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變分法與常微分方程邊值問題 版權(quán)信息
- ISBN：9787030718501
- 條形碼：9787030718501 ; 978-7-03-071850-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊(cè)數(shù)：暫無(wú)
- 重量：暫無(wú)
- 所屬分類：>
變分法與常微分方程邊值問題 內(nèi)容簡(jiǎn)介
作為此前出版的《非線性常微分方程邊值問題》研究?jī)?nèi)容的后續(xù)進(jìn)展，本書是作者十余年來(lái)在常微分方程和時(shí)滯微分方程周期軌道方面所作研究工作的總結(jié)。在介紹臨界點(diǎn)理論和指標(biāo)理論的基礎(chǔ)上，對(duì)常用的Z2指標(biāo)理論和S1指標(biāo)理論作出推廣，提出和論證了Zn指標(biāo)理論和Sn指標(biāo)理論，拓展了應(yīng)用范圍。對(duì)不同類型的時(shí)滯微分方程通過選定相應(yīng)的Hilbert空間，在其上給出自伴線性算子，構(gòu)造特定的可微泛函，得出多個(gè)周期軌道的估計(jì)。對(duì)非自治型時(shí)滯微分方程的研究，是一個(gè)值得繼續(xù)探索的方向。 本書適用于本科高年級(jí)學(xué)生和微分方程與泛函分析方向的研究生、教師，以及對(duì)本方向有興趣的研究人員。
變分法與常微分方程邊值問題 目錄
目錄
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》序
前言
第1章 泛函分析基本概念與變分法要點(diǎn) 1
1.1 空間與泛函 1
1.1.1 空間 1
1.1.2 泛函 7
1.1.3 空間上的不等式 13
1.1.4 泛函與臨界點(diǎn) 16
1.2 變分法的產(chǎn)生 18
1.3 變分法用于微分方程邊值問題的研究 22
第2章 臨界點(diǎn)存在定理和指標(biāo)理論 26
2.1 臨界點(diǎn)存在定理 26
2.1.1 (PS)-條件與極大極小原理 26
2.1.2 極值點(diǎn)的存在性 35
2.1.3 鞍點(diǎn)存在定理和山路引理 40
2.2 指標(biāo)理論和多個(gè)臨界點(diǎn)的存在定理 49
2.2.1 指標(biāo)理論與偽指標(biāo)理論 49
2.2.2 指標(biāo)與臨界點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系 52
2.2.3 臨界點(diǎn)個(gè)數(shù)的具體估計(jì) 53
2.2.4 Z2指標(biāo)理論與偽Z2指標(biāo)理論 55
2.2.5 S1指標(biāo)理論和偽S1指標(biāo)理論 58
2.3 Zn指標(biāo)理論和偽Zn指標(biāo)理論 61
2.4 Sn指標(biāo)理論和偽Sn指標(biāo)理論 71
2.5 周期軌道和臨界點(diǎn) 77
2.5.1 幾何上不同的周期軌道 77
2.5.2 指標(biāo)的規(guī)范性 82
2.5.3 Sn指標(biāo)與幾何上不同的周期軌道個(gè)數(shù) 84
2.5.4 Zn指標(biāo)與幾何上不同的周期軌道個(gè)數(shù) 85
第3章 帶p-Laplace算子微分方程邊值問題 95
3.1 帶p-Laplace算子微分方程單側(cè)多點(diǎn)邊值問題 96
3.1.1 預(yù)備知識(shí)和主要結(jié)果 96
3.1.2 若干引理 97
3.1.3 定理3.1的證明 100
3.1.4 定理3.1的示例 100
3.2 帶p-Laplace算子微分方程雙側(cè)多點(diǎn)邊值問題 101
3.2.1 泛函構(gòu)造及定理證明 102
3.2.2 定理3.2的示例 104
3.3 帶p-Laplace算子微分方程混合邊值問題 105
