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分?jǐn)?shù)階信號(hào)合成與分?jǐn)?shù)階濾波技術(shù) 版權(quán)信息
- ISBN：9787030669599
- 條形碼：9787030669599 ; 978-7-03-066959-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊(cè)數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
分?jǐn)?shù)階信號(hào)合成與分?jǐn)?shù)階濾波技術(shù) 本書特色
本書介紹的分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)是信號(hào)處理領(lǐng)域的前沿性研究課題，對(duì)于豐富和發(fā)展分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理理論方法、擴(kuò)展與完善統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理的理論體系及推動(dòng)其在各領(lǐng)域的應(yīng)用，具有重要的意義。
分?jǐn)?shù)階信號(hào)合成與分?jǐn)?shù)階濾波技術(shù) 內(nèi)容簡介
本書內(nèi)容涵蓋固定階次分?jǐn)?shù)階微積分、可變階次分?jǐn)?shù)階微積分和分布階次分?jǐn)?shù)階微積分信號(hào)處理技術(shù)。在深入討論分?jǐn)?shù)階信號(hào)與分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，給出可變階次分?jǐn)?shù)階高斯噪聲以及可變階次分?jǐn)?shù)階Alpha穩(wěn)定分布噪聲的合成方法。應(yīng)用時(shí)域分析方法對(duì)分布階次分?jǐn)?shù)階微/積分器、分布階次分?jǐn)?shù)階低通濾波器和分布參數(shù)分?jǐn)?shù)階低通濾波器的沖激響應(yīng)進(jìn)行了詳細(xì)分析，給出分布階次分?jǐn)?shù)階濾波器的沖激響應(yīng)不變離散化方法。 此外，為了方便讀者應(yīng)用本書中的研究成果，給出分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)在工程領(lǐng)域中的應(yīng)用實(shí)例。本書為豐富和發(fā)展分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理的理論體系提供了新思路。 本書可供從事相關(guān)科研工作、需要對(duì)分?jǐn)?shù)階特征隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行處理的研究人員和工程技術(shù)人員學(xué)習(xí)與參考，也可作為高等院校和科研院所信號(hào)與信息處理專業(yè)的教輔資料。
分?jǐn)?shù)階信號(hào)合成與分?jǐn)?shù)階濾波技術(shù) 目錄
目錄
前言
第1章 分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理的理論基礎(chǔ) 1
1.1 分?jǐn)?shù)階微積分 4
1.2 Alpha穩(wěn)定分布 6
1.3 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換 7
1.4 本章小結(jié) 8
第2章 分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào) 9
2.1 固定階次分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào) 9
2.1.1 長相關(guān)隨機(jī)信號(hào) 9
2.1.2 固定階次分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)與固定階次分?jǐn)?shù)階高斯噪聲 10
2.1.3 線性固定階次分?jǐn)?shù)階Alpha穩(wěn)定分布運(yùn)動(dòng)與穩(wěn)定分布噪聲 13
2.2 可變階次分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào) 15
2.2.1 可變階次分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)與可變階次分?jǐn)?shù)階高斯噪聲 16
2.2.2 線性可變階次分?jǐn)?shù)階Alpha穩(wěn)定分布運(yùn)動(dòng)與穩(wěn)定分布噪聲 17
2.3 分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)估計(jì) 17
2.3.1 重尾分布參數(shù)估計(jì) 17
2.3.2 Hurst參數(shù)估計(jì) 19
2.3.3 滑動(dòng)窗局部Holder指數(shù)估計(jì) 31
2.3.4 滑動(dòng)窗局部Hoder指數(shù)改進(jìn)算法 34
2.4 本章小結(jié) 46
