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線性代數(第二版) 版權信息
- ISBN：9787030725165
- 條形碼：9787030725165 ; 978-7-03-072516-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
線性代數(第二版) 本書特色
本科高等院校理工類、經管類等專業線性代數課程的教材，考研參考書
線性代數(第二版) 內容簡介
本書依據普通高等學校非數學專業線性代數課程教學大綱的基本要求，在作者多年的教學實踐經驗的基礎上編寫而成。全書以線性代數的重要概念——矩陣為主線展開討論，主要內容包括矩陣、行列式、線性方程組、向量組的線性相關性、方陣的特征值與特征向量、二次型等。此外，每章都有與線性代數課程內容相關的數學家簡介、相應的MATLAB實驗、難度適中并具有啟發性的例題和習題；書末附有部分習題參考答案及提示；附錄中介紹了MATLAB軟件及線性代數中簡單的數值計算。書中一些重要或較難結論的完整證明、補充內容、部分典型或較難習題的解題過程、每章測試題及其參考答案均以二維碼鏈接的形式呈現。 本書適合作為高等院校非數學專業理工類、經管類等專業線性代數課程的教材，也可供自學者和相關研究人員參考。
線性代數(第二版) 目錄
目錄
前言
**版前言
第1章 矩陣 1
1.1 矩陣的概念 2
1.1.1 幾個產生矩陣概念的實例 2
1.1.2 矩陣的定義 3
1.1.3 幾類常用的特殊矩陣 4
1.2 矩陣的運算 7
1.2.1 矩陣的加法和減法 7
1.2.2 矩陣的數乘 9
1.2.3 矩陣的乘法 10
1.2.4 矩陣的轉置 16
1.3 分塊矩陣 18
1.3.1 分塊矩陣的概念和運算 18
1.3.2 幾種特殊的分塊矩陣 21
1.3.3 線性方程組的不同表達形式 23
*1.4 MATLAB實驗 25
習題1 32
第2章 行列式 35
2.1 行列式的定義 36
2.1.1 2階行列式的定義 36
2.1.2 3階行列式的定義 37
2.1.3 n階行列式的定義 39
2.2 余子式和行列式的性質 43
2.2.1 余子式和代數余子式 43
2.2.2 行列式的性質 43
2.3 行列式的計算 53
*2.4 MATLAB實驗 58
習題2 61
第3章 矩陣(續) 65
3.1 可逆矩陣 66
3.1.1 可逆矩陣的概念 66
3.1.2 可逆矩陣的判定方法 69
3.1.3 可逆矩陣的性質 73
3.2 方陣的多項式 76
3.3 克拉默法則 78
*3.4 MATLAB實驗 83
習題3 88
第4章 線性方程組 91
4.1 矩陣的初等變換和初等矩陣 92
4.1.1 線性方程組的實例和消元解法 92
4.1.2 矩陣的初等變換 95
4.1.3 初等矩陣 97
4.2 矩陣的秩 102
4.2.1 矩陣的秩的概念 102
4.2.2 矩陣的秩的性質 104
4.3 線性方程組和矩陣方程的解 107
4.3.1 線性方程組的解 107
4.3.2 矩陣方程的解 113
*4.4 MATLAB實驗 114
習題4 119
第5章 向量組的線性相關性 123
5.1 向量和向量組 124
5.1.1 向量的實例和向量的概念 124
5.1.2 向量組和向量組的線性組合 125
5.1.3 向量和向量組的線性表示 126
5.2 向量組線性相關性的概念和判定方法 129
5.2.1 向量組線性相關性的概念 129
5.2.2 向量組線性相關性的判定方法 130
5.2.3 向量組線性相關性的性質定理 132
5.3 向量組的*大線性無關組和秩 134
5.3.1 向量組的*大線性無關組和秩的概念 134
5.3.2 向量組的秩和矩陣的秩之間的關系 135
5.4 線性方程組的解的結構 139
5.4.1 齊次線性方程組的解的結構 139
