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積分變換與場論 版權信息
- ISBN：9787030530349
- 條形碼：9787030530349 ; 978-7-03-053034-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
積分變換與場論 內容簡介
積分變換與場論是針對理工本科生開設的一門重要的基礎課程,此課程以高等數學為基礎,是很多后續專業課程的工具課程.通過學習本書，讀者可了解傅里葉變換、拉普拉斯變換和場論的相關概念,初步掌握積分變換與場論的基本理論、基本方法,具備從事相關研究的基本技能,為學習后續的專業課程奠定基礎.本書立足于理工科院校本科生的知識結構、采用問題驅動和導向的編寫方式，注重與后續相關課程的融合，加強理論與實際應用的結合，有助于培養讀者解決實問題的能力.本書可作為高等工科院校基礎教材使用,也可供有關工程技術人員參考.
積分變換與場論 目錄
目錄
前言
第1篇 積分變換
第1章 傅里葉變換 3
1.1 傅里葉級數 3
1.1.1 歷史與背景 3
1.1.2 周期現象 3
1.1.3 傅里葉級數 4
1.1.4 頻譜分析 8
1.1.5 相關應用 11
1.2 傅里葉變換 13
1.2.1 傅里葉積分 13
1.2.2 傅里葉變換 18
1.2.3 頻譜分析 23
1.2.4 多元傅里葉變換 25
1.3 廣義傅里葉變換 28
1.3.1 狄拉克函數 28
1.3.2 廣義傅里葉變換 32
1.4 傅里葉變換的性質 34
1.4.1 基本性質 34
1.4.2 能量積分 42
1.5 卷積 46
1.5.1 卷積的概念 46
1.5.2 卷積的基本性質 48
1.5.3 卷積定理 50
1.5.4 卷積的應用 54
1.6 傅里葉變換的應用 59
1.6.1 積分方程求解 59
1.6.2 線性常微分方程求解 62
1.6.3 線性偏微分方程求解 64？
1.6.4 在數理統計中的應用 66
第2章 拉普拉斯變換 70
2.1 拉普拉斯變換概念與存在定理 70
2.1.1 引言 70
2.1.2 拉普拉斯變換的概念 71
2.1.3 存在定理 72
2.1.4 間斷點的處理 73
2.2 拉普拉斯變換的性質 79
2.2.1 基本性質 80
2.2.2 陶伯定理與沃森引理 93
2.3 拉普拉斯卷積 100
2.3.1 拉普拉斯卷積的概念 100
2.3.2 拉普拉斯卷積定理 102
2.4 拉普拉斯逆變換 106
2.4.1 反演積分公式 106
2.4.2 逆變換的求法 110
2.5 拉普拉斯變換的應用 116
2.5.1 計算廣義積分 116
2.5.2 線性常微分方程求解 119
2.5.3 線性積分方程求解 121
2.5.4 線性偏微分方程邊值問題 123
2.5.5 其他應用 128
第2篇 場論
第3章 矢量與矢量空間 137
3.1 矢量代數 137
3.1.1 引言 137
3.1.2 矢量的概念 138
3.1.3 矢量代數 139
3.2 內積與外積 142
3.2.1 內積 142
3.2.2 外積 143
3.2.3 三連乘公式 145
3.3 線、平面與曲面 147？
3.3.1 線與平面 147
3.3.2 曲面 151
第4章 矢量分析 156
4.1 矢性函數 156
4.1.1 矢性函數的概念 156
4.1.2 矢性函數極限與連續性 157
4.2 矢性函數的導數與微分 158
4.2.1 矢性函數的導數 159
4.2.2 導矢的幾何意義與物理意義 162
4.2.3 矢性函數的微分 163
4.3 矢性函數的積分 165
4.3.1 定積分 165
4.3.2 不定積分 166
第5章 場論 169
5.1 場 169
5.1.1 場的概念 169
5.1.2 數量場與等值面 169
5.1.3 矢量場與矢量線 171
5.2 方向導數與梯度 175
5.2.1 方向導數 175
5.2.2 梯度的概念 180
5.2.3 梯度的應用 184
5.3 散度與旋度 187
5.3.1 散度 187
5.3.2 旋度 190
5.3.3 雅可比矩陣求散度和旋度 193
5.4 積分定理 195
5.4.1 高斯散度定理 195
5.4.2 斯托克斯定理 200
5.4.3 格林定理 204
5.5 幾個重要的矢量場 205
5.5.1 有勢場 206
5.5.2 管形場 210
5.5.3 調和場 212？
