（二） 262
6.2.2 修正的Hellinger-Reissner原理（三） 263
6.3 修正的Hellinger-Reissner原理及所建立的雜交應力元 264
6.3.1 變分原理 264
6.3.2 有限元列式 265
6.3.3 這種有限元列式的討論 266
6.4 非協(xié)調雜交應力元理性列式Ⅰ—平衡法 266
6.4.1 非協(xié)調雜交應力元理性列式Ⅰ—平衡法 267
6.4.2 用理性列式Ⅰ—平衡法建立雜交應力元的特點 269
6.5 用理性列式Ⅰ—平衡法建立4結點軸對稱元 270
6.5.1 利用理性平衡方法Ⅰ，建立一般形狀4結點軸對稱元 270
6.5.2 數值算例 274
6.6 非協(xié)調雜交應力元的理性列式—修正的平衡法Ⅰm 279
6.7 非協(xié)調雜交應力元的理性列式Ⅱ—正交法 280
6.8 非協(xié)調雜交應力元的理性列式Ⅲ—表面虛功法 282
6.8.1 變分泛函及收斂條件 282
6.8.2 理性方法Ⅲ—表面虛功法 283
6.8.3 非協(xié)調雜交應力元三種理性列式說明 286
6.9 利用三種理性方法建立4結點軸對稱元 287
6.9.1 建立單元 287
6.9.2 數值算例 289
6.10 小結 297
參考文獻 299
第7章 根據修正的Hellinger-Reissner原理ΠmR2及修正的兩變量變分原理Πp2建立的軸對稱元（Ⅱ） 302
7.1 利用另一種表面虛功法建立軸對稱元 302
7.1.1 變分泛函 302
7.1.2 單元建立 304
7.1.3 Dong及Teixeira de Freitas建立的4結點軸對稱非協(xié)調雜交應力元 305
7.1.4 4結點非協(xié)調軸對稱元LA1、HA1及FA1 308
7.2 軸對稱元中偽剪應力的幾點說明 318
7.2.1 矩形網格下偽剪切現象產生的原因及消除 318
7.2.2 歪斜網格下偽剪應力的抑制 320
7.3 雜交應力扭轉元 320
7.3.1 應力約束方程和單元剛矩陣 320
7.3.2 4結點一般形狀雜交應力扭轉元 322
7.3.3 數值算例 324
7.4 修正的(ε，u)雙變量變分原理Πmp2及根據Πmp2建立的軸對稱元 328
7.4.1 修正的(ε，u)雙變量變分原理 328
7.4.2 根據2mp2 Π 進行有限元列式 330
7.4.3 利用修正的兩變 量變分原理Π2mp2進行單元列式 331
7.4.4 建立4結點軸對稱元 331
7.5 用罰平衡法建立軸對稱元 336
7.5.1 罰函數法 336
7.5.2 罰平衡法 337
7.5.3 用罰平衡法建立4結點軸對稱元 338
7.6 具有轉動自由度的4結點軸對稱元 340
7.6.1 具有轉動自由度的4結點軸對稱元 340
7.6.2 數值算例 348
7.7 小結 355
參考文獻 357
第8章 根據Hu-Washizu原理Π HW建立的軸對稱有限元模式 361
8.1 根據Hu-Washizu原理Π HW建立的4結點精化雜交應力軸對稱元（refined hybrid stress axisymmetric element） 361
8.1.1 Hu-Washizu原理HW Π 361
8.1.2 精化雜交應力軸對稱元 361
8.2 根據*小勢能原理建立軸對稱四邊形非協(xié)調位移元 375
前言
第1章 小位移變形彈性理論基本方程 1
1.1 應力、應變、位移、體積力、表面力 1
1.2 應變能和余能 2
1.2.1 應變能密度 2
1.2.2 余能密度 3
1.3 小位移變形彈性理論基本方程 3
1.3.1 平衡方程（力學方程） 4
1.3.2 應變-位移方程（幾何方程） 5
1.3.3 應力-應變關系（物理方程或本構方程） 6
1.3.4 邊界條件 12
1.4 散度定理 13
1.5 小結 14
參考文獻 15
