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分數階信號合成與分數階濾波技術 版權信息
- ISBN：9787030669599
- 條形碼：9787030669599 ; 978-7-03-066959-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
分數階信號合成與分數階濾波技術 本書特色
本書介紹的分數階信號處理技術是信號處理領域的前沿性研究課題，對于豐富和發展分數階信號處理理論方法、擴展與完善統計信號處理的理論體系及推動其在各領域的應用，具有重要的意義。
分數階信號合成與分數階濾波技術 內容簡介
本書內容涵蓋固定階次分數階微積分、可變階次分數階微積分和分布階次分數階微積分信號處理技術。在深入討論分數階信號與分數階系統關系的基礎上，給出可變階次分數階高斯噪聲以及可變階次分數階Alpha穩定分布噪聲的合成方法。應用時域分析方法對分布階次分數階微/積分器、分布階次分數階低通濾波器和分布參數分數階低通濾波器的沖激響應進行了詳細分析，給出分布階次分數階濾波器的沖激響應不變離散化方法。 此外，為了方便讀者應用本書中的研究成果，給出分數階信號處理技術在工程領域中的應用實例。本書為豐富和發展分數階信號處理的理論體系提供了新思路。 本書可供從事相關科研工作、需要對分數階特征隨機信號進行處理的研究人員和工程技術人員學習與參考，也可作為高等院校和科研院所信號與信息處理專業的教輔資料。
分數階信號合成與分數階濾波技術 目錄
目錄
前言
第1章 分數階信號處理的理論基礎 1
1.1 分數階微積分 4
1.2 Alpha穩定分布 6
1.3 分數階傅里葉變換 7
1.4 本章小結 8
第2章 分數階隨機信號 9
2.1 固定階次分數階隨機信號 9
2.1.1 長相關隨機信號 9
2.1.2 固定階次分數階布朗運動與固定階次分數階高斯噪聲 10
2.1.3 線性固定階次分數階Alpha穩定分布運動與穩定分布噪聲 13
2.2 可變階次分數階隨機信號 15
2.2.1 可變階次分數階布朗運動與可變階次分數階高斯噪聲 16
2.2.2 線性可變階次分數階Alpha穩定分布運動與穩定分布噪聲 17
2.3 分數階隨機信號的參數估計 17
2.3.1 重尾分布參數估計 17
2.3.2 Hurst參數估計 19
2.3.3 滑動窗局部Holder指數估計 31
2.3.4 滑動窗局部Hoder指數改進算法 34
2.4 本章小結 46
第3章 分數階信號合成及分數階系統的物理實現 47
3.1 Alpha穩定分布序列的合成 48
3.2 固定階次分數階信號合成 50
3.3 可變階次分數階信號合成 52
3.3.1 可變階次分數階高斯噪聲合成方法 52
3.3.2 可變階次分數階高斯噪聲合成實例 53
3.4 固定階次分數階系統的物理實現 56
3.4.1 固定階次分數階微/積分器介紹 56
3.4.2 固定階次分數階微/積分器的物理實現 57
3.5 可變階次分數階系統的物理實現 59
3.5.1 隨溫度變化的可變階次分數階微/積分器的物理實現 59
3.5.2 模擬可變階次分數階微/積分器應用前景分析 63
3.6 本章小結 63
第4章 分數階濾波器 65
4.1 固定階次分數階濾波器 65
4.1.1 固定階次分數階濾波器 沖激響應分析 66
4.1.2 基于沖激響應不變法的 濾波器離散化 70
4.2 分布階次分數階微分器與積分器 74
4.2.1 分布階次分數階微/積分器沖激響應分析 75
4.2.2 基于沖激響應不變法的分布階次分數階微/積分器離散化 76
4.3 分布階次分數階低通濾波器 78
4.3.1 分布階次分數階低通濾波器沖激響應分析 79
4.3.2 基于沖激響應不變法的分布階次分數階低通濾波器離散化 80
4.4 分布參數分數階低通濾波器 82
4.4.1 分布參數分數階低通濾波器沖激響應分析 82
4.4.2 基于沖激響應不變法的分布參數分數階低通濾波器離散化 85
4.5 本章小結 86
第5章 *優分數階阻尼器 87
5.1 分布階次分數階質點-彈簧黏彈性阻尼系統 88
5.2 基于頻域方法的*優分數階阻尼系統 90
5.3 基于時域方法的*優分數階阻尼系統 92
5.4 本章小結 97
第6章 分數階信號處理技術在生物醫學領域中的應用 98
