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高等數學(上冊) 版權信息
- ISBN：9787030692726
- 條形碼：9787030692726 ; 978-7-03-069272-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高等數學(上冊) 內容簡介
本書為河南省“十四五”普通高等教育規劃教材、河南省數學教學指導委員會推薦用書。本書是按照新時代品質本科教育、品質專業建設、品質課程建設總體要求，根據高等數學課程教學大綱基本要求，適應現代教育發展趨勢，參考吸收國內外多本同類優質教材特長，結合地方高校學生特點和作者多年教學實踐及教學經驗，編寫而成的。全書共有九章，分為上、下兩冊。本書為上冊，內容包括函數與極限、一元函數微分學及其應用、一元函數積分學及其應用、常微分方程初步等另外本書還以二維碼形式鏈接了動畫、數學家小傳、習題參考解答，讀者可掃碼查閱。本書可作為高等學校非數學專業學生學習高等數學課程的教材和參考書，也可供自學者閱讀學習或相關人員參考。
高等數學(上冊) 目錄
目錄
致教師
前言
各章之間邏輯關系圖
第0章 認識高等數學 1
0.1 高等數學產生源泉 1
0.2 為何學習高等數學 4
0.3 高等數學思想方法 4
0.4 高等數學知識對象 6
0.5 高等數學內容體系 7
0.6 如何學好高等數學 8
第1章 函數與極限 9
1.1 函數 9
1.2 數列的極限 33
1.3 函數的極限 45
1.4 無窮小量與無窮大量 60
1.5 連續函數 65
1.6 思考與拓展 76
復習題1 79
第2章 一元函數微分學及其應用 83
2.1 導數 83
2.2 求導法則 96
2.3 函數的微分 108
2.4 微分中值定理 115
2.5 未定式極限 128
2.6 函數的性態 134
2.7 思考與拓展 155
復習題2 162
第3章 一元函數積分學及其應用 166
3.1 定積分的概念及性質 166
3.2 不定積分與微積分基本定理 176
3.3 不定積分和定積分的計算 186
3.4 廣義積分 205
3.5 定積分的應用 215
3.6 思考與拓展 239
復習題3 244
第4章 常微分方程初步 250
4.1 微分方程的概念 250
4.2 一階常微分方程 256
4.3 可降階的高階常微分方程 267
4.4 線性常微分方程解的結構 270
4.5 高階線性常微分方程的解法 274
4.6 微分方程應用 286
4.7 思考與拓展 293
復習題4 296
參考文獻 299
附錄 積分表 300
致教師
前言
各章之間邏輯關系圖
第0章 認識高等數學 1
0.1 高等數學產生源泉 1
0.2 為何學習高等數學 4
0.3 高等數學思想方法 4
0.4 高等數學知識對象 6
0.5 高等數學內容體系 7
0.6 如何學好高等數學 8
第1章 函數與極限 9
1.1 函數 9
1.2 數列的極限 33
1.3 函數的極限 45
1.4 無窮小量與無窮大量 60
1.5 連續函數 65
1.6 思考與拓展 76
復習題1 79
第2章 一元函數微分學及其應用 83
2.1 導數 83
2.2 求導法則 96
2.3 函數的微分 108
2.4 微分中值定理 115
2.5 未定式極限 128
2.6 函數的性態 134
2.7 思考與拓展 155
復習題2 162
第3章 一元函數積分學及其應用 166
3.1 定積分的概念及性質 166
3.2 不定積分與微積分基本定理 176
3.3 不定積分和定積分的計算 186
3.4 廣義積分 205
3.5 定積分的應用 215
3.6 思考與拓展 239
復習題3 244
第4章 常微分方程初步 250
4.1 微分方程的概念 250
4.2 一階常微分方程 256
4.3 可降階的高階常微分方程 267
4.4 線性常微分方程解的結構 270
4.5 高階線性常微分方程的解法 274
4.6 微分方程應用 286
4.7 思考與拓展 293
復習題4 296
參考文獻 299
附錄 積分表 300
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高等數學(上冊) 節選