第2章 小位移變形彈性理論經典變分原理及廣義變分原理 16
2.1 小位移變形彈性理論*小勢能（位能）原理 16
2.1.1 *小勢能原理及泛函約束條件 16
2.1.2 證明 17
2.2 *小余能原理 22
2.2.1 *小余能原理及泛函約束條件 22
2.2.2 證明 23
2.3 小位移變形彈性理論廣義變分原理 26
2.4 Hellinger-Reissner 廣義變分原理 27
2.4.1 Hellinger-Reissner變分原理泛函ΠHR (σ ，u) 的建立 27
2.4.2 Hellinger-Reissner 變分原理注意事項 30
2.5 (ε，u)雙變量廣義變分原理 31
2.5.1 （ε，u）雙變量廣義變分原理泛函ΠP2 (ε，u)的建立 31
2.5.2 P2 Π (ε ，u)變分原理的注意事項 34
2.6 這兩種廣義變分原理泛函之間的關系 35
2.7 Hu-Washizu廣義變分原理 37
2.7.1 Hu-Washizu變分原理泛函HW Π的建立 37
2.7.2 對Hu-Washizu廣義變分原理的論戰(zhàn) 39
2.8 小結 43
2.8.1 小位移變形彈性理論靜力問題 43
2.8.2 彈性理論常規(guī)變分原理之間的關系 45
參考文獻 48
第3章 根據*小勢能原理建立的軸對稱位移元（Ⅰ） 50
3.1 協(xié)調的假定位移有限元 50
3.1.1 變分原理 50
3.1.2 單元列式 51
3.2 有限元收斂準則 幾何各向同性 54
3.2.1 有限元單調收斂準則 54
3.2.2 非協(xié)調元的收斂條件 55
3.2.3 幾何各向同性 63
3.3 軸對稱問題 63
3.3.1 軸對稱問題的場變量 64
3.3.2 軸對稱問題基本方程 64
3.4 3 結點三角形軸對稱位移元（一）（元LDT） 66
3.4.1 位移場 u 66
3.4.2 元內一點的應力及應變以結點位移表示 68
3.4.3 建立單元剛度陣 69
3.4.4 等效結點載荷 76
3.4.5 數值算例 76
3.4.6 三角形元應用推廣 82
3.5 3 結點三角形軸對稱位移元（二）（元LDTC） 91
3.5.1 基本列式 91
3.5.2 基本列式討論 95
3.5.3 算例 96
3.6 3 結點三角形軸對稱位移元（三） 98
3.6.1 單元建立 98
3.6.2 數值算例 101
3.7 4結點三角形軸對稱位移元 103
3.7.1 單元建立 103
3.7.2 數值算例 106
參考文獻 107
第4章 根據*小勢能原理建立的軸對稱位移元（Ⅱ） 110
4.1 多結點三角形協(xié)調軸對稱位移元的形函數 110
4.1.1 Lagrange定理 110
4.1.2 多種結點三角形軸對稱元的形函數 112
4.1.3 各種一維元 115
4.2 多結點四邊形協(xié)調軸對稱位移元的形函數 116
4.2.1 線性元 116
4.2.2 二次元 117
4.2.3 三次元 119
4.3 軸對稱等參位移元 120
4.3.1 軸對稱等參位移元 120
4.3.2 等參元的收斂性 122
4.3.3 等參元單元列式 126
4.3.4 數值算例 128
4.4 幾種軸對稱元數值比較 134
4.5 4結點非協(xié)調軸對稱位移元（一） 138
4.5.1 廣義協(xié)調元四邊形面積坐標 138
4.5.2 4結點四邊形廣義協(xié)調軸對稱元 140
4.6 4結點非協(xié)調軸對稱位移元（二） 144
4.6.1 建立單元初始位移 144
4.6.2 修正的非協(xié)調位移 146
4.6.3 數值算例 150
4.7 小結 154
參考文獻 156
第5章 根據修正的余能原理Π mc、Π(1)mc 及Hellinger-Reissner原理mR Π
建立的軸對稱有限元 158
5.1 修正的余能原理mc Π 及早期雜交應力元Ⅰ 158
