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超奇異積分的數值計算及應用 版權信息
- ISBN：9787030715791
- 條形碼：9787030715791 ; 978-7-03-071579-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
超奇異積分的數值計算及應用 內容簡介
超奇異積分是對經典黎曼積分和柯西型奇異積分的推廣，應用邊界元法求解科學與工程計算問題時需要數值求解超奇異積分方程。本書系統介紹超奇異積分的定義、性質和數值方法，包括奇異核級數展開法、奇異部分分離計算法、高斯求積公式、牛頓-科茨型求積公式、S型變換法、正則化方法以及外推法等，這些方法可以應用于Galerkin邊界元法及配置邊界元法中超奇異積分方程的數值求解。
超奇異積分的數值計算及應用 目錄
目錄
前言
第1章 引言 1
第2章 邊界歸化方法和典型域上的超奇異積分方程 4
2.1 邊界歸化方法 4
2.1.1 間接邊界歸化方法 4
2.1.2 直接邊界歸化方法 11
2.1.3 邊界積分方程的數值解法 13
2.1.4 自然邊界歸化的基本思想 15
2.2 典型域上的Poisson積分公式及超奇異積分方程 19
2.2.1 Ω為上半平面 20
2.2.2 Ω為圓內區域 21
2.2.3 Ω為圓外區域 23
2.2.4 Ω為球內外區域 24
第3章 超奇異積分定義 28
3.1 柯西型奇異積分定義 28
3.1.1 柯西主值積分定義 29
3.1.2 二維柯西主值積分定義 31
3.1.3 Hilbert型奇異積分定義 33
3.1.4 多奇異核積分定義 33
3.2 超奇異積分定義 34
3.2.1 Hadamard有限部分積分定義 35
3.2.2 奇異部分分離定義 37
3.2.3 積分核級數展開法 38
3.2.4 求導定義 40
3.2.5 正則化方法及間接計算法 44
3.2.6 超奇異積分性質 46
3.3 超奇異積分的推廣 47
3.3.1 整數階超奇異積分的推廣 47
3.3.2 實數階超奇異積分 50
3.3.3 二維奇異積分與超奇異積分的定義 51
第4章 超奇異積分的計算 54
4.1 超奇異積分的準確計算 54
4.1.1 柯西主值積分的準確計算 54
4.1.2 有限部分積分的準確計算 60
4.1.3 任意階超奇異積分的準確計算 65
4.2 牛頓-科茨積分公式 69
4.2.1 梯形公式和辛普森公式近似計算二階超奇異積分 71
4.2.2 二階超奇異積分近似計算的改進算法 74
4.2.3 數值算例 78
4.3 高斯積分公式 79
4.3.1 公式的提出 79
4.3.2 主要結論 84
4.4 基于辛普森公式的三階超奇異積分近似計算 88
4.4.1 公式的提出 88
4.4.2 數值積分公式 92
4.4.3 數值算例 95
4.5 自適應算法近似計算超奇異積分 95
4.5.1 區間上奇異點與剖分節點重合時的誤差估計 95
4.5.2 圓周上奇異點與剖分節點重合時的誤差估計 102
4.5.3 數值算例 105
4.6 其他數值方法 107
第5章 區間上超奇異積分的超收斂現象 113
5.1 梯形公式近似計算超奇異積分 113
5.1.1 積分公式的提出 113
5.1.2 主要結論 115
5.1.3 當p=1時定理5.1.1的證明 124
5.1.4 唯*性證明 124
5.1.5 當p=2時定理5.1.1的證明 125
5.1.6 數值算例 128
5.2 辛普森公式近似計算區間上二階超奇異積分 130
5.2.1 積分公式的提出 130
5.2.2 主要結論 130
5.2.3 唯*性證明 135
5.2.4 數值算例 137
5.3 牛頓-科茨公式近似計算區間上二階超奇異積分 137
5.3.1 主要結論 138
5.3.2 定理5.3.2的證明 139
5.3.3 超收斂點的存在性 144
5.3.4 數值算例 150
5.4 辛普森公式近似計算區間上三階超奇異積分 151
5.4.1 積分公式的提出 152
5.4.2 主要結論 152
5.4.3 定理5.4.1的證明 158
5.4.4 超收斂點的存在唯*性 158
5.4.5 超收斂點的一些應用 162
5.4.6 數值算例 165
