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高等代數 版權信息
- ISBN：9787030692900
- 條形碼：9787030692900 ; 978-7-03-069290-0
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
高等代數 內容簡介
本書內容主要包括一元多項式理論、矩陣及其運算、線性方程組理論、線性空間及其線性變換、相似不變量與相似標準形、歐氏空間與二次型理論。本書力求理清高等代數相關概念與定理產生的歷史背景與科學動機, 強調幾何直觀與代數方法的有機結合, 使抽象概念、理論可視化, 并適當拓展高等代數理論在現代科技、工程、經濟等領域應用背景的介紹, 注重數學文化的滲透與科學思維方法的訓練。
高等代數 目錄
目錄
前言
第1章 預備知識 1
1.1 數域 1
1.2 連加號 3
1.3 數學歸納法 4
1.4 一元多項式的概念 5
1.5 整除 7
1.6 *大公因式 11
1.7 韋達定理 16
1.8 等價關系 16
第2章 矩陣 19
2.1 矩陣及其運算 19
2.2 分塊矩陣 30
2.3 行列式 35
2.4 n階行列式的性質 44
2.5 行列式的計算 49
2.6 行列式按一行(列)展開 54
2.7 可逆矩陣 60
2.8 初等矩陣與矩陣的逆 65
2.9 克拉默法則 72
2.10 矩陣的秩 80
復習題2 87
第3章 線性空間 90
3.1 消元法解線性方程組 90
3.2 線性空間的定義與基本性質 103
3.3 線性表示 111
3.4 向量組的線性相關性 116
3.5 向量組的秩和極大無關組 124
3.6 向量組的秩與矩陣的秩 128
3.7 基、維數與坐標 131
3.8 基變換與坐標變換 138
3.9 線性子空間 147
3.10 線性方程組解的結構 153
3.10.1 齊次線性方程組解的結構 154
3.10.2 非齊次線性方程組解的結構 158
3.11 子空間的交與和 167
3.12 子空間的直和 175
復習題3 179
第4章 多項式 182
4.1 因式分解定理 182
4.2 重因式與多項式函數 185
4.3 復系數與實系數多項式的因式分解 189
4.4 有理系數多項式 191
復習題4 195
第5章 線性變換 196
5.1 線性映射 196
5.2 線性空間的同構 203
5.3 線性變換的運算 205
5.4 線性變換的值域與核 208
5.5 線性變換的矩陣表示 214
5.6 相似矩陣 227
5.7 特征值與特征向量I:定義與求法 232
5.8 特征值與特征向量II:性質 240
5.9 相似對角化 245
5.10 不變子空間 252
5.11 凱萊-哈密頓定理與極小多項式 256
復習題5 262
第6章 相似不變量與相似標準形 265
6.1 λ-矩陣的相抵標準形 265
6.2 矩陣相似的條件 270
6.3 不變因子與弗羅貝尼烏斯標準形 273
6.4 初等因子 279
6.5 若爾當標準形 283
6.6 線性空間的分解 291
6.6.1 基于弗羅貝尼烏斯標準形的分解 291
6.6.2 基于若爾當標準形的分解 294
復習題6 298
第7章 歐氏空間 299
7.1 內積與歐氏空間 299
7.2 標準正交基 310
7.3 正交矩陣 320
7.4 正交變換 322
7.5 對稱矩陣與對稱變換 327
7.6 正交補與正交投影 339
7.7 *小二乘法 347
復習題7 351
第8章 二次型 352
8.1 二次型及其矩陣表示 352
8.2 標準形 355
8.3 規范形 365
8.4 正定二次型 371
8.5 極分解與奇異值分解 377
復習題8 381
部分習題簡答 384
前言
第1章 預備知識 1
1.1 數域 1
1.2 連加號 3
1.3 數學歸納法 4
1.4 一元多項式的概念 5
1.5 整除 7
1.6 *大公因式 11
1.7 韋達定理 16
1.8 等價關系 16
第2章 矩陣 19
2.1 矩陣及其運算 19
2.2 分塊矩陣 30
2.3 行列式 35
2.4 n階行列式的性質 44
2.5 行列式的計算 49
2.6 行列式按一行(列)展開 54
2.7 可逆矩陣 60
2.8 初等矩陣與矩陣的逆 65
2.9 克拉默法則 72
2.10 矩陣的秩 80
復習題2 87
第3章 線性空間 90
3.1 消元法解線性方程組 90
3.2 線性空間的定義與基本性質 103
3.3 線性表示 111
3.4 向量組的線性相關性 116
3.5 向量組的秩和極大無關組 124
3.6 向量組的秩與矩陣的秩 128
3.7 基、維數與坐標 131
3.8 基變換與坐標變換 138
