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文化偉人代表作圖釋書系算術研究 版權信息
- ISBN：9787229146559
- 條形碼：9787229146559 ; 978-7-229-14655-9
- 裝幀：80g輕型紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
文化偉人代表作圖釋書系算術研究 本書特色
1.作者卡爾.弗里德里希.高斯是從18世紀至今*重要的數學家之一，享有“數學王子”的美譽。 2.本書是高斯關于數論的首部系統性著作，高斯在本書中保留了其一貫簡潔而完美的數學語言風格，這使得本書的解析與論證幾乎無可挑剔，讓其中的數學之美達到了精妙的高度。 3.在《算術研究》出版之前的數論乃是由一系列孤立的定理和猜想組成，高斯的《算術研究》不僅使數論領域變得真正嚴謹和系統，還為現代數論鋪平了道路，可謂是數論研究的開山之作。
文化偉人代表作圖釋書系算術研究 內容簡介
《算術研究》的正文則分為七章。章討論數的同余；第二章討論一次同余方程；第三章討論冪剩余并證明了費馬小定理；第四章討論二次同余方程；第五章系統擴展了二次型的理論（這使得高斯必然地成為了群論的先驅之一）；第六章討論了前述理論在特殊情況下的運用；第七章討論了分圓方程，這一章也被認為是本書很精彩的內容。
文化偉人代表作圖釋書系算術研究 目錄
自序/ 1
導讀：高斯——離群索居的王子/ 5
第 1 章同余數概論(第 1～12 條)/ 1
第 1 節 同余的數，模，剩余和非剩余 ??????????(2)
第 2 節 *小剩余 ????????????????????(4)
第 3 節 關于同余的基本定理 ???????????????(5)
第 4 節 一些應用 ????????????????????(8)
第 2 章一次同余方程(第 13～44 條)/ 9
第 1 節 關于質數、因數等的初步定理 ???????????(10)
第 2 節 解一次同余方程 ?????????????????(17)
第 3 節 對于給定模求與給定剩余同余的數的方法 ?????(22)
第 4 節 多元線性同余方程組 ???????????????(26)
第 5 節 一些定理 ????????????????????(29)
第 3 章冪剩余(第 45～93 條)/ 37
第 1 節 首項為 1 的幾何數列各項的剩余構成周期序列 ???(38)
第 2 節 對于模 p(質數)，數列周期的項數是數 p-1 的因數?????????????????????????(40)
第 3 節 費馬定理 ????????????????????(42)
第 4 節 有多少數對應于某個項數為 p-1 的因數的周期 ??(44)
第 5 節 原根，基和指標 ?????????????????(48)
第 6 節 指標的運算 ???????????????????(49)
第 7 節 同余方程 xn ≡ A 的根 ?????????????(51)
第 8 節 不同系統的指標間的關系 ?????????????(59)
第 9 節 適合特殊目的的基數 ???????????????(62)
第 10 節 求原根的方法 ?????????????????(63)
第 11 節 關于周期和原根的幾條定理 ???????????(66)
第 12 節 威爾遜定理 ??????????????????(67)
第 13 節 模是質數方冪 ?????????????????(72)
第 14 節 模為 2 的方冪 ?????????????????(78)
第 4 章二次同余方程(第 94～152 條)/ 81
第 1 節 二次剩余和非剩余 ????????????????(82)
第 2 節 當模是質數時，小于模的剩余的個數等于非剩余的個數?????????????????????????(84)
第 3 節 合數是不是給定質數的剩余或非剩余的問題，取決于它的因數的性質 ??????????????????(86)
第 4 節 合數模 ?????????????????????(88)
第 5 節 給定的數是給定質數模的剩余或非剩余的一般判別法?????????????????????????(94)
第 6 節 給定的數作為剩余或非剩余的質數的研究 ?????(95)
第 7 節 剩余為 -1 ???????????????????(96)
第 8 節 剩余為 +2 和 -2 ?????????????????(99)
第 9 節 剩余為 +3 和 -3 ???????????????(103)
第 10 節 剩余為 +5 和 -5 ???????????????(106)
第 11 節 剩余為 +7 和 -7 ???????????????(109)
