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應用拓撲學 版權信息
- ISBN：9787030724373
- 條形碼：9787030724373 ; 978-7-03-072437-3
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
應用拓撲學 內容簡介
本書系統介紹一般拓撲和代數拓撲的基本知識及其在數學其它分支和數學以外的眾多學科中的應用。全書分為兩部分，前八章作為**部分，介紹拓撲學的基本理論和方法;后四章（或更多）作為第二部分，論述拓撲學在諸多領域的應用及相關研究成果，這些領域主要包括數學學科內的代數學、邏輯學、分析學；數學學科以外的理論計算機、信息科學、物理學等。
應用拓撲學 目錄
目錄
序
前言
第1章 集合論基礎 1
1.1 集合及其基本運算 1
1.2 關系、映射與偏序 3
1.2.1 關系與映射 3
1.2.2 等價關系 5
1.2.3 預序、偏序及全序 6
1.2.4 集族及其運算 9
1.3 基數與序數 11
1.4 選擇公理與Zorn引理 14
第2章 拓撲空間及拓撲性質 16
2.1 拓撲與拓撲空間 16
2.2 開集、閉集、閉包及內部 20
2.3 基與子基 24
2.4 連續映射與同胚 27
2.5 拓撲空間構造方法 30
2.5.1 子空間 30
2.5.2 和空間 32
2.5.3 積空間 33
2.5.4 商拓撲與商空間 35
2.6 可分性與可分空間 38
2.7 可數性與可數性空間 39
2.8 連通性與連通空間 43
2.9 分離性與Ti空間 49
2.10 緊致性與緊致空間 55
2.11 仿緊性與仿緊空間 60
第3章 收斂理論與拓撲概念刻畫 63
3.1 網的收斂理論 63
3.1.1 網及其收斂 63
3.1.2 收斂類和拓撲 68
3.2 集合濾子及其收斂 70
3.3 緊致性的收斂式刻畫 74
3.4 列緊性與度量空間的完備性 79
第4章 范疇論基礎與無點化拓撲 85
4.1 范疇與函子 85
4.2 自然變換與泛態射 89
4.3 伴隨函子與反射子范疇 93
4.4 骨架范疇與范疇等價 97
4.5 Galois聯絡 100
4.6 分配格、Boole代數與Heyting代數 102
4.6.1 半格、格和分配格 102
4.6.2 Boole格與完備Boole代數 105
4.6.3 Heyting代數與偽補 106
4.7 Locale與空間式Locale 108
4.8 子Locale與幾類特殊Locale 115
4.8.1 子Locale 115
4.8.2 凝聚Locale 117
4.8.3 正則Locale 119
4.8.4 緊Locale 120
4.8.5 連通Locale 121
4.9 Stone空間與Boole格表示定理 122
第5章 拓撲空間的特殊化序與連續domain 125
5.1 拓撲空間的特殊化序 125
5.2 偏序集基礎 127
5.3 雙小于關系與連續偏序集 132
5.4 基和嵌入基 134
5.5 映射像的連續性 139
5.6 S-超連續偏序集 142
5.7 連續格與完全分配格 146
第6章 內蘊拓撲與多種連續性的拓撲刻畫 154
6.1 偏序集上的內蘊拓撲 154
6.2 連續偏序集的內蘊拓撲刻畫 162
6.3 強連續偏序集 169
6.3.1 強逼近關系與強連續性 170
6.3.2 下可遺傳Scott拓撲 171
6.3.3 局部Scott拓撲 172
6.3.4 偏序集上幾種連續性的關系 173
6.4 連續格與入射T0空間 176
