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偏微分方程數值解法 (第三版) 版權信息
- ISBN：9787030701619
- 條形碼：9787030701619 ; 978-7-03-070161-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
偏微分方程數值解法 (第三版) 內容簡介
1.常微分方程兩點邊值問題的差分解法2.橢圓型方程的差分解3.拋物型方程的差分解法4.雙曲型方程的差分解法5.高維方程的交替方向法6.有限元方法簡介7.分數階微分方程的差分解法8.Schr?dinger方程的差分方法9.Burgers方程的差分方法10.Korteweg-deVries方程的差分方法
偏微分方程數值解法 (第三版) 目錄
目錄
第三版前言
第二版前言
**版前言
第1章 常微分方程兩點邊值問題的差分方法 1
1.1 Dirichlet邊值問題 1
1.1.1 基本微分不等式 2
1.1.2 解的先驗估計式 5
1.2 差分格式 7
1.2.1 差分格式的建立 9
1.2.2 差分格式解的存在性 11
1.2.3 差分格式的求解與數值算例 12
1.2.4 差分格式解的先驗估計式 16
1.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性 25
1.2.6 Richardson外推法 26
1.2.7 緊致差分格式 29
1.3 導數邊界值問題 32
1.3.1 差分格式的建立 32
1.3.2 差分格式的求解與數值算例 35
1.4 小結與拓展 39
習題1 40
第2章 橢圓型方程的差分方法 44
2.1 Dirichlet邊值問題 45
2.2 五點差分格式 48
2.2.1 差分格式的建立 48
2.2.2 差分格式解的存在性 51
2.2.3 差分格式的求解與數值算例 51
2.2.4 差分格式解的先驗估計式 54
2.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性 57
2.2.6 Richardson外推法 58
2.3 緊致差分格式 61
2.3.1 差分格式的建立 62
2.3.2 差分格式解的存在性 64
2.3.3 差分格式的求解與數值算例 66
2.3.4 差分格式解的先驗估計式 69
2.3.5 差分格式解的收斂性和穩定性 74
2.4 導數邊界值問題 75
2.4.1 差分格式的建立 75
2.4.2 差分格式的求解與數值算例 78
2.5 雙調和方程邊值問題 80
2.6 小結與拓展 82
習題2 84
第3章 拋物型方程的差分方法 86
3.1 Dirichlet初邊值問題 86
3.2 向前Euler格式 89
3.2.1 差分格式的建立 90
3.2.2 差分格式解的存在性 92
3.2.3 差分格式的求解與數值算例 92
3.2.4 差分格式解的先驗估計式 95
3.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性 99
3.3 向后Euler格式 103
3.3.1 差分格式的建立 103
3.3.2 差分格式解的存在性 105
3.3.3 差分格式的求解與數值算例 105
3.3.4 差分格式解的先驗估計式 109
3.3.5 差分格式解的收斂性和穩定性 112
3.4 Richardson格式 113
3.4.1 差分格式的建立 113
3.4.2 差分格式的求解與數值算例 115
3.4.3 差分格式的不穩定性 116
3.5 Crank-Nicolson格式 119
3.5.1 差分格式的建立 119
3.5.2 差分格式解的存在性 121
3.5.3 差分格式的求解與數值算例 122
3.5.4 差分格式解的先驗估計式 124
3.5.5 差分格式解的收斂性和穩定性 127
3.5.6 Richardson外推法 128
3.6 緊致差分格式 130
3.6.1 差分格式的建立 131
3.6.2 差分格式解的存在性 133
3.6.3 差分格式的求解與數值算例 134
3.6.4 差分格式解的先驗估計式 136
3.6.5 差分格式解的收斂性和穩定性 138
3.7 非線性拋物方程 139
3.7.1 向前Euler格式 141
3.7.2 向后Euler格式 147
3.7.3 Crank-Nicolson格式 153
3.8 導數邊界值問題 161
3.9 小結與拓展 164
習題3 165
第4章 雙曲型方程的差分方法 174
4.1 Dirichlet初邊值問題 174
4.2 顯式差分格式 176