第0章 認識高等數學 0.1 高等數學產生源泉 對數學，大家都不陌生.從小學到中學，大家不斷受到數學解題的訓練和數學思想的熏陶，因此，都具備了一定的數學基礎.盡管興趣大小不同，喜愛程度不一，但經過多年學習，數學已經成為大家知識的重要組成、能力的重要支撐. 今天的人類更是生活在數字時代.數字和數學已經成為人們日常生活的組成部分，很難想象一種完全脫離數字和數學的現代生活! 追根溯源，數學是伴隨著人們生產生活的進程產生并發展起來的.在認識和改造世界的過程中，有了感性認識之后，自然就出現了對理性定量認識的需求.定量認識，是數學產生的一個根本驅動;服務定量認識，是發展數學的一個永恒主題.稍加回顧，不難發現，小學數學的算術和代數內容，來源于“計數”的需要;中學數學的幾何內容，來源于對平面或立體圖形“計量”的需要.因此，“數”和“形”就成為中學之前大家學習數學的兩個基本對象.正是通過對這兩個基本對象的探討，形成了早期數學的理論，產生了早期數學的方法，服務了當時生產生活和理性追求的需要，進而在人們認識和改造世界的進程中發揮了十分重要的作用.現在，人們習慣把這些早期的數學稱為初等數學. 但是，隨著社會的發展以及人類認識和改造世界的需要的不斷提升，出現了大量需要解決但利用初等數學又不能解決的問題.于是，仍然以“數”和“形”為討論對象，并在初等數學基礎上發展起來的新數學，便隨著新需要的驅動而產生了.這些新數學就是我們將要學習的高等數學. 下面是幾個具有代表性的經典例子.人們需要答案，但用初等數學方法，一般不能得到解決. 質點直線運動規律的定量刻畫.在中學，通過初等數學的學習大家知道，對于勻速直線運動，即當一運動的速率v=v(t)=v0為常數時，其運動方程是s=v0t(圖0.1).對于勻變速直線運動，設其初速率為v0，加速度為常數a，它不隨t的變化而變化，則該運動在時刻t的瞬時速率為，其運動方程是(圖0.2).當a=0時，勻變速直線運動簡化為勻速直線運動. 圖0.1 圖0.2 但是，在現實世界中，勻速直線運動和勻變速直線運動的例子是很少的，人們遇到的更多是其他更加一般的情況.因此，在一般情況下，怎樣與上述特殊情況類似，去清楚地刻畫一個質點的直線運動方程s=s(t)和它在某一時刻的瞬時速率v=v(t)之間的聯系，換句話說，當函數s(t)已知時，怎樣去求v(t)，或當函數v(t)已知時，怎樣去求s(t)，便是一個很現實的數學問題.這類問題，初等數學一般難以解決.正是對這類問題的研究和討論，形成了高等數學的一類核心內容：導數、微分和不定積分. 平面圖形面積的定量刻畫.在中學平面幾何的學習中，大家知道，對于各邊均是直線的簡單平面圖形，大多可以給出其面積的計算公式.比如，邊長分別為a和b的長方形，其面積S=ab(圖0.3);一個邊長為a，該邊上的高為h的三角形，其面積(圖0.4);上底和下底分別為a和b，高為h的梯形，其面積(圖0.5)，等等.但是，對于一些邊不是直線的稍微復雜一點的平面圖形，初等數學一般很難給出面積的計算公式.比如，怎樣去求一個圓被一條直線劃分后兩部分的面積，這些內容在中學就不學習.對這類問題的研究和討論，一個十分自然的期待就是，如果在一定條件下，能夠近似用直線來代替圖形中的非直線邊，問題或許就能夠得到解決.事實上，正是這種期待激發了“以直代曲”思想的產生，并以此為基礎和先導，形成了高等數學的另一核心內容：定積分. 圖0.3 圖0.4 圖0.5 希臘神話中一個悖論背后的哲理.第三個具有代表性的經典例子，是與合理解釋古希臘神話中的下面的悖論相聯系的.據說，古希臘有一個長跑健將名叫Achilles，奔跑速度非常快，耐力十分強.假設他與一只烏龜賽跑，并假定烏龜在Achilles前面100米的A處，二者同時出發.當Achilles從A處后面100米處跑到A處時，他一定需要一段時間，而在這段時間內，烏龜一定從A處前移一段距離到達B處.因此，Achilles要趕上烏龜，就必須再從A處趕往B處.但在這段時間內，烏龜又從B處前移到了C處，于是Achilles也要從B處趕往C處.而此時，烏龜又前移到了D處(圖0.6).如此類推，Achilles永遠也趕不上烏龜.但事實上，常識告訴我們，在很短時間內，Achilles一定能夠趕上并超過烏龜.因此，這明顯是一個悖論.不學高等數學，僅從人類思維邏輯和初等數學出發，就難以對上述悖論給出令人信服的解釋.對該例子精準的理論探究，要用到形成高等數學知識體系的第三個核心內容：級數. 圖0.6 當然，高等數學還有很多其他內容，它們大多都有十分鮮明的應用背景，讀者在學習過程中可以逐步加以體會. 0.2 為何學習高等數學 從既簡單又樸素的角度看，學習的目的一是豐富知識，增強認識能力，二是獲得方法，解決實際問題.學習高等數學就是為了更好地服務于這兩個目的.希望讀者通過學習高等數學，能從追尋角度了解高等數學的淵源，從哲學角度領會高等數學的思想，從方法角度掌握高等數學的應用. 首先，高等數學是大學所有后續課程的知識基礎.凡是后續課程中涉及定量問題的知識，幾乎都離不開高等數學.學好高等數學是學好其他專業課程的基礎.反之，學不好高等數學，將會對后續專業課程的學習帶來很大困難.其次，高等數學將為大家提供一個鍛煉和提高邏輯思維能力的舞臺.掌握了高等數學的思想和方法，會極大地增強認識和思考問題的嚴謹性，從而提升邏輯思維方面的素質和能力.