第3章 分?jǐn)?shù)階信號(hào)合成及分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的物理實(shí)現(xiàn) 47
3.1 Alpha穩(wěn)定分布序列的合成 48
3.2 固定階次分?jǐn)?shù)階信號(hào)合成 50
3.3 可變階次分?jǐn)?shù)階信號(hào)合成 52
3.3.1 可變階次分?jǐn)?shù)階高斯噪聲合成方法 52
3.3.2 可變階次分?jǐn)?shù)階高斯噪聲合成實(shí)例 53
3.4 固定階次分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的物理實(shí)現(xiàn) 56
3.4.1 固定階次分?jǐn)?shù)階微/積分器介紹 56
3.4.2 固定階次分?jǐn)?shù)階微/積分器的物理實(shí)現(xiàn) 57
3.5 可變階次分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的物理實(shí)現(xiàn) 59
3.5.1 隨溫度變化的可變階次分?jǐn)?shù)階微/積分器的物理實(shí)現(xiàn) 59
3.5.2 模擬可變階次分?jǐn)?shù)階微/積分器應(yīng)用前景分析 63
3.6 本章小結(jié) 63
第4章 分?jǐn)?shù)階濾波器 65
4.1 固定階次分?jǐn)?shù)階濾波器 65
4.1.1 固定階次分?jǐn)?shù)階濾波器 沖激響應(yīng)分析 66
4.1.2 基于沖激響應(yīng)不變法的 濾波器離散化 70
4.2 分布階次分?jǐn)?shù)階微分器與積分器 74
4.2.1 分布階次分?jǐn)?shù)階微/積分器沖激響應(yīng)分析 75
4.2.2 基于沖激響應(yīng)不變法的分布階次分?jǐn)?shù)階微/積分器離散化 76
4.3 分布階次分?jǐn)?shù)階低通濾波器 78
4.3.1 分布階次分?jǐn)?shù)階低通濾波器沖激響應(yīng)分析 79
4.3.2 基于沖激響應(yīng)不變法的分布階次分?jǐn)?shù)階低通濾波器離散化 80
4.4 分布參數(shù)分?jǐn)?shù)階低通濾波器 82
4.4.1 分布參數(shù)分?jǐn)?shù)階低通濾波器沖激響應(yīng)分析 82
4.4.2 基于沖激響應(yīng)不變法的分布參數(shù)分?jǐn)?shù)階低通濾波器離散化 85
4.5 本章小結(jié) 86
第5章 *優(yōu)分?jǐn)?shù)階阻尼器 87
5.1 分布階次分?jǐn)?shù)階質(zhì)點(diǎn)-彈簧黏彈性阻尼系統(tǒng) 88
5.2 基于頻域方法的*優(yōu)分?jǐn)?shù)階阻尼系統(tǒng) 90
5.3 基于時(shí)域方法的*優(yōu)分?jǐn)?shù)階阻尼系統(tǒng) 92
5.4 本章小結(jié) 97
第6章 分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用 98
6.1 基于分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)的生物腐蝕電化學(xué)噪聲分析 98
6.1.1 實(shí)驗(yàn)方法及數(shù)據(jù)獲取 98
6.1.2 基于整數(shù)階信號(hào)處理技術(shù)的常規(guī)分析方法 99
6.1.3 基于分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)的分析方法 103
6.2 分子運(yùn)動(dòng)的重尾分布及局部記憶特征分析 110
6.2.1 重尾分布 111
6.2.2 分子運(yùn)動(dòng)時(shí)間序列 112
6.2.3 分子運(yùn)動(dòng)時(shí)間序列的無限二階統(tǒng)計(jì)量及重尾分布分析 115
6.2.4 分子運(yùn)動(dòng)時(shí)間序列的長記憶及局部記憶分析 117
6.3 人體睡眠腦電信號(hào)的可變分?jǐn)?shù)階特性分析 119
6.3.1 數(shù)據(jù)介紹及分析方法 120
6.3.2 人體睡眠腦電信號(hào)的分?jǐn)?shù)階特性分析 121
6.3.3 人體睡眠腦電信號(hào)的局部Hoder指數(shù)估計(jì) 123
6.4 本章小結(jié) 125
第7章 分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)在網(wǎng)絡(luò)流量分析中的應(yīng)用 127
7.1 網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)自相似性分析 129
7.1.1 網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)自相似原因 129
7.1.2 網(wǎng)絡(luò)流量自相似對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響 130
7.1.3 傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)模型 131
7.1.4 網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)的長相關(guān)模型 136
