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高等數學-(上冊)-(第2版) 版權信息
- ISBN：9787302509745
- 條形碼：9787302509745 ; 978-7-302-50974-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高等數學-(上冊)-(第2版) 本書特色
本書是高等教育“十三五”應用型本科規劃教材。
高等數學-(上冊)-(第2版) 內容簡介
本書分為上、下兩冊.上冊內容包括： 函數的極限與連續，導數與微分，微分中值定理與導數的應用，不定積分，定積分，定積分的應用共6章. 全書弱化了定理證明，在例題及習題的選取上突出了應用性，強化了高等數學課程與后續專業課程的聯系，便于教學和自學.本書可作為普通高等學校（少學時）、獨立學院、成教學院、民辦學院本科非數學專業的教材.本書還突出了高等數學在經濟中的應用，因而經濟類本科院校同樣適用.本書封面貼有清華大學出版社防偽標簽，無標簽者不得銷售。
高等數學-(上冊)-(第2版) 目錄
1.1函數1
1.1.1基本概念1
1.1.2函數概述3
1.1.3初等函數8
習題119
1.2數列的極限10
1.2.1數列的概念10
1.2.2數列極限的定義11
1.2.3收斂數列的性質14
習題1217
1.3函數的極限18
1.3.1當自變量趨于無窮大時函數的極限18
1.3.2自變量趨于有限值時函數的極限20
1.3.3函數極限的性質24
習題1325
1.4無窮小與無窮大26
1.4.1無窮小26
1.4.2無窮大28
習題1430
1.5極限運算法則31
1.5.1極限的四則運算法則31
1.5.2復合函數的極限運算法則35
習題1536
1.6兩個重要極限37
1.6.1limx→0sinxx=137高等數學 （上冊）（第2版）目錄[1][2]1.6.2limx→∞1+1xx=e39
習題1642
1.7無窮小的比較43
習題1746
1.8函數的連續與間斷46
1.8.1函數的連續性46
1.8.2連續函數與連續區間48
1.8.3函數的間斷點50
習題1852
1.9連續函數的運算和性質53
1.9.1連續函數的運算53
1.9.2初等函數的連續性54
1.9.3閉區間上連續函數的性質57
習題1959
總復習題一60
第2章導數與微分63
2.1導數的概念63
2.1.1引例63
2.1.2導數的定義64
2.1.3可導與連續的關系68
習題2170
2.2函數的求導法則70
2.2.1四則運算的求導法則70
2.2.2反函數的求導法則73
2.2.3復合函數的求導法則74
2.2.4基本求導法則與導數公式77
習題2278
2.3高階導數80
2.3.1高階導數的定義80
2.3.2高階導數的運算法則82
習題2383
2.4隱函數和參數方程確定的函數導數及相關變化率84
2.4.1隱函數的導數84
2.4.2對數求導法則85
2.4.3由參數方程確定的函數的導數86
2.4.4相關變化率88
習題2488
2.5導數的簡單應用89
2.5.1幾何應用89
2.5.2經濟應用91
2.5.3物理應用93
習題2594
2.6函數的微分94
2.6.1微分的定義94
2.6.2微分的幾何意義96
2.6.3基本初等函數的微分公式與微分運算法則97
2.6.4微分在近似計算中的應用99
習題26100
總復習題二101
第3章微分中值定理與導數的應用103
3.1微分中值定理103
3.1.1羅爾定理103
3.1.2拉格朗日中值定理105
3.1.3柯西中值定理108
習題31110
3.2洛必達法則111
3.2.100型未定式111
3.2.2∞∞型未定式113
3.2.3其他未定式的極限115
習題32116
3.3泰勒公式117
3.3.1帶有皮亞諾型余項的泰勒公式118
3.3.2帶有拉格朗日型余項的泰勒公式120
3.3.3麥克勞林公式120
習題33123
3.4函數的單調性與曲線的凹凸性123
3.4.1函數單調性的判別法123
3.4.2曲線的凹凸性與拐點127
習題34130
3.5函數的極值與*值131
3.5.1函數的極值及其求法131
3.5.2函數的*值135
習題35138
3.6函數圖形的描繪139
3.6.1曲線的漸近線139
3.6.2函數圖形的描繪141
習題36143
3.7曲率143
3.7.1弧微分143
3.7.2曲率及其計算公式145
3.7.3曲率圓與曲率半徑147
習題37148
總復習題三148
第4章不定積分150
4.1不定積分的概念與性質150
4.1.1原函數的概念150
