包郵高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程(下)(第二版)

作者：嚴(yán)培勝，易風(fēng)華

出版社：科學(xué)出版社出版時間：2021-09-01

開本：其他頁數(shù)： 188

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高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程(下)(第二版) 版權(quán)信息

ISBN：9787030694768
條形碼：9787030694768 ; 978-7-03-069476-8
裝幀：一般膠版紙
冊數(shù)：暫無
重量：暫無
所屬分類：
自然科學(xué)
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數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程(下)(第二版) 內(nèi)容簡介

本書是與《高等數(shù)學(xué)（下）》（陶前功、嚴(yán)培勝主編，科學(xué)出版社“十二五”普通高等教育本科規(guī)劃教材）配套的習(xí)題課教程。全書共分上、下兩冊。本書是下冊，內(nèi)容包含：無窮級數(shù)、微分方程、多元函數(shù)微分學(xué)和二重積分。每章內(nèi)容分5部分：①知識點小結(jié)；②考研數(shù)學(xué)大綱要求；③典型例題；④A組練習(xí)題；⑤總復(fù)習(xí)題。本書很后還提供三套模擬題、各章練習(xí)題（B組練習(xí)題）和部分習(xí)題的參考答案。

高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程(下)(第二版) 目錄

目錄
前言
第6章無窮級數(shù) 1
6.1 知識點小結(jié) 1
6.2 考研數(shù)學(xué)大綱要求 6
6.3 典型例題 7
6.4 A組練習(xí)題 15
6.5 總復(fù)習(xí)題6 23
第7章微分方程 26
7.1 知識點小結(jié) 26
7.2 考研數(shù)學(xué)大綱要求 35
7.3 典型例題 35
7.4 A組練習(xí)題 50
7.5 總復(fù)習(xí)題7 57
第8章多元函數(shù)微分學(xué) 60
8.1 知識點小結(jié) 60
8.2 考研數(shù)學(xué)大綱要求 69
8.3 典型例題 69
8.4 A組練習(xí)題 84
8.5 總復(fù)習(xí)題8 94
第9章二重積分 97
9.1 知識點小結(jié) 97
9.2 考研數(shù)學(xué)大綱要求 100
9.3 典型例題 101
9.4 A組練習(xí)題 103
9.5 總復(fù)習(xí)題9 107
模擬題一 109
模擬題二 111
模擬題三 113
各章練習(xí)題 115
第6章 B組練習(xí)題 115
第7章 B組練習(xí)題 127
第8章 B組練習(xí)題 145
第9章 B組練習(xí)題 159
參考答案 163

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高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程(下)(第二版) 節(jié)選

