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抽象代數選講 版權信息
- ISBN：9787030715111
- 條形碼：9787030715111 ; 978-7-03-071511-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
抽象代數選講 內容簡介
本書內容大致分為兩部分，-14講為基礎部分，第15-18講為提高部分，基礎部分包括：代數學中的主要基礎性概念、常用方法及典型實例。將自然引入交換環、可換群，以及一般的環、群、域、模、向量空間及線性映射等概念；給出整數環、多項式環、矩陣環及群的一些實例；討論域的擴張及其Galois理論。作為這些基本概念與方法的應用，本書將給出代數基本定理的一個完整證明。提高部分包括：模的范疇與函子等基本知識；投射模與內射模的定義及其等價的描述；雙模及其張量積的構造等等。作為張量積的應用，給出了交換環上非結合代數與結合代數的概念，定義了張量代數及其某些重要的商代數：對稱代數、外代數、李代數的泛包絡代數等；*后，簡要介紹了半單代數表示的一些基礎內容。
抽象代數選講 目錄
目錄
第1講整數環的假設1
第2講交換環的同構與同態12
第3講有理數域與局部化環23
第4講多項式子環與擴環35
第5講唯一分解整環47
第6講模的概念與基本性質60
第7講自由模及其自同態環71
第8講主理想整環上的模83
第9講集合上的對稱群95
第10講群的基本性質106
第11講有限群的子群結構：西羅子群定理117
第12講域的基本知識125
第13講域擴張的Galois理論137
第14講代數基本定理的證明146
第15講模的張量積154
第16講模的范疇與函子167
第17講幾種常見的自由代數結構180
第18講Wedderburn定理190
參考文獻202
附錄關于實數的基本知識203
索引217
第1講整數環的假設1
第2講交換環的同構與同態12
第3講有理數域與局部化環23
第4講多項式子環與擴環35
第5講唯一分解整環47
第6講模的概念與基本性質60
第7講自由模及其自同態環71
第8講主理想整環上的模83
第9講集合上的對稱群95
第10講群的基本性質106
第11講有限群的子群結構：西羅子群定理117
第12講域的基本知識125
第13講域擴張的Galois理論137
第14講代數基本定理的證明146
第15講模的張量積154
第16講模的范疇與函子167
第17講幾種常見的自由代數結構180
第18講Wedderburn定理190
參考文獻202
附錄關于實數的基本知識203
索引217
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抽象代數選講 節選
第1講 整數環的假設 什么是整數？初看起來， 這是一個極其簡單且平凡的問題. 我們從中小學開始認識整數， 熟悉并掌握了整數的加法與乘法運算， 并能夠利用一些法則去化簡整數的代數表達式. 但是， 我們并沒有 (也不可能， 至少到目前為止) 用 “整體” 的觀點去理解整數及其運算規則， 盡管這種 “整體” 的觀點是構建代數學中的基本代數結構的本質所在. 從現在開始， 我們要采用這種 “整體” 的觀點討論整數、整數的運算及其運算規則， 從而可以進一步學習和探討比較深入的代數學及其相關的數學內容， 這些內容可以看成是整數的 “整體” 觀點的自然延伸、抽象與拓廣. 我們首先嚴格化“整體” 的說法， 即使用樸素集合論的語言， 并利用關于自然數的基礎知識， 給出整數、整數集、整數環的如下 “整體” 的解釋. 假設 1.1 設 N 為自然數集: N = {0， 1， 2， }， 它的子集 Z+ = f1， 2， 3， }稱為正整數集， 其元素稱為正整數. 令 Z_={-1，-2，-3， }， 它是對應于正整數集的負整數集， 其元素稱為負整數; 再取這些相關集合的并集， 就得到整數集:整數集 Z 中的任何元素稱為一個整數. 整數集 Z 上有兩個基本運算: 整數的加法運算 “+” 與整數的乘法運算 “×”(通常也記為“ ”， 或者直接并列兩個整數， 以表示它們的乘積); 這兩個運算滿足如下八條運算規則: 8a， b， c 2 Z， 有 (1) 加法結合律: (a + b) + c = a + (b + c); (2) 加法交換律: a + b = b + a; (3) 有零元素: 存在 0∈Z， 使得 a + 0 = 0 + a = a; (4) 有負元素: 存在 -a∈Z， 使得 a + (-a) = (-a) + a = 0; (5) 乘法結合律: (a b) c = a (b c); (6) 有單位元: 存在 1∈Z， 使得 a 1 = 1 a = a; (7) 乘法關于加法的分配律: a (b + c) = a b + a c， (b + c) a = b a + c a; (8) 乘法交換律: a b = b a. 所有整數構成的集合 Z， 帶有加法與乘法兩個運算， 并滿足上述八條運算規則， 稱為有單位元的整數交換環， 簡稱為整數環. 