5.1.1 *小余能原理 158
5.1.2 修正的余能原理 159
5.1.3 早期雜交應力元Ⅰ 161
5.2 Hellinger-Reissner原理及早期雜交應力元Ⅱ 163
5.2.1 變分泛函 163
5.2.2 有限元列式 164
5.2.3 幾點注意事項 166
5.3 早期雜交應力元小結 169
5.3.1 兩種早期雜交應力元 169
5.3.2 假定應力雜交模式小結 170
5.4 掃除附加的運動變形模式（掃除多余的零能模式） 170
5.4.1 附加運動變形模式 170
5.4.2 掃除附加運動變形模式 171
5.4.3 選擇單元應力場掃除零能模式的方法及實例 174
5.4.4 對單元穩(wěn)定所需*小應力參數（式（5.4.1））的意見 176
5.5 雜交應力軸對稱元 176
5.5.1 雜交應力軸對稱元列式 176
5.5.2 單元位于對稱軸上問題 179
5.6 一般四邊形4結點軸對稱雜交應力元 180
5.6.1 位移場u 181
5.6.2 假定應力場 182
5.6.3 數值算例 187
5.6.4 小結 196
5.6.5 鋼容器內圓柱形固體火箭推進劑受力分析 197
5.7 一般四邊形8結點軸對稱雜交應力元 205
5.7.1 位移場u 206
5.7.2 假定應力場σ 206
5.7.3 數值算例 212
5.7.4 小結 222
5.8 應用雜交應力模式進行任意載荷下軸對稱構件受力分析 223
5.8.1 有限元列式 223
5.8.2 建立雜交應力元 228
5.8.3 數值算例 230
5.8.4 小結 236
5.9 雜交-Trefftz有限元 236
5.9.1 變分泛函 237
5.9.2 有限元列式 242
5.9.3 修正的余能原理Πm(1c) (u，u)與Π的關系 244
5.10 4結點軸對稱雜交-Trefftz元 245
5.10.1 柱坐標表示的基本方程及邊界條件 245
5.10.2 4結點軸對稱雜交-Trefftz元 246
5.10.3 數值算例 248
5.11 小結 251
參考文獻 254
第6章 根據修正的Hellinger-Reissner原理ΠmR及雜交應力元理性列式所建立的軸對稱元（Ⅰ） 258
6.1 修正的Hellinger-Reissner原理（一） 258
6.1.1 Hellinger-Reissner原理的離散形式 258
6.1.2 修正的Hellinger-Reissner原理（一）ΠmR1 259
6.2 修正的Hellinger-Reissner原理（二）及修正的Hellinger-Reissner原理（三） 262
6.2.1 修正的Hellinger-Reissner原理（二） 262
6.2.2 修正的Hellinger-Reissner原理（三） 263
6.3 修正的Hellinger-Reissner原理及所建立的雜交應力元 264
6.3.1 變分原理 264
6.3.2 有限元列式 265
6.3.3 這種有限元列式的討論 266
6.4 非協(xié)調雜交應力元理性列式Ⅰ—平衡法 266
6.4.1 非協(xié)調雜交應力元理性列式Ⅰ—平衡法 267
6.4.2 用理性列式Ⅰ—平衡法建立雜交應力元的特點 269
6.5 用理性列式Ⅰ—平衡法建立4結點軸對稱元 270
6.5.1 利用理性平衡方法Ⅰ，建立一般形狀4結點軸對稱元 270
6.5.2 數值算例 274
6.6 非協(xié)調雜交應力元的理性列式—修正的平衡法Ⅰm 279
6.7 非協(xié)調雜交應力元的理性列式Ⅱ—正交法 280
6.8 非協(xié)調雜交應力元的理性列式Ⅲ—表面虛功法 282
6.8.1 變分泛函及收斂條件 282
6.8.2 理性方法Ⅲ—表面虛功法 283
6.8.3 非協(xié)調雜交應力元三種理性列式說明 286
6.9 利用三種理性方法建立4結點軸對稱元 287
6.9.1 建立單元 287