4.1.2不定積分的概念151
4.1.3不定積分的幾何意義152
4.1.4不定積分的性質153
4.1.5基本積分表153
4.1.6直接積分法154
習題41156
4.2**類換元積分法156
習題42164
4.3第二類換元積分法165
習題43171
4.4分部積分法171
習題44176
4.5幾種特殊類型函數的積分176
4.5.1有理函數的積分176
4.5.2三角函數有理式的積分180
習題45182
總復習題四182
第5章定積分184
5.1定積分的概念與性質184
5.1.1引例184
5.1.2定積分的概念186
5.1.3定積分的近似計算189
5.1.4定積分的性質190
習題51195
5.2微積分基本公式196
5.2.1引例196
5.2.2變限積分函數及其導數197
5.2.3微積分基本公式及應用200
習題52203
5.3定積分的換元法和分部積分法204
5.3.1定積分的換元積分法204
5.3.2定積分的分部積分法207
習題53209
5.4反常積分210
5.4.1無窮限的反常積分211
5.4.2無界函數的反常積分213
習題54216
總復習題五216
第6章定積分的應用219
6.1定積分的元素法219
6.2定積分在幾何上的應用221
6.2.1平面圖形的面積221
6.2.2體積223
6.2.3平面曲線的弧長226
習題62229
6.3定積分在物理上的應用230
6.3.1變力沿直線運動所做的功230
6.3.2水壓力231
6.3.3引力233
習題63234
6.4定積分在經濟學上的應用235
習題64237
總復習題六237
附錄A預備知識239
附錄B積分表公式244習題答案與提示254
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高等數學-(上冊)-(第2版) 節選
第3章微分中值定理與導數的應用在第2章中我們主要研究了已知函數的求導問題,而在實際應用中更多的是已知導數的性質,研究函數的性質,所以本章將借助導數來研究函數及其曲線的性態,解決一些常見的實際問題.下面首先來介紹導數應用的理論基礎——微分中值定理. 3.1微分中值定理〖*4/5〗3.1.1羅爾定理在第1章研究正弦函數時,我們發現這樣一個有趣的幾何現象: y=sinx,x∈［0,2π］的圖形如圖3.1.1所示,該圖形在［0,2π］上處處連續,除端點外處處有不垂直于x軸的切線,且sin0=sin2π,則函數y=sinx在［0,2π］內至少有圖3.1.1 一點處的切線是水平的.該點就是曲線的*高點或*低點.這種現象不是偶然的,為了說明這一現象,我們先給出一個引理. 費馬引理如果函數f(x)在點x0處可導,并且在x0的某鄰域U(x0)內有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))則f′(x0)=0證不妨設x∈U(x0)時,f(x)≤f(x0).則當xx0時，有f(x)-f(x0)x-x0≤0由函數極限的保號性得 f′-(x0)=limx→x-0f(x)-f(x0)x-x0≥0第3章微分中值定理與導數的應用3.1微分中值定理[1][2]f′+(x0)=limx→x+0f(x)-f(x0)x-x0≤0 再由f′(x0)存在可知f′+(x0)=f′-(x0),則f′(x0)=0. 同理可得f(x)≥f(x0)的情形,結論得證. 通常稱導數為零的點為函數的駐點. 定理3.1.1(羅爾定理)設函數f(x)滿足 (1) 在閉區間［a,b］上連續； (2) 在開區間(a,b)內可導； (3) f(a)=f(b), 則至少存在一點ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0. 分析若要證明結論,根據費馬引理,只要至少找到一個點ξ∈(a,b),使它滿足f(x)≤f(ξ)(或f(x)≥f(ξ))即可,并且由定理**個條件可知,連續函數在閉區間上必有*大值和*小值,所以只要證明在開區間(a,b)內能取到*大值或*小值即可. 證由于f(x)在閉區間［a,b］上連續,根據*大值*小值定理,f(x)在閉區間［a,b］上必有*大值M和*小值m,這樣,只有下面兩種可能的情形： (1) 當M=m時,f(x)≡M,所以ξ∈(a,b),都有f′(ξ)=0. (2) 當M>m時,因為f(a)=f(b),則M和m中至少有一個不是端點值,即M和m中至少有一個與f(a)不相等.不妨設M≠f(a),則在開區間(a,b)內必有一點ξ,使得f(ξ)=M.因此,x∈［a,b］,有f(x)≤f(ξ),于是由費馬引理得f′(ξ)=0. 