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大學數學進階(1中文版)/中法工程師學院預科教學叢書 版權信息
- ISBN：9787030684677
- 條形碼：9787030684677 ; 978-7-03-068467-7
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
大學數學進階(1中文版)/中法工程師學院預科教學叢書 內容簡介
本書是中山大學中法核工程與技術學院三年級學期的數學教材，包括以下主要內容：數項級數、代數的回顧和補充、賦范向量空間、向量值函數的求導、函數項序列和級數、線性變換和矩陣的化簡及其在求解線性微分系統中的應用、多變量函數的微分演算和微分形式的介紹。這些內容涉及不同的數學分支，讀者在閱讀本書前需對某些數學分支的基礎內容有所了解。在每章的開頭部分，列出了學習該章內容所需的預備知識。 本書可作為中法合作辦學單位的預科數學教材，也可作為其他相關專業數學類課程的參考教材。
大學數學進階(1中文版)/中法工程師學院預科教學叢書 目錄
目錄
序
前言
譯者的話
第1章數項級數1
1.1級數的概述：回顧2
1.1.1級數的定義和術語2
1.1.2收斂、發散、明顯發散和**收斂3
1.1.3收斂級數的運算5
1.2正項級數5
1.2.1知識回顧5
1.2.2余項或部分和的比較15
1.2.3Stirling(斯特林)公式19
1.2.4兩個正項級數的Cauchy(柯西)積21
1.2.5實數的十進制展開24
1.3實數項級數28
1.3.1知識回顧28
1.3.2兩個**收斂級數的Cauchy積30
1.4復數項級數32
1.4.1**收斂和條件收斂的級數32
1.4.2等比級數和指數級數34
1.4.3Abel(阿貝爾)變換及其應用35
1.4.4兩個**收斂級數的Cauchy積36
1.4.5比較關系的求和37
1.5可和族和Fubini(富比尼)定理的回顧39
1.5.1可和的正數族39
1.5.2正的二重級數41
1.5.3可和的復數族42
1.5.4復的二重級數43
第2章代數的回顧和補充46
2.1線性代數47
2.1.1線性無關族47
2.1.2生成族51
2.1.3基52
2.1.4由基的像來刻畫線性映射56
2.1.5維數的性質的回顧57
2.1.6向量子空間的和與直和60
2.1.7秩定理68
2.1.8線性映射的矩陣以及矩陣的分塊計算69
2.1.9對偶77
2.2對稱群91
2.2.1對稱群、輪換和對換的定義91
2.2.2對稱群的生成元94
2.2.3置換的符號95
2.3行列式98
2.3.1n-線性型、對稱的、反對稱的以及交錯的98
2.3.2在基B下的行列式101
2.3.3用行列式來刻畫基底103
2.3.4線性變換的行列式105
2.3.5方陣的行列式107
2.3.6矩陣行列式的實際計算111
第3章賦范向量空間116
3.1向量空間上的范數以及相應的距離117
3.1.1范數和相應的距離的定義117
3.1.2范數的性質以及點到集合的距離119
3.1.3常用的范數120
3.1.4范數的比較123
3.2賦范向量空間的初等拓撲129
3.2.1開集、閉集、有界集129
3.2.2閉包和內部136
3.2.3稠密子集138
3.3賦范向量空間中的序列139
3.3.1收斂和發散139
3.3.2收斂序列的代數運算140
3.3.3比較關系141
3.3.4閉包、稠密子集和閉集的序列刻畫143
3.3.5子列、聚點以及緊子集145
3.3.6Cauchy(柯西)序列和完備空間150
3.4在一點處的極限和連續性154
3.4.1定義和主要性質154
3.4.2極限的運算157
3.4.3極限和連續性的序列刻畫159
3.4.4在賦范向量空間的笛卡兒積取值的函數的情況161
3.4.5Cauchy判據165
3.5全局連續性166
3.5.1定義和基本性質166
3.5.2連續性的拓撲刻畫168
3.5.3空間B(X;F)和無窮范數170
3.5.4緊集在連續映射下的像172
3.5.5一致連續性和Heine(海涅)定理173
3.5.6Lipschitz(利普希茨)映射以及不動點定理175
3.6線性映射的連續性178
3.6.1連續性的判據178
3.6.2線性映射的算子范數181
3.6.3推廣到n-線性映射的情況186
3.7有限維向量空間的情況189
3.7.1范數的等價189
3.7.2單位閉球的緊性和緊集的刻畫191