第 12 節 為一般性討論做的準備 ????????????(110)
第 13 節 通過歸納法發現的一般的(基本)定理及其推論????????????????????????(116)
第 14 節 基本定理的嚴格證明 ??????????????(123)
第 15 節 證明條目 114 的定理的類似的方法 ??????(130)
第 16 節 一般問題的解法 ????????????????(132)
第 17 節 以給定的數為其剩余或非剩余的所有質數的線性形式????????????????????????(135)
第 18 節 其他數學家關于這些研究的著作 ????????(140)
第 19 節 一般形式的二階同余方程 ????????????(142)
第 5 章二次型和二次不定方程(第 153～307 條)/ 143
第 1 節 型的定義和符號 ?????????????????(144)
第 2 節 數的表示：行列式 ????????????????(145)
第 3 節 數 M 由型(a，b，c)表示時所屬表達式 ( b2 ac ) -(mod M)的值 ?????????????????(146)
第 4 節 正常等價與反常等價 ??????????????(150)
第 5 節 相反的型 ????????????????????(152)
第 6 節 相鄰的型 ????????????????????(154)
第 7 節 型的系數的公約數 ????????????????(155)
第 8 節 一個給定的型變換為另一個給定的型時所有可能的同型變換的關系 ??????????????????(157)
第 9 節 歧型 ??????????????????????(164)
第 10 節 關于一個型既正常又反常地包含于另一個型的情況的定理系 ???????????????????(165)
第 11 節 關于由型表示數的一般性研究以及這些表示與代換的關系 ????????????????????(171)
第 12 節 行列式為負的型 ????????????????(177)
第 13 節 特殊的應用：將一個數拆分成兩個平方數，拆分成一個平方數和另一個平方數的兩倍，拆分成一個平方
數和另一個平方數的三倍 ????????????(192)
第 14 節 具有正的非平方數的行列式的型 ????????(196)
第 15 節 行列式為平方數的型 ??????????????(237)
第 16 節 包含在與之不等價的型中的型 ?????????(245)
第 17 節 行列式為 0 的型 ???????????????(250)
第 18 節 所有二元二次不定方程的一般整數解 ??????(253)
第 19 節 歷史注釋 ???????????????????(260)
第 20 節 將給定行列式的型進行分類???????????(262)
第 21 節 類劃分為層 ??????????????????(266)
第 22 節 層劃分為族 ??????????????????(270)
第 23 節 型的合成 ???????????????????(281)
第 24 節 層的合成 ???????????????????(312)
第 25 節 族的合成 ???????????????????(313)
第 26 節 類的合成 ???????????????????(317)
第 27 節 對于給定的行列式，在同一個層的每個族中存在相同個數的類 ??????????????????(321)
第 28 節 不同的層中各個族所含類的個數的比較 ?????(322)
第 29 節 歧類的個數 ??????????????????(331)
第 30 節 對于給定的行列式，所有可能的特征有一半不屬于任何正常原始族 ????????????????(338)
第 31 節 對基本定理以及與剩余為 -1，+2，-2 有關的其他定理的第 2 個證明 ??????????????(339)
第 32 節 對不適合任何族的那一半特征的進一步討論 ???(342)
第 33 節 把質數分解為兩個平方數的特殊方法 ??????(345)
第 34 節 關于三元型討論的題外話 ????????????(347)
第 35 節 如何求出這樣一個型，由它加倍可得到給定的屬于主族的二元型 ?????????????????(384)
第 36 節 除了在條目 263 和 264 中已經證明其不可能的那些特征外，其他所有的特征都與某個族相對應 ?(386)
第 37 節 把數和二元型分解為三個平方數的理論 ?????(388)
第 38 節 費馬定理的證明：任何整數都能分解成三個三角數或者四個平方數 ????????????????(398)
第 39 節 方程 ax2+by2+cz2＝0 的解 ???????????(400)
