掃一掃
關注中圖網
官方微博
本類五星書更多>
-
>
宇宙、量子和人類心靈
-
>
氣候文明史
-
>
南極100天
-
>
考研數學專題練1200題
-
>
希格斯:“上帝粒子”的發明與發現
-
>
神農架疊層石:10多億年前遠古海洋微生物建造的大堡礁
-
>
聲音簡史
高等數學(上冊)(第二版) 版權信息
- ISBN：9787030493095
- 條形碼：9787030493095 ; 978-7-03-049309-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高等數學(上冊)(第二版) 內容簡介
本教材為上冊，是第二版圖書，重點介紹理工科大學生一年級所需的高等數學的主要內容。每章的基本內容都有較明確的例子，著重訓練學生對概念的理解能力，培養學生對定理和方法的實際應用能力，重視學生對基本方法和基本知識的掌握。每章都配有適量的習題，便于讀者鞏固基本內容、基本知識。
高等數學(上冊)(第二版) 目錄
目錄
第二版前言
前言
第1章 極限與連續 1
1.1 函數 1
1.2 數列的極限 11
1.3 函數的極限 20
1.4 函數的連續性 35
總習題1 45
第2章 導數與微分 48
2.1 導數的概念 48
2.2 函數的求導法則 55
2.3 高階導數 60
2.4 隱函數及參數方程所確定的函數的求導方法 63
2.5 函數的微分 67
總習題2 72
第3章 微分中值定理與導數的應用 74
3.1 微分中值定理 74
3.2 洛必達法則 80
3.3 泰勒公式及應用 84
3.4 函數的單調性與曲線的凹凸性 89
3.5 函數的極值與應用 94
3.6 函數圖形的描繪 99
3.7 曲線的曲率 102
總習題3 106
第4章 一元積分學 108
4.1 定積分的概念與性質 108
4.2 原函數與不定積分 116
4.3 微積分基本定理與基本公式 120
4.4 兩種基本積分法 125
4.5 幾種特殊類型的積分 144
4.6 定積分的應用 147
4.7 反常積分 163
總習題4 168
第5章 常微分方程 171
5.1 常微分方程的基本概念 171
5.2 一階常微分方程 174
5.3 可降階的高階微分方程 182
5.4 高階線性微分方程 186
5.5 高階常系數線性微分方程 189
總習題5 196
習題參考答案 199
附錄 214
A1 三角函數的部分公式 214
A2 積分公式 215
第二版前言
前言
第1章 極限與連續 1
1.1 函數 1
1.2 數列的極限 11
1.3 函數的極限 20
1.4 函數的連續性 35
總習題1 45
第2章 導數與微分 48
2.1 導數的概念 48
2.2 函數的求導法則 55
2.3 高階導數 60
2.4 隱函數及參數方程所確定的函數的求導方法 63
2.5 函數的微分 67
總習題2 72
第3章 微分中值定理與導數的應用 74
3.1 微分中值定理 74
3.2 洛必達法則 80
3.3 泰勒公式及應用 84
3.4 函數的單調性與曲線的凹凸性 89
3.5 函數的極值與應用 94
3.6 函數圖形的描繪 99
3.7 曲線的曲率 102
總習題3 106
第4章 一元積分學 108
4.1 定積分的概念與性質 108
4.2 原函數與不定積分 116
4.3 微積分基本定理與基本公式 120
4.4 兩種基本積分法 125
4.5 幾種特殊類型的積分 144
4.6 定積分的應用 147
4.7 反常積分 163
總習題4 168
第5章 常微分方程 171
5.1 常微分方程的基本概念 171
5.2 一階常微分方程 174