同理可證m≠f(a)的情形. 注1羅爾定理的幾何意義是: 如果光滑曲線y=f(x),x∈(a,b)在兩個端點處函數值相等,則在曲線上至少有一點處的切線是水平的,如圖3.1.2所示. 圖3.1.2 注2羅爾定理條件缺一不可. 例如,f(x)=x,0≤x 0,x=1在x=1處不連續,不滿足羅爾定理的**個條件,f(x)在(0,1)內的導數恒等于1,不滿足羅爾定理的結論； 函數f(x)=|x|,x∈［-1,1］在x=0處不可導,不滿足羅爾定理的第二個條件,f(x)在(-1,1)內沒有導數為零的點,不滿足羅爾定理的結論； 函數f(x)=x,x∈［0,1］在端點處函數值不相等,不滿足羅爾定理的第三個條件,f(x)在(0,1)內的導數恒等于1,不滿足羅爾定理的結論. 注3羅爾定理的三個條件只是羅爾定理結論的充分條件,不是必要條件,即滿足羅爾定理的結論不一定滿足羅爾定理的條件. 例如，函數f(x)=|x|,-1≤x≤1 (x-3)2,1 羅爾定理在討論方程根的情況時用處較多,比如下面的例子. 例1證明方程x3+x-1=0在開區間(0,1)內只有一個實根. 證(1) 證明方程有實根. 不妨假設f(x)=x3+x-1則f(x)在［0,1］連續,且f(0)·f(1) =-1 (反證法)不妨假設函數f(x)在(0,1)內有兩個實根x1=a,x2=b且a 由于f(x)在［a,b］(0,1)上連續,在(a,b)內可導,f(a)=f(b)=0.利用羅爾定理可知,在(a,b)內至少存在一點ξ，使得f′(ξ)=0.這與f′(x)=3x2+1≠0矛盾,說明方程只能有一個實根. 3.1.2拉格朗日中值定理 在羅爾定理中,條件f(a)=f(b)很特殊,一般函數不滿足這個條件.而拉格朗日中值定理就是將這個條件去掉,即將羅爾定理的幾何圖形3.1.2旋轉得到圖3.1.3,則在圖3.1.3 開區間(a,b)內至少存在一點處的切線與兩端點所在的直線平行,由此得到拉格朗日中值定理的結論. 定理3.1.2(拉格朗日中值定理)設函數f(x)滿足 (1) 在閉區間［a,b］上連續； (2) 在開區間(a,b)內可導, 則至少存在一點ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a分析易知拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣,所以要證明拉格朗日中值定理,很自然的想法是構造一個輔助函數使得它滿足羅爾定理,借助羅爾定理來證明拉格朗日中值定理.從圖3.1.3 中很容易發現，函數y=f(x)與直線lab在端點(a,f(a)),(b,f(b))處的函數值相等.同時直線lab的方程為g(x)=f(a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)將F(x)=f(x)-g(x)作為輔助函數,則F(a)=F(b)=0滿足羅爾定理第三個條件. 證作輔助函數F(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a(x-a)因為f(x)在閉區間［a,b］上連續,在開區間(a,b)內可導,所以F(x)滿足條件: 在閉區間［a,b］上連續,在開區間(a,b)內可導,F(a)=F(b). 由羅爾定理得,至少存在一點ξ∈(a,b),使得F′(ξ)=0,即F′(ξ)=f′(ξ)-f(b)-f(a)b-a=0所以f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a注1該定理的輔助函數也可設為F(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-ax. 注2f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a稱為拉格朗日中值公式.f(b)-f(a)b-a表示函數f(x)在閉區間［a,b］上整體變化的平均變化率,f′(ξ)表示開區間(a,b)內某點ξ處函數的局部(瞬時)變化率.于是,拉格朗日中值公式反映了可導函數在［a,b］上整體平均變化率與在(a,b)內某點ξ處函數的局部(瞬時)變化率的關系.因此,拉格朗日中值定理是聯結局部與整體的紐帶. 為了便于應用,拉格朗日中值公式常寫成以下幾種形式： (1) f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a),ξ∈(a,b)； (2) f(b)-f(a)=f′(a+θ(b-a))(b-a),0 (3) 若令Δx=b-a,上式還可變形為Δy=f(a+Δx)-f(a)=f′(a+θΔx)Δx,0 拉格朗日中值定理在微分學中占有重要地位,在某些問題中,當自變量x取得有限增量Δx而需要函數增量的準確表達式時,拉格朗日中值定理就突顯出其重要價值. 