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微分方程數值解 版權信息
- ISBN：9787030471178
- 條形碼：9787030471178 ; 978-7-03-047117-8
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
微分方程數值解 內容簡介
本書分為三大篇：**篇為常微分方程數值解，包含了2章內容，分別介紹了常微分方程初值問題的理論基礎和數值方法；第二篇為偏微分方程數值解，包含了6章內容，分別介紹了常用的有限差分、譜方法和有限元方法；第三篇為分數階微分方程數值解，包含了3章內容，介紹了分數階微積分的相關理論和算法、分數階的常微分方程和分數階的偏微分方程數值解法。本書的內容比較全面，基本涵蓋了"微分方程數值解"常用的各種方法，將數學理論、數值方法與應用有機地結合起來，并以生動詳細的實例為載體，較為詳細的介紹了不同方法如何運用于不同的方程。本書可以作為普通高等院校研究生、本科生的"微分方程數值解"課程的教材，根據不同層次所需的教學學時數選擇相應的教學內容；同時也可以作為科研工作者應用數學方法來解決實際問題的參考書。
微分方程數值解 目錄
目錄
前言
第1篇常微分方程數值解
引言3
第1章常微分方程初值問題的理論基礎4
第2章常微分方程初值問題的數值方法5
2.1Euler方法5
2.1.1顯式Euler法5
2.1.2隱式Euler方法6
2.2梯形方法9
2.3Runge—Kutta方法11
2.3.1Runge—Kutta方法11
2.3.2Runge—Kutta方法的構造12
2.4單步法的收斂性與相容性17
2.4.1單步法的收斂性17
2.4.2單步法的相容性18
2.5一般線性多步法19
2.5.1顯式Adams方法(外插法)19
2.5.2隱式Adams方法(內插法)20
2.6一般線性多步法的收斂性和穩定性22
2.6.1線性差分方程的基本性質22
2.6.2一般線性多步法的收斂性和穩定性24
第2篇偏微分方程數值解
第3章基本理論及概念31
3.1偏微分方程定解問題31
3.2差分方程31
3.2.1定解區域的離散化31
3.2.2差分格式32
3.2.3顯式格式與隱式格式34
3.3截斷誤差和收斂性35
3.3.1截斷誤差的概念35
3.2.2推導截斷誤差的方法36
3.3.3差分格式的收斂性37
3.3.4差分格式的穩定性38
3.4差分格式的構造方法38
3.4.1數值微分法38
3.4.2積分插值法39
3.4.3待定系數法40
第4章橢圓型方程的有限差分方法43
4.1Dirichlet邊值問題43
4.2五點差分格式44
4.2.1差分格式的建立44
4.2.2差分格式解的存在性47
4.2.3差分格式的求解47
4.2.4差分格式解的先驗估計48
4.2.5差分格式解的收斂性和穩定性50
4.2.6數值計算與Matlab模擬51
4.3緊差分格式55
4.3.1差分格式的建立55
4.3.2差分格式的求解57
4.3.3差分格式解的收斂性和穩定性58
第5章拋物型方程的差分方法60
5.1一維線性拋物方程60
5.2向前差分格式60
5.2.1差分格式的建立61
5.2.2差分格式解的存在性62
5.2.3差分格式的求解63
5.2.4差分格式解的先驗估計63
5.2.5差分格式解的收斂性和穩定性63
5.3向后差分格式65
5.3.1差分格式的建立65
5.3.2差分格式解的存在性66
5.3.3差分格式解的先驗估計66
5.3.4差分格式解的收斂性和穩定性67
5.4Richardson格式67
5.4.1差分格式的建立67
5.4.2差分格式的求解68
5.4.3差分格式的不穩定性69
5.5Grank—Nicolson格式69
5.5.1差分格式的建立70
5.5.2差分格式解的存在性71
5.5.3差分格式解的先驗估計72
5.5.4差分格式解的收斂性和穩定性72
5.6數值模擬73
第6章雙曲型方程的有限差分方法75
6.1 波動方程75
6.2顯式差分格式79
6.2.1差分格式的建立79
6.2.2差分格式解的收斂性和穩定性81
6.3隱式差分格式82
6.3.1差分格式的建立82
6.3.2差分格式解的收斂性和穩定性86
6.4數值模擬87
6.5一階雙曲方程89
6.5.1迎風格式89