3.9 線性子空間 147
3.10 線性方程組解的結構 153
3.10.1 齊次線性方程組解的結構 154
3.10.2 非齊次線性方程組解的結構 158
3.11 子空間的交與和 167
3.12 子空間的直和 175
復習題3 179
第4章 多項式 182
4.1 因式分解定理 182
4.2 重因式與多項式函數 185
4.3 復系數與實系數多項式的因式分解 189
4.4 有理系數多項式 191
復習題4 195
第5章 線性變換 196
5.1 線性映射 196
5.2 線性空間的同構 203
5.3 線性變換的運算 205
5.4 線性變換的值域與核 208
5.5 線性變換的矩陣表示 214
5.6 相似矩陣 227
5.7 特征值與特征向量I:定義與求法 232
5.8 特征值與特征向量II:性質 240
5.9 相似對角化 245
5.10 不變子空間 252
5.11 凱萊-哈密頓定理與極小多項式 256
復習題5 262
第6章 相似不變量與相似標準形 265
6.1 λ-矩陣的相抵標準形 265
6.2 矩陣相似的條件 270
6.3 不變因子與弗羅貝尼烏斯標準形 273
6.4 初等因子 279
6.5 若爾當標準形 283
6.6 線性空間的分解 291
6.6.1 基于弗羅貝尼烏斯標準形的分解 291
6.6.2 基于若爾當標準形的分解 294
復習題6 298
第7章 歐氏空間 299
7.1 內積與歐氏空間 299
7.2 標準正交基 310
7.3 正交矩陣 320
7.4 正交變換 322
7.5 對稱矩陣與對稱變換 327
7.6 正交補與正交投影 339
7.7 *小二乘法 347
復習題7 351
第8章 二次型 352
8.1 二次型及其矩陣表示 352
8.2 標準形 355
8.3 規范形 365
8.4 正定二次型 371
8.5 極分解與奇異值分解 377
復習題8 381
部分習題簡答 384
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高等代數 節選
1.1 數域 在生產實踐或科學研究中，按照所研究的問題，我們往往需要明確規定所考慮的數的范圍.在高中階段，我們已經學習了復數及其基本性質.回顧一下，復數的集合 其中R表示實數集.復數的加、減、乘、除運算定義為 其中. 圖1.1 1797年，挪威-丹麥的測量員韋塞爾(C.Wessel)賦予了復數z=a+bi明顯的幾何意義，它對應于復平面上的點(a，b)，如圖1.1所示. 其中稱為復數z的模.這里稱為z的輻角.因此z又可表示為稱為復數z的極坐標表示.如果，那么我們有著名的棣莫弗定理. 由此可得 命題1.1.1 在復數域中，方程的根共有n個，它們可以表示為 從而可分解為 證明設ω是的任一根，則ωn=1.設 于是.由棣莫弗定理知 從而 故 注 從上面定理中根ωk的形式可以看出，ωk為實數根當且僅當當且僅當為整數. 定義1.1.1 方程的根稱為n次單位根. 定義1.1.2 設F是復數域C的一個子集，且.如果F中任意兩個數的和、差、積、商(除數非零)仍然是F中的數，則稱F是一個數域. 注 如果F中任意兩個數在C的某種運算(加、減、乘或除)下的結果仍然在F中，則稱F關于此運算封閉. 例1.1.1 (1)有理數的集合Q、實數集合R和復數集合C都構成數域，分別稱為有理數域、實數域和復數域. (2)容易驗證數集是一個數域，而且. 由于整數集合Z關于除法運算不封閉，因此Z并不是數域.事實上，我們可以得到下面命題. 命題1.1.2 有理數域Q是*小的數域，即如果F是任一數域，則. 證明 由于12F，歸納地，如果正整數n2F，則由加法封閉知.因此所有的正整數都屬于F;又由于F關于減法封閉，則，從而所有的整數都屬于F.對任意的有理數，存在整數且m6=0，使得.由于m，n2F，則它們的商，即所有的有理數都屬于F.因此. 定義1.1.3 設R是復數域C的一個子集，且0，12R.如果R關于運算加、減、乘封閉，即R中任意兩個元素的和、差、積仍然在R中，則稱R是一個數環. 例1.1.2 整數集合Z與高斯(Gauss)整數集合都是數環. 如無特殊說明，本書中的數域F讀者可理解為有理數域Q、實數域R或復數域C.F中的元素常稱為標量(scalar).標量是用來表示“數”的一個詞，通常用來強調一個對象是數，與后面引入的向量(vector)區分. 1.2 連加號 為了記號的方便，我們經常將若干個數連加的式子 (1.1) 簡記為.這里ai表示一般項，i稱為求和指標，P的上、下標表示i的取值由1到n.注意到求和指標i是可以改變的，例如(1.1)也可以記為 下面的和式 (1.2) 常簡記為.在雙重連加號中，一般連加號的次序可以交換，即 命題1.2.1 證明 對和式(1.2)，如果先按行求和，再將所得的行和加起來，則;如果先按列求和，再將所得的列和加起來，則. 