第6章無窮級數(shù) 6.1 知識點小結(jié) 6.1.1 常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì) 常數(shù)項級數(shù)與其部分和數(shù)列具有同樣的斂散性. 收斂級數(shù)的性質(zhì)如下: (1)若級數(shù)收斂，C是任一常數(shù)，則級數(shù)也收斂，且. (2)若級數(shù)與都收斂，則也收斂，且. (3)在級數(shù)中改變、去掉或增加前面的有限項，不會改變級數(shù)的斂散性，但一般會改變收斂級數(shù)的和. (4)在一個收斂級數(shù)中，任意添加括號所得到的新級數(shù)仍收斂于原來的和. (5)級數(shù)收斂的必要條件:若級數(shù)收斂，則. 注:性質(zhì)(5)的逆否命題常用來判定級數(shù)發(fā)散. 6.1.2 正項級數(shù) 1.正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂的充要條件是:它的部分和數(shù)列有上界. 2.比較判別法設(shè)有兩個正項級數(shù)和，有成立，那么 (1)若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂; (2)若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散. 3.比較判別法的極限形式若正項級數(shù)與滿足，則 (1)當(dāng)時，與具有相同的斂散性; (2)當(dāng)時，若收斂，則亦收斂; (3)當(dāng)時，若發(fā)散，則亦發(fā)散. 注:只有知道一些重要級數(shù)的斂散性，并加以靈活應(yīng)用，才能熟練掌握比較判別法.至今，重要的已知級數(shù)包括等比級數(shù)、調(diào)和級數(shù)及級數(shù)等. 4.比值判別法 (達朗貝爾判別法):設(shè)有正項級數(shù)，如果極限，那么 (1)當(dāng)時，級數(shù)收斂; (2)當(dāng)(包括)時，級數(shù)發(fā)散; (3)當(dāng)時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散(比值判別法無法判別，需另行判別). 注:該判別法適合與有公因式且存在或等于無窮大的情形. 5.根值判別法 (柯西判別法):設(shè)正項級數(shù)滿足，那么 (1)當(dāng)時，收斂; (2)當(dāng)(包括)時，發(fā)散; (3)當(dāng)時，可能收斂，也可能發(fā)散. 注:該判別法適合中含有表達式的次冪，且或等于的情形. 6.1.3 任意項級數(shù) 交錯級數(shù)斂散性的判別法(萊布尼茨(Leibniz)判別法):設(shè)交錯級數(shù)滿足 (1); (2)則級數(shù)收斂，且其和s≤u1. 絕對收斂:若收斂，則稱為絕對收斂; 條件收斂:若發(fā)散，但收斂，則稱條件收斂. 判別任意項級數(shù)斂散性的步驟如下: 6.1.4 冪級數(shù) 1.函數(shù)項級數(shù) 在函數(shù)項級數(shù)的收斂域內(nèi)為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，在發(fā)散域內(nèi)發(fā)散. 2.冪級數(shù) 其中a0，a1，，an，稱為冪級數(shù)的系數(shù). 3.收斂半徑及其求法根據(jù)冪級數(shù)的系數(shù)的形式，當(dāng)冪級數(shù)的各項是依冪次連續(xù)時，可對其系數(shù)應(yīng)用比值判別法或根值判別法直接求出收斂半徑，即有其中或若冪級數(shù)有缺項，如缺少奇數(shù)次冪的項等，則應(yīng)將冪級數(shù)視為函數(shù)項級數(shù)并利用比值判別法或根值判別法判定其收斂域. 4.求冪級數(shù)收斂域的基本步驟 (1)求出收斂半徑R; (2)判別常數(shù)項級數(shù)的斂散性; (3)寫出冪級數(shù)的收斂域. 5.冪級數(shù)的算術(shù)運算加、減、乘、除. 6.冪級數(shù)的分析運算 (1)冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域D上連續(xù). (2)逐項求導(dǎo)數(shù).若冪級數(shù)的收斂半徑為R，則在(R，R)內(nèi)和函數(shù)s(x)可導(dǎo)，且有所得冪級數(shù)的收斂半徑仍為R，但在收斂區(qū)間端點處的斂散性可能發(fā)生改變. (3)逐項積分.設(shè)冪級數(shù)的和函數(shù)為s(x)，收斂半徑為R，則和函數(shù)在(R，R)上可積，且有所得冪級數(shù)的收斂半徑仍為R，但在收斂區(qū)間端點處的斂散性可能發(fā)生改變. 6.1.5 泰勒級數(shù) 函數(shù)的冪級數(shù)展開式 1.泰勒中值公式拉格朗日型余項，是x0與x之間的某個值. 佩亞諾型余項. 帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式為 2.泰勒級數(shù)的概念若函數(shù)f(x)在x=x0的某一鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱冪級數(shù)為f(x)的泰勒級數(shù). 當(dāng)x0=0時，冪級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù). 如果函數(shù)f(x)在包含零的某區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且在此區(qū)間內(nèi)的麥克勞林公式中的余項以零為極限(當(dāng)n→∞時)，那么函數(shù)f(x)就可展開成形如的冪級數(shù). 3.函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法 (1)直接法:直接將函數(shù)展開成泰勒級數(shù). 幾個常用的函數(shù)的冪級數(shù)展開式如下: (2)間接法:利用已知的函數(shù)展開式(7個基本函數(shù)的麥克勞林展開式)，通過線性運算法則、變量代換、恒等變形、逐項求導(dǎo)或逐項積分等方法間接求得冪級數(shù)的展開式.這種方法稱為函數(shù)展開成冪級數(shù)的間接法. 6.1.6 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用 1.數(shù)值計算在函數(shù)的冪級數(shù)展開式中，取前面有限項就可得到函數(shù)的近似公式，這對于計算復(fù)雜函數(shù)的函數(shù)值是非常方便的，即把函數(shù)近似表示為的多項式，而多項式的計算只需用到四則運算法則，非常簡便. 2.計算定積分許多函數(shù)，如等，其原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，但若被積函數(shù)在積分區(qū)間上能展開成冪級數(shù)，則可通過冪級數(shù)展開式的逐項積分，用積分后的級數(shù)近似計算所給定積分. 3.求常數(shù)項級數(shù)的和借助冪級數(shù)的和函數(shù)來求常數(shù)項級數(shù)和的方法，即為阿貝爾方法. 6.2 考研數(shù)學(xué)大綱要求 6.2.1 考試內(nèi)容常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級數(shù)的和的概念，級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級數(shù)與級數(shù)及其斂散性，正項級數(shù)斂散性的判別法，任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂，交錯級數(shù)與萊布尼茨定理，冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域，冪級數(shù)的和函數(shù)，冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式. 6.2.2 考試要求 (1)了解級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和的概念. (2)了解級數(shù)的基本性質(zhì)及級數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級數(shù)及級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項級數(shù)斂散性的比較判別法和比值判別法. (3)了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與收斂的關(guān)系，了解交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法. (4)會求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域. (5)了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導(dǎo)和逐項積分)，會求簡單冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù). (6)了解及的麥克勞林展開式.

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