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線性代數(shù)(第二版) 版權(quán)信息
- ISBN：9787030486271
- 條形碼：9787030486271 ; 978-7-03-048627-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
線性代數(shù)(第二版) 內(nèi)容簡介
本教材為普通高等教育"十一五"重量規(guī)劃教材之一。內(nèi)容包括矩陣，n維向量，線性方程組，矩陣的特征值和特征向量，二次型。本書增強(qiáng)了代數(shù)概念幾何背景和與現(xiàn)代技術(shù)相適應(yīng)的應(yīng)用背景的描述，使學(xué)生更好的理解和掌握概念，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。還給出與課本內(nèi)容同步的相應(yīng)軟件介紹和上機(jī)實(shí)習(xí)指導(dǎo)，并給出與其相配合的應(yīng)用實(shí)例和習(xí)題。同時，為了適應(yīng)考研的需要，本書按考研大綱編寫目錄，并且習(xí)題按層次分類，以適應(yīng)不同層次的需要。
線性代數(shù)(第二版) 目錄
目錄
第二版前言
**版前言
第1章矩陣1
1.1矩陣的基本概念1
1.2矩陣的基本運(yùn)算3
1.3分塊矩陣11
1.4初等變換與初等矩陣15
1.5方陣的逆矩陣20
1.6方陣的行列式25
1.7矩陣的秩46
本章小結(jié)51
習(xí)題1 52
第2章n維向量60
2.1n維向量及其運(yùn)算.60
2.2向量組的秩與線性相關(guān)性64
2.3向量組線性相關(guān)性的等價刻畫69
2.4向量組的極大線性無關(guān)組72
2.5向量空間74
2.6內(nèi)積與正交矩陣.81
本章小結(jié)85
習(xí)題2 85
第3章線性方程組93
3.1線性方程組和高斯消元法93
3.2齊次線性方程組100
3.3非齊次線性方程組104
3.4線性方程組的*佳近似解112
本章小結(jié)115
習(xí)題3 116
第4章矩陣的特征值和特征向量122
4.1相似矩陣122
4.2特征值與特征向量125
4.3矩陣可相似對角化的條件130
4.4實(shí)對稱陣的相似對角化134
本章小結(jié)139
習(xí)題4 140
第5章二次型.146
5.1二次型及其矩陣表示146
5.2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形150
5.3正定二次型153
5.4二次曲面160
本章小結(jié)164
習(xí)題5 165
部分習(xí)題參考答案或提示170
參考文獻(xiàn).182
附錄183
名詞索引185
第二版前言
**版前言
第1章矩陣1
1.1矩陣的基本概念1
1.2矩陣的基本運(yùn)算3
1.3分塊矩陣11
1.4初等變換與初等矩陣15
1.5方陣的逆矩陣20
1.6方陣的行列式25
1.7矩陣的秩46
本章小結(jié)51
習(xí)題1 52
第2章n維向量60
2.1n維向量及其運(yùn)算.60
2.2向量組的秩與線性相關(guān)性64
2.3向量組線性相關(guān)性的等價刻畫69
2.4向量組的極大線性無關(guān)組72
2.5向量空間74
2.6內(nèi)積與正交矩陣.81
本章小結(jié)85
習(xí)題2 85
第3章線性方程組93
3.1線性方程組和高斯消元法93
3.2齊次線性方程組100
3.3非齊次線性方程組104
3.4線性方程組的*佳近似解112
本章小結(jié)115
習(xí)題3 116
第4章矩陣的特征值和特征向量122
4.1相似矩陣122
4.2特征值與特征向量125
4.3矩陣可相似對角化的條件130
4.4實(shí)對稱陣的相似對角化134
本章小結(jié)139
習(xí)題4 140
第5章二次型.146
5.1二次型及其矩陣表示146
5.2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形150
5.3正定二次型153
5.4二次曲面160