3.7.3完備性192
3.7.4線性映射和多重線性映射的情況193
3.8賦范代數中的級數194
3.8.1概述195
3.8.2Banach空間中的級數196
3.8.3賦范代數的情況以及矩陣的指數197
第4章向量值函數的求導201
4.1單實變量向量值函數的求導202
4.1.1定義和基本性質202
4.1.2用坐標函數來刻畫206
4.1.3可導函數的運算207
4.1.4有限增量不等式211
4.1.5高階導數213
4.1.6分段Cn的函數217
4.2實值函數的情況219
4.2.1重要定理回顧219
4.2.2同胚和Ck-微分同胚221
4.3極限展開以及Taylor(泰勒)公式223
4.3.1向量值函數的比較關系223
4.3.2帶積分余項的Taylor公式224
4.3.3Taylor-Lagrange不等式225
4.3.4Taylor-Young(泰勒–楊)公式226
4.3.5極限展開228
4.4附錄229
4.4.1有限增量不等式的證明229
第5章函數項序列和級數232
5.1定義和收斂模式233
5.1.1簡單收斂233
5.1.2一致收斂以及一致收斂的Cauchy準則236
5.1.3函數項級數的正規收斂243
5.1.4不同收斂模式的比較245
5.1.5其他收斂模式246
5.2函數項序列/級數的極限的性質247
5.2.1雙重極限定理247
5.2.2極限的連續性251
5.2.3函數項序列在閉區間上的積分257
5.2.4函數項序列或級數的求導260
5.2.5函數項序列在任意區間上的積分268
5.3閉區間上的逼近定理276
5.3.1在閉區間上用階梯函數逼近分段連續函數276
5.3.2在閉區間上用多項式函數逼近連續函數276
5.3.3用三角多項式逼近周期函數277
第6章線性變換和矩陣的化簡及其在求解線性微分系統中的應用278
6.1穩定空間、特征值和特征向量279
6.1.1穩定子空間279
6.1.2特征值、特征向量、特征空間和譜280
6.1.3特征空間的性質282
6.2可對角化的自同態和矩陣285
6.2.1可對角化的自同態：定義和例子285
6.2.2可對角化的矩陣287
6.2.3特征多項式289
6.2.4可對角化的**類判據293
6.2.5例子和反例295
6.2.6同時對角化297
6.3應用于微分系統299
6.3.1線性微分方程和線性Cauchy-Lipschitz(柯西–利普希茨)定理299
6.3.2常系數線性微分方程的特殊情況301
6.3.3求解微分系統和線性微分方程組的例子303
6.4自同態或矩陣的多項式305
6.4.1定義和計算法則305
6.4.2零化多項式和Cayley-Hamilton(凱萊–哈密頓)定理307
6.4.3可對角化的第二類判據310
6.5三角化312
6.5.1定義和例子312
6.5.2可三角化的充分必要條件313
6.5.3三階方陣的三角化314
6.5.4同時三角化317
6.5.5應用于矩陣乘方或指數的計算318
6.5.6當A可對角化時微分系統X0=AX+B的求解318
6.6附錄319
6.6.1特征多項式的性質的證明319
6.6.2Cayley-Hamilton定理的證明321
第7章微分演算和微分形式的介紹323
7.1多變量函數的極限和連續性324
7.1.1開集、閉集、有界集、緊集、完備集、凸集、星形集324
7.1.2極限和連續性326
7.1.3坐標映射和部分函數328
7.2偏導數、微分以及C1的函數329
7.2.1方向導數330
7.2.2一階偏導數331
7.2.3與坐標映射的聯系333
7.2.4映射在一點處的微分和雅可比矩陣333
7.2.5可微性、連續性和方向導數的存在性之間的聯系336
7.2.6函數的微分以及C1的函數340
7.3C1函數的運算341
7.3.1R-向量空間的結構341
7.3.2實值函數的特殊情況342
7.3.3復合343
7.3.4C1映射的刻畫349
7.3.5有限增量不等式及其應用349
7.4高階偏導數351
7.4.1二階偏導數351
7.4.2C2函數以及Schwarz(施瓦茨)定理352
7.4.3黑塞矩陣以及二階極限展開353
7.4.4求解偏微分方程的例子355
7.4.5Ck的函數(k>2)357
7.4.6Ck-微分同胚的刻畫358
7.5*優化359
7.5.1內部局部極值存在的一階必要條件359
7.5.2Monge(蒙日)記號以及局部極值存在的二階充分條件360