第 40 節 勒讓德先生討論基本定理的方法 ????????(406)
第 41 節 由三元型表示零 ????????????????(411)
第 42 節 二元二次不定方程的有理通解 ?????????(414)
第 43 節 族的平均個數 ?????????????????(415)
第 44 節 類的平均個數 ?????????????????(418)
第 45 節 正常原始類的特殊算法：正則和非正則行列式 ??(423)
第 6 章前面討論的若干應用(第 308～334 條)/ 433
第 1 節 將分數分解成更簡單的分數 ???????????(435)
第 2 節 普通分數轉換為十進制數 ????????????(437)
第 3 節 通過排除法求解同余方程 ????????????(444)
第 4 節 用排除法解不定方程 mx2+ny2＝A ????????(448)
第 5 節 當 A 是負數時，解同余方程 x2≡A 的另一種方法 ?(455)
第 6 節 將合數同質數區分開來并確定它們的因數的兩種方法????????????????????????(459)
第 7 章分圓方程(第 335～366 條)/ 469
第 1 節 討論把圓分成質數份的*簡單情況 ????????(471)
第 2 節 關于圓弧(它由整個圓周的一份或若干份組成)的三角函數的方程并歸為方程 xn-1＝0 的根 ?????(472)
第 3 節 方程 xn-1＝0 的根的理論(假定 n 是質數) ???(476)
第 4 節 以下討論的目的之聲明 ??????????????(478)
第 5 節 Ω 中所有的根可以分為某些類(周期) ??????(480)
第 6 節 關于這些周期的各種定理 ?????????????(482)
第 7 節 由前面的討論解方程 X＝0 ???????????(494)
第 8 節 以 n＝19 為例，運算可以簡化為求解兩個三次方程和一個二次方程 ?????????????????(497)
第 9 節 以 n＝17 為例，運算可以簡化為求解四個二次方程?????????????????????????(501)
第 10 節 關于根的周期的進一步討論——有偶數個項的和是實數 ??????????????????????(506)
第 11 節 關于根的周期的進一步討論——把 Ω 中的根分成兩個周期的方程 ??????????????????(507)
第 12 節 證明第 4 章中提到的一個定理 ?????????(510)
第 13 節 把 Ω 中的根分成三個周期的方程 ????????(512)
第 14 節 把求 Ω 中根的方程化為*簡方程 ????????(517)
第 15 節 以上研究在三角函數中的應用——求對應于 Ω 中每個根的角的方法 ????????????????(522)
第 16 節 以上研究在三角函數中的應用——不用除法從正弦和余弦導出正切、余切、正割以及余割 ?????(524)
第 17 節 以上研究在三角函數中的應用——對三角函數逐次降低次數的方法 ????????????????(527)
第 18 節 以上研究在三角函數中的應用——通過解二次方程或者尺規作圖能夠實現的圓周的等分 ??????(532)
附注????????????????????????????? (535)
附表????????????????????????????? (537)
展開全部
文化偉人代表作圖釋書系算術研究 節選
本書所探討的內容是整數，所以書中少有提到分數及無理數。人們通常把討論如何從一個不定方程的無窮多個解中選出哪些是整數，或至少是有理數（通常是正有理數）解的學問，叫作不定分析或丟番圖分析。本書不是要徹底研究這一學科，而僅是針對這個學科的一個十分特殊的部分；較之于整個學科，大致類似簡化方程和解方程的學問——代數學——與整個分析學的關系一樣。如同我們把所有關于數量的討論都放在分析學的大標題下一樣，我們把整數（以及分數——在它們由整數所確定的意義下）作為算術學的恰當的研究對象。然而，人們口中常說的算術學，不外乎是計數與計算的學問（用恰當的符號表示數，例如十進制表示法及其運算）。算術學還經常涉及到這樣一些與算術毫無關系的問題（如對數理論），或者關于所有數量的問題。因此，將前面的內容稱為“初等算術”是恰當的，以便與“高等算術”區別開來。高等算術的研究范圍包括了對整數性質的一般研究。本書將只討論高等算術。 歐幾里得在他的《幾何原本》的第七卷以及其后幾卷中以古代學者慣用的方法優美而嚴謹地討論的一些問題，屬于高等算術的范疇，但其討論的內容都是本學科的基礎內容。丟番圖的知名著作致力于研究不定分析問題，他取得了豐富的成果；考慮到這些問題的難度，加上丟番圖處理這些問題時使用的巧妙方法，尤其是當時作者手頭幾乎沒有多少數學工具可以使用，人們因而對作者的獨特思維和熟練手法極其關注。