6.9.2 數值算例 289
6.10 小結 297
參考文獻 299
第7章 根據修正的Hellinger-Reissner原理ΠmR2及修正的兩變量變分原理Πp2建立的軸對稱元（Ⅱ） 302
7.1 利用另一種表面虛功法建立軸對稱元 302
7.1.1 變分泛函 302
7.1.2 單元建立 304
7.1.3 Dong及Teixeira de Freitas建立的4結點軸對稱非協(xié)調雜交應力元 305
7.1.4 4結點非協(xié)調軸對稱元LA1、HA1及FA1 308
7.2 軸對稱元中偽剪應力的幾點說明 318
7.2.1 矩形網格下偽剪切現象產生的原因及消除 318
7.2.2 歪斜網格下偽剪應力的抑制 320
7.3 雜交應力扭轉元 320
7.3.1 應力約束方程和單元剛矩陣 320
7.3.2 4結點一般形狀雜交應力扭轉元 322
7.3.3 數值算例 324
7.4 修正的(ε，u)雙變量變分原理Πmp2及根據Πmp2建立的軸對稱元 328
7.4.1 修正的(ε，u)雙變量變分原理 328
7.4.2 根據2mp2 Π 進行有限元列式 330
7.4.3 利用修正的兩變 量變分原理Π2mp2進行單元列式 331
7.4.4 建立4結點軸對稱元 331
7.5 用罰平衡法建立軸對稱元 336
7.5.1 罰函數法 336
7.5.2 罰平衡法 337
7.5.3 用罰平衡法建立4結點軸對稱元 338
7.6 具有轉動自由度的4結點軸對稱元 340
7.6.1 具有轉動自由度的4結點軸對稱元 340
7.6.2 數值算例 348
7.7 小結 355
參考文獻 357
第8章 根據Hu-Washizu原理Π HW建立的軸對稱有限元模式 361
8.1 根據Hu-Washizu原理Π HW建立的4結點精化雜交應力軸對稱元（refined hybrid stress axisymmetric element） 361
8.1.1 Hu-Washizu原理HW Π 361
8.1.2 精化雜交應力軸對稱元 361
8.2 根據*小勢能原理建立軸對稱四邊形非協(xié)調位移元 375
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軸對稱問題有限元求解體系 節(jié)選
第1章 小位移變形彈性理論基本方程 1.1 應力、應變、位移、體積力、表面力 彈性體的力學響應可用三類量：應力（力學量）、應變及位移（幾何量）來表示。這三種量通常有以下三種表示方法。工程表示： E（engineering）仿射正交張量表示： T（cartesian tensor）矩陣（或矢量）表示： M（matrix or vector）這三種表示方法是等同的。 1.應力：物體內一點的應力狀態(tài)用6個獨立的應力分量表示 （1.1.1a） （1.1.1b） （1.1.1c） 2.應變：物體內一點的應變狀態(tài)也用6個獨立的應變分量表示 （1.1.2a） （1.1.2b） （1.1.2c） 剪應變的工程表示與張量表示差1/2，即 （1.1.3） 3.位移：物體內一點的位移以3個位移分量表示 （1.1.4a） （1.1.4b） （1.1.4c） 所以，彈性理論空間問題的未知量有6個應力分量、6個應變分量及3個位移分量，共15個。實際上，應力、應變、位移都是彈性體內各點坐標的函數，即都是場量。以后，為了與彈性理論變分原理的術語一致，將稱為三類變量。同時，彈性體還有給定的單位體積的體積力及單位表面上的表面力。 4.體積力：給定的單位體積的體積力有3個分量 （1.1.5a） （1.1.5b） （1.1.5c） 表面力：邊界面單位表面上的表面力也有3個分量 （1.1.6a） （1.1.6b） 1.2 應變能和余能 1.2.1 應變能密度 考慮一桿件承受軸向拉伸（圖1.1（a），假定其拉力 P的變化很慢，以致桿在各瞬時均處于平衡狀態(tài)，這種加載過程稱為靜過程。