5.4.2 非齊次線性方程組的解的結構 144
5.5 向量空間 147
5.5.1 向量空間的概念 147
5.5.2 向量空間的基、維數和向量的坐標 148
5.5.3 向量空間的基變換和坐標變換 150
*5.6 MATLAB實驗 152
習題5 156
第6章 方陣的特征值與特征向量、二次型 161
6.1 向量的內積 162
6.1.1 向量內積的概念 162
6.1.2 正交向量組 163
6.1.3 向量空間的規范正交基 165
6.1.4 正交矩陣和正交變換 166
6.2 方陣的特征值和特征向量 168
6.2.1 方陣的特征值和特征向量的概念 168
6.2.2 方陣的特征值和特征向量的性質 171
6.3 相似矩陣 174
6.3.1 相似矩陣的概念 174
6.3.2 相似矩陣的性質 174
6.3.3 矩陣的對角化 175
6.4 實對稱矩陣的對角化 180
6.4.1 實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質 180
6.4.2 實對稱矩陣的對角化方法 181
6.5 二次型 184
6.5.1 二次型的基本概念 184
6.5.2 矩陣的合同 186
6.5.3 化二次型為標準形 187
6.5.4 正定二次型 193
*6.6 MATLAB實驗 195
習題6 199
部分習題參考答案及提示 202
參考文獻 214
附錄A MATLAB軟件簡介 215
附錄B 線性代數中簡單的數值計算 221
前言
**版前言
第1章 矩陣 1
1.1 矩陣的概念 2
1.1.1 幾個產生矩陣概念的實例 2
1.1.2 矩陣的定義 3
1.1.3 幾類常用的特殊矩陣 4
1.2 矩陣的運算 7
1.2.1 矩陣的加法和減法 7
1.2.2 矩陣的數乘 9
1.2.3 矩陣的乘法 10
1.2.4 矩陣的轉置 16
1.3 分塊矩陣 18
1.3.1 分塊矩陣的概念和運算 18
1.3.2 幾種特殊的分塊矩陣 21
1.3.3 線性方程組的不同表達形式 23
*1.4 MATLAB實驗 25
習題1 32
第2章 行列式 35
2.1 行列式的定義 36
2.1.1 2階行列式的定義 36
2.1.2 3階行列式的定義 37
2.1.3 n階行列式的定義 39
2.2 余子式和行列式的性質 43
2.2.1 余子式和代數余子式 43
2.2.2 行列式的性質 43
2.3 行列式的計算 53
*2.4 MATLAB實驗 58
習題2 61
第3章 矩陣(續) 65
3.1 可逆矩陣 66
3.1.1 可逆矩陣的概念 66
3.1.2 可逆矩陣的判定方法 69
3.1.3 可逆矩陣的性質 73
3.2 方陣的多項式 76
3.3 克拉默法則 78
*3.4 MATLAB實驗 83
習題3 88
第4章 線性方程組 91
4.1 矩陣的初等變換和初等矩陣 92
4.1.1 線性方程組的實例和消元解法 92
4.1.2 矩陣的初等變換 95
4.1.3 初等矩陣 97
4.2 矩陣的秩 102
4.2.1 矩陣的秩的概念 102
4.2.2 矩陣的秩的性質 104
4.3 線性方程組和矩陣方程的解 107
4.3.1 線性方程組的解 107
4.3.2 矩陣方程的解 113
*4.4 MATLAB實驗 114
習題4 119
第5章 向量組的線性相關性 123
5.1 向量和向量組 124
5.1.1 向量的實例和向量的概念 124
5.1.2 向量組和向量組的線性組合 125
5.1.3 向量和向量組的線性表示 126
5.2 向量組線性相關性的概念和判定方法 129
5.2.1 向量組線性相關性的概念 129
5.2.2 向量組線性相關性的判定方法 130
5.2.3 向量組線性相關性的性質定理 132
5.3 向量組的*大線性無關組和秩 134
5.3.1 向量組的*大線性無關組和秩的概念 134
5.3.2 向量組的秩和矩陣的秩之間的關系 135