4.2.1 差分格式的建立 176
4.2.2 差分格式解的存在性 179
4.2.3 差分格式的求解與數值算例 180
4.2.4 差分格式解的先驗估計式 183
4.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性 187
4.3 隱式差分格式 191
4.3.1 差分格式的建立 191
4.3.2 差分格式解的存在性 194
4.3.3 差分格式的求解與數值算例 196
4.3.4 差分格式解的先驗估計式 198
4.3.5 差分格式解的收斂性和穩定性 200
4.4 緊致差分格式 203
4.5 有限Fourier級數及其應用 206
4.5.1 有限Fourier級數 206
4.5.2 兩點邊值問題差分解的先驗估計式 210
4.5.3 拋物型方程**邊值問題差分解的先驗估計式 212
4.5.4 雙曲型方程**邊值問題差分解的先驗估計式 214
4.6 小結與拓展 218
習題4 219
第5章 高維發展方程的交替方向法 226
5.1 二維拋物型方程的交替方向隱格式 226
5.1.1 差分格式的建立 227
5.1.2 差分格式解的存在性 232
5.1.3 差分格式的求解與數值算例 233
5.1.4 差分格式解的先驗估計式 238
5.1.5 差分格式解的收斂性和穩定性 242
5.2 二維拋物型方程的緊致交替方向隱格式 243
5.2.1 差分格式的建立 244
5.2.2 差分格式解的存在性 247
5.2.3 差分格式的求解與數值算例 249
5.2.4 差分格式解的先驗估計式 252
5.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性 255
5.3 二維雙曲型方程的交替方向隱格式 257
5.3.1 差分格式的建立 257
5.3.2 差分格式解的存在性 262
5.3.3 差分格式的求解與數值算例 263
5.3.4 差分格式解的先驗估計式 268
5.3.5 差分格式解的收斂性和穩定性 273
5.4 二維雙曲型方程的緊致交替方向隱格式 275
5.5 小結與拓展 281
習題5 282
第6章 分數階微分方程的有限差分方法 287
6.1 分數階導數的定義和性質 287
6.1.1 分數階積分 287
6.1.2 Grünwald-Letnikov分數階導數 287
6.1.3 Riemann-Liouville分數階導數 288
6.1.4 Caputo分數階導數 288
6.1.5 Riesz分數階導數 290
6.2 Caputo分數階導數的插值逼近 290
6.2.1 α(0
6.2.2 γ(1
6.3 時間分數階慢擴散方程的差分方法 296
6.3.1 差分格式的建立 296
6.3.2 差分格式的可解性 297
6.3.3 差分格式的穩定性 298
6.3.4 差分格式的收斂性 300
6.3.5 數值算例 300
6.4 時間分數階波方程的差分方法 301
6.4.1 差分格式的建立 302
6.4.2 差分格式的可解性 303
6.4.3 差分格式的穩定性 304
6.4.4 差分格式的收斂性 306
6.4.5 數值算例 307
6.5 時間分數階混合擴散和波方程的差分方法 308
6.5.1 差分格式的建立 309
6.5.2 差分格式的可解性 310
6.5.3 差分格式的穩定性 311
6.5.4 差分格式的收斂性 314
6.5.5 數值算例 315
6.6 小結與拓展 317
習題6 318
第7章 Schr*dinger方程的差分方法 320
7.1 引言 320
7.2 二層非線性差分格式 322
7.2.1 差分格式的建立 323
7.2.2 差分格式解的守恒性和有界性 324
7.2.3 差分格式解的存在性和唯一性 327
7.2.4 差分格式解的收斂性 329
7.2.5 數值算例 334
7.3 三層線性化差分格式 336
7.3.1 差分格式的建立 336
7.3.2 差分格式解的守恒性和有界性 337
7.3.3 差分格式解的存在性和唯一性 339
7.3.4 差分格式解的收斂性 340
7.3.5 數值算例 348
7.4 小結與拓展 349
習題7 349
第8章 Burgers方程的差分方法 352
8.1 引言 352
8.2 二層非線性差分格式 354
8.2.1 記號及引理 354
8.2.2 差分格式的建立 355
8.2.3 差分格式解的守恒性和有界性 356
8.2.4 差分格式解的存在性和唯一性 358
8.2.5 差分格式解的收斂性 361
8.2.6 數值算例 366
8.3 三層線性化差分格式 368