7.6一次微分形式362
7.6.1定義和例子362
7.6.2閉的形式、恰當的形式以及Poincare(龐加萊)定理363
7.6.3微分形式的曲線積分365
7.6.4與向量場的環量的聯系366
7.6.5曲線積分的性質369
7.6.6Green(格林)公式370
7.7附錄371
7.7.1C1映射的刻畫定理的證明371
7.7.2Schwarz定理的證明374
7.7.3Taylor-Young公式的證明376
序
前言
譯者的話
第1章數項級數1
1.1級數的概述：回顧2
1.1.1級數的定義和術語2
1.1.2收斂、發散、明顯發散和**收斂3
1.1.3收斂級數的運算5
1.2正項級數5
1.2.1知識回顧5
1.2.2余項或部分和的比較15
1.2.3Stirling(斯特林)公式19
1.2.4兩個正項級數的Cauchy(柯西)積21
1.2.5實數的十進制展開24
1.3實數項級數28
1.3.1知識回顧28
1.3.2兩個**收斂級數的Cauchy積30
1.4復數項級數32
1.4.1**收斂和條件收斂的級數32
1.4.2等比級數和指數級數34
1.4.3Abel(阿貝爾)變換及其應用35
1.4.4兩個**收斂級數的Cauchy積36
1.4.5比較關系的求和37
1.5可和族和Fubini(富比尼)定理的回顧39
1.5.1可和的正數族39
1.5.2正的二重級數41
1.5.3可和的復數族42
1.5.4復的二重級數43
第2章代數的回顧和補充46
2.1線性代數47
2.1.1線性無關族47
2.1.2生成族51
2.1.3基52
2.1.4由基的像來刻畫線性映射56
2.1.5維數的性質的回顧57
2.1.6向量子空間的和與直和60
2.1.7秩定理68
2.1.8線性映射的矩陣以及矩陣的分塊計算69
2.1.9對偶77
2.2對稱群91
2.2.1對稱群、輪換和對換的定義91
2.2.2對稱群的生成元94
2.2.3置換的符號95
2.3行列式98
2.3.1n-線性型、對稱的、反對稱的以及交錯的98
2.3.2在基B下的行列式101
2.3.3用行列式來刻畫基底103
2.3.4線性變換的行列式105
2.3.5方陣的行列式107
2.3.6矩陣行列式的實際計算111
第3章賦范向量空間116
3.1向量空間上的范數以及相應的距離117
3.1.1范數和相應的距離的定義117
3.1.2范數的性質以及點到集合的距離119
3.1.3常用的范數120
3.1.4范數的比較123
3.2賦范向量空間的初等拓撲129
3.2.1開集、閉集、有界集129
3.2.2閉包和內部136
3.2.3稠密子集138
3.3賦范向量空間中的序列139
3.3.1收斂和發散139
3.3.2收斂序列的代數運算140
3.3.3比較關系141
3.3.4閉包、稠密子集和閉集的序列刻畫143
3.3.5子列、聚點以及緊子集145
3.3.6Cauchy(柯西)序列和完備空間150
3.4在一點處的極限和連續性154
3.4.1定義和主要性質154
3.4.2極限的運算157
3.4.3極限和連續性的序列刻畫159
3.4.4在賦范向量空間的笛卡兒積取值的函數的情況161
3.4.5Cauchy判據165
3.5全局連續性166
3.5.1定義和基本性質166
3.5.2連續性的拓撲刻畫168
3.5.3空間B(X;F)和無窮范數170
3.5.4緊集在連續映射下的像172
3.5.5一致連續性和Heine(海涅)定理173
3.5.6Lipschitz(利普希茨)映射以及不動點定理175
3.6線性映射的連續性178
3.6.1連續性的判據178
3.6.2線性映射的算子范數181
3.6.3推廣到n-線性映射的情況186
3.7有限維向量空間的情況189
3.7.1范數的等價189
3.7.2單位閉球的緊性和緊集的刻畫191
3.7.3完備性192
3.7.4線性映射和多重線性映射的情況193
3.8賦范代數中的級數194
3.8.1概述195
3.8.2Banach空間中的級數196
3.8.3賦范代數的情況以及矩陣的指數197
第4章向量值函數的求導201
4.1單實變量向量值函數的求導202
4.1.1定義和基本性質202
4.1.2用坐標函數來刻畫206
4.1.3可導函數的運算207
4.1.4有限增量不等式211
4.1.5高階導數213
4.1.6分段Cn的函數217
4.2實值函數的情況219
4.2.1重要定理回顧219