5.4 線性方程組的解的結構 139
5.4.1 齊次線性方程組的解的結構 139
5.4.2 非齊次線性方程組的解的結構 144
5.5 向量空間 147
5.5.1 向量空間的概念 147
5.5.2 向量空間的基、維數和向量的坐標 148
5.5.3 向量空間的基變換和坐標變換 150
*5.6 MATLAB實驗 152
習題5 156
第6章 方陣的特征值與特征向量、二次型 161
6.1 向量的內積 162
6.1.1 向量內積的概念 162
6.1.2 正交向量組 163
6.1.3 向量空間的規范正交基 165
6.1.4 正交矩陣和正交變換 166
6.2 方陣的特征值和特征向量 168
6.2.1 方陣的特征值和特征向量的概念 168
6.2.2 方陣的特征值和特征向量的性質 171
6.3 相似矩陣 174
6.3.1 相似矩陣的概念 174
6.3.2 相似矩陣的性質 174
6.3.3 矩陣的對角化 175
6.4 實對稱矩陣的對角化 180
6.4.1 實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質 180
6.4.2 實對稱矩陣的對角化方法 181
6.5 二次型 184
6.5.1 二次型的基本概念 184
6.5.2 矩陣的合同 186
6.5.3 化二次型為標準形 187
6.5.4 正定二次型 193
*6.6 MATLAB實驗 195
習題6 199
部分習題參考答案及提示 202
參考文獻 214
附錄A MATLAB軟件簡介 215
附錄B 線性代數中簡單的數值計算 221
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線性代數(第二版) 節選
第1章 矩陣 數學家西爾維斯特 西爾維斯特(Sylvester，1814～1897)是英國著名數學家，生于倫敦，曾就讀于劍橋大學圣約翰學院，1841年在都柏林大學三一學院取得碩士學位，1846年進入內殿法學協會，1850年取得律師資格，1876年任美國約翰 霍普金斯大學數學教授，1883年返回英國，任牛津大學幾何學教授. 西爾維斯特的主要貢獻在代數學方面.他同凱萊一起，發展了行列式理論，共同奠定了關于代數不變量的理論基礎；在數論方面做出了突出的貢獻，特別是在整數分拆和丟番圖分析方面；創造了許多數學名詞，如不變量、不變因子和初等因子等.西爾維斯特是《美國數學雜志》的創始人，為發展美國的數學研究做出了貢獻.1901年，英國為紀念西爾維斯特設立西爾維斯特獎章，用于獎勵數學上取得成就的研究者. “矩陣”一詞是數學家西爾維斯特于1850年首先使用的. 基本概念 矩陣、特殊矩陣、分塊矩陣. 基本運算 矩陣的加法和減法、數乘、乘法、轉置. 基本要求 熟悉矩陣的基本概念和幾類常用的特殊矩陣；掌握矩陣運算和運算規律；熟悉分塊矩陣的概念及分塊矩陣的運算等. 矩陣是數學中一個重要的基本概念，也是代數學的主要研究對象之一.在自然科學、社會科學、經濟管理等領域中，矩陣是被廣泛應用的數學工具，也是貫穿本書的重要概念.本章主要介紹矩陣的概念、運算和分塊矩陣等內容. 1.1 矩陣的概念 在實際問題中，人們經常會遇到各種各樣的數字表格，它們所代表的實際意義千差萬別，但是它們在形式和性質方面卻有著某些共同點.本節從實際問題中的表格引入矩陣的概念，然后介紹幾種常見的特殊矩陣等. 1.1.1 幾個產生矩陣概念的實例 實例1.1某學校的校友為感恩母校的培養，其中第A1，A2，A3屆校友分別于B1，B2，B3，B4年向母校捐贈建設校園基金，捐贈數量用“建設校園基金表”表示，見表1.1． 表1.1 建設校園基金表(單位：萬元) 其中表示第Ai屆校友于Bj年向母校捐贈建設校園基金的數量． 實例1.2 5支球隊Ai(i=1，2，3，4，5)的循環比賽問題，他們的比賽結果用表格形式表示，見表1.2. 