6.5.2積分守恒的差分格式91
6.5.3其他差分格式92
6.5.4數值模擬93
第7章譜方法96
7.1Fourier譜方法96
7.1.1指數正交多項式96
7.1.2一階波動方程的Fourier譜方法97
7.2Chebyshev譜方法98
7.2.1Chebyshev多項式98
7.2.2Gauss型積分的節點和權函數99
7.2.3數值分析100
7.2.4數值模擬101
7.2.5熱傳導方程的應用103
第8章有限元方法107
8.1邊值問題的變分形式107
8.1.1Sobolev空間Hm(I)107
8.1.2a(u，v)基本性質110
8.2有限元法112
8.2.1Ritz—Galerkin法112
8.2.2有限元法構造114
8.3線性有限元法的誤差估計117
8.3.1H1估計117
8.3.2L2估計118
8.4二次元119
8.4.1單元插值函數120
8.4.2有限元方程的形成122
8.5橢圓型方程邊值問題的有限元法123
8.5.1變分原理123
8.5.2Ritz—Galerkin方法124
8.5.3有限元方法125
8.6拋物型方程初邊值問題的有限元法128
第3篇分數階偏微分方程數值解
引言135
第9章分數階微積分的相關概念及算法136
9.1分數階微積分定義及其相互關系136
9.2Riemann—Liouville分數階微積分的G算法138
9.3Riemann—Liouville分數階導數的D算法140
9.4Riemann—Liouville分數階積分的R算法141
9.5分數階導數的L算法143
9.6分數階差商逼近的一般通式144
9.7經典整數階數值微分、積分公式的推廣146
9.7.1經典向后差商及中心差商格式的推廣146
9.7.2插值型數值積分公式的推廣148
9.7.3經典線性多步法的推廣(Lubich分數階線性多步法)148
第10章分數階常微分方程數值解方法152
10.1直接法153
10.2間接法157
10.2.1R算法157
10.2.2分數階預估—校正方法157
10.3差分格式157
10.4誤差分析159
第11章分數階偏微分方程數值解解法161
11.1空間分數階對流—擴散方程161
11.2時間分數階偏微分方程164
11.2.1差分格式165
11.2.2穩定性分析(Fourier—Von Neumann方法)165
11.2.3誤差分析166
11.3時間—空間分數階偏微分方程168
11.3.1差分格式168
11.3.2穩定性及收斂性分析170
參考文獻173
前言
第1篇常微分方程數值解
引言3
第1章常微分方程初值問題的理論基礎4
第2章常微分方程初值問題的數值方法5
2.1Euler方法5
2.1.1顯式Euler法5
2.1.2隱式Euler方法6
2.2梯形方法9
2.3Runge—Kutta方法11
2.3.1Runge—Kutta方法11
2.3.2Runge—Kutta方法的構造12
2.4單步法的收斂性與相容性17
2.4.1單步法的收斂性17
2.4.2單步法的相容性18
2.5一般線性多步法19
2.5.1顯式Adams方法(外插法)19
2.5.2隱式Adams方法(內插法)20
2.6一般線性多步法的收斂性和穩定性22
2.6.1線性差分方程的基本性質22
2.6.2一般線性多步法的收斂性和穩定性24
第2篇偏微分方程數值解
第3章基本理論及概念31
3.1偏微分方程定解問題31
3.2差分方程31
3.2.1定解區域的離散化31
3.2.2差分格式32
3.2.3顯式格式與隱式格式34
3.3截斷誤差和收斂性35
3.3.1截斷誤差的概念35
3.2.2推導截斷誤差的方法36
3.3.3差分格式的收斂性37
3.3.4差分格式的穩定性38
3.4差分格式的構造方法38
3.4.1數值微分法38
3.4.2積分插值法39
3.4.3待定系數法40
第4章橢圓型方程的有限差分方法43
4.1Dirichlet邊值問題43
4.2五點差分格式44
4.2.1差分格式的建立44
4.2.2差分格式解的存在性47
4.2.3差分格式的求解47
4.2.4差分格式解的先驗估計48
4.2.5差分格式解的收斂性和穩定性50
4.2.6數值計算與Matlab模擬51
4.3緊差分格式55
4.3.1差分格式的建立55
4.3.2差分格式的求解57
4.3.3差分格式解的收斂性和穩定性58