3.3.1 問題和結(jié)論 105
3.3.2 定理3.3的證明 106
3.3.3 定理3.3的示例 110
3.3.4 定理3.4的證明 111
3.3.5 定理3.4的示例 118
3.4 帶p-Laplace算子微分方程的Dirichlet邊值問題 119
3.4.1 問題和結(jié)論 119
3.4.2 邊值問題的轉(zhuǎn)換 120
3.4.3 Fenchel變換和泛函的臨界點(diǎn) 122
3.4.4 定理3.5的證明 129
3.4.5 定理3.5的示例 131
3.5 二階脈沖微分方程兩點(diǎn)邊值問題 131
3.5.1 Sturm-Liouville邊值問題的特征函數(shù)系 132
3.5.2 脈沖線性方程邊值問題 133
3.5.3 脈沖非線性方程邊值問題 136
3.5.4 非線性二階方程Sturm-Liouville邊值問題的正解 137
第4章 偶數(shù)階時(shí)滯微分方程的周期軌道 142
4.1 自伴線性算子和半線性方程 142
4.1.1 自伴線性算子和半線性方程的概念 142
4.1.2 周期函數(shù)空間上的兩類線性算子 143
4.1.3 周期函數(shù)空間上的算子P和Ω 150
4.1.4 Hilbert空間上的幾個(gè)極限 159
4.1.5 整變量函數(shù)的上下界及算子的緊性 166
4.1.6 算子的可逆性 167
4.1.7 周期函數(shù)空間上的泛函 171
4.2 二階多滯量微分方程的周期軌道 172
4.2.1 導(dǎo)言 172
4.2.2 方程(4.32)的n+1-周期軌道 173
4.2.3 方程(4.32)的n-周期軌道 188
4.2.4 本節(jié)定理的示例 191
4.3 2n階雙滯量微分方程的周期軌道 191
4.3.1 同余映射 192
4.3.2 方程(4.69)的周期軌道 194
4.3.3 方程(4.70)的周期軌道 201
4.3.4 定理4.11和定理4.14的示例 210
4.4 非Kaplan-Yorke型2n-階多滯量微分方程的周期軌道(1) 212
4.4.1 預(yù)備引理 214
4.4.2 情況1中方程(4.121)的周期軌道 216
4.4.3 情況2中方程(4.121)的周期軌道 225
4.4.4 情況3中方程(4.121)的周期軌道 230
4.4.5 定理4.16、定理4.17和定理4.18的示例 235
4.5 非Kaplan-Yorke型2n-階多滯量微分方程的周期軌道(2) 239
4.5.1 方程(4.201)的m+1-周期軌道 241
4.5.2 方程(4.202)的2(2l+1)-周期軌道 250
4.5.3 方程(4.203)的2l-周期軌道 257
4.5.4 方程(4.204)的2l-周期軌道 266
4.5.5 方程(4.205)的2l-周期軌道 274
4.5.6 定理4.23的示例 285
第5章 奇數(shù)階時(shí)滯微分方程的周期軌道 290
5.1 反自伴算子和微分系統(tǒng)的分解 290
5.1.1 反自伴線性算子和對(duì)稱向量 290
5.1.2 對(duì)稱矩陣耦與歐氏空間RN的正交分解 292
5.1.3 時(shí)滯微分系統(tǒng)的分解 296
5.2 兩類奇數(shù)階多滯量時(shí)滯微分方程的周期軌道 300
5.2.1 兩類奇數(shù)階多滯量微分方程的周期軌道 300
5.2.2 方程(5.32)的4k-周期軌道 301
5.2.3 方程(5.33)的4k-周期軌道 308
5.2.4 本節(jié)示例 311
5.3 一般情況下的奇數(shù)階多滯量微分方程 314
5.3.1 對(duì)稱向量與反對(duì)稱陣 315
5.3.2 方程(5.61)的變分結(jié)構(gòu)及相關(guān)結(jié)論 319
5.3.3 定理5.7的示例 327
5.4 2k-1個(gè)滯量的微分系統(tǒng)周期軌道 329
5.4.1 兩類奇數(shù)個(gè)滯量微分方程周期軌道的多重性 329
5.4.2 相關(guān)定理的示例 357