6.5 交連續偏序集 179
6.6 擬連續偏序集 183
6.7 偏序集中的下收斂與Lawson拓撲 191
6.8 超連續偏序集 197
6.9 C-連續偏序集 201
6.9.1 C-逼近關系與 C-連續性 201
6.9.2 擬C-連續偏序集 205
6.9.3 Scott閉集格的C-代數性 208
6.9.4 交C-連續偏序集 209
6.10 具有同構Scott閉集格的dcpo 214
6.10.1 Cσ-決定dcpo 217
6.10.2 Γ-忠實dcpo類 221
第7章 L-domain與FS-domain 226
7.1 L-domain和sL-domain的函數空間刻畫 226
7.2 有限分離映射與FS-domain 232
7.3 QFS-domain 236
7.4 性質M.和Lawson緊性 246
第8章 形式拓撲與Domain冪構造 254
8.1 形式拓撲與形式球 254
8.1.1 形式拓撲 254
8.1.2 度量空間的形式球 263
8.2 Domain的冪構造 264
8.2.1 Hoare冪 265
8.2.2 Smyth冪 266
8.3 QFS-domain的冪 268
第9章 數字拓撲 272
9.1 數字軸與數字平面 273
9.2 數字拓撲的序結構 276
9.3 數字平面的特殊子集 280
9.4 數字圖像處理 283
第10章 形式背景的概念格與拓撲 287
10.1 形式背景的概念格 287
10.2 形式背景與拓撲空間 292
10.2.1 形式背景誘導拓撲空間 292
10.2.2 拓撲空間誘導形式背景 294
10.3 形式背景的分離性與AE-緊致性 296
10.3.1 形式背景的分離性 296
10.3.2 形式背景的AE-緊致性 301
10.4 形式背景的AE-仿緊性 304
第11章 廣義近似空間與抽象知識庫的拓撲 311
11.1 近似算子與誘導拓撲 311
11.2 廣義近似空間的分離性 316
11.3 廣義近似空間的緊致性和連通性 323
11.4 廣義近似空間中各種集族的序結構 326
11.5 粗糙連續映射與拓撲連續映射 335
11.5.1 粗糙連續映射 336
11.5.2 拓撲連續映射 337
11.5.3 粗糙同胚性質和拓撲同胚性質 338
11.5.4 廣義近似空間范疇 340
11.6 知識庫及其相對約簡與拓撲約簡 343
11.7 抽象知識庫及其多種約簡 352
第12章 拓撲分解與宇宙拓撲模型假說 360
12.1 拓撲的雙射轉移 360
12.2 緊T2分解拓撲 362
12.3 n維球面粘點空間 365
12.4 宇宙學基本學說 366
12.4.1 愛因斯坦宇宙學說 367
12.4.2 相對空間與相對時間 368
12.4.3 宇宙的幾何與物理性狀 369
12.4.4 宇宙的大爆炸學說 371
12.4.5 物質–反物質宇宙學說 371
12.4.6 宇宙的中心與邊界 372
12.4.7 時間穿梭的可能性——蟲洞 373
12.5 宇宙拓撲模型假說 373
參考文獻 376
符號說明 388
名詞索引 392
序
前言
第1章 集合論基礎 1
1.1 集合及其基本運算 1
1.2 關系、映射與偏序 3
1.2.1 關系與映射 3
1.2.2 等價關系 5
1.2.3 預序、偏序及全序 6
1.2.4 集族及其運算 9
1.3 基數與序數 11
1.4 選擇公理與Zorn引理 14
第2章 拓撲空間及拓撲性質 16
2.1 拓撲與拓撲空間 16
2.2 開集、閉集、閉包及內部 20
2.3 基與子基 24
2.4 連續映射與同胚 27
2.5 拓撲空間構造方法 30
2.5.1 子空間 30