注類似于羅爾定理,拉格朗日中值定理中的兩個條件同樣是缺一不可,否則定理的結論可能不成立. 例如，函數f(x)=|x|,x∈［-1,1］在x=0處不可導,則該函數的圖形在x∈(-1,1)內沒有平行于連接兩端點直線的切線；函數f(x)=x,0≤x 0,x=1在x=1處不連續,不滿足閉區間上函數連續的條件,該函數的圖形在x∈(0,1)內任一點處的切線都不平行于兩端點的連線. 由拉格朗日中值定理還可以得到兩個重要結論. 推論3.1.1若函數f(x)在區間I內有f′(x)=0,則f(x)在I內為常數. 證在區間I上任取兩點x1,x2,不妨設x1 由于函數f(x)在閉區間［x1,x2］上連續,在開區間(x1,x2)內可導,利用拉格朗日中值定理得f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)由條件知f′(ξ)=0,所以f(x2)-f(x1)=0,即f(x2)=f(x1)因為x1,x2是區間I上的任意兩點,所以f(x)在區間I內為常數. 推論3.1.2若函數f(x)在區間I內處處有f′(x)=g′(x),則f(x)-g(x)=C(C為任意常數). 例2證明arcsinx+arccosx=π2(-1≤x≤1). 證設f(x)=arcsinx+arccosx,x∈\[-1,1\]，則該函數在［-1,1］上連續,且在(-1,1)內有f′(x)=11-x2-11-x2=0由推論3.1.1可得f(x)=C,x∈(-1,1).不妨選取x=0,則f(0)=arcsin0+arccos0=0+π2=π2即C=π2，且f(-1)=f(1)=π2,所以arcsinx+arccosx=π2(-1≤x≤1)例3證明當x>0時,x1+x 分析將x1+x 證設f(t)=ln(1+t),該函數在［0,x］上滿足拉格朗日中值定理的條件,所以存在ξ∈(0,x),使得f(x)-f(0)x-0=f′(ξ)由于f(0)=0,f′(x)=11+x,則ln(1+x)x=11+ξ即ln(1+x)=11+ξx因為0 從拉格朗日中值定理可以得到，在開區間(a,b)內至少存在一點處的切線與兩端點所在的直線平行.現假設函數Y=Y(X)由參數方程X=F(x) Y=f(x)(a≤x≤b)圖3.1.4表示,如圖3.1.4所示,其中x為參數.那么曲線上點(X,Y)處的切線斜率為dYdX=f′(x)F′(x)過端點直線斜率為f(b)-f(a)F(b)-F(a)那么根據拉格朗日中值定理結論得,至少存在一點ξ∈(a,b),使得f′(ξ)F′(ξ)=f(b)-f(a)F(b)-F(a)與這一事實相對應的是下述定理. 定理3.1.3(柯西中值定理)設函數f(x)和F(x)滿足 (1) 在閉區間［a,b］上連續； (2) 在開區間(a,b)內可導； (3) F′(x)≠0,x∈(a,b), 則至少存在一點ξ∈(a,b),使得f′(ξ)F′(ξ)=f(b)-f(a)F(b)-F(a)分析要證f′(ξ)F′(ξ)=f(b)-f(a)F(b)-F(a),即要證［f(b)-f(a)］F′(ξ)-［F(b)-F(a)］f′(ξ)=0所以我們希望構造一個輔助函數φ(x),使得它滿足φ′(ξ)=［f(b)-f(a)］F′(ξ)-［F(b)-F(a)］f′(ξ)容易想到φ(x)=［f(b)-f(a)］F(x)-［F(b)-F(a)］f(x). 證作輔助函數φ(x)=［f(b)-f(a)］F(x)-［F(b)-F(a)］f(x)由于f(x)和F(x)在閉區間［a,b］上連續,在開區間(a,b)內可導,所以φ(x)滿足條件: 在閉區間［a,b］上連續,在開區間(a,b)內可導,φ(a)=φ(b). 由羅爾定理可知,在開區間(a,b)內至少有一點ξ,使φ′(ξ)=［f(b)-f(a)］F′(ξ)-［F(b)-F(a)］f′(ξ)=0(3.1.1)對于函數F(x)，利用拉格朗日中值定理，至少存在一點η∈(a,b)，使得F′(η)=F(b)-F(a)b-a又由于F′(x)≠0,x∈(a,b),所以F(b)-F(a)≠0,因此(3.1.1)式也可寫成f′(ξ)F′(ξ)=f(b)-f(a)F(b)-F(a)注1定理證明中的輔助函數也可仿效拉格朗日中值定理的輔助函數進行構造,即φ(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)F(b)-F(a)［F(x)-F(a)］注2在定理中取F(x)=x,結果就是拉格朗日中值定理的結論,因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情況,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣. 