7.1.5 幾種自相似網(wǎng)絡(luò)流量模型的評(píng)價(jià) 138
7.2 網(wǎng)絡(luò)流量分?jǐn)?shù)階模型建立 139
7.2.1 網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)的ARIMA模型分析 139
7.2.2 網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)的FARIMA模型分析 141
7.3 網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測分析 147
7.4 本章小結(jié) 150
參考文獻(xiàn) 151
前言
第1章 分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理的理論基礎(chǔ) 1
1.1 分?jǐn)?shù)階微積分 4
1.2 Alpha穩(wěn)定分布 6
1.3 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換 7
1.4 本章小結(jié) 8
第2章 分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào) 9
2.1 固定階次分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào) 9
2.1.1 長相關(guān)隨機(jī)信號(hào) 9
2.1.2 固定階次分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)與固定階次分?jǐn)?shù)階高斯噪聲 10
2.1.3 線性固定階次分?jǐn)?shù)階Alpha穩(wěn)定分布運(yùn)動(dòng)與穩(wěn)定分布噪聲 13
2.2 可變階次分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào) 15
2.2.1 可變階次分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)與可變階次分?jǐn)?shù)階高斯噪聲 16
2.2.2 線性可變階次分?jǐn)?shù)階Alpha穩(wěn)定分布運(yùn)動(dòng)與穩(wěn)定分布噪聲 17
2.3 分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)估計(jì) 17
2.3.1 重尾分布參數(shù)估計(jì) 17
2.3.2 Hurst參數(shù)估計(jì) 19
2.3.3 滑動(dòng)窗局部Holder指數(shù)估計(jì) 31
2.3.4 滑動(dòng)窗局部Hoder指數(shù)改進(jìn)算法 34
2.4 本章小結(jié) 46
第3章 分?jǐn)?shù)階信號(hào)合成及分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的物理實(shí)現(xiàn) 47
3.1 Alpha穩(wěn)定分布序列的合成 48
3.2 固定階次分?jǐn)?shù)階信號(hào)合成 50
3.3 可變階次分?jǐn)?shù)階信號(hào)合成 52
3.3.1 可變階次分?jǐn)?shù)階高斯噪聲合成方法 52
3.3.2 可變階次分?jǐn)?shù)階高斯噪聲合成實(shí)例 53
3.4 固定階次分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的物理實(shí)現(xiàn) 56
3.4.1 固定階次分?jǐn)?shù)階微/積分器介紹 56
3.4.2 固定階次分?jǐn)?shù)階微/積分器的物理實(shí)現(xiàn) 57
3.5 可變階次分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的物理實(shí)現(xiàn) 59
3.5.1 隨溫度變化的可變階次分?jǐn)?shù)階微/積分器的物理實(shí)現(xiàn) 59
3.5.2 模擬可變階次分?jǐn)?shù)階微/積分器應(yīng)用前景分析 63
3.6 本章小結(jié) 63
第4章 分?jǐn)?shù)階濾波器 65
4.1 固定階次分?jǐn)?shù)階濾波器 65
4.1.1 固定階次分?jǐn)?shù)階濾波器 沖激響應(yīng)分析 66
4.1.2 基于沖激響應(yīng)不變法的 濾波器離散化 70
4.2 分布階次分?jǐn)?shù)階微分器與積分器 74
4.2.1 分布階次分?jǐn)?shù)階微/積分器沖激響應(yīng)分析 75
4.2.2 基于沖激響應(yīng)不變法的分布階次分?jǐn)?shù)階微/積分器離散化 76
4.3 分布階次分?jǐn)?shù)階低通濾波器 78
4.3.1 分布階次分?jǐn)?shù)階低通濾波器沖激響應(yīng)分析 79
4.3.2 基于沖激響應(yīng)不變法的分布階次分?jǐn)?shù)階低通濾波器離散化 80
4.4 分布參數(shù)分?jǐn)?shù)階低通濾波器 82
4.4.1 分布參數(shù)分?jǐn)?shù)階低通濾波器沖激響應(yīng)分析 82
4.4.2 基于沖激響應(yīng)不變法的分布參數(shù)分?jǐn)?shù)階低通濾波器離散化 85
4.5 本章小結(jié) 86