第5章拋物型方程的差分方法60
5.1一維線性拋物方程60
5.2向前差分格式60
5.2.1差分格式的建立61
5.2.2差分格式解的存在性62
5.2.3差分格式的求解63
5.2.4差分格式解的先驗估計63
5.2.5差分格式解的收斂性和穩定性63
5.3向后差分格式65
5.3.1差分格式的建立65
5.3.2差分格式解的存在性66
5.3.3差分格式解的先驗估計66
5.3.4差分格式解的收斂性和穩定性67
5.4Richardson格式67
5.4.1差分格式的建立67
5.4.2差分格式的求解68
5.4.3差分格式的不穩定性69
5.5Grank—Nicolson格式69
5.5.1差分格式的建立70
5.5.2差分格式解的存在性71
5.5.3差分格式解的先驗估計72
5.5.4差分格式解的收斂性和穩定性72
5.6數值模擬73
第6章雙曲型方程的有限差分方法75
6.1 波動方程75
6.2顯式差分格式79
6.2.1差分格式的建立79
6.2.2差分格式解的收斂性和穩定性81
6.3隱式差分格式82
6.3.1差分格式的建立82
6.3.2差分格式解的收斂性和穩定性86
6.4數值模擬87
6.5一階雙曲方程89
6.5.1迎風格式89
6.5.2積分守恒的差分格式91
6.5.3其他差分格式92
6.5.4數值模擬93
第7章譜方法96
7.1Fourier譜方法96
7.1.1指數正交多項式96
7.1.2一階波動方程的Fourier譜方法97
7.2Chebyshev譜方法98
7.2.1Chebyshev多項式98
7.2.2Gauss型積分的節點和權函數99
7.2.3數值分析100
7.2.4數值模擬101
7.2.5熱傳導方程的應用103
第8章有限元方法107
8.1邊值問題的變分形式107
8.1.1Sobolev空間Hm(I)107
8.1.2a(u，v)基本性質110
8.2有限元法112
8.2.1Ritz—Galerkin法112
8.2.2有限元法構造114
8.3線性有限元法的誤差估計117
8.3.1H1估計117
8.3.2L2估計118
8.4二次元119
8.4.1單元插值函數120
8.4.2有限元方程的形成122
8.5橢圓型方程邊值問題的有限元法123
8.5.1變分原理123
8.5.2Ritz—Galerkin方法124
8.5.3有限元方法125
8.6拋物型方程初邊值問題的有限元法128
第3篇分數階偏微分方程數值解
引言135
第9章分數階微積分的相關概念及算法136
9.1分數階微積分定義及其相互關系136
9.2Riemann—Liouville分數階微積分的G算法138
9.3Riemann—Liouville分數階導數的D算法140
9.4Riemann—Liouville分數階積分的R算法141
9.5分數階導數的L算法143
9.6分數階差商逼近的一般通式144
9.7經典整數階數值微分、積分公式的推廣146
9.7.1經典向后差商及中心差商格式的推廣146
9.7.2插值型數值積分公式的推廣148
9.7.3經典線性多步法的推廣(Lubich分數階線性多步法)148
第10章分數階常微分方程數值解方法152
10.1直接法153
10.2間接法157
10.2.1R算法157
10.2.2分數階預估—校正方法157
10.3差分格式157
10.4誤差分析159
第11章分數階偏微分方程數值解解法161
11.1空間分數階對流—擴散方程161
11.2時間分數階偏微分方程164
11.2.1差分格式165
11.2.2穩定性分析(Fourier—Von Neumann方法)165
11.2.3誤差分析166
11.3時間—空間分數階偏微分方程168
11.3.1差分格式168
11.3.2穩定性及收斂性分析170
參考文獻173
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微分方程數值解 節選