5.5 牛頓-科茨公式近似計算區間上三階超奇異積分 168
5.5.1 積分公式的提出 168
5.5.2 主要結論 171
5.5.3 S′k(τ)的計算 173
5.5.4 定理5.5.2的證明 176
5.5.5 數值算例 182
5.6 牛頓-科茨公式近似計算區間上任意階超奇異積分 184
5.6.1 積分公式的提出 184
5.6.2 主要結論 185
5.6.3 特殊函數S(p)k(τ)的性質 185
5.6.4 數值算例 186
第6章 圓周上超奇異積分的超收斂現象 188
6.1 梯形公式近似計算圓周上的二階超奇異積分 188
6.1.1 積分公式的提出 190
6.1.2 主要結論 192
6.1.3 定理 6.1.3 的證明 199
6.1.4 梯形公式的一些應用 199
6.1.5 數值算例 205
6.2 牛頓-科茨公式近似計算圓周上的二階超奇異積分 207
6.2.1 積分公式和超收斂結論 209
6.2.2 定理6.2.2的證明 211
6.2.3 超收斂點的存在性 222
6.2.4 科茨系數的計算 225
6.2.5 數值算例 227
6.3 梯形公式近似計算圓周上的三階超奇異積分 231
6.3.1 積分公式的提出 231
6.3.2 主要結論 233
6.3.3 定理6.3.1的證明 242
6.3.4 數值算例 246
6.4 辛普森公式近似計算圓周上三階超奇異積分 250
6.4.1 積分公式的提出 251
6.4.2 主要結論 251
6.4.3 定理6.4.1的證明 252
6.4.4 數值算例 260
第7章 外推法近似計算超奇異積分 263
7.1 外推法近似計算區間上二階超奇異積分 263
7.1.1 主要結論 264
7.1.2 定理7.1.1的證明 273
7.1.3 外推算法 275
7.1.4 數值算例 278
7.2 外推法近似計算圓周上二階超奇異積分 281
7.2.1 主要結論 281
7.2.2 定理7.2.1的證明 288
7.2.3 外推算法 290
7.2.4 數值算例 292
第8章 配置法求解區間上和圓周上的超奇異積分方程 296
8.1 基于中矩形公式的配置法求解區間上的超奇異積分方程 296
8.1.1 積分公式的提出 296
8.1.2 主要結論 299
8.1.3 配置法求解區間上的超奇異積分方程 303
8.1.4 數值算例 310
8.2 基于中矩形公式的配置法求解圓周上的超奇異積分方程 312
8.2.1 積分公式的提出 313
8.2.2 主要結論 315
8.2.3 配置法求解圓周上的超奇異積分 321
8.2.4 數值算例 328
參考文獻 330
前言
第1章 引言 1
第2章 邊界歸化方法和典型域上的超奇異積分方程 4
2.1 邊界歸化方法 4
2.1.1 間接邊界歸化方法 4
2.1.2 直接邊界歸化方法 11
2.1.3 邊界積分方程的數值解法 13
2.1.4 自然邊界歸化的基本思想 15
2.2 典型域上的Poisson積分公式及超奇異積分方程 19
2.2.1 Ω為上半平面 20
2.2.2 Ω為圓內區域 21
2.2.3 Ω為圓外區域 23
2.2.4 Ω為球內外區域 24
第3章 超奇異積分定義 28
3.1 柯西型奇異積分定義 28
3.1.1 柯西主值積分定義 29
3.1.2 二維柯西主值積分定義 31
3.1.3 Hilbert型奇異積分定義 33
3.1.4 多奇異核積分定義 33
3.2 超奇異積分定義 34
3.2.1 Hadamard有限部分積分定義 35
3.2.2 奇異部分分離定義 37
3.2.3 積分核級數展開法 38
3.2.4 求導定義 40
3.2.5 正則化方法及間接計算法 44
3.2.6 超奇異積分性質 46
3.3 超奇異積分的推廣 47
3.3.1 整數階超奇異積分的推廣 47
3.3.2 實數階超奇異積分 50
3.3.3 二維奇異積分與超奇異積分的定義 51
第4章 超奇異積分的計算 54
4.1 超奇異積分的準確計算 54
4.1.1 柯西主值積分的準確計算 54
4.1.2 有限部分積分的準確計算 60
4.1.3 任意階超奇異積分的準確計算 65
4.2 牛頓-科茨積分公式 69
4.2.1 梯形公式和辛普森公式近似計算二階超奇異積分 71
4.2.2 二階超奇異積分近似計算的改進算法 74
4.2.3 數值算例 78