5.5 2k個(gè)滯量的微分系統(tǒng)周期軌道 364
5.5.1 偶數(shù)個(gè)滯量微分系統(tǒng)周期軌道的多重性 364
5.5.2 系統(tǒng)(5.190)周期軌道的多重性 365
5.5.3 微分系統(tǒng)(5.191)的2k+1-周期軌道 391
5.5.4 本節(jié)示例 413
第6章 非自治微分系統(tǒng)的調(diào)和解 422
6.1 周期函數(shù)空間上的Zn指標(biāo)理論 422
6.2 擴(kuò)展的Fisher-Kolmogorov方程的周期邊值問題 425
6.2.1 兩類擴(kuò)展的Fisher-Kolmogorov方程 428
6.2.2 邊值問題(6.22)的有解性和多解性 430
6.2.3 邊值問題(6.23)的無(wú)窮多解性 433
6.3 擴(kuò)展的Fisher-Kolmogorov方程的同宿軌道 436
6.4 非自治4階時(shí)滯微分方程的調(diào)和解(1) 441
6.4.1 方程(6.40)的n+1-周期調(diào)和解 441
6.4.2 方程(6.40)的s+1-周期調(diào)和解 456
6.4.3 方程(6.40)調(diào)和解的示例 458
6.5 非自治4階時(shí)滯微分方程的調(diào)和解(2) 459
6.5.1 n=2k.1，k.1時(shí)方程(6.69)的調(diào)和解 460
6.5.2 n=2k，k.1時(shí)方程(6.69)的調(diào)和解 470
6.6 非自治多滯量時(shí)滯微分方程的調(diào)和解 478
6.6.1 向量與矩陣 479
6.6.2 向量a為對(duì)稱向量時(shí)方程(6.127)的調(diào)和解 487
6.6.3 向量a為反號(hào)對(duì)稱向量時(shí)方程(6.127)的調(diào)和解 495
6.6.4 本節(jié)定理的示例 501
6.7 無(wú)窮多個(gè)調(diào)和解的存在性 506
6.7.1 定理的證明 507
6.7.2 定理的示例 515
參考文獻(xiàn) 517
后記 525
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》已出版書目 526
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》序
前言
第1章 泛函分析基本概念與變分法要點(diǎn) 1
1.1 空間與泛函 1
1.1.1 空間 1
1.1.2 泛函 7
1.1.3 空間上的不等式 13
1.1.4 泛函與臨界點(diǎn) 16
1.2 變分法的產(chǎn)生 18
1.3 變分法用于微分方程邊值問題的研究 22
第2章 臨界點(diǎn)存在定理和指標(biāo)理論 26
2.1 臨界點(diǎn)存在定理 26
2.1.1 (PS)-條件與極大極小原理 26
2.1.2 極值點(diǎn)的存在性 35
2.1.3 鞍點(diǎn)存在定理和山路引理 40
2.2 指標(biāo)理論和多個(gè)臨界點(diǎn)的存在定理 49
2.2.1 指標(biāo)理論與偽指標(biāo)理論 49
2.2.2 指標(biāo)與臨界點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系 52
2.2.3 臨界點(diǎn)個(gè)數(shù)的具體估計(jì) 53
2.2.4 Z2指標(biāo)理論與偽Z2指標(biāo)理論 55
2.2.5 S1指標(biāo)理論和偽S1指標(biāo)理論 58
2.3 Zn指標(biāo)理論和偽Zn指標(biāo)理論 61
2.4 Sn指標(biāo)理論和偽Sn指標(biāo)理論 71
2.5 周期軌道和臨界點(diǎn) 77
2.5.1 幾何上不同的周期軌道 77
2.5.2 指標(biāo)的規(guī)范性 82
2.5.3 Sn指標(biāo)與幾何上不同的周期軌道個(gè)數(shù) 84