6.1 基于分數階信號處理技術的生物腐蝕電化學噪聲分析 98
6.1.1 實驗方法及數據獲取 98
6.1.2 基于整數階信號處理技術的常規分析方法 99
6.1.3 基于分數階信號處理技術的分析方法 103
6.2 分子運動的重尾分布及局部記憶特征分析 110
6.2.1 重尾分布 111
6.2.2 分子運動時間序列 112
6.2.3 分子運動時間序列的無限二階統計量及重尾分布分析 115
6.2.4 分子運動時間序列的長記憶及局部記憶分析 117
6.3 人體睡眠腦電信號的可變分數階特性分析 119
6.3.1 數據介紹及分析方法 120
6.3.2 人體睡眠腦電信號的分數階特性分析 121
6.3.3 人體睡眠腦電信號的局部Hoder指數估計 123
6.4 本章小結 125
第7章 分數階信號處理技術在網絡流量分析中的應用 127
7.1 網絡業務自相似性分析 129
7.1.1 網絡業務自相似原因 129
7.1.2 網絡流量自相似對網絡的影響 130
7.1.3 傳統網絡流量數據模型 131
7.1.4 網絡流量數據的長相關模型 136
7.1.5 幾種自相似網絡流量模型的評價 138
7.2 網絡流量分數階模型建立 139
7.2.1 網絡流量數據的ARIMA模型分析 139
7.2.2 網絡流量數據的FARIMA模型分析 141
7.3 網絡流量預測分析 147
7.4 本章小結 150
參考文獻 151
前言
第1章 分數階信號處理的理論基礎 1
1.1 分數階微積分 4
1.2 Alpha穩定分布 6
1.3 分數階傅里葉變換 7
1.4 本章小結 8
第2章 分數階隨機信號 9
2.1 固定階次分數階隨機信號 9
2.1.1 長相關隨機信號 9
2.1.2 固定階次分數階布朗運動與固定階次分數階高斯噪聲 10
2.1.3 線性固定階次分數階Alpha穩定分布運動與穩定分布噪聲 13
2.2 可變階次分數階隨機信號 15
2.2.1 可變階次分數階布朗運動與可變階次分數階高斯噪聲 16
2.2.2 線性可變階次分數階Alpha穩定分布運動與穩定分布噪聲 17
2.3 分數階隨機信號的參數估計 17
2.3.1 重尾分布參數估計 17
2.3.2 Hurst參數估計 19
2.3.3 滑動窗局部Holder指數估計 31
2.3.4 滑動窗局部Hoder指數改進算法 34
2.4 本章小結 46
第3章 分數階信號合成及分數階系統的物理實現 47
3.1 Alpha穩定分布序列的合成 48
3.2 固定階次分數階信號合成 50
3.3 可變階次分數階信號合成 52
3.3.1 可變階次分數階高斯噪聲合成方法 52
3.3.2 可變階次分數階高斯噪聲合成實例 53
3.4 固定階次分數階系統的物理實現 56
3.4.1 固定階次分數階微/積分器介紹 56
3.4.2 固定階次分數階微/積分器的物理實現 57
3.5 可變階次分數階系統的物理實現 59
3.5.1 隨溫度變化的可變階次分數階微/積分器的物理實現 59
3.5.2 模擬可變階次分數階微/積分器應用前景分析 63
3.6 本章小結 63
第4章 分數階濾波器 65
4.1 固定階次分數階濾波器 65
4.1.1 固定階次分數階濾波器 沖激響應分析 66
4.1.2 基于沖激響應不變法的 濾波器離散化 70
4.2 分布階次分數階微分器與積分器 74
4.2.1 分布階次分數階微/積分器沖激響應分析 75
4.2.2 基于沖激響應不變法的分布階次分數階微/積分器離散化 76
4.3 分布階次分數階低通濾波器 78
4.3.1 分布階次分數階低通濾波器沖激響應分析 79
4.3.2 基于沖激響應不變法的分布階次分數階低通濾波器離散化 80
4.4 分布參數分數階低通濾波器 82
4.4.1 分布參數分數階低通濾波器沖激響應分析 82
4.4.2 基于沖激響應不變法的分布參數分數階低通濾波器離散化 85
4.5 本章小結 86
第5章 *優分數階阻尼器 87
5.1 分布階次分數階質點-彈簧黏彈性阻尼系統 88
5.2 基于頻域方法的*優分數階阻尼系統 90
5.3 基于時域方法的*優分數階阻尼系統 92
5.4 本章小結 97
第6章 分數階信號處理技術在生物醫學領域中的應用 98
6.1 基于分數階信號處理技術的生物腐蝕電化學噪聲分析 98