8.3.1 差分格式的建立 368
8.3.2 差分格式解的守恒性和有界性 369
8.3.3 差分格式解的存在性和唯一性 370
8.3.4 差分格式解的收斂性 371
8.3.5 數值算例 375
8.4 小結與拓展 376
習題8 378
第9章 Korteweg-de Vries方程的差分方法 380
9.1 引言 380
9.2 空間一階差分格式 381
9.2.1 差分格式的建立 381
9.2.2 差分格式解的存在性 383
9.2.3 差分格式解的守恒性和有界性 385
9.2.4 差分格式解的收斂性 386
9.2.5 數值算例 388
9.3 空間二階差分格式 390
9.3.1 差分格式的建立 390
9.3.2 差分格式解的存在性 394
9.3.3 差分格式解的守恒性和有界性 396
9.3.4 差分格式解的收斂性 397
9.3.5 數值算例 401
9.3.6 引理9.2的證明 402
9.4 小結與拓展 406
習題9 406
參考文獻 408
索引 411
第三版前言
第二版前言
**版前言
第1章 常微分方程兩點邊值問題的差分方法 1
1.1 Dirichlet邊值問題 1
1.1.1 基本微分不等式 2
1.1.2 解的先驗估計式 5
1.2 差分格式 7
1.2.1 差分格式的建立 9
1.2.2 差分格式解的存在性 11
1.2.3 差分格式的求解與數值算例 12
1.2.4 差分格式解的先驗估計式 16
1.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性 25
1.2.6 Richardson外推法 26
1.2.7 緊致差分格式 29
1.3 導數邊界值問題 32
1.3.1 差分格式的建立 32
1.3.2 差分格式的求解與數值算例 35
1.4 小結與拓展 39
習題1 40
第2章 橢圓型方程的差分方法 44
2.1 Dirichlet邊值問題 45
2.2 五點差分格式 48
2.2.1 差分格式的建立 48
2.2.2 差分格式解的存在性 51
2.2.3 差分格式的求解與數值算例 51
2.2.4 差分格式解的先驗估計式 54
2.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性 57
2.2.6 Richardson外推法 58
2.3 緊致差分格式 61
2.3.1 差分格式的建立 62
2.3.2 差分格式解的存在性 64
2.3.3 差分格式的求解與數值算例 66
2.3.4 差分格式解的先驗估計式 69
2.3.5 差分格式解的收斂性和穩定性 74
2.4 導數邊界值問題 75
2.4.1 差分格式的建立 75
2.4.2 差分格式的求解與數值算例 78
2.5 雙調和方程邊值問題 80
2.6 小結與拓展 82
習題2 84
第3章 拋物型方程的差分方法 86
3.1 Dirichlet初邊值問題 86
3.2 向前Euler格式 89
3.2.1 差分格式的建立 90
3.2.2 差分格式解的存在性 92
3.2.3 差分格式的求解與數值算例 92
3.2.4 差分格式解的先驗估計式 95
3.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性 99
3.3 向后Euler格式 103
3.3.1 差分格式的建立 103
3.3.2 差分格式解的存在性 105
3.3.3 差分格式的求解與數值算例 105
3.3.4 差分格式解的先驗估計式 109
3.3.5 差分格式解的收斂性和穩定性 112
3.4 Richardson格式 113
3.4.1 差分格式的建立 113
3.4.2 差分格式的求解與數值算例 115
3.4.3 差分格式的不穩定性 116
3.5 Crank-Nicolson格式 119
3.5.1 差分格式的建立 119
3.5.2 差分格式解的存在性 121
3.5.3 差分格式的求解與數值算例 122
3.5.4 差分格式解的先驗估計式 124
3.5.5 差分格式解的收斂性和穩定性 127
3.5.6 Richardson外推法 128
3.6 緊致差分格式 130
3.6.1 差分格式的建立 131
3.6.2 差分格式解的存在性 133
3.6.3 差分格式的求解與數值算例 134
3.6.4 差分格式解的先驗估計式 136
3.6.5 差分格式解的收斂性和穩定性 138
3.7 非線性拋物方程 139
3.7.1 向前Euler格式 141
3.7.2 向后Euler格式 147
3.7.3 Crank-Nicolson格式 153
3.8 導數邊界值問題 161
3.9 小結與拓展 164