4.3 高斯積分公式 79
4.3.1 公式的提出 79
4.3.2 主要結論 84
4.4 基于辛普森公式的三階超奇異積分近似計算 88
4.4.1 公式的提出 88
4.4.2 數值積分公式 92
4.4.3 數值算例 95
4.5 自適應算法近似計算超奇異積分 95
4.5.1 區間上奇異點與剖分節點重合時的誤差估計 95
4.5.2 圓周上奇異點與剖分節點重合時的誤差估計 102
4.5.3 數值算例 105
4.6 其他數值方法 107
第5章 區間上超奇異積分的超收斂現象 113
5.1 梯形公式近似計算超奇異積分 113
5.1.1 積分公式的提出 113
5.1.2 主要結論 115
5.1.3 當p=1時定理5.1.1的證明 124
5.1.4 唯*性證明 124
5.1.5 當p=2時定理5.1.1的證明 125
5.1.6 數值算例 128
5.2 辛普森公式近似計算區間上二階超奇異積分 130
5.2.1 積分公式的提出 130
5.2.2 主要結論 130
5.2.3 唯*性證明 135
5.2.4 數值算例 137
5.3 牛頓-科茨公式近似計算區間上二階超奇異積分 137
5.3.1 主要結論 138
5.3.2 定理5.3.2的證明 139
5.3.3 超收斂點的存在性 144
5.3.4 數值算例 150
5.4 辛普森公式近似計算區間上三階超奇異積分 151
5.4.1 積分公式的提出 152
5.4.2 主要結論 152
5.4.3 定理5.4.1的證明 158
5.4.4 超收斂點的存在唯*性 158
5.4.5 超收斂點的一些應用 162
5.4.6 數值算例 165
5.5 牛頓-科茨公式近似計算區間上三階超奇異積分 168
5.5.1 積分公式的提出 168
5.5.2 主要結論 171
5.5.3 S′k(τ)的計算 173
5.5.4 定理5.5.2的證明 176
5.5.5 數值算例 182
5.6 牛頓-科茨公式近似計算區間上任意階超奇異積分 184
5.6.1 積分公式的提出 184
5.6.2 主要結論 185
5.6.3 特殊函數S(p)k(τ)的性質 185
5.6.4 數值算例 186
第6章 圓周上超奇異積分的超收斂現象 188
6.1 梯形公式近似計算圓周上的二階超奇異積分 188
6.1.1 積分公式的提出 190
6.1.2 主要結論 192
6.1.3 定理 6.1.3 的證明 199
6.1.4 梯形公式的一些應用 199
6.1.5 數值算例 205
6.2 牛頓-科茨公式近似計算圓周上的二階超奇異積分 207
6.2.1 積分公式和超收斂結論 209
6.2.2 定理6.2.2的證明 211
6.2.3 超收斂點的存在性 222
6.2.4 科茨系數的計算 225
6.2.5 數值算例 227
6.3 梯形公式近似計算圓周上的三階超奇異積分 231
6.3.1 積分公式的提出 231
6.3.2 主要結論 233
6.3.3 定理6.3.1的證明 242
6.3.4 數值算例 246
6.4 辛普森公式近似計算圓周上三階超奇異積分 250
6.4.1 積分公式的提出 251
6.4.2 主要結論 251
6.4.3 定理6.4.1的證明 252
6.4.4 數值算例 260
第7章 外推法近似計算超奇異積分 263
7.1 外推法近似計算區間上二階超奇異積分 263
7.1.1 主要結論 264
7.1.2 定理7.1.1的證明 273
7.1.3 外推算法 275
7.1.4 數值算例 278
7.2 外推法近似計算圓周上二階超奇異積分 281
7.2.1 主要結論 281
7.2.2 定理7.2.1的證明 288
7.2.3 外推算法 290
7.2.4 數值算例 292
第8章 配置法求解區間上和圓周上的超奇異積分方程 296
8.1 基于中矩形公式的配置法求解區間上的超奇異積分方程 296
8.1.1 積分公式的提出 296
8.1.2 主要結論 299
8.1.3 配置法求解區間上的超奇異積分方程 303
8.1.4 數值算例 310
8.2 基于中矩形公式的配置法求解圓周上的超奇異積分方程 312
8.2.1 積分公式的提出 313
8.2.2 主要結論 315
8.2.3 配置法求解圓周上的超奇異積分 321
8.2.4 數值算例 328
參考文獻 330