第1篇 常微分方程數值解 引言 自然界中很多事物的運動規律都可以用微分方程來刻畫. 常微分方程是研究自然科學、社會科學中事物和物體運動、演化與變化規律*基本的數學理論和方法；物理、化學、生物、工程、航空航天、醫學、經濟和金融領域中的許多原理和規律都可用適當的常微分方程來描述，常微分方程的理論及其方法為其他學科的理論和應用提供了行之有效的方法. 但是，求解常微分方程的解析解是數學工作者的一項基本且重要的工作，由于問題比較復雜且涉及面廣，使得大多數問題的解析解很難求出，有時即使能求出解析解的形式，也往往因計算量太大而不實用，所以，用求解析解的方法來計算常微分方程往往是不適宜的. 因此，研究常微分方程的數值解法具有重要的理論和實踐意義. 瑞士數學家Euler*早提出Euler折線法，它開創了微分方程初值問題的數值解法的開端. 1895年，德國數學家Runge提出了求常微分方程近似解的RungeKutta方法的思想. 現在，隨著計算機技術的發展，微分方程數值解也得以迅速發展. 在本篇，我們主要介紹Euler公式、梯形法、RungeKutta法及其線性多步法的數值理論和數值模擬. 第1章常微分方程初值問題的理論基礎 由于初值問題 是常微分方程研究的基礎，可以通過研究此問題進而研究一階微分方程組，同時高階方程又可以化為一階微分方程組來研究. 在本章中主要通過問題(1.0.1)對微分方程數值解法進行研究.在給出數值解法之前，解的存在性是解決問題的基礎.下面我們給出微分方程初值問題的解的存在**性定理. 定理1.1設f(t，y)在域D={(t，y)|t0≤t≤T，－∞ f(t，y)－f(t，y*)≤Ly－y*，(t，y)∈D，(t，y*)∈D，(1.0.2) 其中L為Lipschitz常數，則初值問題的解存在且**，并且解y(t)連續可微. 下面討論微分方程的適定性. 例如，考慮如下擾動問題： 其中δ(t)和ε0都是很小的擾動. 定義1.1如果存在常數k，ε，使得當|ε0| 進行空間離散化，再在每個離散點上進行微分算子的離散得到初值問題(1.0.1)的相應近似值y1，y2， ，yn， ，建立求y(tn)近似值yn的遞推公式，進而求得式(1.0.1)的解在離散各節點上的近似值y1，y2， ，yn， .稱相鄰兩節點tn，tn+1之間的間距hn+1=tn+1－tn為步長．當hn+1可變化時，稱為變步長；hn+1為常數時，稱為定步長，記為h.y(tn)，f(tn，y(tn))和yn，f(tn，yn)分別為初值問題(1.0.1)的精確解和數值解. 2.1Euler方法 2.1.1顯式Euler法 Euler方法是*簡單的數值方法.考慮初值問題(1.0.1).由于y(t0)=y0是已知的，可以算出y′(t0)=f(t0，y0).設t1=t0+h，當h充分小時，則近似地有 從而可取 y1=y0+hf(t0，y0) 作為y(t1)的近似值.類似地，利用y1及f(t1，y1)又可算出y(t2)=y(t0+2h)的近似值 y2=y1+hf(t1，y1). 一般地，在任意節點tn+1=t0+(n+1)h處，y(tn+1)的近似值由下式給出 yn+1=yn+hf(tn，yn).(2.1.1) 這就是Euler方法的計算公式. Euler公式有明顯的幾何意義：如圖2.1所示，實際上就是用過(t0，y0)點的一條折線來近似代替問題(1.0.1)過(t0，y0)的解曲線．因此，Euler方法又稱折線法. 圖2.1Euler折線法 為考察Euler方法提供的數值解是否有用，我們首先應該知道，當步長充分小時，所得的數值解yn能否準確地逼近初值問題的精確解y(xn)，即收斂性問題.除此之外還要估計數值解與精確解之間的誤差，在Euler方法中，誤差有近似代替過程中產生的截斷誤差和計算過程中數值的舍入產生的誤差——舍入誤差.而只有在計算過程*初產生的誤差在以后的各步計算中不會無限擴大，方法才具有使用價值.這稱為穩定性問題. 2.1.2隱式Euler方法 將y(xk)在x=xk+1點進行Taylor展開 忽略h2k，分別用yk，yk+1，fk+1=f(tk+1，yk+1)近似y(xk)，y(xk+1)，f(xk+1，y(xk+1))可得隱式Euler方法 yk+1=yk+hkf(xk+1，yk+1)，k=0，1， ，n－1.(2.1.2) 例分別用顯式Euler方法和隱式Euler方法解初值問題 解由式(2.1.1)，該初值問題的顯式Euler公式為 yn+1=yn+h(－3yn+8xn－7). 由式(2.1.2)，該初值問題的隱式Euler公式為 yn+1=yn+h(－3yn+1+8xn+1－7). 下面是通過Matlab給出的顯式和隱式Euler方法的數值解和精確解圖(圖2.2，圖2.3).
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