2.5.2 和空間 32
2.5.3 積空間 33
2.5.4 商拓撲與商空間 35
2.6 可分性與可分空間 38
2.7 可數性與可數性空間 39
2.8 連通性與連通空間 43
2.9 分離性與Ti空間 49
2.10 緊致性與緊致空間 55
2.11 仿緊性與仿緊空間 60
第3章 收斂理論與拓撲概念刻畫 63
3.1 網的收斂理論 63
3.1.1 網及其收斂 63
3.1.2 收斂類和拓撲 68
3.2 集合濾子及其收斂 70
3.3 緊致性的收斂式刻畫 74
3.4 列緊性與度量空間的完備性 79
第4章 范疇論基礎與無點化拓撲 85
4.1 范疇與函子 85
4.2 自然變換與泛態射 89
4.3 伴隨函子與反射子范疇 93
4.4 骨架范疇與范疇等價 97
4.5 Galois聯絡 100
4.6 分配格、Boole代數與Heyting代數 102
4.6.1 半格、格和分配格 102
4.6.2 Boole格與完備Boole代數 105
4.6.3 Heyting代數與偽補 106
4.7 Locale與空間式Locale 108
4.8 子Locale與幾類特殊Locale 115
4.8.1 子Locale 115
4.8.2 凝聚Locale 117
4.8.3 正則Locale 119
4.8.4 緊Locale 120
4.8.5 連通Locale 121
4.9 Stone空間與Boole格表示定理 122
第5章 拓撲空間的特殊化序與連續domain 125
5.1 拓撲空間的特殊化序 125
5.2 偏序集基礎 127
5.3 雙小于關系與連續偏序集 132
5.4 基和嵌入基 134
5.5 映射像的連續性 139
5.6 S-超連續偏序集 142
5.7 連續格與完全分配格 146
第6章 內蘊拓撲與多種連續性的拓撲刻畫 154
6.1 偏序集上的內蘊拓撲 154
6.2 連續偏序集的內蘊拓撲刻畫 162
6.3 強連續偏序集 169
6.3.1 強逼近關系與強連續性 170
6.3.2 下可遺傳Scott拓撲 171
6.3.3 局部Scott拓撲 172
6.3.4 偏序集上幾種連續性的關系 173
6.4 連續格與入射T0空間 176
6.5 交連續偏序集 179
6.6 擬連續偏序集 183
6.7 偏序集中的下收斂與Lawson拓撲 191
6.8 超連續偏序集 197
6.9 C-連續偏序集 201
6.9.1 C-逼近關系與 C-連續性 201
6.9.2 擬C-連續偏序集 205
6.9.3 Scott閉集格的C-代數性 208
6.9.4 交C-連續偏序集 209
6.10 具有同構Scott閉集格的dcpo 214
6.10.1 Cσ-決定dcpo 217
6.10.2 Γ-忠實dcpo類 221
第7章 L-domain與FS-domain 226
7.1 L-domain和sL-domain的函數空間刻畫 226
7.2 有限分離映射與FS-domain 232
7.3 QFS-domain 236
7.4 性質M.和Lawson緊性 246
第8章 形式拓撲與Domain冪構造 254
8.1 形式拓撲與形式球 254
8.1.1 形式拓撲 254
8.1.2 度量空間的形式球 263
8.2 Domain的冪構造 264
8.2.1 Hoare冪 265
8.2.2 Smyth冪 266
8.3 QFS-domain的冪 268
第9章 數字拓撲 272
9.1 數字軸與數字平面 273
9.2 數字拓撲的序結構 276
9.3 數字平面的特殊子集 280
9.4 數字圖像處理 283
第10章 形式背景的概念格與拓撲 287