第5章 *優(yōu)分?jǐn)?shù)階阻尼器 87
5.1 分布階次分?jǐn)?shù)階質(zhì)點(diǎn)-彈簧黏彈性阻尼系統(tǒng) 88
5.2 基于頻域方法的*優(yōu)分?jǐn)?shù)階阻尼系統(tǒng) 90
5.3 基于時(shí)域方法的*優(yōu)分?jǐn)?shù)階阻尼系統(tǒng) 92
5.4 本章小結(jié) 97
第6章 分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用 98
6.1 基于分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)的生物腐蝕電化學(xué)噪聲分析 98
6.1.1 實(shí)驗(yàn)方法及數(shù)據(jù)獲取 98
6.1.2 基于整數(shù)階信號(hào)處理技術(shù)的常規(guī)分析方法 99
6.1.3 基于分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)的分析方法 103
6.2 分子運(yùn)動(dòng)的重尾分布及局部記憶特征分析 110
6.2.1 重尾分布 111
6.2.2 分子運(yùn)動(dòng)時(shí)間序列 112
6.2.3 分子運(yùn)動(dòng)時(shí)間序列的無限二階統(tǒng)計(jì)量及重尾分布分析 115
6.2.4 分子運(yùn)動(dòng)時(shí)間序列的長記憶及局部記憶分析 117
6.3 人體睡眠腦電信號(hào)的可變分?jǐn)?shù)階特性分析 119
6.3.1 數(shù)據(jù)介紹及分析方法 120
6.3.2 人體睡眠腦電信號(hào)的分?jǐn)?shù)階特性分析 121
6.3.3 人體睡眠腦電信號(hào)的局部Hoder指數(shù)估計(jì) 123
6.4 本章小結(jié) 125
第7章 分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)在網(wǎng)絡(luò)流量分析中的應(yīng)用 127
7.1 網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)自相似性分析 129
7.1.1 網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)自相似原因 129
7.1.2 網(wǎng)絡(luò)流量自相似對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響 130
7.1.3 傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)模型 131
7.1.4 網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)的長相關(guān)模型 136
7.1.5 幾種自相似網(wǎng)絡(luò)流量模型的評(píng)價(jià) 138
7.2 網(wǎng)絡(luò)流量分?jǐn)?shù)階模型建立 139
7.2.1 網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)的ARIMA模型分析 139
7.2.2 網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)的FARIMA模型分析 141
7.3 網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測分析 147
7.4 本章小結(jié) 150
參考文獻(xiàn) 151
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分?jǐn)?shù)階信號(hào)合成與分?jǐn)?shù)階濾波技術(shù) 節(jié)選
第1章 分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理的理論基礎(chǔ) 在傳統(tǒng)信號(hào)處理過程中，為了簡化數(shù)學(xué)模型，我們經(jīng)常假設(shè)被分析信號(hào)是獨(dú)立同分布的平穩(wěn)信號(hào)，且信號(hào)符合高斯模型。此外，為了簡化分析過程，經(jīng)常假設(shè)被分析信號(hào)不同時(shí)刻的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間沒有相關(guān)性或只存在短相關(guān)性。但是，在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)遇到帶有尖峰特性、重尾分布的非高斯信號(hào)[1-3]，以及具有長相關(guān)或局部相關(guān)特性的隨機(jī)信號(hào)[4-8]。而這些特征（重尾分布、長相關(guān)、局部相關(guān)）的出現(xiàn)給我們的分析帶來了困難。例如，復(fù)雜現(xiàn)象或復(fù)雜信號(hào)的產(chǎn)生原因，以及如何處理這些復(fù)雜信號(hào)以便得到有價(jià)值的信息等類似問題一直困擾著研究人員。 “獨(dú)立同分布”是我們進(jìn)行隨機(jī)信號(hào)分析時(shí)經(jīng)常用到的一種簡化數(shù)學(xué)模型的假設(shè)。