習題3 165
第4章 雙曲型方程的差分方法 174
4.1 Dirichlet初邊值問題 174
4.2 顯式差分格式 176
4.2.1 差分格式的建立 176
4.2.2 差分格式解的存在性 179
4.2.3 差分格式的求解與數值算例 180
4.2.4 差分格式解的先驗估計式 183
4.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性 187
4.3 隱式差分格式 191
4.3.1 差分格式的建立 191
4.3.2 差分格式解的存在性 194
4.3.3 差分格式的求解與數值算例 196
4.3.4 差分格式解的先驗估計式 198
4.3.5 差分格式解的收斂性和穩定性 200
4.4 緊致差分格式 203
4.5 有限Fourier級數及其應用 206
4.5.1 有限Fourier級數 206
4.5.2 兩點邊值問題差分解的先驗估計式 210
4.5.3 拋物型方程**邊值問題差分解的先驗估計式 212
4.5.4 雙曲型方程**邊值問題差分解的先驗估計式 214
4.6 小結與拓展 218
習題4 219
第5章 高維發展方程的交替方向法 226
5.1 二維拋物型方程的交替方向隱格式 226
5.1.1 差分格式的建立 227
5.1.2 差分格式解的存在性 232
5.1.3 差分格式的求解與數值算例 233
5.1.4 差分格式解的先驗估計式 238
5.1.5 差分格式解的收斂性和穩定性 242
5.2 二維拋物型方程的緊致交替方向隱格式 243
5.2.1 差分格式的建立 244
5.2.2 差分格式解的存在性 247
5.2.3 差分格式的求解與數值算例 249
5.2.4 差分格式解的先驗估計式 252
5.2.5 差分格式解的收斂性和穩定性 255
5.3 二維雙曲型方程的交替方向隱格式 257
5.3.1 差分格式的建立 257
5.3.2 差分格式解的存在性 262
5.3.3 差分格式的求解與數值算例 263
5.3.4 差分格式解的先驗估計式 268
5.3.5 差分格式解的收斂性和穩定性 273
5.4 二維雙曲型方程的緊致交替方向隱格式 275
5.5 小結與拓展 281
習題5 282
第6章 分數階微分方程的有限差分方法 287
6.1 分數階導數的定義和性質 287
6.1.1 分數階積分 287
6.1.2 Grünwald-Letnikov分數階導數 287
6.1.3 Riemann-Liouville分數階導數 288
6.1.4 Caputo分數階導數 288
6.1.5 Riesz分數階導數 290
6.2 Caputo分數階導數的插值逼近 290
6.2.1 α(0
6.2.2 γ(1
6.3 時間分數階慢擴散方程的差分方法 296
6.3.1 差分格式的建立 296
6.3.2 差分格式的可解性 297
6.3.3 差分格式的穩定性 298
6.3.4 差分格式的收斂性 300
6.3.5 數值算例 300
6.4 時間分數階波方程的差分方法 301
6.4.1 差分格式的建立 302
6.4.2 差分格式的可解性 303
6.4.3 差分格式的穩定性 304
6.4.4 差分格式的收斂性 306
6.4.5 數值算例 307
6.5 時間分數階混合擴散和波方程的差分方法 308
6.5.1 差分格式的建立 309
6.5.2 差分格式的可解性 310
6.5.3 差分格式的穩定性 311
6.5.4 差分格式的收斂性 314
6.5.5 數值算例 315
6.6 小結與拓展 317
習題6 318
第7章 Schr*dinger方程的差分方法 320
7.1 引言 320
7.2 二層非線性差分格式 322
7.2.1 差分格式的建立 323
7.2.2 差分格式解的守恒性和有界性 324
7.2.3 差分格式解的存在性和唯一性 327
7.2.4 差分格式解的收斂性 329
7.2.5 數值算例 334
7.3 三層線性化差分格式 336
7.3.1 差分格式的建立 336
7.3.2 差分格式解的守恒性和有界性 337
7.3.3 差分格式解的存在性和唯一性 339
7.3.4 差分格式解的收斂性 340
7.3.5 數值算例 348
7.4 小結與拓展 349
習題7 349
第8章 Burgers方程的差分方法 352
8.1 引言 352
8.2 二層非線性差分格式 354
8.2.1 記號及引理 354
8.2.2 差分格式的建立 355
8.2.3 差分格式解的守恒性和有界性 356
8.2.4 差分格式解的存在性和唯一性 358
8.2.5 差分格式解的收斂性 361
8.2.6 數值算例 366