10.1 形式背景的概念格 287
10.2 形式背景與拓撲空間 292
10.2.1 形式背景誘導拓撲空間 292
10.2.2 拓撲空間誘導形式背景 294
10.3 形式背景的分離性與AE-緊致性 296
10.3.1 形式背景的分離性 296
10.3.2 形式背景的AE-緊致性 301
10.4 形式背景的AE-仿緊性 304
第11章 廣義近似空間與抽象知識庫的拓撲 311
11.1 近似算子與誘導拓撲 311
11.2 廣義近似空間的分離性 316
11.3 廣義近似空間的緊致性和連通性 323
11.4 廣義近似空間中各種集族的序結構 326
11.5 粗糙連續映射與拓撲連續映射 335
11.5.1 粗糙連續映射 336
11.5.2 拓撲連續映射 337
11.5.3 粗糙同胚性質和拓撲同胚性質 338
11.5.4 廣義近似空間范疇 340
11.6 知識庫及其相對約簡與拓撲約簡 343
11.7 抽象知識庫及其多種約簡 352
第12章 拓撲分解與宇宙拓撲模型假說 360
12.1 拓撲的雙射轉移 360
12.2 緊T2分解拓撲 362
12.3 n維球面粘點空間 365
12.4 宇宙學基本學說 366
12.4.1 愛因斯坦宇宙學說 367
12.4.2 相對空間與相對時間 368
12.4.3 宇宙的幾何與物理性狀 369
12.4.4 宇宙的大爆炸學說 371
12.4.5 物質–反物質宇宙學說 371
12.4.6 宇宙的中心與邊界 372
12.4.7 時間穿梭的可能性——蟲洞 373
12.5 宇宙拓撲模型假說 373
參考文獻 376
符號說明 388
名詞索引 392
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應用拓撲學 節選
第1章集合論基礎 第1－3章介紹“樸素集合論”和一般拓撲基礎知識，一些用到而未說明的概念和符號讀者可參見本書的前篇《應用拓撲學基礎》本章從“集合”和“元素”兩個基本概念出發介紹集合運算、關系與偏序、映射、集合的序數和選擇公理等. 1.1集合及其基本運算 集合是由某些具有某種共同特點的個體構成的全體.這些個體稱為集合的元素或元.我們通常用大寫字母冬B， 表示集合，小寫字母a，b， 表示集合的元素.如果a是A的元素，記作aGA，讀作a屬于A如果a不是A的元素，則記作a車A、讀作a不屬于A 我們常用寫出集合全體元素都滿足的共同性質的方法來表示集合.例如A=｛x|x是小于4的正整數｝.在這里，花括號表示 .的集合”，豎線表示“使得”這個詞，整個式子讀作“A是所有使得x為小于4的正整數x的集合”又例如｛x;x2=4，且x是正整數｝.是由一個元素2構成的集合.凡由一個元素構成的集合，常稱為獨點集或單點集.此外，也常將一個有限集合的所有元素列舉出來，再加花括號以表示這個集合.例如{d，6，c}表示由元素｛a，b，c｝構成的集合.習慣上，用N表示全體自然數構成的集合，含0;用Z表示全體整數構成的集合，Q+表示全體有理數構成的集合，M表示全體實數構成的集合，Z+表示全體正整數構成的集合，Q+表示全體正有理數構成的集合. 一個集合也可以沒有元素.例如平方等于2的有理數的集合.這種沒有元素的集合稱為空集，記作. 如果集合4與S的元素完全相同，就稱4與S相等，記作A=B，否則就稱A與B不相等，記作. 如果A的每一個元素都是B的元素，就稱A是B的子集，記作或，分別讀作A包含于B或B包含A. 定理1.1.1設A，B，C是集合，則 (1) (2) (3) 我們認為空集包含于任一集合，從而可以得到結論：空集是唯一的. 