根據(jù)中心極限定理：只要和式中加項(xiàng)的個(gè)數(shù)充分多，獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和（其中各隨機(jī)變量的方差存在）的近似分布就可以用正態(tài)（高斯）分布來近似。因此高斯模型在信號(hào)處理中被廣泛應(yīng)用。類似于方差和相關(guān)函數(shù)的二階統(tǒng)計(jì)量也被廣泛用來分析隨機(jī)信號(hào)。然而，在現(xiàn)實(shí)世界中，許多隨機(jī)信號(hào)明顯帶有尖峰或脈沖特性，如金融數(shù)據(jù)、通信數(shù)據(jù)和人體產(chǎn)生的生物信號(hào)等，都屬于非高斯信號(hào)。為了建立這些非高斯信號(hào)的模型，人們通過擴(kuò)展中心極限定理提出了廣義中心極限定理[9，10]。廣義中心極限定理指出：只要和式中加項(xiàng)的個(gè)數(shù)充分多，帶有冪律遞減重尾分布的隨機(jī)變量之和，其分布便趨向于Alpha穩(wěn)定分布[9，10]。廣義化的高斯模型—Alpha穩(wěn)定分布模型被廣泛應(yīng)用于非高斯、非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的建模和處理中[11]。 信號(hào)處理過程中，另一個(gè)經(jīng)常用到的假設(shè)是：隨著時(shí)間間隔的增大，不同時(shí)刻數(shù)據(jù)點(diǎn)的耦合性迅速衰減，即隨機(jī)信號(hào)是短相關(guān)的。基于這種假設(shè)，許多短相關(guān)隨機(jī)模型被建立，例如，自回歸移動(dòng)平均（autoregressive moving average，ARMA）模型、自回歸條件異方差（autoregressive conditional heteroskedasticity，ARCH）模型等[12，13]。因此，短相關(guān)隨機(jī)模型在隨機(jī)信號(hào)分析、處理中被廣泛應(yīng)用。然而，水文學(xué)家Hurst在對(duì)尼羅河水位的長期變化分析的過程中發(fā)現(xiàn)，水文數(shù)據(jù)的自協(xié)方差函數(shù)的遞減速度明顯慢于指數(shù)衰減速度，數(shù)據(jù)具有明顯的長相關(guān)特性。為了衡量尼羅河水位數(shù)據(jù)的長相關(guān)特性，Hurst提出了一個(gè)不同于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)特征（例如，均值和方差等）的重要參數(shù)，并設(shè)計(jì)了一個(gè)R/S估計(jì)器來估計(jì)數(shù)據(jù)的相關(guān)程度[14]。根據(jù)Hurst對(duì)長相關(guān)數(shù)據(jù)分析的重要貢獻(xiàn)，這個(gè)用于衡量長相關(guān)程度的參數(shù)被稱為Hurst參數(shù)。自此，長相關(guān)隨機(jī)信號(hào)的分析得到了廣泛關(guān)注，許多用于估計(jì)Hurst參數(shù)的估計(jì)器和長相關(guān)隨機(jī)模型相繼被提出，例如，分?jǐn)?shù)階自回歸移動(dòng)平均（fractional autoregressive integrated moving average，F(xiàn)ARIMA）模型[15-18]、分?jǐn)?shù)階廣義自回歸條件異方差（fractional integrated generalized autoregressive conditional heteroskedasticity，F(xiàn)IGARCH）模型等[19]。這些模型的重要特征在于其捕捉長相關(guān)或長記憶特性的能力，因此，這些模型可以很好地描述隨機(jī)信號(hào)的長相關(guān)和短相關(guān)特性。長相關(guān)數(shù)據(jù)分析已經(jīng)被大量應(yīng)用于金融、水文、網(wǎng)絡(luò)通信等多個(gè)領(lǐng)域[4-6]。 長相關(guān)理論建立在平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)或增量平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的基礎(chǔ)上，因此這種分析技術(shù)無法有效地分析非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。1995年，Peltier和Vehel在一個(gè)研究報(bào)告中提出階次可變分?jǐn)?shù)階布朗運(yùn)動(dòng)的概念[20]。在報(bào)告中，帶有常值Hurst參數(shù)的長相關(guān)隨機(jī)過程被廣義化為帶有時(shí)變局部H？lder指數(shù)的局部記憶隨機(jī)過程。局部H？lder指數(shù)可以捕獲隨機(jī)信號(hào)的局部尺度特性，并且可以概括非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的時(shí)變特性[5，21]。應(yīng)用局部相關(guān)（局部記憶）理論，帶有局部記憶特性的廣義化隨機(jī)過程模型被提出并應(yīng)用，例如，可變階次分?jǐn)?shù)階自回歸移動(dòng)平均模型和可變階次分?jǐn)?shù)階廣義自回歸條件異方差模型等[22]。