6.1.1 實驗方法及數據獲取 98
6.1.2 基于整數階信號處理技術的常規分析方法 99
6.1.3 基于分數階信號處理技術的分析方法 103
6.2 分子運動的重尾分布及局部記憶特征分析 110
6.2.1 重尾分布 111
6.2.2 分子運動時間序列 112
6.2.3 分子運動時間序列的無限二階統計量及重尾分布分析 115
6.2.4 分子運動時間序列的長記憶及局部記憶分析 117
6.3 人體睡眠腦電信號的可變分數階特性分析 119
6.3.1 數據介紹及分析方法 120
6.3.2 人體睡眠腦電信號的分數階特性分析 121
6.3.3 人體睡眠腦電信號的局部Hoder指數估計 123
6.4 本章小結 125
第7章 分數階信號處理技術在網絡流量分析中的應用 127
7.1 網絡業務自相似性分析 129
7.1.1 網絡業務自相似原因 129
7.1.2 網絡流量自相似對網絡的影響 130
7.1.3 傳統網絡流量數據模型 131
7.1.4 網絡流量數據的長相關模型 136
7.1.5 幾種自相似網絡流量模型的評價 138
7.2 網絡流量分數階模型建立 139
7.2.1 網絡流量數據的ARIMA模型分析 139
7.2.2 網絡流量數據的FARIMA模型分析 141
7.3 網絡流量預測分析 147
7.4 本章小結 150
參考文獻 151
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分數階信號合成與分數階濾波技術 節選
第1章 分數階信號處理的理論基礎 在傳統信號處理過程中，為了簡化數學模型，我們經常假設被分析信號是獨立同分布的平穩信號，且信號符合高斯模型。此外，為了簡化分析過程，經常假設被分析信號不同時刻的數據點之間沒有相關性或只存在短相關性。但是，在實際應用中，我們經常會遇到帶有尖峰特性、重尾分布的非高斯信號[1-3]，以及具有長相關或局部相關特性的隨機信號[4-8]。而這些特征（重尾分布、長相關、局部相關）的出現給我們的分析帶來了困難。例如，復雜現象或復雜信號的產生原因，以及如何處理這些復雜信號以便得到有價值的信息等類似問題一直困擾著研究人員。 “獨立同分布”是我們進行隨機信號分析時經常用到的一種簡化數學模型的假設。根據中心極限定理：只要和式中加項的個數充分多，獨立同分布隨機變量之和（其中各隨機變量的方差存在）的近似分布就可以用正態（高斯）分布來近似。因此高斯模型在信號處理中被廣泛應用。類似于方差和相關函數的二階統計量也被廣泛用來分析隨機信號。然而，在現實世界中，許多隨機信號明顯帶有尖峰或脈沖特性，如金融數據、通信數據和人體產生的生物信號等，都屬于非高斯信號。為了建立這些非高斯信號的模型，人們通過擴展中心極限定理提出了廣義中心極限定理[9，10]。廣義中心極限定理指出：只要和式中加項的個數充分多，帶有冪律遞減重尾分布的隨機變量之和，其分布便趨向于Alpha穩定分布[9，10]。廣義化的高斯模型—Alpha穩定分布模型被廣泛應用于非高斯、非平穩隨機信號的建模和處理中[11]。 信號處理過程中，另一個經常用到的假設是：隨著時間間隔的增大，不同時刻數據點的耦合性迅速衰減，即隨機信號是短相關的。基于這種假設，許多短相關隨機模型被建立，例如，自回歸移動平均（autoregressive moving average，ARMA）模型、自回歸條件異方差（autoregressive conditional heteroskedasticity，ARCH）模型等[12，13]。因此，短相關隨機模型在隨機信號分析、處理中被廣泛應用。然而，水文學家Hurst在對尼羅河水位的長期變化分析的過程中發現，水文數據的自協方差函數的遞減速度明顯慢于指數衰減速度，數據具有明顯的長相關特性。為了衡量尼羅河水位數據的長相關特性，Hurst提出了一個不同于傳統統計特征（例如，均值和方差等）的重要參數，并設計了一個R/S估計器來估計數據的相關程度[14]。根據Hurst對長相關數據分析的重要貢獻，這個用于衡量長相關程度的參數被稱為Hurst參數。自此，長相關隨機信號的分析得到了廣泛關注，許多用于估計Hurst參數的估計器和長相關隨機模型相繼被提出，例如，分數階自回歸移動平均（fractional autoregressive integrated moving average，FARIMA）模型[15-18]、分數階廣義自回歸條件異方差（fractional integrated generalized autoregressive conditional heteroskedasticity，FIGARCH）模型等[19]。