注記 1.2 本講關于整數環的假設的含義是指: (1) 對整數的這些眾所周知的基本事實， 我們不探究其邏輯推導細節， 只是羅列這些結果并隨時應用它們; (2) 我們默認整數環 Z 是通過自然數集合 N、自然數的運算及其運算規則構造出來的. 特別地， 整數的加法與乘法運算都可以通過自然數的加法與乘法運算來描述. 在此基礎上， 還可以證明: 任何兩個非零整數的乘積均不為零. 關于自然數的公理化定義， 自然數的運算及其規則， 整數、整數環的更嚴格的定義， 以及這方面的詳細論述可查閱相關文獻， 比如文獻 [1-2] 等. 假設 1.3 在整數環 Z 中， 兩個整數乘積為零當且僅當它們中至少一個為零. 練習 1.4 直接根據前面整數的運算規則說明: 任何整數×整數 0 = 整數 0. 注記 1.5 按照下面的方式， 還可以定義整數的減法運算 (非基本運算): 即， 整數的減法運算是由加法與取負運算復合得到的一個新的運算. 讀者不難驗證: 減法運算不滿足結合律與交換律. 注記 1.6 在假設 1.1 中， 我們用到集合的一些相關概念. 通俗來說， 一個集合是由它的所有元素構成的一個整體; 要確定一個集合， 就是要明確它是由哪些元素組成的. 比如， 自然數集 N 是所有自然數構成的一個集合， 整數集 Z 是所有整數構成的一個集合; 地球上所有人構成的集合為 “人類”， 國籍為中國的所有人構成的集合為“中國人”; 等等， 集合的例子不勝枚舉. 按照通常的做法， 一般用大寫英文字母表示一個集合， 而集合的元素用小寫英文字母來表示. 比如， 集合 X、集合 X 的元素 x 等等. 稱一個集合 Y 是另一個集合 X 的一個子集， 記為， 如果Y中的任意元素 y (記為 y∈Y ) 必包含于 X 中 (即 y∈X). 比如， 自然數集 N 是整數集 Z的一個子集; 集合 “中國人” 是集合 “人類” 的一個子集; 等等. 一個集合的若干子集的交集， 由所有這些子集的公共元素組成; 一個集合的若干子集的并集， 由屬于這些子集的所有元素合并得到. 集合 X 的子集 Yi(i∈ I) 的交與并通常寫成形式: 即有下列等式 把前面的整數環中的整數 “抽象” 成一般的元素， 把整數的加法與乘法運算“抽象” 成一般元素的運算， 并要求滿足完全相同的運算規則， 就得到 “抽象代數”中的有單位元的交換環的概念. 定義 1.7 (交換環) 設 R 是一個非空集合， 在 R 上定義了兩個 “抽象” 的運算， 一個是加法 “+”， 另一個是乘法 “ ”. 如果這兩個運算滿足前面整數環假設中的全部八條規則 (這里需要把整數集 Z 替換成集合 R)， 則稱 R 是一個有單位元的交換環， 簡稱為交換環. 注記 1.8 在上述交換環的定義中， 如果只考慮加法運算及其相應的運算規則， 我們將得到下面的可換群的概念. 可換群也是一個基本的代數學概念， 以后將有很多篇幅討論它們， 以及它們的一般形式: 群的概念. 現在引入可換群是因為它和交換環等概念的密切聯系. 定義 1.9 (可換群) 設 G 是一個非空集合， 在 G 上定義了一個 “抽象” 的加法運算 “+”. 稱 G 是一個可換群或交換群， 也稱其為 Abel 群， 如果它的加法運算滿足前面整數環假設中的前四條規則: 對 a， b， c ∈G， 有 (1) 加法結合律: (a + b) + c = a + (b + c); (2) 加法交換律: a + b = b + a; (3) 有零元素: 存在 0 ∈ G， 使得 a + 0 = 0 + a = a; (4) 有負元素: 存在-a∈ G， 使得 a + (-a) = (-a) + a = 0. 練習 1.10 (i) 設 R 是任意給定的交換環， 有加法零元素 0 及乘法單位元 1， 用 a 表示元素 a 2 R 的負元素. 利用交換環的運算規則， 推導下列等式 在此基礎上， 按照自然方式給出交換環 R 中的元素 a 的倍數的定義: na， n∈Z. 對可換群 G， 考慮類似的問題: 定義一個元素的任意整數倍數. (ii) 證明: 在任意交換環 R 中， 乘法關于減法運算的分配律成立， 即對任意元素 a， b， c∈R， 有下列等式 a(b-c) = ab-ac. 例 1.11 整數環 Z 是一個交換環 (交換環的**個例子); 整數集 Z 關于其加法運算構成一個可換群， 也稱其為整數加法群. 通過對整數及其運算的討論， 尤其是考慮到整數加法與乘法運算所滿足的運算規則的假設， 我們抽象出了交換環與可換群的概念. 交換環與可換群是抽象代數中*基本的概念， 也是隨后將要討論的主要代數對象之一， 它們的具體實例還有很多， 以后將陸續給出. 在整數環 Z 中， 任給兩個整數 m， n， 可以做加法、乘法運算， 分別得到整數: m + n， m n 2 Z. 按照注記 1.5 的方式， 也可以對它們做減法， 得到整數: m-n.
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