2.5.4 Zn指標(biāo)與幾何上不同的周期軌道個(gè)數(shù) 85
第3章 帶p-Laplace算子微分方程邊值問題 95
3.1 帶p-Laplace算子微分方程單側(cè)多點(diǎn)邊值問題 96
3.1.1 預(yù)備知識(shí)和主要結(jié)果 96
3.1.2 若干引理 97
3.1.3 定理3.1的證明 100
3.1.4 定理3.1的示例 100
3.2 帶p-Laplace算子微分方程雙側(cè)多點(diǎn)邊值問題 101
3.2.1 泛函構(gòu)造及定理證明 102
3.2.2 定理3.2的示例 104
3.3 帶p-Laplace算子微分方程混合邊值問題 105
3.3.1 問題和結(jié)論 105
3.3.2 定理3.3的證明 106
3.3.3 定理3.3的示例 110
3.3.4 定理3.4的證明 111
3.3.5 定理3.4的示例 118
3.4 帶p-Laplace算子微分方程的Dirichlet邊值問題 119
3.4.1 問題和結(jié)論 119
3.4.2 邊值問題的轉(zhuǎn)換 120
3.4.3 Fenchel變換和泛函的臨界點(diǎn) 122
3.4.4 定理3.5的證明 129
3.4.5 定理3.5的示例 131
3.5 二階脈沖微分方程兩點(diǎn)邊值問題 131
3.5.1 Sturm-Liouville邊值問題的特征函數(shù)系 132
3.5.2 脈沖線性方程邊值問題 133
3.5.3 脈沖非線性方程邊值問題 136
3.5.4 非線性二階方程Sturm-Liouville邊值問題的正解 137
第4章 偶數(shù)階時(shí)滯微分方程的周期軌道 142
4.1 自伴線性算子和半線性方程 142
4.1.1 自伴線性算子和半線性方程的概念 142
4.1.2 周期函數(shù)空間上的兩類線性算子 143
4.1.3 周期函數(shù)空間上的算子P和Ω 150
4.1.4 Hilbert空間上的幾個(gè)極限 159
4.1.5 整變量函數(shù)的上下界及算子的緊性 166
4.1.6 算子的可逆性 167
4.1.7 周期函數(shù)空間上的泛函 171
4.2 二階多滯量微分方程的周期軌道 172
4.2.1 導(dǎo)言 172
4.2.2 方程(4.32)的n+1-周期軌道 173
4.2.3 方程(4.32)的n-周期軌道 188
4.2.4 本節(jié)定理的示例 191
4.3 2n階雙滯量微分方程的周期軌道 191
4.3.1 同余映射 192
4.3.2 方程(4.69)的周期軌道 194
4.3.3 方程(4.70)的周期軌道 201
4.3.4 定理4.11和定理4.14的示例 210
4.4 非Kaplan-Yorke型2n-階多滯量微分方程的周期軌道(1) 212
4.4.1 預(yù)備引理 214
4.4.2 情況1中方程(4.121)的周期軌道 216
4.4.3 情況2中方程(4.121)的周期軌道 225
4.4.4 情況3中方程(4.121)的周期軌道 230
4.4.5 定理4.16、定理4.17和定理4.18的示例 235
4.5 非Kaplan-Yorke型2n-階多滯量微分方程的周期軌道(2) 239
4.5.1 方程(4.201)的m+1-周期軌道 241
4.5.2 方程(4.202)的2(2l+1)-周期軌道 250
4.5.3 方程(4.203)的2l-周期軌道 257
4.5.4 方程(4.204)的2l-周期軌道 266
4.5.5 方程(4.205)的2l-周期軌道 274
4.5.6 定理4.23的示例 285
第5章 奇數(shù)階時(shí)滯微分方程的周期軌道 290
5.1 反自伴算子和微分系統(tǒng)的分解 290
5.1.1 反自伴線性算子和對(duì)稱向量 290
5.1.2 對(duì)稱矩陣耦與歐氏空間RN的正交分解 292
5.1.3 時(shí)滯微分系統(tǒng)的分解 296
5.2 兩類奇數(shù)階多滯量時(shí)滯微分方程的周期軌道 300
5.2.1 兩類奇數(shù)階多滯量微分方程的周期軌道 300