如果且，即A的每一個元素都是B的元素，但B中至少有一個元素不是A的元素，就稱A是S的真子集，記作，或，分別讀作A真包含于A或B真包含A 屬于一個集合的元素可以是各式各樣的.特別地，屬于某集合的元素，其本身也可以是一個集合.為了強調這個特點，這類集合常稱為集族，并用花寫字母A，B， 表示.例如，則它的元素分別是獨點集{1}和空集. 設X是一個集合，我們常用，或2X表示X的所有子集構成的集合，稱為集合X的幕集.例如，集合{a，b}的幕集V({a，b})={{a}，{b}，{a，b}，0}. 給定兩個集合A，B，A中所有元素及B中所有元素可以組成一個集合，稱為集合A與B的并，記作，即或.在此采用“或”字并沒有兩者不可兼的意思，也就是說既屬于A又屬于B的元素也屬于.如果取A與S的公共部分，這個集合稱為集合A與B的交，記作，即義：且；若集合A與丑沒有公共元素，即，則稱A與B不相交，或相交為空集. 在討論具體問題時，所涉及的各個集合往往都是某特定的集合U的子集.我們稱這樣的特定的集合U為宇宙集或基礎集.在基礎集U明確的情況下，設集A，BCU，則集合稱為4的余集，或補集，記作集合A關于集合B的差集是，或者記作，這樣的集又稱為B與A之差. 集合的并、交、差三種運算之間，有以下的運算律. 定理1.1.2設A，B，C是集合，則以下等式成立： (1)(冪等律） (2)(交換律） (3)(結合律） (4)(分配律） (5)(DeMorgan律） 在解析幾何中，于平面上建立笛卡兒直角坐標系后，平面上的每一點對應著唯一的有序實數對.可以把有序實數對概念推廣到一般集合上.給定集合A，B，集合;稱為A與B的笛卡兒積，或稱乘積，記作.在有序對(x，y)中，x稱為**個坐標，y稱為第二個坐標;A稱為A×B的**個坐標集，S稱為A×B的第二個坐標集.集合A與自身的笛卡兒積A×A常記作A2. 例1.1.3平面點集股是所有有序實數對（x，y)構成的集合. 兩個集合的笛卡兒積定義可以推廣到任意有限個集合的情形.對于任意n個集合本，的第i個坐標集.常記n個集合A的笛卡兒積為An，例如Rn個實數集R的笛卡兒積. 習題1.1 1.設4是集合.試判斷以下關系式的正誤： 2.列出的全體元素. 3.設隼A1，B1，B2， ，Bn是集合，n為正整數.證明： (1) (2) 4.設A，B是集合.定義，稱為A與B的對稱差.證明集合的對稱差運算滿足交換群公理，即： (1) (2) (3)對于任意集合A (4) 5.集合A×B為有限集是否蘊涵著A與B都是有限集？ 6.設X，Y是集合且4， 1.2關系、映射與偏序 1.2.1關系與映射 定義1.2.1若R是集合X與Y的笛卡兒積X×Y的一個子集，即，則稱R是從X到Y的一個關系.如果，則稱x與y是R-相關的，并記作xRy.若，則稱集合存在，使得為集合A對于關系R而言的像集，并記作R(A). 定義1.2.2從集合X到X的關系稱為集合X上的關系.關系稱為恒同關系或者對角線關系，常簡寫為 定義1.2.3(1)設R是從集合X到Y的一個關系.則集合是從到X的一個關系，稱為關系R的逆，記作R-1.若，則X的子集是集合B的R-1像集，也稱為集合B對于關系R而言的原像集. (2)若R是集合U上的關系，則也是U上的關系，稱為的補關系. 定義1.2.4設R是從X到Y的關系，S是從Y到Z的關系.則集合Y存在Y使且Y是從X到Z的一個關系，稱為關系R與S的復合，記作SoR. 設R是X上的關系.則記R2=RoR，一般地，記 容易驗證關系的逆與復合運算之間有以下的運算律，證明從略. 定理1.2.5設R是從集合X到Y的一個關系，S是從集合Y到Z的一個關系，T是從集合Z到W的一個關系.則 (1) (2) (3) 數學分析中的函數、群論中的同態、線性代數中的線性變換等概念都有賴于下面所討論的映射概念. 