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常微分方程穩定性基本理論及應用 版權信息
- ISBN：9787030704993
- 條形碼：9787030704993 ; 978-7-03-070499-3
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
常微分方程穩定性基本理論及應用 內容簡介
常微分方程穩定性理論和Lyapunov函數方法的重要價值與意義在一百多年來的發展歷史中已經得到了充分的證明，形成了從理論到應用的一個很好豐富的體系.本書較系統地介紹了常微分方程穩定性理論和Lyapunov函數方法的基礎內容和應用，從中讀者可基本了解常微分方程穩定性理論的發展狀況和研究方法.本書共計二十一節內容，可劃分為兩個部分.**部分從第1節到第12節，內容包括：基本定理，穩定性基本定義，Lyapunov函數，穩定、漸近穩定、不穩定和全局穩定的基本定理，解的漸近性質，穩定性比較方法，解的有界性定理等.第二部分從第13節到第21節，內容包括：Lyapunov函數構造方法基礎和穩定性理論在力學系統、商品價格系統、種群動力系統、傳染病模型、控制系統和神經網絡的基本應用等.本書適用于數學各專業高年級本科生和研究生，以及從事微分方程理論及應用教學與科學研究的教師與科技工作者。
常微分方程穩定性基本理論及應用 目錄
目錄
《生物數學叢書》序
前言
第1節 常微分方程基本概念 1
1.1 常微分方程的定義 1
1.2 解的定義 2
1.3 相空間、軌線、平衡點、周期解 3
1.4 自治方程、周期方程、線性方程 4
第2節 基本定理 5
第3節 穩定性的基本定義 15
第4節 Lyapunov函數 29
第5節 穩定的基本定理 37
第6節 漸近穩定的基本定理 42
第7節 不穩定的基本定理 52
第8節 全局漸近穩定的基本定理 57
第9節 解的漸近性質 65
第10節 解的一般有界性 71
第11節 解的*終有界性 82
第12節 穩定性的比較原理 92
第13節 線性方程組的Lyapunov函數 101
第14節 線性近似決定的穩定性 108
第15節 類比法構造Lyapunov函數 112
第16節 力學系統的穩定性 120
第17節 生物種群系統的穩定性 126
17.1 幾個基本概念 126
17.2 單種群模型 127
17.3 捕食與食餌模型 130
17.4 一般兩種群Lotka-Volterra模型 136
第18節 傳染病系統的穩定性 140
第19節 市場價格系統的穩定性 148
19.1 模型、問題和假設 148
19.2 預備引理 151
19.3 主要結論 152
第20節 控制系統的穩定性 163
20.1 間接控制系統的絕對穩定性 164
20.2 直接控制系統的穩定性 167
第21節 人工神經網絡模型的穩定性 170
21.1 細胞神經網絡模型的平衡點和穩定性 172
21.2 Cohen-Grossberg神經網絡模型的平衡點和穩定性 176
參考文獻 180
《生物數學叢書》已出版書目 181
《生物數學叢書》序
前言
第1節 常微分方程基本概念 1
1.1 常微分方程的定義 1
1.2 解的定義 2
1.3 相空間、軌線、平衡點、周期解 3
1.4 自治方程、周期方程、線性方程 4
第2節 基本定理 5
第3節 穩定性的基本定義 15
第4節 Lyapunov函數 29
第5節 穩定的基本定理 37
第6節 漸近穩定的基本定理 42
第7節 不穩定的基本定理 52
第8節 全局漸近穩定的基本定理 57
第9節 解的漸近性質 65
第10節 解的一般有界性 71
第11節 解的*終有界性 82
第12節 穩定性的比較原理 92
第13節 線性方程組的Lyapunov函數 101
第14節 線性近似決定的穩定性 108
第15節 類比法構造Lyapunov函數 112
