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粗糙集的數(shù)學結(jié)構(gòu) 版權(quán)信息
- ISBN：9787030618764
- 條形碼：9787030618764 ; 978-7-03-061876-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
粗糙集的數(shù)學結(jié)構(gòu) 內(nèi)容簡介
本書主要內(nèi)容有各種環(huán)境下粗糙近似算子的構(gòu)造性定義與公理化刻畫，含一般關(guān)系下的粗糙集、粗糙模糊集、模糊粗糙集（包括基于三角模的模糊粗糙集、基于模糊剩余蘊涵的模糊粗糙集、基于模糊蘊涵算子的模糊粗糙集、直覺模糊環(huán)境下的粗糙集理論），各種粗糙集的拓撲結(jié)構(gòu)、粗糙集與證據(jù)理論之間的關(guān)系等。本書可作為計算機科學、應用數(shù)學、自動控制、信息科學和管理工程等專業(yè)高年級學生及研究所的教材，也可作為研究粗糙集理論與方法的科技人員的參考書
粗糙集的數(shù)學結(jié)構(gòu) 目錄
目錄
序
前言
第1章 一般關(guān)系下的粗糙集 1
1.1 Pawlak粗糙集的基本概念 1
1.2 二元關(guān)系導出的鄰域算子系統(tǒng) 5
1.3 一般關(guān)系下的粗糙近似 12
1.4 基于鄰域算子系統(tǒng)的近似算子系統(tǒng) 16
1.5 粗糙近似算子的公理化刻畫 20
第2章 粗糙模糊集 27
2.1 模糊集的基本概念 27
2.2 粗糙模糊集的定義與經(jīng)典表示 30
2.3 粗糙模糊近似算子的性質(zhì) 33
2.4 粗糙模糊近似算子的公理刻畫 37
第3章 模糊粗糙集 44
3.1 模糊粗糙集的定義與經(jīng)典表示 44
3.2 模糊粗糙近似算子的性質(zhì) 52
3.3 模糊粗糙近似算子的公理刻畫 57
第4章 (S，T)-模糊粗糙集 61
4.1 三角模與反三角模 61
4.2 (S，T)-模糊粗糙集的定義與性質(zhì) 64
4.3 (S，T)-模糊粗糙近似算子的公理刻畫 70
第5章 (θ，δ)-模糊粗糙集 102
5.1 模糊剩余蘊涵及其對偶算子 102
5.2 (θ，δ)-模糊粗糙集的定義與性質(zhì) 103
5.3 (θ，δ)-模糊粗糙近似算子的公理刻畫 106
5.4 變精度(θ，δ)-模糊粗糙集模型 113
第6章 I-模糊粗糙集 123
6.1 模糊蘊涵算子 123
6.2 I-模糊粗糙集的定義與性質(zhì) 126
6.3 I-模糊粗糙近似算子的公理刻畫 142
第7章 直覺模糊粗糙集 148
7.1 直覺模糊集的基本概念 148
7.2 直覺模糊粗糙集的定義與性質(zhì) 156
7.3 直覺模糊粗糙近似算子的公理刻畫 162
第8章 粗糙集與拓撲空間 180
8.1 經(jīng)典粗糙集與經(jīng)典拓撲空間 180
8.2 粗糙模糊集與模糊拓撲空間 187
8.3 模糊粗糙集與模糊拓撲空間 195
第9章 粗糙集與證據(jù)理論 202
9.1 粗糙集與可測空間 202
9.2 可能性測度與必然性測度 209
9.3 證據(jù)理論的基本概念 213
9.4 無限論域上模糊集的概率測度 223
9.5 粗糙近似與證據(jù)理論的關(guān)系 229
參考文獻 247
索引 258
序
前言
第1章 一般關(guān)系下的粗糙集 1
1.1 Pawlak粗糙集的基本概念 1
1.2 二元關(guān)系導出的鄰域算子系統(tǒng) 5