8.3 三層線性化差分格式 368
8.3.1 差分格式的建立 368
8.3.2 差分格式解的守恒性和有界性 369
8.3.3 差分格式解的存在性和唯一性 370
8.3.4 差分格式解的收斂性 371
8.3.5 數值算例 375
8.4 小結與拓展 376
習題8 378
第9章 Korteweg-de Vries方程的差分方法 380
9.1 引言 380
9.2 空間一階差分格式 381
9.2.1 差分格式的建立 381
9.2.2 差分格式解的存在性 383
9.2.3 差分格式解的守恒性和有界性 385
9.2.4 差分格式解的收斂性 386
9.2.5 數值算例 388
9.3 空間二階差分格式 390
9.3.1 差分格式的建立 390
9.3.2 差分格式解的存在性 394
9.3.3 差分格式解的守恒性和有界性 396
9.3.4 差分格式解的收斂性 397
9.3.5 數值算例 401
9.3.6 引理9.2的證明 402
9.4 小結與拓展 406
習題9 406
參考文獻 408
索引 411
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偏微分方程數值解法 (第三版) 節選
第1章 常微分方程兩點邊值問題的差分方法 有限差分方法是用于求解微分方程定解問題的*廣泛的數值方法，其基本思想是用離散的只含有有限個未知量的差分方程組去近似代替連續變量的微分方程和定解條件，并把差分方程組的解作為微分方程定解問題的近似解.常微分方程兩點邊值問題可以看成一維橢圓型方程定解問題，模型簡單.本章研究此模型問題的差分解法，介紹微分方程數值解法中的一些基本概念、差分格式的極值原理分析方法和能量分析方法，以及提高數值解精度的Richardson外推法. 1.1 Dirichlet邊值問題 考慮如下定解問題: (1.1a) (1.1b) 其中q(x).0，f(x)為已知函數，α和β為已知常數. 當q(x)≡0時，在方程(1.1a)中用s代替x，并在兩邊關于s從0到x積分一次，得到 在上式中用ξ代替x，再在兩邊關于ξ從0到x積分一次，并應用左邊界條件u(0)=α，得到 再應用右邊界條件u(L)=β，可得 因而(1.1)的解可表示為 要想求出某點處的值還需要借助于數值積分.當時，用同樣的方法要想得到解的精確表達式是困難的，甚至是辦不到的.讀者可對q(x)≡1的情形試一試. 盡管難以求出精確解，但我們可以設法給出解的估計式. 1.1.1 基本微分不等式 本書中Cm[0，L]表示閉區間[0，L]上所有具有m階連續導數的函數的集合. 設函數u∈C[0，L].記 如果函數u∈C1[0，L]，則進一步記 引理1.1(I)設函數，則有 (1.2) (II)設函數v∈C2[0，L]，且v(0)=0，v(L)=0，則有 (1.3) (III)設函數v∈C1[0，L]，且v(0)=v(L)=0，則有 (IV)設函數v∈C1[0，L]，且v(0)=v(L)=0，則對任意.>0有 (1.4) (V)設函數v∈C1[0，L]，則對任意.>0有 (1.5) 證明 (I)由分部積分直接可得(1.2). (II)由(1.2)易得(1.3). (III)對于任意的x∈(0，L)，有 (1.6) (1.7) 將(1.6)和(1.7)兩端平方并應用Cauchy-Schwarz不等式，得到 (1.8) (1.9) 將(1.8)乘以L.x，將(1.9)乘以x，并將結果相加，得 (1.10) 注意到當x∈(0，L)時， 由(1.10)易得 將上式兩邊開方，得 易知 對(1.10)式兩端關于x積分，得 兩邊開方得 (IV)對任意.>0，有 將以上兩式相加并除以2，得到 因而(1.4)成立. (V)設x∈[0，L]使得 當y∈[x，L]時， 由以上兩式得到 將上式兩邊關于y從0到L求積分，得到 易得 因而(1.5)成立. 引理證畢. 1.1.2 解的先驗估計式 我們給出齊次邊值問題解的先驗估計式. 定理1.1設函數v∈C2[0，L]為兩點邊值問題 (1.11a) (1.11b) 的解，其中q(x).0，則有 (1.12) (1.13) 證明(I)將(1.11a)兩端同乘以v(x)，并關于x在(0，L)上積分，得 (1.14) 注意到(1.11b)，由引理1.1有 由q(x).0，有 此外，應用Cauchy-Schwarz不等式，有 將以上三式代入(1.14)，得 再次應用引理1.1，有 于是 (II)注意到 由(1.12)及引理1.1，得 定理證畢. 稱(1.12)和(1.13)為兩點邊值問題(1.11)解的先驗估計式.
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