5.3 可降階的高階微分方程 182
5.4 高階線性微分方程 186
5.5 高階常系數線性微分方程 189
總習題5 196
習題參考答案 199
附錄 214
A1 三角函數的部分公式 214
A2 積分公式 215
展開全部
高等數學(上冊)(第二版) 節選
第1章 極限與連續 高等數學是變量數學，它的研究對象、研究方法與初等數學相比都有相當大的差異：它的主要研究對象是函數；它的主要內容是微積分學，即微分學與積分學．而微積分的主要課題在于研究變量的變化性態．為了利用變量的變化趨勢、變化速度以及變化的累積效應等要素刻畫變化過程的特征，人們提出并發展了極限的理論和方法．實際上，微分學中的重要概念——導數就是一類特殊的極限，而積分學中的重要概念——定積分又是另一類特殊的極限，極限的理論和方法構成了整個微積分的基礎．本章主要介紹極限的基本概念、基本性質、基本運算，并且利用極限描述函數的連續性．連續函數是*常見的一類函數，它具有一系列很好的性質，便于研究和應用．本章內容是學習微積分必須具備的理論基礎． 1.1 函數 1.1.1 預備知識 1.1.1.1 常量與變量 在日常生活或生產實踐中，觀察某一個事件的結果往往是用一個量的形式來表現的，在某一個觀察的過程中始終保持不變的量稱為常量，有的量在觀察過程中是變化的，也就是可以取不同的數值，這樣的量稱為變量．例如圓周率π是永遠不變的量，它是一個常量；某商品的價格在一定的時間段內是不變的，所以在這段時間內它也是常量；又如一天中的氣溫、工廠在生產過程中的產量都是不斷變化的量，這些量都是變量． 必須注意，常量和變量的概念是相對的，它們依賴于所考察的過程．在不同的過程中常量和變量是可以轉化的，如商品的價格某段時間是常量，另一段時間就有可能是變量了. 1.1.1.2 集合、區間和鄰域 一般地，我們把研究對象統稱為元素，把一些具有同一種屬性的元素組成的總體稱為集合（簡稱集）．例如，某班的全體學生組成一個集合；某工廠在一定時間內生產的所有產品組成一個集合；所有正有理數組成一個集合；等等． 集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）．比如“身材較高的人”不能構成集合，因為它的元素不是確定的． 如無特別聲明，可用如下符號表示一些常用數集： R—實數集；Q—有理數集；Z—整數集；N—自然數集． 有關集合的表示、集合的運算符、集合的運算等方面的基本知識，中學數學已有介紹，這里就不一一贅述了． 如果變量的變化是連續的，則用區間來表示其變化范圍．在數軸上，區間是指介于某兩點之間的線段上點的全體．常用的區間有以下幾種： 閉區間 開區間 半開區間 以上這些區間都是有限區間，其中，a，b稱為區間的端點，b－a稱為區間的長度．除此之外，還有無限區間，例如： 表示大于a的實數的全體； 表示不小于a的實數的全體； 表示小于b的實數的全體； 表示不大于b的實數的全體； 表示全體實數， 其中-∞和+∞分別讀作“負無窮大”和“正無窮大”，它們不是數，僅僅是記號． 為了方便討論數軸上某點附近的性質，我們引入鄰域的概念． 定義1 設a是一個實數，δ是正數，數軸上到點a的距離小于δ的點的全體，稱為點a的δ鄰域，記作，即， 其中，點a稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑．若不需要指明半徑時，可記作U(a)． 有時用到的鄰域需要把中心去掉，稱為點的去心鄰域，記作，即 為了方便，我們可以引入下面的記號： 稱為點a的δ右鄰域； 稱為點a的去心δ右鄰域； 稱為點a的δ左鄰域； 稱為點a的去心δ左鄰域． 1.1.2 函數概念 變量、運動與曲線的數學描述，催生了函數的思想，并把函數概念和方法置于整個數學的中心地位．