1.3 一般關(guān)系下的粗糙近似 12
1.4 基于鄰域算子系統(tǒng)的近似算子系統(tǒng) 16
1.5 粗糙近似算子的公理化刻畫 20
第2章 粗糙模糊集 27
2.1 模糊集的基本概念 27
2.2 粗糙模糊集的定義與經(jīng)典表示 30
2.3 粗糙模糊近似算子的性質(zhì) 33
2.4 粗糙模糊近似算子的公理刻畫 37
第3章 模糊粗糙集 44
3.1 模糊粗糙集的定義與經(jīng)典表示 44
3.2 模糊粗糙近似算子的性質(zhì) 52
3.3 模糊粗糙近似算子的公理刻畫 57
第4章 (S，T)-模糊粗糙集 61
4.1 三角模與反三角模 61
4.2 (S，T)-模糊粗糙集的定義與性質(zhì) 64
4.3 (S，T)-模糊粗糙近似算子的公理刻畫 70
第5章 (θ，δ)-模糊粗糙集 102
5.1 模糊剩余蘊涵及其對偶算子 102
5.2 (θ，δ)-模糊粗糙集的定義與性質(zhì) 103
5.3 (θ，δ)-模糊粗糙近似算子的公理刻畫 106
5.4 變精度(θ，δ)-模糊粗糙集模型 113
第6章 I-模糊粗糙集 123
6.1 模糊蘊涵算子 123
6.2 I-模糊粗糙集的定義與性質(zhì) 126
6.3 I-模糊粗糙近似算子的公理刻畫 142
第7章 直覺模糊粗糙集 148
7.1 直覺模糊集的基本概念 148
7.2 直覺模糊粗糙集的定義與性質(zhì) 156
7.3 直覺模糊粗糙近似算子的公理刻畫 162
第8章 粗糙集與拓撲空間 180
8.1 經(jīng)典粗糙集與經(jīng)典拓撲空間 180
8.2 粗糙模糊集與模糊拓撲空間 187
8.3 模糊粗糙集與模糊拓撲空間 195
第9章 粗糙集與證據(jù)理論 202
9.1 粗糙集與可測空間 202
9.2 可能性測度與必然性測度 209
9.3 證據(jù)理論的基本概念 213
9.4 無限論域上模糊集的概率測度 223
9.5 粗糙近似與證據(jù)理論的關(guān)系 229
參考文獻 247
索引 258
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粗糙集的數(shù)學結(jié)構(gòu) 節(jié)選
第1章 一般關(guān)系下的粗糙集 本章給出無限論域中基于一般二元關(guān)系的粗糙近似算子的構(gòu)造性定義和公理化刻畫. 1.1 Pawlak粗糙集的基本概念 本節(jié)介紹Pawlak粗糙近似的概念及基本性質(zhì)，詳細內(nèi)容見文獻[86]. 設U是非空集合，U中的子集全體(即U的冪集)記為P(U).對于X，記，稱為集合X與Y的差，特別地，記，稱.X為X在U中的補集.若X是有限集，則記為集合X的基數(shù)，即X中的元素個數(shù). 定義1.1 設U和W是兩個非空論域，稱是從U到W的一個二元關(guān)系.若，則記，稱y為x關(guān)于關(guān)系R的后繼，簡稱為后繼，x為y的前繼，記 Rs(x)稱為x關(guān)于關(guān)系R的后繼鄰域.若，則稱R是串行的(serial)(有的文獻稱雙論上的這種關(guān)系為區(qū)間關(guān)系(interval relation)，而單論域上的這種關(guān)系為串行關(guān)系[156]).若U=W，則稱為U上的一個二元關(guān)系.