附錄Ⅰ 傅里葉分析發展歷史簡介 217
附錄Ⅱ 矢量分析發展歷史簡介 220
附錄Ⅲ 傅里葉變換簡表 222
附錄Ⅳ 拉普拉斯變換簡表 225
前言
第1篇 積分變換
第1章 傅里葉變換 3
1.1 傅里葉級數 3
1.1.1 歷史與背景 3
1.1.2 周期現象 3
1.1.3 傅里葉級數 4
1.1.4 頻譜分析 8
1.1.5 相關應用 11
1.2 傅里葉變換 13
1.2.1 傅里葉積分 13
1.2.2 傅里葉變換 18
1.2.3 頻譜分析 23
1.2.4 多元傅里葉變換 25
1.3 廣義傅里葉變換 28
1.3.1 狄拉克函數 28
1.3.2 廣義傅里葉變換 32
1.4 傅里葉變換的性質 34
1.4.1 基本性質 34
1.4.2 能量積分 42
1.5 卷積 46
1.5.1 卷積的概念 46
1.5.2 卷積的基本性質 48
1.5.3 卷積定理 50
1.5.4 卷積的應用 54
1.6 傅里葉變換的應用 59
1.6.1 積分方程求解 59
1.6.2 線性常微分方程求解 62
1.6.3 線性偏微分方程求解 64？
1.6.4 在數理統計中的應用 66
第2章 拉普拉斯變換 70
2.1 拉普拉斯變換概念與存在定理 70
2.1.1 引言 70
2.1.2 拉普拉斯變換的概念 71
2.1.3 存在定理 72
2.1.4 間斷點的處理 73
2.2 拉普拉斯變換的性質 79
2.2.1 基本性質 80
2.2.2 陶伯定理與沃森引理 93
2.3 拉普拉斯卷積 100
2.3.1 拉普拉斯卷積的概念 100
2.3.2 拉普拉斯卷積定理 102
2.4 拉普拉斯逆變換 106
2.4.1 反演積分公式 106
2.4.2 逆變換的求法 110
2.5 拉普拉斯變換的應用 116
2.5.1 計算廣義積分 116
2.5.2 線性常微分方程求解 119
2.5.3 線性積分方程求解 121
2.5.4 線性偏微分方程邊值問題 123
2.5.5 其他應用 128
第2篇 場論
第3章 矢量與矢量空間 137
3.1 矢量代數 137
3.1.1 引言 137
3.1.2 矢量的概念 138
3.1.3 矢量代數 139
3.2 內積與外積 142
3.2.1 內積 142
3.2.2 外積 143
3.2.3 三連乘公式 145
3.3 線、平面與曲面 147？
3.3.1 線與平面 147
3.3.2 曲面 151
第4章 矢量分析 156
4.1 矢性函數 156
4.1.1 矢性函數的概念 156
4.1.2 矢性函數極限與連續性 157
4.2 矢性函數的導數與微分 158
4.2.1 矢性函數的導數 159
4.2.2 導矢的幾何意義與物理意義 162
4.2.3 矢性函數的微分 163
4.3 矢性函數的積分 165
4.3.1 定積分 165
4.3.2 不定積分 166
第5章 場論 169
5.1 場 169
5.1.1 場的概念 169
5.1.2 數量場與等值面 169
5.1.3 矢量場與矢量線 171
5.2 方向導數與梯度 175
5.2.1 方向導數 175
5.2.2 梯度的概念 180
5.2.3 梯度的應用 184
5.3 散度與旋度 187
5.3.1 散度 187
5.3.2 旋度 190
5.3.3 雅可比矩陣求散度和旋度 193
5.4 積分定理 195
5.4.1 高斯散度定理 195
5.4.2 斯托克斯定理 200
5.4.3 格林定理 204
5.5 幾個重要的矢量場 205
5.5.1 有勢場 206
5.5.2 管形場 210
5.5.3 調和場 212？
附錄Ⅰ 傅里葉分析發展歷史簡介 217
附錄Ⅱ 矢量分析發展歷史簡介 220
附錄Ⅲ 傅里葉變換簡表 222
附錄Ⅳ 拉普拉斯變換簡表 225
展開全部
積分變換與場論 節選