這些模型的重要特征在于其捕捉長相關或長記憶特性的能力，因此，這些模型可以很好地描述隨機信號的長相關和短相關特性。長相關數據分析已經被大量應用于金融、水文、網絡通信等多個領域[4-6]。 長相關理論建立在平穩隨機信號或增量平穩隨機信號的基礎上，因此這種分析技術無法有效地分析非平穩隨機信號。1995年，Peltier和Vehel在一個研究報告中提出階次可變分數階布朗運動的概念[20]。在報告中，帶有常值Hurst參數的長相關隨機過程被廣義化為帶有時變局部H？lder指數的局部記憶隨機過程。局部H？lder指數可以捕獲隨機信號的局部尺度特性，并且可以概括非平穩隨機信號的時變特性[5，21]。應用局部相關（局部記憶）理論，帶有局部記憶特性的廣義化隨機過程模型被提出并應用，例如，可變階次分數階自回歸移動平均模型和可變階次分數階廣義自回歸條件異方差模型等[22]。局部相關理論為非平穩信號提供了一種新的、更為有效的分析與處理技術。 長相關、局部相關和重尾分布的共同特征是“冪律”現象。穩定分布（重尾分布）隨機信號的主要特征是冪律遞減的概率密度分布函數；長相關隨機信號的主要特征是冪律遞減的自相關函數，而局部相關隨機信號的主要特征是局部冪律遞減的自相關函數。另外，冪律現象與分形、自相似等現象緊密相關，因此冪律現象被認為是自然界中復雜現象的一種重要本質特征。例如，噪聲的自相關函數呈現冪律衰減，在頻域噪聲的功率譜同樣表現為一種冪律衰減。此外，很多自然現象也表現為冪律形式[23，24]。因此，冪律現象的起源及其潛在的意義成為學者研究的一個熱點。 冪律現象是如何產生的呢？學者從分數階微積分理論中獲得了一些重要結論[25，26]。分數階微積分是用于計算函數的任意階次積分及微分的數學理論。眾所周知，線性整數階微分方程的解析解是指數函數的線性組合，而線性分數階微分方程的解析解是呈現冪律遞減的Mittag-Leffler方程的線性組合[27-29]。因此，線性分數階微分方程的解析解大多表現為冪律遞減形式。很多具有冪律特征的復雜物理模型可以用分數階微分方程準確描述，因此分數階微積分理論被認為是冪律現象的一種合理解釋。學者還驚奇地發現，Alpha穩定分布冪律遞減的概率密度函數可以表達為分數階擴散方程的解析解[30，31]。長相關隨機信號可以理解為分數階微分方程描述的分數階系統輸出的隨機信號。因此，固定階次分數階微積分被廣泛應用于冪律遞減概率密度分布以及冪律遞減自相關函數的隨機信號分析[32-35]。 與固定階次分數階微積分相比，可變階次分數階微積分理論為局部自相似非平穩隨機信號提供了更為有效的分析方法。Samko首先提出了可變階次分數階微積分的概念[36]，Lorenzo和Hartley進一步討論了可變階次分數階微積分定義，并對其性質進行了研究[37]。由于其對非平穩局部自相似隨機信號的準確描述，可變階次分數階理論被廣泛研究、應用[38，39]。可變階次分數階微積分理論是固定階次分數階微積分的擴展。在可變階次分數階微積分理論發展的基礎上，可變階次分數階微分方程被大量應用于復雜系統的建模和分析中[40]。并且，可變階次分數階微積分在分數階隨機信號的研究中受到越來越多的重視[41]。此外，Caputo提出了分布階次分數階微分方程的思想[7]，分布階次分數階微分方程是固定階次分數階微分方程的另一種廣義化形式[42]。分布階次分數階理論已經成功應用于復雜非線性系統、網絡結構、多譜現象等復雜物理現象的分析研究中[43-47]。尤其，分布階次分數階微積分理論在信號處理應用方面的巨大潛力正逐步顯現。 冪律遞減的概率密度分布、冪律遞減的自相關函數和局部冪律遞減的自相關函數等特征并不總是獨立出現的。一些隨機信號不僅具有冪律遞減的概率密度函數，同時還具有冪律遞減的自相關函數，此外，還有一些隨機信號同時呈現出冪律遞減的概率密度函數以及局部冪律遞減的自相關函數。本書將這類隨機信號統稱為分數階隨機信號。這些分數階隨機信號具有特殊的性質，因此我們很難準確估計這類隨機過程的統計特性，并從中獲取有價值的信息。而分數階微積分、Alpha穩定分布和分數階傅里葉變換等理論為這些隨機信號的分析提供了重要的理論基礎。