對于U上的二元關(guān)系R，稱關(guān)系R是逆串行的，若，存在使，即;稱關(guān)系R是自反的，若，有，即;稱關(guān)系R是對稱的，若，蘊涵;稱關(guān)系R是傳遞的，若，與蘊涵;稱關(guān)系R是歐幾里得的，若，和蘊涵;稱關(guān)系R是相容的，若R是自反和對稱的;稱關(guān)系R是預序關(guān)系(preorder)，若R是自反和傳遞的;稱關(guān)系R是等價的，若R是自反、對稱和傳遞的二元關(guān)系. 若R是U上的等價關(guān)系，對于，記稱為x的等價類.U=R是U上由R生成的等價類全體，也稱商集，它構(gòu)成了U上一個分劃.可以證明，U上的分劃可以與U上的二元等價關(guān)系之間建立一一對應. 定義1.2 設U是非空有限論域，是U上的二元等價關(guān)系，R稱為不可分辨關(guān)系，序?qū)?U，R)稱為Pawlak近似空間，若，則稱對象x與y在近似空間(U，R)中是不可分辨的.U=R中的集合與空集稱為基本集或原子集.若將U中的集合稱為概念或表示知識，則(U，R)稱為知識庫，原子集表示基本概念或知識模塊.對于U上任意一個集合X，若它能表示為基本集的并，則稱X為可定義集，否則稱X為不可定義的.可定義集也稱為精確集，它可以在知識庫中被精確地定義或描述，可表示已知的知識.對于論域U上任意一個子集X，X不一定能用知識庫中的知識來精確地描述，即X可能為不可定義集，這時就用X關(guān)于近似空間(U，R)的一對下近似R(X)和上近似R(X)來近似地描述: (1.1) 分別稱為下近似算子和上近似算子，簡稱Pawlak近似算子，也稱為由近似空間(U，R)導出的近似算子;R(X)又稱為X關(guān)于近似空間(U，R)的正域，記作POSR(X)，它解釋為由那些根據(jù)現(xiàn)有知識判斷出肯定屬于X的對象所組成的集合，R(X)解釋為由那些根據(jù)現(xiàn)有知識判斷出可能屬于X的對象所組成的集合;.R(X)稱為X關(guān)于(U，R)的負域，記作，它解釋為由那些根據(jù)現(xiàn)有知識判斷出肯定不屬于X的對象所組成的集合;稱為X關(guān)于(U，R)的邊界域，記作，它解釋為由那些根據(jù)現(xiàn)有知識判斷出可能屬于X但不能完全肯定是否一定屬于X的對象所組成的集合.由于R是等價關(guān)系，可以證明，X關(guān)于近似空間(U，R)的近似集可以等價地定義為如下形式: (1.2) 從(1.2)式可以看出，下近似R(X)是(U，R)中含在X中的*大可定義集，而上近似R(X)是(U，R)中包含X的*小可定義集，因此，X是可定義的當且僅當，而X是不可定義的當且僅當R(X)6=R(X)，這時稱X關(guān)于(U，R)是粗糙的，稱序?qū)κ且粋Pawlak粗糙集.稱系統(tǒng)為一個Pawlak粗糙集代數(shù)系統(tǒng)，簡稱為Pawlak粗糙集代數(shù). 定理1.1[86，179] 設(U，R)為一個Pawlak近似空間，R與R是由它導出的Pawlak近似算子，則以下性質(zhì)成立: 性質(zhì)(L1)與(U1)表明近似算子是一對對偶算子，常稱為對偶性質(zhì)，具有相同數(shù)字標號的性質(zhì)也可以看成對偶性質(zhì). X關(guān)于(U，R)的近似質(zhì)量定義為 近似質(zhì)量反映了知識X中肯定在知識庫中的部分在現(xiàn)有知識中的百分比.X關(guān)于(U，R)的粗糙性測度定義為 顯然， X是可定義的當且僅當粗糙性測度反映了知識的不完全程度. X關(guān)于(U，R)的近似精，度定義為 它反映了根據(jù)現(xiàn)有知識對X的了解程度. 粗糙集理論還對于集合類關(guān)于近似空間定義了下近似和上近似，從而該理論可應用于分類問題.