第16節 力學系統的穩定性 120
第17節 生物種群系統的穩定性 126
17.1 幾個基本概念 126
17.2 單種群模型 127
17.3 捕食與食餌模型 130
17.4 一般兩種群Lotka-Volterra模型 136
第18節 傳染病系統的穩定性 140
第19節 市場價格系統的穩定性 148
19.1 模型、問題和假設 148
19.2 預備引理 151
19.3 主要結論 152
第20節 控制系統的穩定性 163
20.1 間接控制系統的絕對穩定性 164
20.2 直接控制系統的穩定性 167
第21節 人工神經網絡模型的穩定性 170
21.1 細胞神經網絡模型的平衡點和穩定性 172
21.2 Cohen-Grossberg神經網絡模型的平衡點和穩定性 176
參考文獻 180
《生物數學叢書》已出版書目 181
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常微分方程穩定性基本理論及應用 節選
第1節 常微分方程基本概念 1.1 常微分方程的定義 設R=(-∞，∞)，Rn表示n維歐氏空間，對任何向量x∈Rn，x的模記為|x|.設是一個區域，是一個已知的標量函數.設x=x(t)是一個以t∈R為自變量的未知函數，則如下關系式 (1.1) 稱為一個n階常微分方程，簡稱n階方程. 進一步，設是一個已知的n維向量函數.設x=x(t)是一個以t∈R為自變量的n維向量未知函數，則如下關系式 (1.2) 稱為一個n維一階常微分方程組，簡稱一階方程組. 如果我們令 和 則一階方程組(1.2)可以寫成如下聯立方程組的形式: 此外，n階方程(1.1)也可以通過引進如下的變量轉化成一階方程組的形式.具體方法如下:設，則我們有 這是一個n維的一階方程組. 由于任何一個n階方程都可以通過上述方法轉化為一個n維的一階方程組， 因此從第2節開始我們只對一階方程組進行討論. 1.2 解的定義 設x=x(t)是定義于區間I.R上的有直到n階導數的標量函數，如果對一切，則稱x(t)是n階方程(1.1)定義在區間I上的一個解. 設x=x(t)是定義于區間I.R上的有一階導數的n維向量函數，如果我們有對一切t∈I，則稱x(t)是一階方程組(1.2)定義在區間I上的一個解. 顯然，一個常微分方程可以有許多個解.將一個方程的所有解放在一起組成一個函數集合，稱為這個方程的解集合.為了確定常微分方程的某個固定的解，就需要確定這個解的定解條件.定解條件通常有初始條件和邊界條件.這里我們主要關心初始條件.對于n階方程(1.1)，初始條件通常定義為如下形式: (1.3) 其中t0∈R稱為初始時刻，稱為初始值，它們都是已知的值.對于一階方程組(1.2)，初始條件通常定義為如下形式: (1.4) 其中t0∈R稱為初始時刻，x0∈Rn稱為初始值，并且它們都是已知的值. 確定n階方程(1.1)的滿足初始條件(1.3)的解的問題稱為n階方程(1.1)的初值問題，通常記為確定一階方程組(1.2)的滿足初始條件(1.4)的解的問題稱為一階方程組(1.2)的初值問題，通常記為 1.3 相空間、軌線、平衡點、周期解 對于一階方程組(1.2)，我們稱變量x所在的空間Rn為它的相空間. 設x=x(t，t0，x0)是一階方程組(1.2)的滿足初始條件(1.4)的解，定義區間為I，顯然t0∈I.則相空間Rn中的集合 和 分別稱為解x(t，t0，x0)所對應的軌線、正半軌線和負半軌線.有時也稱軌線為積分曲線. 對于一階方程組(1.2)，如果存在一個常數向量使得對一切t∈R，則稱是它的一個平衡點. 顯然，一階方程組(1.2)的平衡點x=x.也是它的一個解，并且是常數解. 設x=x(t)是方程組(1.2)定義于[t0，∞)上的一個解，如果存在常數ω>0使得x(t+ω)=x(t)對一切成立，則稱x(t)是方程組(1.2)的一個周期解，且ω是它的一個周期.注意，ω可能不唯一. 設是周期解x(t)的一個周期.