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超奇異積分的數值計算及應用 節選
第1章引言 超奇異積分是比反常積分更為廣義的一類積分.眾所周知，反常積分是相對于經典的黎曼積分而言的，常見的反常積分包括無限區間上有界函數的積分和有限區間上無界函數的積分，如 我們常見的柯西主值積分的奇異性要比I2的奇異性高.其表達式為 對柯西主值積分的奇異點s求導數就可以得到超奇異積分 盡管形如(1.4)式的超奇異積分早已出現在文獻[60]中，但是由于其積分核的超奇異性，一直沒有得到工程師和數學家的重視.直到20世紀后三十年，隨著奇異積分方程和邊界元方法尤其是自然邊界元方法的發展，超奇異積分的理論和數值計算才再次進入工程師和數學家的視野. 科學與工程中的大量問題可以歸結為無界區域上偏微分方程的數值求解問題[3-11]，如彈性力學、斷裂力學、空氣和流體力學、電磁場、熱傳導和計算生物等.在這些問題中物理區域的無界性給問題的求解帶來了本質性的困難，而已有的成熟的數值方法[12-13]如有限差分法和有限元方法等都不能直接用于該類問題的數值求解.解決這類問題的一個辦法是引進一個人工邊界將無界物理區域分為兩部分:有界的計算區域和余下的無界區域.新引進的人工邊界成為有界計算區域的邊界.在人工邊界上得到原問題的解滿足準確的邊界條件或構造的近似邊界條件.準確的人工邊界元方法也稱為自然邊界元法或Dirichletto Neumann(DtN)方法.在該方向，我國的馮康、韓厚德、余德浩等對該方法的理論發展與實際工程應用做出了開創性的工作，隨后Keller，Givoli，Chen等也對該方法的發展與應用做出重要貢獻. 在積分方程理論方面，一些學者如Kress[113-115]，Lifanov和Poltavskii[131-133]，Vainikko[175]等對積分方程尤其是奇異積分方程的理論做了深入的研究，后來隨著高速大型計算機的出現及其迅猛發展，離散求解積分方程成為可能，但當時由于有限元法的出現并迅速發展，加上其廣泛的適應能力，邊界元方法在一段時間內并未受到足夠的重視.隨著有限元法逐漸成熟，其缺點也逐漸暴露，為尋求能夠彌補有限元法不足的新方法，邊界元法脫穎而出，成為工程分析中的一種新的有效工具之一. 邊界元方法(boundary element method，BEM)的應用具有廣泛的工程背景[273-277，286，287]，在*近的四五十年中得到迅速的發展.國際上許多學者對這一方法的理論和應用作了很大的貢獻，如英國的Brebbia[7-9]，美國的Hsiao[69-83]，德國的Wendland[177-179]，法國的Nedelec[152-155]以及我國的馮康[49-51]、杜慶華[36-39]、余德浩[11-13，20，21-28，30-34，42-45，84-87，89-92，97-99，103-111，117-125，127，129，134-137，139180，182-189，197-244，246-261，266-270，272-275]、韓厚德[62-68]、祝家麟[282-285]、Chen[14-16]等.文獻[302]詳細介紹了自然邊界元方法的*新研究進展. 由不同的邊界歸化方法得到不同類型的邊界積分方程，它們可能是非奇異的，可能是弱奇異的，可能是柯西型[60]奇異的，也可能是超奇異[41，163，164]的.而由自然邊界歸化得到的積分方程都是超奇異的.相應的超奇異積分在通常黎曼意義下是發散的，沒有意義的.由于其超奇異性帶來的數值計算的困難以及對這類積分的定義和性質沒有足夠的理解，在很長的一段時間內人們都極力避免去計算超奇異積分.直到20世紀七八十年代，隨著科技的進步和計算機技術的發展，關于超奇異積分計算的研究工作才開始重新得到關注. 隨著人們對超奇異積分的深入研究，適用于計算超奇異積分的相應的數值求積公式漸漸出現，主要包括高斯型求積公式[17，94，95，100，101，164，168，173，174]、復化牛頓-科茨公式[19，118-124，137，138，141，182，190-194，262，263，302]、整體插值型公式[54，55，61，157，164，167，171，172]、基于Sigmoidal變換的求積公式[46-48]、離散渦法[131，132]等.當密度函數充分光滑時，高斯求積方法和S型變換法非常有效.