表1.2 5支球隊的比賽結果表 表1.2中第i行(橫排稱為行)、第j列(縱排稱為列)的數表示第i支球隊Ai贏第j支球隊Aj的分數. 實例1.1和實例1.2都用表格的形式給出所需要的信息.這些表格有一個共同特點：表格中的數字排列有序，且不能隨意交換表格中數字的位置.人們關心的是這些數字以及它們之間的順序關系，或者更深層的含義.從這些表格中抽象出排列有序的簡化矩形數表，以便用數學方法進行深入研究，從而產生了矩陣的概念. 1.1.2 矩陣的定義 定義1.1由m×n個數aij(i=1，2， ，m；j=1，2， ，n)按一定的次序排成m行n列的數表稱為m行n列矩陣，簡稱m×n矩陣，記作，或. 矩陣中的m×n個數稱為矩陣的元素，第i行與第j列交叉處的元素aij稱為矩陣的(i，j)元.i稱為元素aij的行標，j稱為元素aij的列標. 通常用大寫英文字母等表示矩陣.以aij為(i，j)(i=1，2， ，m；j=1，2， ，n)元的矩陣記作A或(aij).當需要說明矩陣的行數m和列數n時，可以用符號或表示. 元素全是實數的矩陣稱為實矩陣，否則稱為復矩陣.除特別說明外，本書介紹的矩陣都是實矩陣.實際上，在沒有特別說明的情況下，本書所涉及的內容都是實數問題. 例如，表1.1用矩陣表示為，其中表示第Ai屆校友于Bj年向母校捐贈建設校園基金的數量. 例如，四個城市間的空運航線如圖1.1所示，用單箭頭表示有一條單向航線，否則表示沒有單向航線.圖1.1的信息也可以用矩陣表示. 圖1.1 四個城市間的單向航線信息 設aij表示第i個城市到第j個城市的直達單向航線信息，即有一條單向航線用1表示，沒有單向航線用0表示，則圖1.1用矩陣表示為. 第i個城市到第j個城市只經過1次中轉(即坐兩次飛機)方能到達的信息也可以用矩陣表示為，其中bij表示第i個城市到第j個城市只經過1次中轉(即坐兩次飛機)方能到達的信息，即有一條單向航線用1表示，沒有單向航線用0表示，有兩條單向航線用2表示. 例如，設矩陣，其中，則. 如果兩個矩陣的行數和列數都分別相等，稱它們是同型矩陣. 定義1.2如果矩陣與是同型矩陣，并且對應位置上的元素相等，即aij=bij，稱矩陣A與B相等，記作 例如，設矩陣， 則a=2，b=0，c=1. 1.1.3 幾類常用的特殊矩陣 只有1行的矩陣稱為行矩陣或n維行向量.為避免行矩陣的元素之間混淆，行矩陣可以寫為. 只有1列的矩陣稱為列矩陣或m維列向量. 行數m和列數n相等的矩陣稱為n階方陣或n階矩陣. 規定1階方陣.顯然，中學階段所研究的數字是矩陣的特殊情況. 在n階方陣中，從左上角至右下角的元素構成的對角線稱為該方陣的主對角線.從右上角至左下角的元素構成的對角線稱為該方陣的副對角線. 主對角線以下或以上的元素全為零的n階方陣， 分別稱為n階上三角矩陣或n階下三角矩陣. 上述矩陣可以簡寫為， 例如，矩陣， 分別是4階上三角矩陣和4階下三角矩陣. 主對角線以外的元素全為零的n階方陣稱為n階對角矩陣. 上述對角矩陣可以簡寫為，或. 主對角線上的元素都是1的n階對角矩陣稱為n階單位矩陣，記作E或I. 上述n階單位矩陣可以簡寫為. 每個元素都是零的矩陣稱為零矩陣.本書中用大寫英文字母O表示零矩陣. 根據定義1.2，不同型的單位矩陣不相等；不同型的零矩陣也不相等. 在矩陣的運算中，單位矩陣和零矩陣具有特殊的作用. 矩陣中元素全為零的行，稱為矩陣的零行；元素不全為零的行，稱為矩陣的非零行.矩陣的非零行的**個非零元素(從左至右**個不為零的元素)稱為主元素. 如果矩陣的零行(若存在零行的話)都位于非零行下方，每一個非零行的主元素(即非零行的**個非零元素)所在列以下的元素皆為零，并且每個主元素所在列位于前一行(若存在前一行的話)的主元素所在列的右側，這樣的矩陣稱為行階梯形矩陣. 例如，矩陣，都是行階梯形矩陣. 如果行階梯形矩陣的每一個非零行的主元素都是1，并且1所在列的其余元
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