5.2.2 方程(5.32)的4k-周期軌道 301
5.2.3 方程(5.33)的4k-周期軌道 308
5.2.4 本節(jié)示例 311
5.3 一般情況下的奇數(shù)階多滯量微分方程 314
5.3.1 對(duì)稱向量與反對(duì)稱陣 315
5.3.2 方程(5.61)的變分結(jié)構(gòu)及相關(guān)結(jié)論 319
5.3.3 定理5.7的示例 327
5.4 2k-1個(gè)滯量的微分系統(tǒng)周期軌道 329
5.4.1 兩類奇數(shù)個(gè)滯量微分方程周期軌道的多重性 329
5.4.2 相關(guān)定理的示例 357
5.5 2k個(gè)滯量的微分系統(tǒng)周期軌道 364
5.5.1 偶數(shù)個(gè)滯量微分系統(tǒng)周期軌道的多重性 364
5.5.2 系統(tǒng)(5.190)周期軌道的多重性 365
5.5.3 微分系統(tǒng)(5.191)的2k+1-周期軌道 391
5.5.4 本節(jié)示例 413
第6章 非自治微分系統(tǒng)的調(diào)和解 422
6.1 周期函數(shù)空間上的Zn指標(biāo)理論 422
6.2 擴(kuò)展的Fisher-Kolmogorov方程的周期邊值問題 425
6.2.1 兩類擴(kuò)展的Fisher-Kolmogorov方程 428
6.2.2 邊值問題(6.22)的有解性和多解性 430
6.2.3 邊值問題(6.23)的無(wú)窮多解性 433
6.3 擴(kuò)展的Fisher-Kolmogorov方程的同宿軌道 436
6.4 非自治4階時(shí)滯微分方程的調(diào)和解(1) 441
6.4.1 方程(6.40)的n+1-周期調(diào)和解 441
6.4.2 方程(6.40)的s+1-周期調(diào)和解 456
6.4.3 方程(6.40)調(diào)和解的示例 458
6.5 非自治4階時(shí)滯微分方程的調(diào)和解(2) 459
6.5.1 n=2k.1，k.1時(shí)方程(6.69)的調(diào)和解 460
6.5.2 n=2k，k.1時(shí)方程(6.69)的調(diào)和解 470
6.6 非自治多滯量時(shí)滯微分方程的調(diào)和解 478
6.6.1 向量與矩陣 479
6.6.2 向量a為對(duì)稱向量時(shí)方程(6.127)的調(diào)和解 487
6.6.3 向量a為反號(hào)對(duì)稱向量時(shí)方程(6.127)的調(diào)和解 495
6.6.4 本節(jié)定理的示例 501
6.7 無(wú)窮多個(gè)調(diào)和解的存在性 506
6.7.1 定理的證明 507
6.7.2 定理的示例 515
參考文獻(xiàn) 517
后記 525
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》已出版書目 526
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變分法與常微分方程邊值問題 節(jié)選
第1章泛函分析基本概念與變分法要點(diǎn) 首先給出一些泛函分析的概念和符號(hào). 1.1空間與泛函 1.1.1空間 空間首先是元素的集合，例如實(shí)數(shù)空間是所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，復(fù)數(shù)空間是所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合.但元素的集合還不能稱為空間.當(dāng)對(duì)集合中的元素施加某種特定的限制，或規(guī)定某些特定的運(yùn)算，或者要求滿足若干特定的規(guī)則時(shí)，才成為各種各樣不同類型的空間. 集合中的元素也稱為點(diǎn). 1.給定集合X，在X上定義開集(定義方式可視具體情況而定).