本書著重研究用于分析分數階隨機信號的處理方法，包括分數階信號合成、分數階系統物理實現、分數階濾波器和*優分數階阻尼器實現技術。 分數階信號處理技術是在整數階隨機過程和整數階信號處理技術的基礎上發展起來的，并且隨著分數階微積分的提出而出現并逐步發展。早在1695年Bernoulli寫給Leibnitz的信中就提出了將微分階次從整數推廣到分數的問題。這也使人們首次認識到可以利用分數階微分方程描述復雜系統。但當時分數階微積分僅僅被認為是一種純粹的數學工具，而沒有在其他領域廣泛研究。直到19世紀20年代，分數階微積分才逐漸在其他科學領域中進行研究。同時，Alpha穩定分布的概念由Lévy于1925年在研究廣義中心極限定理時提出，分數階傅里葉變換的概念于1929年被提出[48]。從此，分數階信號處理技術逐漸發展，*近30年中，分數階信號處理技術的研究和應用領域迅速擴大。而分數階信號處理技術中的可變階次分數階信號處理技術和分布階次分數階信號處理技術是在近些年才興起的。在我國，分數階信號處理技術的研究和應用還相對落后，2006年才出版了**本有關分數階信號處理的學術專著[35]，但內容僅僅局限于固定階次分數階信號處理技術。在我國，可變階次分數階信號處理技術和分布階次分數階信號處理技術還很少有學者涉足。本書為了填補國內可變階次分數階信號處理技術和分布階次分數階信號處理技術的空缺，對可變階次分數階信號合成、可變階次分數階系統實現，以及分布階次分數階濾波器進行了深入研究。 本書主要的研究內容包括分數階隨機信號、分數階信號處理技術及其應用。分數階隨機信號的主要特征是重尾（長拖尾）分布、冪律遞減的自相關函數，以及局部冪律遞減的自相關函數。重尾數據分析、處理的主要理論基礎是Alpha穩定分布，而分數階微積分是長相關和局部相關分析工具的重要理論基礎。分數階微積分可以劃分為固定階次分數階微積分、可變階次分數階微積分和分布階次分數階微積分。另外，分數階傅里葉變換理論也為長記憶隨機序列提供了有效的分析方法。書中所有分數階信號處理技術都是基于上述三個基礎理論的，即分數階微積分、Alpha穩定分布和分數階傅里葉變換理論。分數階信號處理技術為分數階隨機信號提供了有效的分析方法。 1.1 分數階微積分 分數階微積分是一門用于計算函數的任意實數或復數階次微分和積分的數學學科[49-52]。分數階微積分的出現已經有300多年的歷史，然而，分數階微積分由于缺少明確的物理意義且應用前景不明朗而發展緩慢，直到1974年以后，由于在應用數學、材料力學、生物物理學等方面的研究和應用，分數階微積分才被人們重視，20世紀90年代，分數階微積分作為分形幾何和分數維動力學的基礎與有力工具才獲得了飛躍發展并在松弛、振蕩、控制系統、擴散和輸運理論、生物組織、高分子材料的解鏈、混沌與湍流、隨機游走、統計與隨機過程、黏彈性力學及非牛頓流體力學、電化學等諸多領域得以應用[49-52]。許多有關分數階微積分的專著[49-52]對分數階的數學理論、應用及發展狀況進行了詳細的介紹。人們逐漸認識到，現實中大量的物理系統可以用分數階微分方程或包含分數階微/積分單元的系統更為準確地描述[53，54]。分數階系統分析和分數階信號處理技術在金融數據處理、網絡流量分析、生物醫學信號處理中逐漸被研究并應用[49，50，55-59]。 1.固定階次分數階微積分 可積函數的分數階積分定義為[51] （1.1） 式中，是Gamma函數；是階積分；分別是分數階積分的下限和上限。函數的階的Riemann-Liouville分數階微分定義為[51] （1.2） 式中，代表的整數部分。函數的階的Caputo分數階微分定義為[7] （1.3） 式中，。 2.分布階次分數階微積分 Caputo提出了分布階次分數階微積分的思想[7]并且討論了分布階次分數階微分方程的解析解[42]。Lorenzo和Hartley探討了兩種類型的分布階次分數階微積分定義，即直接型和獨立型分布階次分數階微積分[37]。簡而言之，分布階次分數階微積分主要用于處理類似于 （1.4） 形式的運算，式中，是權值。 3.可變階次分數階微積分 Samko首先討論了可變階次分數階微積分的概念[36]，隨后，Lorenzo和Hartley進一步探討了可變階次分數階算子的性質[37]。可變階次分數階微
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