本章小結(jié)164
習(xí)題5 165
部分習(xí)題參考答案或提示170
參考文獻(xiàn).182
附錄183
名詞索引185
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線性代數(shù)(第二版) 節(jié)選
第1章矩陣 線性代數(shù)主要處理與數(shù)量的線性關(guān)系相關(guān)的問題，和其他數(shù)學(xué)課程一樣，線性代數(shù)有兩類基本的數(shù)學(xué)構(gòu)件:一類是對象、數(shù)據(jù);一類是這些對象進(jìn)行的運(yùn)算.本章就是討論*簡單的由數(shù)形成的矩形數(shù)表||矩陣及其運(yùn)算.矩陣是線性代數(shù)的一個*基本的概念.矩陣的運(yùn)算是線性代數(shù)的基本內(nèi)容.在數(shù)學(xué)科學(xué)、自然科學(xué)、工程技術(shù)與生產(chǎn)實(shí)踐中，有許多問題都可以歸結(jié)為矩陣的運(yùn)算，進(jìn)而用矩陣的理論來處理. 本章首先介紹矩陣的概念，然后介紹矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置、可逆矩陣、矩陣的初等變換、分塊矩陣以及方陣的行列式和矩陣的秩. 1.1矩陣的基本概念 1.1.1矩陣的概念 在現(xiàn)實(shí)生活中，人們往往不僅需要使用單個的數(shù)，而且還要處理成批的數(shù).這就需要把數(shù)的概念推廣到矩陣. .qy定義1.1由m×n個數(shù)aij(i=1;2; ;m;j=1;2; ;n)按一定的次序排成m行n列的表 稱為一個m行n列的矩陣.橫的每排叫做矩陣的行，縱的每排叫做矩陣的列.aij叫做矩陣A的第i行，第j列的元素.i和j分別叫做aij的行指標(biāo)和列指標(biāo).矩陣A又可記作(aij)，(aij)m×n或Am×n.通常用大寫的英文字母A;B;C; 來表示矩陣. 例如變量x1;x2與y1;y2;y3的關(guān)系式中的系數(shù)就構(gòu)成一個矩陣 元素都是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.本書中的矩陣除特別說明外，都是實(shí)矩陣. 當(dāng)一個矩陣的行數(shù)與列數(shù)都是n時，稱該矩陣為n階方陣或n階矩陣.在n階矩陣A中，元素aii(i=1;2; ;n)排成的對角線稱為方陣的主對角線. 一個m行1列的矩陣 稱為一個列矩陣或列向量.我們常用希臘字母α，β，γ， 表示列向量. 類似地，一個1行n列的矩陣 A1×n=(a11 a1n); 稱為一個行矩陣或行向量.為了醒目起見，我們通常在行向量的元素之間加上逗號，即A1×n=(a11; ;a1n). 特別地，一個1×1的矩陣(a11)就是一個數(shù)，此時可以將括號去掉，直接記成a11.這就是說，數(shù)可看成矩陣的特例. 1.1.2幾種特殊矩陣 在利用矩陣解決問題時，經(jīng)常遇到下面幾種特殊矩陣. 零矩陣:若一個矩陣的所有元素均為零，則這個矩陣稱為零矩陣，記為O. 對角矩陣:若一個n階矩陣除主對角線上的元素之外，其余元素全部為零，則稱此矩陣為對角矩陣，通常用¤表示，即 這里非主對角線上的元素0可以省略不寫，或記為Λ=diag(a11;a22; ;ann). 數(shù)量矩陣:若對角矩陣¤的主對角線上的元素為同一個數(shù)a，即a11=a22= =ann=a，則稱此矩陣為數(shù)量矩陣.？ 單位矩陣:若n階數(shù)量矩陣的主對角線上的元素為1，則此矩陣稱為單位矩陣，記為E或En，即 三角矩陣:若一個方陣的主對角線下(上)面的元素全為零，則此矩陣稱為上(下)三角矩陣.上、下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣. 行階梯形矩陣:若一個矩陣A=(aij)m×n中的某一行元素全為零，則稱這一行為一個零行，否則稱之為一個非零行.非零行的**個非零元素稱為非零首元.若A的各非零行的非零首元的列指標(biāo)隨著行指標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大，并且零行(如果有的話)均在所有非零行的下方，則此矩陣稱為行階梯形矩陣.