Σ是X上的開集族，滿足 全集X和空集在Σ中， Σ中有限多個(gè)開集的交屬于Σ， Σ中無(wú)窮多個(gè)開集的并屬于Σ， 則稱開集族Σ是集合X上的一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).定義了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的集合X就是一個(gè)拓?fù)淇臻g. 2.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，假設(shè)對(duì)，分別有不相交開集U，V作為它們的開鄰域，就稱X是一個(gè)Hausdorff空間. 3.給定集合X，如果對(duì)X中任意兩元素x，定義函數(shù)ρ:則稱函數(shù)ρ(x，y)是X上的距離或度量.定義了距離ρ的集合X記為(X，ρ)，稱為度量空間或距離空間. 在實(shí)數(shù)集合上定義兩點(diǎn)間的距離為，則全體實(shí)數(shù)的集合就成為度量空間，記為或簡(jiǎn)單記為R. 4.給定集合X，如果對(duì)X中任意兩元素x，y2X及實(shí)數(shù)域R中任意兩數(shù)則稱X是一個(gè)實(shí)線性空間.將定義中的實(shí)數(shù)域R換成復(fù)數(shù)域C，就得到復(fù)線性空間.本書中如無(wú)說(shuō)明，凡提到線性空間都是指實(shí)線性空間. 假設(shè)X是一個(gè)向量空間，則X是一個(gè)線性空間. 5.設(shè)X是一個(gè)線性空間，在X上定義函數(shù)， 則稱(X，f)是一個(gè)賦范線性空間，f稱為范數(shù).空間的范數(shù)通常用表示，所以賦范線性空間就表示為.對(duì)于有限維空間上的范數(shù)，也常用表示，這時(shí)空間就表示為. 如果在賦范線性空間中用范數(shù)定義度量，則按照度量空間的定義，是一個(gè)度量空間. 在不引起誤解的情況下，定義范數(shù)后的賦范線性空間也可簡(jiǎn)單地用線性空間原先的符號(hào)X表示. 在度量空間中可以給出有界集、點(diǎn)列收斂及Cauchy點(diǎn)列的概念. 度量空間(X，ρ)的子集A，如果存在r>0使?jié)M足，就說(shuō)子集A是(X，ρ)中的有界集. 度量空間(X，ρ)的點(diǎn)列，如果存在，點(diǎn)列按范數(shù)收斂于x0.按范數(shù)收斂也簡(jiǎn)單稱為收斂，可記為. 一個(gè)點(diǎn)列，如果對(duì)，存在時(shí)總能成立，就稱fxng是一個(gè)Cauchy點(diǎn)列. 在度量空間中，可以利用距離的概念定義開集. 設(shè)是度量空間X中的一個(gè)子集.就說(shuō)x0是集合A的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).如果集合A中的每一個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則A就是X中的一個(gè)開集. 6.設(shè)是一個(gè)賦范線性空間，如果對(duì)X中的任一Cauchy點(diǎn)列，總有一個(gè)收斂子列，在時(shí)滿足，則說(shuō)空間X是完備的.完備的賦范線性空間稱為Banach空間. Banach空間的典型例子是lp空間和Lp空間，其中是實(shí)數(shù).這時(shí) 除此之外，如果，記為，其上定義范數(shù)則成為一個(gè)Banach空間. 對(duì)其上定義范數(shù)，則也是一個(gè)Banach空間. 在某些線性空間中可以定義內(nèi)積.例如在向量空間Rn中， 如果是函數(shù)空間，則在X上也可定義內(nèi)積，即對(duì)任意兩個(gè)函數(shù)，定義內(nèi)積此處，仍表示中的內(nèi)積，表示函數(shù)空間中的內(nèi)積. 在實(shí)函數(shù)構(gòu)成的線性空間X上，定義內(nèi)積實(shí)際上是規(guī)定了X中每?jī)蓚(gè)元素到實(shí)數(shù)域R上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系必須滿足 7.