如果T>0，則T也是周期解x(t)的一個周期，稱為*小周期.通常，我們稱T>0是解x(t)的周期，指的就是它的*小周期.此時x(t)也被稱作T-周期解. 平衡點和周期解是方程組(1.2)的兩類特殊解，它們在一階方程組(1.2)的解的性質的研究中具有非常重要的作用. 1.4 自治方程、周期方程、線性方程 在常微分方程理論中，我們通常把方程組(1.2)稱為非自治的微分方程組，簡稱非自治方程組.若方程組(1.2)的右端函數f(t，x)不顯含時間t，即方程組(1.2)變為 (1.5) 這里f(x)是定義在在區域G.Rn上的已知幾維向量函數，且滿足局部的Lipschitz條件，此時我們稱為自治的微分方程組簡稱自治方程組.若方程組(1.2)的右端函數f(t，x)關于t是周期的，即存在常數ω>0使得對任何的(t，x)∈R×G都有則我們稱方程組(1.2)是周期的微分方程組，也稱作ω-周期方程組.顯然自治的和周期的方程組都是非自治方程組的特殊情況.若方程組(1.2)的右端函數f(t，x)關于x是線性的，即 其中，A(t)是n×n函數矩陣，f(t)是n維向量函數，則稱方程組(1.2)是非齊次線性方程組，即 (1.6) 若有f(t)≡0，即 (1.7) 則稱為齊次線性方程組，若還有A(t)≡A為一個常數矩陣，即 (1.8) 則稱為常系數齊次線性方程組. 第2節 基本定理 本節將介紹常微分方程解的一些基本定理，即解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解對初值的連續性定理，以及解對參數的連續性定理，它們是本書所涉及內容的理論基礎. 考慮如下一般形式的n維常微分方程組 (2.1) 其中是定義于區域Ω.R×Rn上的n維向量函數，即. 定義2.1 (1)稱f(t，x)在Ω上關于x滿足Lipschitz條件，如果存在常數L>0使得對任意的(t，x1)，(t，x2)∈Ω都有. (2)稱f(t，x)在Ω上關于x滿足局部的Lipschitz條件，如果對任意的(t0，x0)∈Ω，存在(t0，x0)的一個鄰域和一個常數，使得對任意的(t，x1)，(t，x2)∈U都有 這里，常數L通常稱為Lipschitz常數. 在本節中我們始終假設方程組(2.1)的右端函數f(t，x)在Ω上連續，并且關于x滿足局部的Lipschitz條件. 首先研究方程組(2.1)的初值問題的解的存在唯一性問題，我們有下面的結果. 定理2.1(解的存在唯一性定理)對任何(t0，x0)∈Ω，初值問題 (2.2) 存在唯一的解，定義于區間Δ=[t0.h，t0+h]，且滿足.(t0)=x0，這里h>0是某個確定的常數. 關于這個定理的證明我們有許多種方法，其中之一就是逐步逼近法，這個方法在常微分方程教程中都有敘述.還有一個方法就是使用Banach壓縮映射原理. 下面我們介紹這個方法. 證明選取(t0，x0)在Ω中的一個矩形鄰域如下: 并且使得f(t，x)在此鄰域內關于x滿足Lipschitz條件，L為相應的Lipschitz常數，其中a和b是正常數.我們令常數. 首先，不難證明，在定理條件下，初值問題(2.2)的定義于Δ上的解的存在唯一性等價于如下積分方程的定義于Δ上的連續解的存在唯一性. (2.3) 不失一般性，以下我們只就Δ的右半區間Δ+=[t0，t0+h]來討論，至于左半區間的情況是類似的. 我們用C[Δ+]表示所有定義于Δ+上的n維連續函數.構成的空間，并且定義它的模為 其中β>L是一個常數.空間C[Δ+]有下面的一個重要性質. 壓縮映射原理設D是空間中的一個非空閉子集，而T是D到其自身的一個映射.設存在常數0 這個原理是由波蘭數學家Banach建立的，也稱作Banach壓縮映射原理.它是泛函分析理論中一個非常重要的結果，在泛函分析教程中都有證明，因此我們這里就不給出證明了. 選取C[Δ+]中的一個閉子集合
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