微積分的研究對象是函數，幾何圖形則成為函數的圖像．世界萬物之間的聯系與變化都有可能以各種不同的函數作為它們的數學模型． 函數的概念在歷史上經過多次的擴展演化，其間經歷了漫長的過程．在16世紀，變化著的量之間的依賴關系成為科學研究的重要方面，反映到數學里，就產生了變量和函數的概念．在科學史上意大利物理學家伽利略 伽利雷(Galileo Galilei，1564～1642)首先研究了變量間相互依存的關系，在他的名著《兩門新科學》中就指出諸如“從靜止狀態自由下落的物體所經過的距離與所用的時間成正比”，即滲透著函數的思想．“變量”的概念*先是由法國數學家笛卡兒(Descartes Rene，1596～1650)提出的，他在《幾何學》中引入坐標概念的同時也引入了變量概念，他在指出x，y是變量的同時，還注意到數y依賴于x的變化而變化，這正是函數思想的萌芽，從此數學就由只研究常量進而開始研究了變量．英國科學家牛頓(Sir Isaac Newton， 1643～1727)在伽利略、笛卡兒的研究背景下，意識到“曲線是由于點的連續運動”，即曲線是動點的軌跡，動點的位置（x，y）是時間的函數．牛頓創立微積分時以流數(fluent)一詞表示變量間的關系． *早提出函數概念是萊布尼茨(Gottfried Wilhelm von Leibnitz，1646～1716)．1673年萊布尼茨使用函數(function)一詞，用來表示一個隨著曲線上的點變動而變動的量，他把變動的量稱x，與x同時變動的變數稱為x的函數．其后，他的學生瑞士數學家約翰 伯努利(Johann Bernoulli，1667～1748)又把函數看作一個變量和一些常數組成的表達式．伯努利的學生瑞士數學家歐拉(Leonhard Euler，1707～1783)則把這一定義又推進一步，在1748年他指出：一個變量的函數，是由該變量和一些數或常量以任何一種方式構成的解析式．歐拉使伯努利所強調的函數要用公式表示變得更加的明朗化，他將解析式定義為函數．清代數學家李善蘭(1811～1882)與英國傳教士偉列亞歷山大合譯的《代微積拾級》中，將“function”譯作了“函數”，意即“凡此變數中函彼變數，則此為彼之函數”．瑞士數學家歐拉于1724年首先使用函數的記號f(x)，一直沿用至今． 函數概念的發展演進是社會的需求和數學內部發展的需要共同促進的結果，它伴隨著數學的發展在不斷的改進和完善，其歷程充分體現出了人們對真理孜孜不倦的追求．下面我們給出函數的定義． 定義2 設D是實數集R上的一個非空子集，對D中的每一個數x，按某一確定的法則f，均有**確定的實數y與之對應，則稱f是以D為定義域的（一元）函數（也稱為定義在D上的函數），記作 簡記作， 其中x稱為自變量，y稱為因變量（或x的函數），x的取值范圍稱為函數的定義域（就是本定義中的D），通常用表示．數集稱為函數的值域，通常用Rf表示． 需要指出的是： (1)以上函數定義基本上是按照初等數學中所描述的方式給出的，它指的是單值函數； (2)當一個函數沒有指出自變量的范圍時，該函數的定義域就是使該函數有意義的點的全體，即該函數的自然定義域； (3)函數之間可以定義加、減、乘、除等運算，但是運算必須在所有函數公共定義域內進行． 函數定義的精髓是“確定的對應法則及函數的定義域”，即函數的兩大要素，至于自變量與因變量各用什么字母并不重要．如函數，與函數，有相同的對應法則f和相同的定義域D，因而這兩個函數相同，可以看作是同一個函數．而函數與函數，前者定義域為，后者為R，定義域不同，因此不是同一個函數． 不同的對應法則可用不同的符號表示，如或，有時也用表示y是x的函數． 