設;是由U的子集所構(gòu)成的集類，則F關(guān)于近似空間(U，R)的下近似R(F)和上近似R(F)分別定義為 這時，F(xiàn)關(guān)于(U，R)的近似精度.R(F)和近似質(zhì)量分別定義為 特別地，當F也是U的分劃時，F(xiàn)關(guān)于(U，R)的近似質(zhì)量在判斷一個決策表是否協(xié)調(diào)以及在規(guī)則提取中有重要的應用. 粗糙集理論中的知識表達方式一般采用信息表或稱為信息系統(tǒng)的形式，它可以表示為四元有序組， (有時簡記為二元組(U，A))，其中U是有限非空對象全體，即論域;A是有限非空屬性全體;是屬性a的值域，是信息函數(shù) ，反映了對象x在S中的完全信息. 對于這樣的信息系統(tǒng)，每個屬性子集定義了論域U上的一個二元等價關(guān)系，即，定義RB如下: 由此可見，信息系統(tǒng)類似于關(guān)系數(shù)據(jù)庫模型的表達方式.有時屬性集A還可分為條件屬性集C和決策屬性d，這時的信息系統(tǒng)稱為決策表或決策系統(tǒng)，記為，其中. 無決策的數(shù)據(jù)分析和有決策的數(shù)據(jù)分析是粗糙集理論在數(shù)據(jù)分析中的兩個主要應用.粗糙集理論給出了對知識(或數(shù)據(jù))的約簡和求核的方法，從而提供了從信息系統(tǒng)中分析多余屬性的能力.設，是一個信息系統(tǒng)，記由屬性集所導出的等價關(guān)系為，若，則稱屬性a是多余的;若在系統(tǒng)中沒有多余屬性，則稱A是獨立的;屬性子集稱為A的約簡，若RB=RA且B中沒有多余屬性，約簡的全體記為red(A);A的所有約簡的交集稱為A的核，記作core(A).一般屬性的約簡不唯一而核是唯一的. 粗糙集數(shù)據(jù)分析方法除了給出對知識(或數(shù)據(jù))的約簡和求核的方法外，還提供從決策表中抽取規(guī)則的能力，該方法可以做到在保持決策一致的條件下將多余屬性刪除. 在一個決策表中，記 若，即有，則稱決策是協(xié)調(diào)的，否則稱為不協(xié)調(diào)的. 從協(xié)調(diào)的決策表中可以提取確定性規(guī)則;而從不協(xié)調(diào)的決策表中只能抽出不確定性規(guī)則或廣義決策規(guī)則，這是因為在不協(xié)調(diào)的系統(tǒng)中存在著矛盾的事例. 決策表中的決策規(guī)則一般可以表示為 其中稱為規(guī)則的條件部分，而(d，w)稱為規(guī)則的決策部分.決策規(guī)則即使是*優(yōu)的也不一定唯一. 在決策表中抽取規(guī)則的一般方法為 (1)在決策表中將信息相同(即具有相同描述)的對象及其信息刪除只留其中一個得到壓縮后的信息表，即刪除多余的重復事例; (2)刪除多余的屬性; (3)在每一個對象及其信息中將多余的屬性值刪除; (4)求出屬性約簡; (5)根據(jù)*小約簡，求出邏輯規(guī)則. 1.2 二元關(guān)系導出的鄰域算子系統(tǒng) 本節(jié)從一個一般二元關(guān)系出發(fā)構(gòu)造由它生成的鄰域算子系統(tǒng)與粗糙近似算子系統(tǒng)，并討論這些算子系統(tǒng)的性質(zhì). 定義1.3 設U是非空論域，R是U上任意二元關(guān)系，關(guān)系Rk稱為由關(guān)系R導出的第步關(guān)系，定義如下 其中N表示正整數(shù)集. 顯然， 很明顯，當U是有限論域時，若，則對于k>n有.事實上，Rn就是R的傳遞閉包，當然Rn是傳遞的. 