局部相關(guān)理論為非平穩(wěn)信號(hào)提供了一種新的、更為有效的分析與處理技術(shù)。 長相關(guān)、局部相關(guān)和重尾分布的共同特征是“冪律”現(xiàn)象。穩(wěn)定分布（重尾分布）隨機(jī)信號(hào)的主要特征是冪律遞減的概率密度分布函數(shù)；長相關(guān)隨機(jī)信號(hào)的主要特征是冪律遞減的自相關(guān)函數(shù)，而局部相關(guān)隨機(jī)信號(hào)的主要特征是局部冪律遞減的自相關(guān)函數(shù)。另外，冪律現(xiàn)象與分形、自相似等現(xiàn)象緊密相關(guān)，因此冪律現(xiàn)象被認(rèn)為是自然界中復(fù)雜現(xiàn)象的一種重要本質(zhì)特征。例如，噪聲的自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)冪律衰減，在頻域噪聲的功率譜同樣表現(xiàn)為一種冪律衰減。此外，很多自然現(xiàn)象也表現(xiàn)為冪律形式[23，24]。因此，冪律現(xiàn)象的起源及其潛在的意義成為學(xué)者研究的一個(gè)熱點(diǎn)。 冪律現(xiàn)象是如何產(chǎn)生的呢？學(xué)者從分?jǐn)?shù)階微積分理論中獲得了一些重要結(jié)論[25，26]。分?jǐn)?shù)階微積分是用于計(jì)算函數(shù)的任意階次積分及微分的數(shù)學(xué)理論。眾所周知，線性整數(shù)階微分方程的解析解是指數(shù)函數(shù)的線性組合，而線性分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解是呈現(xiàn)冪律遞減的Mittag-Leffler方程的線性組合[27-29]。因此，線性分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解大多表現(xiàn)為冪律遞減形式。很多具有冪律特征的復(fù)雜物理模型可以用分?jǐn)?shù)階微分方程準(zhǔn)確描述，因此分?jǐn)?shù)階微積分理論被認(rèn)為是冪律現(xiàn)象的一種合理解釋。學(xué)者還驚奇地發(fā)現(xiàn)，Alpha穩(wěn)定分布冪律遞減的概率密度函數(shù)可以表達(dá)為分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的解析解[30，31]。長相關(guān)隨機(jī)信號(hào)可以理解為分?jǐn)?shù)階微分方程描述的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)輸出的隨機(jī)信號(hào)。因此，固定階次分?jǐn)?shù)階微積分被廣泛應(yīng)用于冪律遞減概率密度分布以及冪律遞減自相關(guān)函數(shù)的隨機(jī)信號(hào)分析[32-35]。 與固定階次分?jǐn)?shù)階微積分相比，可變階次分?jǐn)?shù)階微積分理論為局部自相似非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)提供了更為有效的分析方法。Samko首先提出了可變階次分?jǐn)?shù)階微積分的概念[36]，Lorenzo和Hartley進(jìn)一步討論了可變階次分?jǐn)?shù)階微積分定義，并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了研究[37]。由于其對(duì)非平穩(wěn)局部自相似隨機(jī)信號(hào)的準(zhǔn)確描述，可變階次分?jǐn)?shù)階理論被廣泛研究、應(yīng)用[38，39]。可變階次分?jǐn)?shù)階微積分理論是固定階次分?jǐn)?shù)階微積分的擴(kuò)展。在可變階次分?jǐn)?shù)階微積分理論發(fā)展的基礎(chǔ)上，可變階次分?jǐn)?shù)階微分方程被大量應(yīng)用于復(fù)雜系統(tǒng)的建模和分析中[40]。并且，可變階次分?jǐn)?shù)階微積分在分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào)的研究中受到越來越多的重視[41]。此外，Caputo提出了分布階次分?jǐn)?shù)階微分方程的思想[7]，分布階次分?jǐn)?shù)階微分方程是固定階次分?jǐn)?shù)階微分方程的另一種廣義化形式[42]。分布階次分?jǐn)?shù)階理論已經(jīng)成功應(yīng)用于復(fù)雜非線性系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、多譜現(xiàn)象等復(fù)雜物理現(xiàn)象的分析研究中[43-47]。尤其，分布階次分?jǐn)?shù)階微積分理論在信號(hào)處理應(yīng)用方面的巨大潛力正逐步顯現(xiàn)。 冪律遞減的概率密度分布、冪律遞減的自相關(guān)函數(shù)和局部冪律遞減的自相關(guān)函數(shù)等特征并不總是獨(dú)立出現(xiàn)的。一些隨機(jī)信號(hào)不僅具有冪律遞減的概率密度函數(shù)，同時(shí)還具有冪律遞減的自相關(guān)函數(shù)，此外，還有一些隨機(jī)信號(hào)同時(shí)呈現(xiàn)出冪律遞減的概率密度函數(shù)以及局部冪律遞減的自相關(guān)函數(shù)。