解決這些問題主要是靠靈活的技巧，而不需要掌握深刻的數學原理。由于這些問題非常特殊而不能產生普適的結論，所以，如果說丟番圖的著作開創了新時代，這是因為此書*早呈現了代數學所特有的技巧，而不是因為它以新的發現豐富了高等算術。為高等算術做出更多貢獻的是現代的學者們，其中皮耶·德·費瑪，萊昂哈德·歐拉，約瑟夫·拉格朗日以及阿德里安·馬里·勒讓德（以及另外少數幾位）開啟了這座科學神殿的大門，并揭示了其中的寶藏是何等豐富。我在此就不一一羅列他們的成果，因為這些成就在勒讓德為歐拉《代數學》所作序中已經列出，在拉格朗日*近的著作（我很快就要提到）中也可以找到；在本書合適的位置，我也會引用其中的很多成果。 本書的目的是介紹我在高等算術領域的研究。由于我五年前就承諾要出版此書，因而書中既有當時就開始的研究，也有后來的研究。為了不讓人詫異為什么本書幾乎從高等算術的*初步知識開始探討，還要重新拾起許多已被其他人積極研究過的成果，我必須解釋，當我 1795 年初開始轉而進行這個領域的研 究時，我并不知道現代學者在此領域中的發現，也沒有找到這些發現的方法。當時的情況是這樣的：在忙于其他研究時，我遇到了一個極不尋常的算術定理（如果我沒記錯的話，這就是本書第 108 條所說的那個定理），因為我覺得這條定理如此優美，還因為我懷疑它與更加深刻的結果有關，所以我全身心投入其中，以求能夠理解它背后的原理并取得嚴格的證明。當我成功解決了這個問題后，我被這一類問題深深吸引，愛不釋手。于是，隨著一個結論引出另一個結論，我在拜讀到其他學者的著作之前，就已經完成了本書前四章所介紹的絕大部分內容。*后，當我有可能拜讀這些天才人物的著作后，我才認識到我所深入思考的大部分內容都是早已知道的東西。但是，這只是更為增加了我的興趣，并讓我努力嘗試沿著他們的足跡進一步發展算術研究，第 5、第 6 和第 7章收錄了這部分研究結果。過了一段時間，我開始考慮發表我的研究成果，并說服自己保留早期研究的成果，這是因為，當時還沒有一本書把其他學者的工作收集在一起，它們分散在一些研究院的學術論文中；其次，很多研究的結論是全新的，且其中大多數結論還是用新方法討論的；*后，后期的結論與以前的結論之間有著千絲萬縷的關聯，如果不一開始重提前面的結論，后面的新結論就無法解釋清楚。 恰在此時，一部杰出的著作——《數論》問世，其作者是勒讓德。彼時，勒讓德已經在高等算術領域做出了非常大的貢獻。在書中，他不僅把當時所發現的所有結果都收集在一起并加以系統整理，而且添加了許多他本人的新成果。因為當我注意到這本書時，我的作品的大部分已經交到了出版商的手中，所以我無法在我書中的類似章節參考這本書。但是我感到必須對一些篇章做些補充注釋，我相信這位聲名赫赫的先生能夠理解，不會感到被冒犯。 四年來，本書的出版遇到了許多困難。在這一段時間里，我不僅繼續過去已經開始進行的研究（當時為了避免本書篇幅過大，我決定分離出這些研究，準備在另外的地方發表），而且也從事許多新的研究。此外，許多我過去只是稍有觸及而當時覺得似乎不必詳細討論的問題（例如，第 37 條，第 82 條以及 其他若干條），也得到了進一步發展，并產生了一些看來是值得發表的更一般的結論。*后，主要由于第 5 章的內容，本書的篇幅變得大大超出我原來的預期，使我只得削減了*初打算寫的不少內容，特別是刪去了整個第 8 章（本書有幾處提到了第 8 章，它討論了任意次代數同余方程的一般處理）。一旦有可能，我會發表這些內容，它們的篇幅可以輕易地構成與本書篇幅相同的一本書。 在討論幾處難題時，我采用了綜合性證明并省去了結果推導過程。這是為了盡可能地簡潔。 第 7 章討論的是分圓理論或分正多邊形理論，雖然與算術無關，但其中的原理完全基于高等算術。幾何學者們也許會因為這個事實感到驚訝，但（我希望）他們會樂于看到由這種處理方法衍生出的新結論。 以上就是我要請讀者注意的一些事情。本書的優劣我不好加以評判。我衷心希望本書能夠取悅那些關心科學發展的人士，不論是為他們提供一直尋找的問題的解法，還是為他們開啟通向新發現的途徑。 卡爾.弗里德里希.高斯
文化偉人代表作圖釋書系算術研究 作者簡介
卡爾.弗里德里希.高斯（1777－1855年），德國數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家，歷史上最重要的數學家之一，有“數學王子”的天才美譽。他發現并證明了諸多數學方法和規律（如*小二乘法、正態分布、二次互反律等等），并能時常優雅地加以總結。他還是一個充滿熱情且工作認真的完美主義者，拒絕發布自己所認為的不完整和有瑕疵的作品，因此并不多產。其著作有：《算術研究》《天體運動論》《曲面的一般研究》《高等大地測量學理論》等。 譯者簡介： 邵林，男，生于1984年，大連理工大學學士、安徽大學翻譯碩士。翻譯作品有《鋼琴演奏教程》等。
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