設(shè)一個(gè)賦范線性空間，如果它的范數(shù)是根據(jù)內(nèi)積定義的，則是一個(gè)酉空間. 設(shè)是一個(gè)完備的賦范線性空間，即Banach空間，如果它的范數(shù)是根據(jù)內(nèi)積定義的，則稱它是Hilbert空間.也就是說(shuō)，完備的酉空間是Hilbert空間. 根據(jù)函數(shù)空間X上所有函數(shù)光滑程度的不同，對(duì)內(nèi)積的定義也可以有所不同. 如果X上函數(shù)僅滿足，則內(nèi)積由(1.2)給出，這時(shí)函數(shù)空間，或簡(jiǎn)記為L(zhǎng)2函數(shù)空間. 如果X上函數(shù)滿足，則內(nèi)積可定義為，這時(shí)稱為H1[α，β]函數(shù)空間，或簡(jiǎn)記為H1函數(shù)空間. 如果X中的函數(shù)除滿足之外，還滿足其他一些條件，則內(nèi)積可等價(jià)定義為 除了(1.2)、(1.3)和(1.4)定義的內(nèi)積外，如果X中元素滿足條件，則內(nèi)積通常可定義為， 并由此內(nèi)積定義相應(yīng)范數(shù)，即為H2空間.當(dāng)時(shí)，H2空間中也可由內(nèi)積定義等價(jià)范數(shù).如果是一個(gè)可逆線性算子，必要時(shí)也可將函數(shù)空間上的內(nèi)積定義為.更多的等價(jià)范數(shù)將在第4章討論. 由于本書第2章需用到空間可分的概念，這里預(yù)作簡(jiǎn)要介紹. 設(shè)X是一個(gè)度量空間，如果存在可數(shù)子集，則說(shuō)度量空間X是可分的. 設(shè)X是一個(gè)酉空間，如果存在可數(shù)子集，是酉空間X中的一個(gè)完全標(biāo)準(zhǔn)正交系. 命題1.1設(shè)X是一個(gè)實(shí)的Hilbert空間，如果X中有一個(gè)完全標(biāo)準(zhǔn)正交系，則X是可分的.反之亦然. 證明，是空間X中的一個(gè)完全標(biāo)準(zhǔn)正交系.由有理數(shù)集在R中的稠密性，可取有理數(shù)集，因?yàn)橛欣頂?shù)集是可數(shù)的，即知X是可分的. 設(shè)Hilbert空間X是可分的，我們來(lái)構(gòu)造一個(gè)完全標(biāo)準(zhǔn)正交系.由X可分，故有可數(shù)點(diǎn)集，存在滿足.在中取一個(gè)非零元素，不妨設(shè)就是，之后在中去掉后余下的元素中取一個(gè)與x1正交的元素，不妨設(shè)就是，以此類推，得到一個(gè)可數(shù)的兩兩正交集族，不妨仍記為.之后對(duì)每個(gè).將空間中的每個(gè)點(diǎn)看作以該點(diǎn)為終點(diǎn)、原點(diǎn)為始點(diǎn)的向量，則對(duì)，就是x在ei上的投影.因此如果是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交系，當(dāng)且僅當(dāng). 現(xiàn)假設(shè)不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交系，則存在，有使. 易知，一個(gè)實(shí)的有限維Hilbert空間必定是可分的. 進(jìn)一步有以下命題. 命題1.2設(shè)X是一個(gè)實(shí)的可分無(wú)窮維Hilbert空間，則X與空間同構(gòu). 證明設(shè)兩個(gè)Hilbert空間X，Y上的內(nèi)積分別是，如果存在一一映射的線性算子，就說(shuō)空間X，Y是同構(gòu)的. 設(shè)和分別是上的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系，定義，顯然這是雙向一一映射，且滿足
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