當解函數的光滑性較低時，上述兩種方法就失去了其優越性，而復化牛頓-科茨法基于分片插值適合解函數光滑性較低的情況.另外，復化牛頓-科茨公式在數值上更加容易實現，并且它對網格的選取相對靈活和寬松. 超奇異積分的復化牛頓-科茨公式*早由美國學者Linz[141]提出，他給出二階超奇異積分的復化梯形公式和辛普森公式以及相應的誤差估計，其中特別強調了網格選取的重要中點法來克服這一難點.隨后余德浩[213，219]對該方法做了推廣，首次給出了奇異點與剖分節點重合的梯形公式，后來也對圓周上的超奇異積分給出了梯形公式的計算方法.他還提出了在奇異點附近節點幾何加密以提高計算精度的方法.近年來，超奇異積分的超收斂現象也得到了關注.文獻[194]研究了區間上二階超奇異積分任意階復化牛頓-科茨公式的超收斂現象，證明超收斂現象出現在某個函數零點，從本質上揭示了超收斂現象產生的原因.對于圓周上的超奇異積分，文獻[260]給出了復化牛頓-科茨公式的計算公式和相應的超收斂現象，發現了圓周上超收斂現象出現在某些Clausen函數[176]的線性組合的零點，并找到了圓周上與區間上二階超奇異積分的某種關系. 使用外推法來加速收斂的技巧已經被廣泛應用到計算數學的各個領域[40，130，142，144，166，280，286，287]，但研究超奇異積分的外推算法理論還相對較少，文獻[117，122]研究了區間上和圓周上梯形公式近似計算二階超奇異積分誤差展開式，當密度函數足夠光滑時，在有限部分積分定義下，僅離散密度函數給出了誤差泛函中奇異部分的顯式表達式;提出了超奇異積分基于有限部分積分定義的外推算法. 目前，對于已有的奇異積分的超收斂的結論僅局限于一維奇異積分和超奇異積分的情況.在工程計算應用廣泛的配置法中，一般配置點取為節點，這在計算時是簡單有效的;而對奇異積分在已有超收斂現象的基礎之上，一個自然的想法是把配置點取為超收斂點，以此來提高奇異積分方程或超奇異積分方程的計算精度.在這方面，對于特殊的配置點法，將詳細介紹基于中點公式的求解區間上[196]和圓周上[52]的超奇異積分方程的理論分析. 第2章邊界歸化方法和典型域上的超奇異積分方程 邊界元方法是將區域內的偏微分方程的邊值問題歸化到邊界上，然后在邊界上離散化求解的一種數值計算方法，其基礎在于邊界歸化，即將區域內的微分方程邊值問題歸化為在數學上等價的邊界上的積分方程.邊界歸化的途徑很多，可以從同一邊值問題得到許多不同的邊界積分方程.不同的邊界歸化途徑可能導致不同的邊界元方法.本章主要由兩部分構成，包括邊界歸化方法的介紹和典型域上的Poisson積分公式及超奇異積分方程. 2.1邊界歸化方法 這一部分簡要介紹通用的兩種邊界歸化方法(間接邊界歸化方法和直接邊界歸化方法)、邊界積分方程的數值解法(包括配置法和Galerkin方法)以及自然邊界歸化的基本思想. 2.1.1間接邊界歸化方法 間接邊界歸化是從基本解及位勢理論出發得到Fredholm積分方程的.這是經典的邊界歸化方法.此時積分方程的未知量不是原問題的解的邊值，而是引入的新變量，因此這種歸化被稱為間接邊界歸化.下面以二維調和方程的邊值問題為例進行說明. 考察以逐段光滑的簡單(無自交點)閉曲線Γ為邊界的平面有界區域內的調和方程**邊值問題：及第二邊值問題其中，表示拉普拉斯算子，n為Γ上的外法線方向.邊值問題(2.1.1)存在唯*解，而邊值問題(2.1.2)在滿足相容性條件時，在差一個任意常數的意義下有唯*解. 類似地，考察Ω的補集的內部Ω′上的調和方程**邊值問題：及第二邊值問題邊值問題(2.1.3)與(2.1.4)解的唯*性依賴于u在無窮遠處的性態，即必須對解在無窮遠處的性態做一定的限制才能保證解的唯*性. 為了建立解的積分表達式，要用到如下Green公式 其中 表示梯度算子，以及由此推導出的Green第二公式 今后簡記又已知二維調和方程的基本解為 其中為平面上的某定點.基 這里δ( )為二維Dirac-δ函數，其定義如下： 且 它是一個廣義函數，對任意連續函數φ(x)，滿足 詳見文獻[2，53]. 下面的定理給出了上述邊值問題的解的積分表達式. 定理2.1.1設u為Ω和Ω′中二次可微函數，分別有 且滿足 若，則 其中規定法線方向總是指向Ω的外部，即由Ω指向Ω′，intΓ及extΓ分別表示Γ的內側及外側，
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