4.2.2同胚和Ck-微分同胚221
4.3極限展開以及Taylor(泰勒)公式223
4.3.1向量值函數的比較關系223
4.3.2帶積分余項的Taylor公式224
4.3.3Taylor-Lagrange不等式225
4.3.4Taylor-Young(泰勒–楊)公式226
4.3.5極限展開228
4.4附錄229
4.4.1有限增量不等式的證明229
第5章函數項序列和級數232
5.1定義和收斂模式233
5.1.1簡單收斂233
5.1.2一致收斂以及一致收斂的Cauchy準則236
5.1.3函數項級數的正規收斂243
5.1.4不同收斂模式的比較245
5.1.5其他收斂模式246
5.2函數項序列/級數的極限的性質247
5.2.1雙重極限定理247
5.2.2極限的連續性251
5.2.3函數項序列在閉區間上的積分257
5.2.4函數項序列或級數的求導260
5.2.5函數項序列在任意區間上的積分268
5.3閉區間上的逼近定理276
5.3.1在閉區間上用階梯函數逼近分段連續函數276
5.3.2在閉區間上用多項式函數逼近連續函數276
5.3.3用三角多項式逼近周期函數277
第6章線性變換和矩陣的化簡及其在求解線性微分系統中的應用278
6.1穩定空間、特征值和特征向量279
6.1.1穩定子空間279
6.1.2特征值、特征向量、特征空間和譜280
6.1.3特征空間的性質282
6.2可對角化的自同態和矩陣285
6.2.1可對角化的自同態：定義和例子285
6.2.2可對角化的矩陣287
6.2.3特征多項式289
6.2.4可對角化的**類判據293
6.2.5例子和反例295
6.2.6同時對角化297
6.3應用于微分系統299
6.3.1線性微分方程和線性Cauchy-Lipschitz(柯西–利普希茨)定理299
6.3.2常系數線性微分方程的特殊情況301
6.3.3求解微分系統和線性微分方程組的例子303
6.4自同態或矩陣的多項式305
6.4.1定義和計算法則305
6.4.2零化多項式和Cayley-Hamilton(凱萊–哈密頓)定理307
6.4.3可對角化的第二類判據310
6.5三角化312
6.5.1定義和例子312
6.5.2可三角化的充分必要條件313
6.5.3三階方陣的三角化314
6.5.4同時三角化317
6.5.5應用于矩陣乘方或指數的計算318
6.5.6當A可對角化時微分系統X0=AX+B的求解318
6.6附錄319
6.6.1特征多項式的性質的證明319
6.6.2Cayley-Hamilton定理的證明321
第7章微分演算和微分形式的介紹323
7.1多變量函數的極限和連續性324
7.1.1開集、閉集、有界集、緊集、完備集、凸集、星形集324
7.1.2極限和連續性326
7.1.3坐標映射和部分函數328
7.2偏導數、微分以及C1的函數329
7.2.1方向導數330
7.2.2一階偏導數331
7.2.3與坐標映射的聯系333
7.2.4映射在一點處的微分和雅可比矩陣333
7.2.5可微性、連續性和方向導數的存在性之間的聯系336
7.2.6函數的微分以及C1的函數340
7.3C1函數的運算341
7.3.1R-向量空間的結構341
7.3.2實值函數的特殊情況342
7.3.3復合343
7.3.4C1映射的刻畫349
7.3.5有限增量不等式及其應用349
7.4高階偏導數351
7.4.1二階偏導數351
7.4.2C2函數以及Schwarz(施瓦茨)定理352
7.4.3黑塞矩陣以及二階極限展開353
7.4.4求解偏微分方程的例子355
7.4.5Ck的函數(k>2)357
7.4.6Ck-微分同胚的刻畫358
7.5*優化359
7.5.1內部局部極值存在的一階必要條件359
7.5.2Monge(蒙日)記號以及局部極值存在的二階充分條件360
7.6一次微分形式362
7.6.1定義和例子362
7.6.2閉的形式、恰當的形式以及Poincare(龐加萊)定理363
7.6.3微分形式的曲線積分365
7.6.4與向量場的環量的聯系366
7.6.5曲線積分的性質369
7.6.6Green(格林)公式370
7.7附錄371
7.7.1C1映射的刻畫定理的證明371
7.7.2Schwarz定理的證明374
7.7.3Taylor-Young公式的證明376
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