第三，高等數學能夠提供一種解決問題的思想方法.這種思想方法區別于初等數學的一個顯著特征是，初等數學處理問題大多是“一事一議”，而高等數學處理問題的特點是“一種思想，一以貫之，一種方法，廣泛應用”.有了高等數學，一系列初等數學不能解決的疑難問題往往迎刃而解.也正是有了高等數學，才使數學在傳承人類文明和進步中的基礎地位，更加毋庸置疑，使數學在現代社會中的重要作用，更加無可替代. 大部分理工科專業的學生，在大學一年級都要學習高等數學.現在，很多文科專業也都開設了高等數學.這是因為高等數學在培養大學生的素質和能力方面，發揮的作用越來越大，在大學知識體系中的作用越來越重要.人類社會的進步歷史，與數學的廣泛應用是分不開的.現代數學已經成為科技發展的強大動力，正越來越廣泛地深入滲透到社會生活的各個領域.因此，學好高等數學對于學習、工作、生活都很重要! 0.3 高等數學思想方法 高等數學特有的核心思想方法，是讀者在中學有過初步了解的極限思想方法.從概念上粗略但直觀地看，極限就是某個變化狀態能夠無限接近但未必達到的一個盡頭，或者說是一個極致界限.因此，就概念而言，極限二字可以由中文字面含義顧名思義.極限一詞的英文表述是limit，由清代數學家李善蘭①(圖0.7)翻譯而來.中文翻譯與limit一詞數學含義的高度匹配，令人驚嘆.所謂極限思想，就是通過分析可以無限接近某一極限狀態的各種變化狀態，來理解想要了解的極限狀態的思想.所謂極限方法，就是利用極限思想而產生的解決問題的方法.于是，極限思想把需要了解的一種狀態，與它附近的各種狀態及其變化過程，有機聯系在了一起.它是一種用運動變化和聯系的觀點看待并分析解決問題的思想，因此深化和提升了用孤立和靜止的觀點看待分析問題的初等數學思想.這是高等數學看待和思考問題與初等數學的本質區別，是數學發展的一場思想革命.極限思想貫穿高等數學始終，是高等數學乃至現代數學的一個主靈魂，其本質性、重要性和核心性，是無論如何強調都不過分的.極限概念、極限思想、極限理論和極限方法，需要認真琢磨體會! 圖0.7 李善蘭 盡管沒有形成系統理論，但是利用極限的思想和方法，認識思考問題和分析解決問題，我國古代早已有之.比如，在莊周所著《莊子》一書的“天下篇”中，就有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的認識.“一尺之棰，日取其半”，是在敘述一個做法;“萬世”，是在敘述無限接近永遠但又不達永遠的一個過程;“不竭”，是在描述認識的結果：盡管棰的長度在不斷減少，但再長的時間，棰的長度也不會是其極限狀態，即不會長度為0.這種認識問題的思維明顯已經是極限思維，而其描述的不竭結果，正是古人對極限問題性質的一個比較深刻的認知.再如，魏晉時期劉徽①(圖0.8)在他的割圓術中提到“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.割圓術用現在的話說，相當于用圓的內接正多邊形的周長去近似代替圓的周長.“割之彌細”，就是讓正多邊形的邊數不斷增加;“所失彌少”，是認識到了兩者誤差越來越小;“以至于不可割”，是在描述達到的極限狀態.“與圓周合體而無所失矣”，是在敘述其認識到的結果.因此，這是一個結合“以直代曲”的觀點，完整地利用極限思想方法，來解決實際問題的典型例子. 在西方，公元前3世紀，古希臘的Archimedes②(阿基米德，圖0.9)在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠的面積、旋轉雙曲體的體積問題時，也使用了類似于劉徽割圓術的思想.當然，阿基米德的結果更加系統完整. 圖0.8 劉徽 圖0.9 Archimedes 0.4 高等數學知識對象 圖0.10 徐光啟 高等數學的幾乎全部知識都是圍繞函數建立的，因此，函數是高等數學的知識對象和知識載體.它既是高等數學中*具有基礎性的核心概念，也是高等數學的核心研討對象.函數一詞大家并不陌生.自小學至中學，大家已經學習過了很多種函數，比如指數函數、對數函數、三角函數等.函數的英文單詞是function，它是在明朝末期由徐光啟①(圖0.10)翻譯成中文的.一般說來，當一個量由另外一個或幾個變化的量通過某種聯系**確定時，它便成為這一個或幾個變化的量的函數.基于此，在高等數學中，變化的量，即變量，就成為*具原始地位的一個概念.一般的函數多種多樣，高等數學的主要研究對象是一元或多元函數.高等數學解決問題的**步，總是把要解決的問題歸結為函數，然后利用極限研究函數的各種分析性質，進而給出問題的答案. 初等數學中的加法運算是*基本和*重要的運算.回顧一下，就會發現，當時加法運算的項數都是有限的!但是，在有了高等數學的極限思想之后，有限相加的
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