思考 當m，n為無窮時，上述公式還成立嗎？ 有時連加的數雖然是雙指標求和，但相加的不是這些數的全部，而是指標滿足一定條件的那些數，這時就在求和號下面寫上指標所適合的條件即可.例如 我們采用連乘號表示n個數a1，a2， ，an的乘積a1a2 an. 1.3 數學歸納法 數學歸納法(mathematical induction)是一種數學證明方法，通常被用于證明某個給定命題在整個(或者局部)自然數范圍內成立. 數學歸納法所依據的原理是正整數集的一個*基本性質——*小數公理.設表示非負整數集合，即自然數集，N.表示正整數集合. *小數公理 自然數集N的任意一個非空子集S必含有一個*小數，即，使得. 注 設c是任意一個整數，令.那么，以Mc代替N，*小數公理仍然成立. 由*小數公理可以得到數學歸納法原理. 定理1.3.1 (**數學歸納法原理)設有一個與正整數n有關的命題，如果 (1)當n=0時，命題成立; (2)假設n=k時命題成立，則n=k+1時命題也成立， 則命題對所有的自然數成立. 證明 假設命題不是對所有的自然數成立.令S表示所有使命題不成立的正整數的集合，則由*小數公理，S中有*小數a.因為命題當n=0時成立，所以a6=0.從而是一個自然數.因為a是S中的*小數，所以.這就是說，當時命題成立.于是由(2)，當n=a時命題也成立，即矛盾！ 注 根據上面的備注，我們可以取Mc代替N，即如果一個命題是從某個整數c開始的，只需將(1)中的n=1換成n=c，用數學歸納法證明即可. 在應用中，數學歸納法常常需要采取一些變化來適應實際的需求.例如完整歸納法(也稱第二數學歸納法)，需要更強的歸納假設.可類似地證明如下定理. 定理1.3.2 (第二數學歸納法原理)設有一個與自然數n有關的命題，如果 (1)當n=0時，命題成立; (2)假設命題對所有小于k的自然數成立，則命題對n=k也成立.則命題對所有的自然數成立. 將Mc代替N，條件(1)換成n=c，其中c為任意整數，則命題對Mc成立. 1.4 一元多項式的概念 多項式是高等代數的有機組成部分，在數學、物理及工學等諸多領域有著廣泛的應用.從表示論的觀點來看，高等代數本質上講的是數域F上一元多項式環F[x]的表示理論. 定義1.4.1 設x是一個符號(或文字)，n是一非負整數，F是一數域.形式表達式 (1.3) 其中，稱為系數在數域F中的一元多項式，或簡稱為數域F上的一元多項式. (1.3)中稱為多項式f(x)的k次項，ak稱為k次項的系數. (1.3)中如果，則稱為多項式f(x)的首項，an稱為首項系數，n稱為f(x)的次數，記作.(f(x))或deg(f(x)).若an=1，則f(x)稱為首一多項式. 系數全為零的多項式稱為零多項式，記為0.零多項式不定義次數. 注中學階段的多項式f(x)中的變量x一般是數，而現在定義的多項式f(x)中的x僅僅是一個符號，稱為未定元，可以指代數、向量、矩陣、函數甚至文字等一切符號.因此，(1.3)中的冪運算xn、數ai與冪xi的乘法運算aixi以及加法運算會隨著x具體指代的不同而有不同的含義. 定義1.4.2 如果多項式f(x)和g(x)同次項的系數對應相等，則稱f(x)與g(x)相等，記作f(x)=g(x). 定義1.4.3 設多項式和，則多項式的加法與乘法運算定義如下: 多項式的加法滿足以下運算律: 交換律f(x)+g(x)=g(x)+f(x); 結合律(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)); 零元律f(x)+0=f(x); 負元律f(x)+(-f(x))=0. 多項式的乘法滿足以下運算律: 交換律f(x)g(x)=g(x)f(x); 結合律(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x)); 分配律(f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x); 消去律f(x)h(x)=g(x)h(x)，h(x)6=0)f(x)=g(x). 由多項式次數的定義立即可得如下命題. 命題1.4.1 設f(x)和g(x)是數域F上的任意兩個多項式，則 定義1.4.4 數域F上的一元多項式的全體，連同定義1.4.3中定義的加法和乘法運算，作成一個代數系統，稱為數域F上的一元多項式環，記作F[x]. 例1.4.1 設f(x)為多項式，則f(x)=kx的充要條件為f(a+b)=f(a)+ f(b)，對于任意的a，b成立. 證明 必要性顯然，下面來證明充分性.事實上，由條件 f(2x)=f(x+x)=2f(x)，
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