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微分幾何簡明教程 版權信息
- ISBN：9787030693662
- 條形碼：9787030693662 ; 978-7-03-069366-2
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
微分幾何簡明教程 內容簡介
本書系統地介紹三維歐氏空間中的曲線與曲面論的基本概念和方法。通過引入刻畫曲線、曲面形狀的幾何量，我們將討論這些幾何量對曲線、曲面形狀的影響。由于這類幾何量不依賴于局部參數化的選擇，局部定義的幾何量以自然的方式定義了整體曲面上的整體幾何量，我們也將系統研究整體幾何量是如何反映曲線、曲面的形狀與拓撲，特別是Gauss-Bonnet公式及其幾何推論。我們還將系統介紹經典復分析方法在極小曲面方面有趣應用，主要包括：極小曲面的Weierstrass表示，極小圖的Bernstein定理，極小曲面Gauss映射的值分布。
微分幾何簡明教程 目錄
目錄序前言第1章 曲線論的基本概念 11.1 正則參數化的曲線 11.2 弧長參數 11.3 Frenet標架的運動方程、曲率和撓率 2第2章 曲線論基本定理 82.1 兩個例子 82.2 曲率、撓率與曲線形狀 9第3章 平面曲線的相對曲率 123.1 相對曲率 123.2 相對曲率與切向輻角 13第4章 平面簡單閉曲線 164.1 Hopf旋轉數定理 174.2 相對曲率的駐點 21第5章 曲面論的基本概念 245.1 正則參數化的曲面 245.2 標架運動方程 255.3 曲面論的基本幾何量 275.4 關于剛體運動的不變性 315.5 切向量場與參數變換 315.5.1 線性獨立的向量場與參數變換 315.5.2 曲率線參數 335.6 Gauss曲率與曲面形狀 345.7 Gauss曲率的內蘊表示 355.8 平均曲率公式 37第6章 幾類特殊曲面 396.1 函數的圖 396.2 旋轉曲面 406.3 直紋面 416.3.1 直紋面的Gauss曲率 416.3.2 可展曲面 426.3.3 沒有臍點的可展曲面 426.4 全臍點曲面 446.5 常Gauss曲率曲面的例子 446.6 極小曲面 456.6.1 平均曲率與面積泛函 456.6.2 懸鏈面 466.6.3 極小圖 476.7 管狀曲面 49第7章 曲面上的曲線 517.1 測地曲率和測地撓率 517.1.1 標架運動方程 517.1.2 正則參數化曲線的測地曲率和測地撓率 537.1.3 測地曲率、測地撓率與曲率、撓率的關系 547.2 協變導數與平行移動 557.2.1 協變導數 557.2.2 協變導數的基本性質 567.2.3 測地線 567.2.4 平行移動 577.3 局部Gauss-Bonnet公式 597.4 有孤立奇點的向量場 617.4.1 向量場在一點處的指標 617.4.2 指標的積分公式 63第8章 兩類特殊參數化 658.1 測地線方程組 658.2 一點規范化的參數變換 668.3 極坐標變換 678.4 共形參數化 698.4.1 共形參數變換 698.4.2 局部存在性 708.4.3 球極投影 71第9章 曲面論基本定理 729.1 **基本型、第二基本型的相容性條件 729.1.1 標架運動方程的相容性條件 729.1.2 Gauss方程 739.1.3 Codazzi方程 749.1.4 Gauss方程的一個應用 759.2 曲面論基本定理的證明 76第10章 極小曲面 8110.1 極小圖 8110.1.1 可積條件 8110.1.2 Levy變換 8210.1.3 極小曲面的局部共形參數化 8310.1.4 Bernstein定理 8410.2 極小曲面與復分析 8510.2.1 Weierstrass數據 8610.2.2 共形參數化曲面的Weierstrass數據 8610.2.3 Weierstrass數據的亞純函數表示 8710.2.4 Weierstrass表示 88第11章 曲面的整體描述 9111.1 R3中的曲面 9111.2 R3中的可定向曲面 9211.3 共形坐標覆蓋 9411.4 曲面的幾何量 9511.5 球面剛性定理 9611.6 整體Gauss-Bonnet公式 9711.6.1 三角剖分與歐拉數 9711.6.2 虧格與歐拉數 9911.6.3 整體Gauss-Bonnet公式的證明 10011.6.4 向量場的指標公式 10211.7 亞純微分 10311.8 協變導數和指數映射 10511.8.1 協變導數 10511.8.2 測地線 105第12章 內蘊距離與三角剖分 10712.1 內蘊距離 10712.2 *短測地線 10812.3 強凸集 11012.4 Radó定理的微分幾何證明 113參考文獻 116索引 117
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