第1篇 積分變換 積分變換無論是在數學理論還是在工程應用中都是一種非常有用的理論與方法，特別是求解復雜的微積分方程。常見的積分變換有傅里葉變換、拉普拉斯變換、梅林變換和Z-變換，本書主要介紹傅里葉變換和拉普拉斯變換及其在實際問題中的應用。 傅里葉變換是一種分析信號的方法，用正弦波作為信號的成分，既可以用來分析信號成分，也可以用這些成分來合成信號。通俗地說，傅里葉變換能將滿足一定條件的函數表示成三角函數(正弦函數或余弦函數)或它們積分的線性組合，在不同研究領域，傅里葉變換具有不同的形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換等。拉普拉斯變換是為簡化計算而建立的介于實變函數和復變函數之間的一種函數變換，對一個實變量函數做拉普拉斯變換，并在復數域中求出相應的結果，在計算上容易很多。在經典控制論中，用直觀簡單的圖解方法來確定控制系統的特性，分析系統的運動過程，對系統的綜合校正，都建立在拉普拉斯變換的基礎上。 第1章 傅里葉變換 1.1 傅里葉級數 1.1.1 歷史與背景 歷史上，傅里葉于1804年首先提出在有限區間上由任意圖形定義的任意函數都可以表示為單純的正弦函數與余弦函數之和的思想。然而，在18世紀有很多數學家針對傅里葉的思想提出很多質疑與反例。1822年，傅里葉在研究熱傳導理論時發表了《熱的解析理論》，提出并證明了將周期函數展開為正弦級數的原理，使得傅里葉級數和傅里葉積分的理論得到了逐步發展。傅里葉的論著為熱傳導方程、傅里葉級數、傅里葉積分及應用提供了現代數學理論。1829年，狄利克雷證明了收斂性定理，奠定了傅里葉級數的理論基礎。1854年，黎曼給出了一個函數的傅里葉級數收斂的充分必要條件。1926年，柯爾莫哥洛夫證明了存在傅里葉級數處處收斂的勒貝格可積函數。1966年，卡爾松證明了連續函數的傅里葉級數幾乎處處收斂。 拉普拉斯和柯西在早期的研究工作中已經意識到了傅里葉的思想。另外，泊松在研究水波傳播問題時也獨立發現并使用了傅里葉變換的方法。 1.1.2 周期現象 人類很早就注意到了大自然中的周期現象，例如，月球和其他特定星球運動軌跡的周期性、海洋潮汐的周期性以及季節的循環。牛頓通過萬有引力定律解釋了潮汐的周期性。傅里葉及其后來者通過發展傅里葉分析，深入研究自然現象的周期性，并應用于信號和數據處理過程。 周期現象在自然界中大量存在。一般來說，周期性依賴于兩個變量，一個是時間的周期性，另一個是空間的周期性。 我們經常會見到關于時間的周期現象。比如，當某人處于海洋中一點(或電路中一點)，水波(或者電流)從該點經過時，波峰和波谷會按同一模式不停重復。波的高度就是關于時間的周期函數。聲音也有周期性，聲音是以縱向壓力波形式傳入人的耳朵，對空氣進行周期性壓縮。事實上，在波的傳播過程中會同時體現出空間和時間的周期性。 空間的周期性有時會表現為某種特定的模式在一定空間區域內的對稱性。比如晶體，其原子結構在空間中就重復同一種模式，所有原子的位置描述為格子，格子密度分布函數也是關于空間的周期函數。 首先考慮周期函數，我們稱一個函數f(t)是以T>0為周期的，如果對任意的有 若存在使上式成立的*小的T，那么這個*小值就稱為函數f(t)的基本周期。f(t)在一個周期T內的圖像稱為一個環。從幾何上看，周期條件意味著通過一個環即可確定整個空間的圖像。 兩個周期函數之和是否還是周期函數。從數學角度來看，答案是否定的，因為無理數的存在。從工程角度來看，答案是肯定的，因為此時采用近似計算，不考慮無理數的情形。比如，是周期函數，而不是周期函數。 *經典的周期現象就是簡諧振動。假設質點在單位圓周上做勻速圓周運動，如圖1.1所示，考察其縱坐標y的變化規律。已知單位圓的方程為 設質點運動的角速度為，t=0時質點所在位置的幅角為。則t時刻的質點縱坐標為 這是以為周期的周期函數。注意，y在-1和1之間以頻率振動，即單位時間內往返-1和1之間次，因此稱為角頻率。 圖1.1 簡諧振動 1.1.3 傅里葉級數 如上的正弦運動是容易分析的，自然界中很多振動都是這些簡單振動的合成。比如，其圖像(圖1.2)是比較復雜的，但是單獨分析每一個正弦振動(圖1.3和圖1.4)都很簡單，因此我們只需研究每個振動，然后合成即可。 圖1.2 正弦運動的疊加 圖1.3 圖1.4 有限個正弦振動疊加之后，可以得到復雜的振動。反之，復雜的振動是否能夠分解為有限的正弦振動呢？一般來講是不能的。 那么，對于非正弦運動如何處理呢？即那些不能寫成有限個正弦運動之和的振動如何考察呢。這就需要用傅里葉級數將其化為形式類似的無窮級數，即無限個正弦運動的疊加，此時需要判斷級數收斂性。 1829年，狄利克雷證明如下定理，奠定了傅里葉級數的理論基礎，在信號、圖像處理中有廣泛應用。 狄利克雷定理 一個以T為周期的函數，在上滿足狄利克雷條件： (1) 連續或只有有限個**類間斷點; (2) 只有有限個極值點。 則在區間內，在連續點處可以展開成傅里葉級數，三角形式為 (1.1.1) 在間斷點處等式左邊換為 其中 (1.1.2) 而表示的左極限，表示的右極限。 注意：當m≠n時
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