下面我們來看幾個具體的例子． 例1 由關系式能確定兩個變量x與y之間的一種對應關系，可以說是一個函數關系，但它不是我們通常所指的單值函數．比如x=0時，相應的y可以等于1，也可以等于-1．其實它們是，這樣兩段函數，這類函數我們稱為多值函數． 例2 函數 的定義域為R，值域為，稱它為絕對值函數，其圖像如圖1-1所示．通常這類函數稱為分段函數． 所謂分段函數是指：函數在定義域的不同范圍內的函數表達式不同，它實質上是一個函數，不能理解為兩個或多個函數． 圖1-1 y=|x|的圖像圖1-2的圖像 例3 函數 稱為符號函數，這也是分段函數，它的定義域為R，值域，它的圖形如圖1-2所示． 對任何實數x都有關系式，所以符號函數起著一個符號的作用． 例4 狄利克雷（Dirichlet）函數， 為有理數， 為無理數， 它的定義域，值域． 例5 取整函數，其中是不超過x的*大整數，如圖1-3所示． 圖1-3 取整函數的圖像 例6 求函數的定義域． 解該函數的定義域，就是使函數有意義的點的全體，即要滿足 由此可解得及，即該函數的定義域為． 例7 判斷下列每組的兩個函數是否表示同一個函數． (1) (2) 解 (1)的定義域為R的定義域為，因此不是同一個函數． (2)的定義域為R，，其定義域也為R，因此兩個函數定義域和對應關系完全相同，盡管兩個函數的自變量所用字母不同，但兩個函數表示的是同一個函數． 1.1.3 函數的表示法 我們在日常生活中，可以根據需要，將函數用不同的方法來表示： (1)解析法（公式法）把兩個變量之間的關系直接用數學式子表示出來，必要的時候還可以注明函數的定義域、值域，這種表示函數的方法稱為解析法，如例2，例3，例4，例5，例6，例7等都是用解析法表示了函數關系．這在高等數學中是*常見的函數表示法，它便于我們進行理論研究． (2)表格法把自變量和因變量的對應值用表格形式列出，如三角函數表、常用對數表等．這種表示法有較強的實用價值． (3)圖示法是用坐標系下的一條曲線反映自變量與因變量的對應關系．比如，氣象臺自動溫度計記錄了某地區的一晝夜氣溫的變化情況，這條曲線在直角坐標系下反映出來的就是一個函數關系．這種方法，幾何直觀性強，函數的基本性態一目了然，看圖就基本上知道了變量間的依賴關系和變化態勢，但它不利于理論研究． 1.1.4 函數的初等性質 微積分學的主要研究對象是函數，既然要對函數進行研究，自然要對函數有哪些基本幾何性質要有一定的了解，下面我們將逐一進行介紹． 定義3 （函數的單調性）設f(x)在區間I上有定義，若對任意的，當時，恒有，則稱f(x)在區間I上為單調增加函數（或單調減少函數）；若對任意的，當時，恒有或，則稱f(x)在區間I上為嚴格單調增加函數（或嚴格單調減少函數）． 單調增加函數（或單調減少函數）、嚴格單調增加函數（或嚴格單調減少函數）統稱為單調函數（也稱函數具有單調性）． 在幾何上，單調增加（減少）函數的圖形是沿x軸的正向漸升的（漸降的）．單調函數的圖形如圖1-4和圖1-5所示． 圖1-4 單調增加函數圖像圖1-5單調減少函數圖像 例8 證明函數在區間，上嚴格單調遞減，在區間上嚴格單調遞增．證對任意，設，則 即， 所以函數在區間上嚴格單調遞減．同理可證在區間上嚴格單調遞增． 圖1-6 的圖像 函數的單調性是函數在定義區間內的幾何特征，在不同的區間上可能有不同的單調性．即便在各個不同的區間內單調性相同，但在整個定義域內仍有可能不單調．比如，函數
書友推薦
- >
二體千字文
- >
巴金－再思錄
- >
自卑與超越
- >
史學評論
- >
伊索寓言-世界文學名著典藏-全譯本
- >
名家帶你讀魯迅:故事新編
- >
苦雨齋序跋文-周作人自編集
- >
月亮虎
本類暢銷