本書將這類隨機(jī)信號(hào)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào)。這些分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào)具有特殊的性質(zhì)，因此我們很難準(zhǔn)確估計(jì)這類隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，并從中獲取有價(jià)值的信息。而分?jǐn)?shù)階微積分、Alpha穩(wěn)定分布和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換等理論為這些隨機(jī)信號(hào)的分析提供了重要的理論基礎(chǔ)。本書著重研究用于分析分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào)的處理方法，包括分?jǐn)?shù)階信號(hào)合成、分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)物理實(shí)現(xiàn)、分?jǐn)?shù)階濾波器和*優(yōu)分?jǐn)?shù)階阻尼器實(shí)現(xiàn)技術(shù)。 分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)是在整數(shù)階隨機(jī)過程和整數(shù)階信號(hào)處理技術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，并且隨著分?jǐn)?shù)階微積分的提出而出現(xiàn)并逐步發(fā)展。早在1695年Bernoulli寫給Leibnitz的信中就提出了將微分階次從整數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)的問題。這也使人們首次認(rèn)識(shí)到可以利用分?jǐn)?shù)階微分方程描述復(fù)雜系統(tǒng)。但當(dāng)時(shí)分?jǐn)?shù)階微積分僅僅被認(rèn)為是一種純粹的數(shù)學(xué)工具，而沒有在其他領(lǐng)域廣泛研究。直到19世紀(jì)20年代，分?jǐn)?shù)階微積分才逐漸在其他科學(xué)領(lǐng)域中進(jìn)行研究。同時(shí)，Alpha穩(wěn)定分布的概念由Lévy于1925年在研究廣義中心極限定理時(shí)提出，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的概念于1929年被提出[48]。從此，分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)逐漸發(fā)展，*近30年中，分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)的研究和應(yīng)用領(lǐng)域迅速擴(kuò)大。而分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)中的可變階次分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)和分布階次分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)是在近些年才興起的。在我國，分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)的研究和應(yīng)用還相對(duì)落后，2006年才出版了**本有關(guān)分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理的學(xué)術(shù)專著[35]，但內(nèi)容僅僅局限于固定階次分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)。在我國，可變階次分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)和分布階次分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)還很少有學(xué)者涉足。本書為了填補(bǔ)國內(nèi)可變階次分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)和分布階次分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)的空缺，對(duì)可變階次分?jǐn)?shù)階信號(hào)合成、可變階次分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，以及分布階次分?jǐn)?shù)階濾波器進(jìn)行了深入研究。 本書主要的研究內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào)、分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)及其應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào)的主要特征是重尾（長拖尾）分布、冪律遞減的自相關(guān)函數(shù)，以及局部冪律遞減的自相關(guān)函數(shù)。