這時拉力 P與伸長 u之間的關系如圖1.1（b）所示。橫坐標 u與曲線之間的面積Wa代表拉力 P所做的功。 在靜過程中，可以忽略其動態(tài)力，同時，不考慮隨物體的彈性變形而產生的極小電磁及熱現象等能量消耗，根據能量守恒原理，此功在數值上等于物體變形所儲存的應變能。對于一個理想彈性體，外力做的功將全部轉變?yōu)槲矬w所儲存的應變能。隨著變形的消失，它又以功的形式放出。這種應變能是由于變形而且僅由于變形而產生。 圖1.1（c）為此桿對應的應力-應變曲線，其橫坐標εx與曲線間的面積代表單位體積的應變能，又稱應變能密度，以表示。因此可知，在單向受力狀態(tài)，應變能密度為 同理，在復雜受力狀態(tài)下其應變能密度定義為 （1.2.1） 圖1.1 應變能密度與余能密度 1.2.2 余能密度 圖1.1（b）中，縱坐標 P與曲線之間的面積W稱為余能。同理，圖1.1（c）中縱坐標σx 與曲線之間的面積 B()σ為單位體積的余b能，又稱余能密度。因此 而且 對于線性彈性體，由于應力-應變?yōu)橹本關系，所以。對于非線性彈性體，其應力-應變?yōu)榍關系，因而應變能密度與余能密度并不相等。彈性體在復雜受力狀態(tài)時，其余能密度同時存在 （1.2.3） 1.3 小位移變形彈性理論基本方程 以下討論在給定體力和邊界條件下、處于平衡狀態(tài)小位移變形彈性體的基本方程。所謂小位移變形彈性理論，是假定物體內一點的位移分量 u、v、w小到可以把基本方程線性化。這些線性化的基本方程有以下幾組。 1.3.1 平衡方程（力學方程） E：在笛卡兒直角坐標系中，彈性體一點的6個應力分量必須滿足3個平衡方程 （1.3.1a） T：以上3個平衡方程可用張量形式表達 （1.3.1b） 其中，表示 ij 對即 ij 在本書后文中，凡是都表示。 的偏導數，同時，同一項中指標的符號（而不是阿拉伯數字）重復，代表該指標由1至3求和，即代表∑3。略去求和符號，這種重復的指標，稱為啞標，例如 所以式（1.3.1b）中**項的符號 j為啞標，它表示指標 j由1至3求和，即代表 式（b）中，取 i =1 ，可得 這就是工程表示中平衡方程（1.3.1a）的**式。同樣， i分別取2及3，將得到其余兩個方程。 由于啞標代表求和，所以可用任何重復的字母表示，如下式（d）與式（1.3.1b）的展開式（ b）完全相同。因此，啞標用別的重復符號置換，結果一樣。 M：平衡方程同樣可用矩陣表達。 （1.3.1c） 其中， D為微分算子陣， （1.3.2） 矩陣 D中元素的排列，與式（1.1.1a）至式（1.1.1c）陣中應力分量的排列順序一一對應。如改變式（1.1.1c）中應力分量的順序，矩陣 D中元素的排列順序也需作相應改變。 1.3.2 應變-位移方程（幾何方程） 小位移變形彈性體中，應變-位移關系的三種表示方式如下所述。 E：在笛卡兒直角坐標系中，彈性體的6個應變分量與3個位移分量的關系為 （1.3.3a） T：以上6個方程可用如下張量形式表示： （1.3.3b） 當取 i =1，而 j分別取1及2時，可得 此結果與式（1.3.3a）中的第1式及第6式2相同。1同時由式（f）可見，剪應變與相等。這就是式（1.1.2c）中諸剪應變及前面加系數2的原因。 M：應變-位移方程的矩陣表達為 （1.3.3c） 上式展開得 （1.3.3d） 可見，用矩陣表示的平衡方程（1.3.1c）和應變-位移方程（1.3.3c）中的微分算子陣互為轉置。 1.3.3 應力-應變關系（物理方程或本構方程）[1] 小位移變形彈性理論中的應力-應變關系，以線性、齊次形式給出。它們有兩類表達式。 1.**類應力-應變關系表達式 E：對于各向異性的線性彈性體，以應變表示應力時，其應力-應變關系為 方程中與對角線居對稱位置的彈性系數相等
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