例如 行*簡形矩陣:若一個行階梯形矩陣的每個非零行的非零首元均為1，并且此非零首元所在列的其余元素均為零，則此矩陣稱為行*簡形矩陣.例如 是行*簡形矩陣. 1.2矩陣的基本運(yùn)算 我們知道，數(shù)有加、減、乘、除四則運(yùn)算.那么矩陣有相應(yīng)的運(yùn)算嗎?本節(jié)首先把數(shù)的加法、減法和乘法推廣到矩陣，得到矩陣的加法，減法，數(shù)乘和乘法，然后再介紹矩陣的轉(zhuǎn)置. 1.2.1矩陣的線性運(yùn)算 兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)都相等時，稱它們是同型矩陣.如果兩個同型矩陣A=(aij)m×n與B=(bij)m×n的對應(yīng)元素相等，即 aij=bij(i=1;2; ;m;j=1;2; ;n); 則稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B. 定義1.2設(shè)A=(aij)m×n與B=(bij)m×n為同型矩陣，則稱矩陣C=(aij+bij)m×n為矩陣A與B的和，記作C=A+B. 矩陣(.aij)m×n稱為矩陣A=(aij)m×n的負(fù)矩陣，記作-A. 根據(jù)上述定義容易證明，矩陣的加法具有下列運(yùn)算性質(zhì). 性質(zhì)1.1設(shè)A，B，C，O都是m×n矩陣，則 (1)A+B=B+A; (2)(A+B)+C=A+(B+C); (3)A+O=A; (4)A+(.A)=O. 利用負(fù)矩陣，可以定義矩陣的減法.兩個同型矩陣A與B的差A(yù)-B=A+(-B). 顯然，矩陣的加法和減法推廣了數(shù)的加法和減法.下面定義一個數(shù)與一個矩陣的數(shù)乘運(yùn)算.該運(yùn)算可以視為數(shù)的乘法的一種推廣. 定義1.3設(shè)k為一個數(shù)，A=(aij)m×n為一個矩陣，則矩陣(kaij)m×n稱為數(shù)k與矩陣A=(aij)m×n的數(shù)量乘積，簡稱為數(shù)乘，記作kA. 根據(jù)這個定義，容易驗(yàn)證數(shù)乘運(yùn)算具有下列運(yùn)算性質(zhì). 性質(zhì)1.2設(shè)A，B都是m×n矩陣，k;l為任意數(shù)，則 (1)(k+l)A=kA+lA; (2)k(A+B)=kA+kB; (3)k(lA)=(kl)A; (4)1A=A. 矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算. 例1.1設(shè)，求A+2B. 解 注1.1設(shè)A=(aij)m×n.對于任意的i=1;2; ;m;j=1;2; ;n，用Eij表示一個m×n矩陣，其第i行第j列交叉處元素為1而其余元素全為零.例如 于是有A=.這些矩陣Eij(i=1; ;m;j=1; ;n)稱為矩陣單位. 1.2.2矩陣的乘法 假設(shè)變量x1，x2與y1，y2，y3之間有如下線性關(guān)系 變量y1，y2，y3與z1，z2有如下線性關(guān)系 那么變量x1，x2與z1，z2的關(guān)系是什么呢? 將上述(1.2.2)式代入(1.2.1)式得 這三個式子對應(yīng)的矩陣分別記為 則C的第i行第j列交叉處元素為A的第i行的每一個元素與B的第j列對應(yīng)元素乘積之和，即，其中i;j=1;2，此時C稱為A與B的積.一般地，有如下定義. 定義1.4設(shè)矩陣A=(aik)m×s，B=(bkj)s×n.作矩陣C=(cij)m×n，其中 矩陣C為矩陣A與矩陣B的乘積，記作C=AB，即 數(shù)學(xué)中許多關(guān)系用矩陣乘積來表達(dá)就非常簡潔.例如，n個變量x1;x2; ;xn與m個變量y1;y2; ;ym之間的關(guān)系式 (其中aij為常數(shù))稱為從變量x1;x2; ;xn到變量y1;y2; ;ym的線性變換.利用矩陣乘法，上述線性變換可記為 y=Ax;其中 由此可見，一個從變量x1;x2; ;xn到變量y1;y2; ;ym的線性變換可以和一個m×n矩陣A相互確定. 再例如線性方程組
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