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近世代數(第三版) 版權信息
- ISBN：9787030701626
- 條形碼：9787030701626 ; 978-7-03-070162-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
近世代數(第三版) 內容簡介
本書是根據近世代數教學大綱的要求編寫的.全書分為4章：章講基本概念，它是后面各章的基礎；第2章介紹群的基本理論；第3章介紹環的基本理論；第4章專門講整環里的因子分解.這次再版在總體框架不變的前提下對個別地方的表述作了修改，使其更加嚴謹通俗，同時增加了一些習題，以利于讀者能更深入地理解近世代數的理論與思維方法.
近世代數(第三版) 目錄
目錄
前言
第1章基本概念1
1.1集合1
1.2映射5
1.3卡氏積與代數運算11
1.4等價關系與集合的分類17
復習題一21
附錄22
第2章群24
2.1半群24
2.2群的定義29
2.3元素的階35
2.4子群38
2.5變換群44
2.6群的同態與同構49
2.7子群的陪集55
2.8正規子群與商群59
2.9同態基本定理與同構定理63
復習題二66
附錄67
第3章環68
3.1環的定義68
3.2子環76
3.3環的同態與同構79
3.4理想與商環83
3.5素理想與極大理想89
3.6商域91
3.7多項式環96
3.8擴域101
3.9有限域106
復習題三108
第4章整環里的因子分解110
4.1不可約元、素元、*大公因子110
4.2唯一分解環115
4.3主理想環118
4.4歐氏環120
4.5唯一分解環上的一元多項式環122
4.6因子分解與多項式的根128
復習題四131
習題解答或提示132
前言
第1章基本概念1
1.1集合1
1.2映射5
1.3卡氏積與代數運算11
1.4等價關系與集合的分類17
復習題一21
附錄22
第2章群24
2.1半群24
2.2群的定義29
2.3元素的階35
2.4子群38
2.5變換群44
2.6群的同態與同構49
2.7子群的陪集55
2.8正規子群與商群59
2.9同態基本定理與同構定理63
復習題二66
附錄67
第3章環68
3.1環的定義68
3.2子環76
3.3環的同態與同構79
3.4理想與商環83
3.5素理想與極大理想89
3.6商域91
3.7多項式環96
3.8擴域101
3.9有限域106
復習題三108
第4章整環里的因子分解110
4.1不可約元、素元、*大公因子110
4.2唯一分解環115
4.3主理想環118
4.4歐氏環120
4.5唯一分解環上的一元多項式環122
4.6因子分解與多項式的根128
復習題四131
習題解答或提示132
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近世代數(第三版) 節選
第1章基本概念 本章中介紹的一些基本概念是數學各個分支的基礎，也是學習本書后面各個代數體系的**知識. 1.1集合 集合是近代數學上*基本的概念之一，它指由一些事物所組成的一個整體. 集合通常用大寫拉丁字母A，B，C， 表示.特別，粗體C表示復數集，粗體 R表示實數集，粗體Q表示有理數集，粗體Z表示整數集，粗體N表示自然數集，又C*表示非零復數集，R+表示正實數集，R-表示負實數集，2Z表示偶數集，其余類同. 組成一個集合的各個事物稱為這個集合的元素，通常用小寫拉丁字母a，b，c， 表示.當a是集合A的元素時，稱為a屬于A，記作“a∈A”;當a不是集合A的元素時，稱為a不屬于A，記作“”或“”. 不含任何元素的集合稱為空集，記作“”.由全部元素所組成的集合稱為全集，記作“U”. 包含有限個元素的集合稱為有限集，否則稱為無限集.有限集A所包含的元素個數是一個非負整數，記作｜A｜.特別. 表示一個集合的方法通常有兩種.一種是列舉法，即列出它的所有元素，并且用一對花括號括起來.例如包含兩個整數-1，3的集合S記作 S={-1，3}. 另一種是描述法，即用它的元素所具有的特性來刻畫，例如 表示T是由方程的根所組成的集合.又如 表示有理數集Q，而 表示復數集C. 在本書中，有一些語句經常出現，為了簡便，現引用一些邏輯符號予以表達.“對于任意a∈A”表示為“a∈A”，“存在一個a∈A”表示為“”，“存在唯一的a∈A”表示為“”.設P，Q是兩個命題，“若P成立，則Q成立”表示為“”，“P成立當且僅當Q成立”表示為“”. 定義1.1設A，B是兩個集合. (1) 若 則稱A是B的子集，B是A的擴集，或A包含于B，B包含A，記作“”或“”.當A不是B的子集時，記作“”. (2) 若，且，而，則稱A是B的真子集，記作“”或“”.例如，對于任何集合A，都有.又如. 空集是任何集合A的子集. 集合的包含關系具有下列性質: (1)自反性:對于任意的集合A，有; (2)傳遞性:若，則. 定義1.2設A，B是兩個集合，若，且，則稱A與B相等，記作“A=B”. 兩個相等的集合包含相同的元素.例如上面列出的兩個集合S與T相等. 設A是一個給定的集合，由A的全體子集所組成的集合稱為A的冪集，記作2A.例如，設A={1，2，3}，則. 下面討論集合的運算. 定義1.3設A，B是全集U的兩個子集. (1) 由A或B中所有元素所組成的集合稱為A與B的并，記作“A∪B”，即 A∪B={x｜x∈A 或 x∈B}. (2) 由A與B的所有公共元素所組成的集合稱為A與B的交，記作“A∩B”，即 A∩B={x｜x∈A且x∈B}. (3) 在全集U中取出A的全部元素，余下的所有元素所組成的集合稱為A的余，記作“A′”，即 特別 例1設U={x｜2≤ x≤ 10，x∈Z}，A={2，4，6，8}，B={2，3，5，7}，則 A∪B={2，3，4，5，6，7，8}，A∩B={2}， A′={3，5，7，9，10}，B′={4，6，8，9，10}. 集合的上述三種運算具有下列性質. 定理1.1設A，B，C是集合U的三個子集，則有 (1) 交換律: A∪B=B∪A，A∩B=B∩A; (2) 結合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)， (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (3) 分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)， A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); (4) 模律: 若，則A∪(B∩C)=(A∪B)∩C; (5) 冪等律: A∪A=A，A∩A=A; (6) 吸收律: A∪(A∩B)=A∩(A∪B)=A; (7) 兩極律: A∪U=U，A∩U=A， (8) 補余律: A∪A′=U，； (9) 對合律: (A′)′=A; (10) 對偶律: (A∪B)′=A′∩B′，(A∩B)′=A′∪B′. 證我們證明(4)作為例子，其余留給讀者練習.
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