定義1.2.6設R是從集合X到Y的一個關系.如果對每一，存在唯一吏，則稱R為從集合X到Y的映射，并記作.此時X稱為映射R的定義域，Y稱為映射R的陪域.對每一使得的那個唯一稱為的像或值，記作.稱為映射的值域.對于每一個如果存在使，則稱x是y的一個原像，y的全體原像集記作. 注意可以沒有原像，也可以有不止一個原像. 今后，常用小寫字母表示映射.下一個定理說明求映射的原像集運算保持集合的并、交、差. 例1.2.7設X是集合，定義:則易證iA是映射.稱映射為從A到X的包含映射，簡稱包含映射.包含映射有時簡記為iA到X.集合X到X的包含映射特別稱為恒同映射或恒等映射，記作idx或Idx:XX. 定理1.2.8設是從集合X到Y的映射.若，則 (1) (2) (3) (4) 定理1.2.8說明，求映射的像集運算保并，而求原像集運算保并、交、差. 下一定理在證明涉及映射像集的包含式時很有用，我們把它叫做映射像引理. 定理1.2.9(映射像引理）設是映射， 證明 定理1.2.10 證明注意到映射是特殊的關系，由定義1.2.4和定義1.2.6直接可得. 定義1.2.11設是映射.若Ｙ中每個元關于映射ｆ都有原像，即f(X)=Y，則稱f是滿射；若X中不同的元關于映射f的像是Ｙ中不同的元，即對任意，當時，有，則稱ｆ是單射；若f既是單射也是滿射，則稱ｆ是--映射或--對應，或雙射. 下一定理的證明從略.根據該定理，一一映射也稱為可逆映射. 定理1.2.12 定義1.2.13 定義1.2.14 1.2.2等價關系 定義1.2.15 ⑴（自反性）若由可得xRx，即，則稱R是自反關系; (2)(對稱性）若由xRy可得yRx，則稱R是對稱關系； (3)(反對稱性）若由xRy和yRx可得;x=y，則稱R是反對稱關系； (4)(傳遞性）若由xRy和yRz可得xRz，則稱R是傳遞關系； (5)若R同時滿足自反性、對稱性和傳遞性，則稱R是等價關系. 例1.2.16恒同關系(X)是集X上的一個等價關系，X×X也是X上的一個等價關系. 定義1.2.17設R為集合X上的等價關系，若xRy，則稱x，y是R-等價的.集合X的子集稱為的R-等價類，記作或簡單地記作問.任何一個都稱為R-等價類的代表元.集族稱為集合X關于等價關系R的商集，記作映射定義為對任意，稱q為自然投射或粘合映射. 直觀上，可以把商集看成是把集合X關于等價關系R的每個等價類粘合成一點而得到的集合，因此映射也稱為粘合映射. 1.2.3預序、偏序及全序 定義1.2.18(1)集合L上的一個關系如果是自反的和傳遞的，則稱該關系是L上的一個預序，記作(L，簡記為<，并稱（L，<)是預序集，或簡稱L是預序集.習慣上，用x (2)設是集合L上的一個預序.若是反對稱的，則稱是L上的一個偏序，稱是偏序集.在不引起混淆的情況下，可簡記為L. (3)設是偏序集.若，有或，則稱一個全序，稱是一個全序集或線性序集，或鏈. (4)集合L上的偏序關系的逆關系仍然是L上的'一個偏序關系，稱為的對偶偏序，記作相應地，賦予對偶偏序的集合L可記作，或簡記為Lop. 例1.2.19冪集P(X)上子集的包含關系是偏序關系，實數集R上通常的小于等于關系是一個全序關系.在任一集X上定義關系便當且僅當x=y.則是X上的一個偏序，稱為X上的離散序. 定義1.2.20設是一個預序集，D良L的非空子集. (1)若，存在，使得，則稱D良L的定向集或上定向集. (2)若，存在，使得，則稱D先L的濾向集或下定向集. (3)設D是L的定向集，存在，則稱E是D的共尾子集. 顯然，全序集都是定向集，定向集的共尾子集仍為定向集，正偶數集是正整數
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