重尾數(shù)據(jù)分析、處理的主要理論基礎(chǔ)是Alpha穩(wěn)定分布，而分?jǐn)?shù)階微積分是長相關(guān)和局部相關(guān)分析工具的重要理論基礎(chǔ)。分?jǐn)?shù)階微積分可以劃分為固定階次分?jǐn)?shù)階微積分、可變階次分?jǐn)?shù)階微積分和分布階次分?jǐn)?shù)階微積分。另外，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換理論也為長記憶隨機(jī)序列提供了有效的分析方法。書中所有分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)都是基于上述三個(gè)基礎(chǔ)理論的，即分?jǐn)?shù)階微積分、Alpha穩(wěn)定分布和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換理論。分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)為分?jǐn)?shù)階隨機(jī)信號(hào)提供了有效的分析方法。 1.1 分?jǐn)?shù)階微積分 分?jǐn)?shù)階微積分是一門用于計(jì)算函數(shù)的任意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)階次微分和積分的數(shù)學(xué)學(xué)科[49-52]。分?jǐn)?shù)階微積分的出現(xiàn)已經(jīng)有300多年的歷史，然而，分?jǐn)?shù)階微積分由于缺少明確的物理意義且應(yīng)用前景不明朗而發(fā)展緩慢，直到1974年以后，由于在應(yīng)用數(shù)學(xué)、材料力學(xué)、生物物理學(xué)等方面的研究和應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階微積分才被人們重視，20世紀(jì)90年代，分?jǐn)?shù)階微積分作為分形幾何和分?jǐn)?shù)維動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)與有力工具才獲得了飛躍發(fā)展并在松弛、振蕩、控制系統(tǒng)、擴(kuò)散和輸運(yùn)理論、生物組織、高分子材料的解鏈、混沌與湍流、隨機(jī)游走、統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程、黏彈性力學(xué)及非牛頓流體力學(xué)、電化學(xué)等諸多領(lǐng)域得以應(yīng)用[49-52]。許多有關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分的專著[49-52]對(duì)分?jǐn)?shù)階的數(shù)學(xué)理論、應(yīng)用及發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行了詳細(xì)的介紹。人們逐漸認(rèn)識(shí)到，現(xiàn)實(shí)中大量的物理系統(tǒng)可以用分?jǐn)?shù)階微分方程或包含分?jǐn)?shù)階微/積分單元的系統(tǒng)更為準(zhǔn)確地描述[53，54]。分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)分析和分?jǐn)?shù)階信號(hào)處理技術(shù)在金融數(shù)據(jù)處理、網(wǎng)絡(luò)流量分析、生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理中逐漸被研究并應(yīng)用[49，50，55-59]。 1.固定階次分?jǐn)?shù)階微積分 可積函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分定義為[51] （1.1） 式中，是Gamma函數(shù)；是階積分；分別是分?jǐn)?shù)階積分的下限和上限。函數(shù)的階的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分定義為[51] （1.2） 式中，代表的整數(shù)部分。函數(shù)的階的Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義為[7] （1.3） 式中，。 2.分布階次分?jǐn)?shù)階微積分 Caputo提出了分布階次分?jǐn)?shù)階微積分的思想[7]并且討論了分布階次分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解[42]。Lorenzo和Hartley探討了兩種類型的分布階次分?jǐn)?shù)階微積分定義，即直接型和獨(dú)立型分布階次分?jǐn)?shù)階微積分[37]。簡而言之，分布階次分?jǐn)?shù)階微積分主要用于處理類似于 （1.4） 形式的運(yùn)算，式中，是權(quán)值。 3.可變階次分?jǐn)?shù)階微積分 Samko首先討論了可變階次分?jǐn)?shù)階微積分的概念[36]，隨后，Lorenzo和Hartley進(jìn)一步探討了可變階次分?jǐn)?shù)階算子的性質(zhì)[37]。可變階次分?jǐn)?shù)階微
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