由U上任意一個二元關(guān)系R，可導出三個關(guān)系 顯然，關(guān)系和都是對稱的，并且 定理1.2 設R是U上的任意一個二元關(guān)系，則 (1)若R是傳遞的，則Rk也是傳遞的，并且Rk=R. (2)若R是對稱的，則Rk也是對稱的. (3)若R是自反的，則Rk也是自反的. (4)若R是串行的，則Rk也是串行的. (5)若R是逆串行的，則Rk也是逆串行的. (6)若R是歐幾里得的，則Rk也是歐幾里得的. 證明(1)-(5)的成立顯然，我們只需證明(6)成立.設R是歐幾里得關(guān)系，我們先證R2也是歐幾里得關(guān)系. 設任意的滿足和，則由定義知，存在使或 (a)假如xRy且xRz，由R的歐幾里得性知yRz，從而由定義得yR2z. (b)假如xRy且xRz;z'Rz.結(jié)合xRy和xRz'，我們有z'Ry.從而結(jié)合z'Ry和z'Rz得yRz，于是yR2z成立. (c)假如xRy';y'Ry且xRz.類似于(b)可證yR2z成立. (d)假如xRy';y'Ry且xRz';z'Rz.結(jié)合xRy'和xRz'得y'Rz'，從而再結(jié)合y'Rz'和y'Ry可得z'Ry，這樣由z'Ry和z'Rz可得yRz，于是yR2z成立. 由上述(a)-(d)知yR2z成立，即證R2是歐幾里得的. 對于一般情形，注意到若且，則由R的歐幾里得性可得yRz，從而由定義知yRkz對任意k2N成立，這樣利用數(shù)學歸納法可證Rk是歐幾里得關(guān)系. 定理1.3 設U是有限集，且，若R是U上串行和對稱關(guān)系，則Rn是等價關(guān)系. 證明 由于R是串行的，于是由定理1.2知Rn也是串行的.則對任意x2U，存在y2U使xRny，又由R的對稱性可知Rn也是對稱的，從而yRnx.再由Rn的傳遞性知xRnx，即證Rn是自反的.這樣證明了Rn是自反、對稱和傳遞的二元關(guān)系，即Rn是等價關(guān)系. 引理1.1 若R和S是U上二元關(guān)系，則 (1) (2) 證明 (1)顯然.
粗糙集的數(shù)學結(jié)構(gòu) 作者簡介
吳偉志 男，1964年3月生，浙江海洋大學二級教授，博士生導師，全國優(yōu)秀博士學位論文提名獎獲得者，國務院政府津貼獲得者．1986年于浙江師范大學數(shù)學專業(yè)獲得學士學位，1992年于華東師范大學基礎數(shù)學專業(yè)獲得碩士學位，2002年于西安交通大學應用數(shù)學專業(yè)獲得博士學位．先后完成西安交通大學和香港中文大學博士后研究工作，多次應邀到香港中文大學進行合作訪問研究．任中國人工智能學會粒計算與知識發(fā)現(xiàn)專業(yè)委員會名譽主任委員、中國系統(tǒng)工程學會模糊數(shù)學與模糊系統(tǒng)理事會常務理事、中國人工智能學會理事、國際粗糙集學會會士(Fellow)．擔任雜志International Journal of Machine Learning and Cybernetics副編輯、Transactions on Rough Sets等6個國際學術(shù)期刊以及中文核心期刊《計算機科學》與《模糊系統(tǒng)與數(shù)學》的編委．主要研究方向：粗糙集、概念格、隨機集、粒計算、數(shù)據(jù)挖掘等．發(fā)表學術(shù)論文200多篇，獲省部級及以上科研成果獎共5項，其中國家科學技術(shù)進步獎二等獎1項．2014～2018年連續(xù)五年入選愛思唯爾發(fā)布的中國高被引學者榜單．(E-mail：wuwz@zjou．edu．Oil，wuwz8681@sina．com)
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