以上三個中值定理因其在微分學中的重要地位,通常也將它們統稱為微分中值定理.微分中值定理建立了函數增量、自變量增量與導數之間的聯系.函數的許多性質可用自變量增量與函數增量的關系來描述,因此可用微分中值定理來研究函數變化的性質. 例4證明x>0時,ln(1+x)>arctanx1+x. 分析原式容易變形為(1+x)ln(1+x)arctanx>1,而(1+x)ln(1+x)arctanx=(1+x)ln(1+x)-(1+0)ln(1+0)arctanx-arctan0與柯西中值定理的形式是一致的. 證令f(x)=(1+x)ln(1+x),g(x)=arctanx,則f′(x)=1+ln(1+x)，g′(x)=11+x2由于f(x),g(x)滿足柯西中值定理的條件,則f(x)-f(0)g(x)-g(0)=f′(ξ)g′(ξ)即(1+x)ln(1+x)arctanx=1+ln(1+ξ)11+ξ2=［1+ln(1+ξ)］(1+ξ2)因為ξ∈(0,x),所以［1+ln(1+ξ)］(1+ξ2)>1,故(1+x)ln(1+x)arctanx>1又由x>0,則ln(1+x)>arctanx1+x習題31 1. 驗證羅爾定理對函數y=lnsinx在區間π6,5π6上的正確性. 2. 驗證拉格朗日中值定理對函數y=4x3-5x2+x-2在區間［0,1］上的正確性. 3. 驗證柯西中值定理對函數f(x)=x3+2x2,g(x)=x2+2在區間［0,2］上的正確性. 4. 設f(x)=(x-2)(x+1)(x+2)(x+3),證明f′(x)=0有三個實根. 5. 設a0n+1+a1n+…+an=0,證明方程a0xn+a1xn-1+…+an=0在(0,1)內至少有一個實根. 6. 設函數f(x)在閉區間［a,b］上可導,證明: 存在ξ∈(a,b),使等式bf(b)-af(a)b-a=f(ξ)+ξf′(ξ)成立. 7. 證明下列等式： (1) 當x>0時,arctanx+arctan1x=π2； (2) 當x≥1時,arctanx-12arccos2x1+x2=π4. 8. 證明下列不等式： (1) |arcsinx-arcsiny|≥|x-y|； (2) |arctana-arctanb|≤|a-b|； (3) 當a>b>0時,a-ba (4) 當a>b>0,n>1時,nbn-1(a-b) (5) 當x>1時,ex>e·x. 9. 證明: 若函數f(x)在［a,b］上連續,在(a,b)內可導,則至少存在一點ξ∈(a,b),使得 f(ξ)-f(a)b-ξ=f′(ξ)(提示: 利用輔助函數F(x)=［f(x)-f(a)］(b-x).) 3.2洛必達法則3.2洛必達法則 在第1章學習無窮小的比較時我們已經知道,當x→a(或x→∞)時,如果f(x),g(x)都是無窮小量或無窮大量,那么它們之比的極限可能存在,也可能不存在.通常將這種極限稱為00型未定式或∞∞型未定式.求此類極限不能直接運用商的極限運算法則.現在介紹解決這類極限問題的一種簡便而重要的方法——洛必達法則.它是以導數為工具來研究未定式極限的重要方法,而柯西中值定理是建立洛必達法則的理論依據. 3.2.100型未定式 定理3.2.1設f(x),g(x)滿足 (1) limx→a f(x)=0,limx→a g(x)=0； (2) f(x),g(x)在點a的某去心鄰域U°(a)內可導,且g′(x)≠0； (3) limx→af′(x)g′(x)存在或為無窮大, 則limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)上述定理給出的這種在一定條件下通過對分子、分母分別先求導，再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則. 證因為極限limx→af(x)g(x)是否存在與f(a)與g(a)的取值無關,故可補充定義f(a)=g(a)=0于是由條件(1)可得 limx→af(x)=f(a),limx→ag(x)=g(a)所以函數f(x)與g(x)在點a處連續.又由條件(2)可得函數f(x)與g(x)在點a的某去心鄰域U°(a)內連續,所以函數f(x)與g(x)在點a的某一鄰域內是連續的. 取x∈U°(a),易知函數f(x)與g(x)在以點a及x為端點的閉區間上滿足柯西中值定理的三個條件,因此存在ξ(ξ在a與x之間),使得f(x)g(x)=f(x)-f(a)g(x)-g(a)=f′(ξ)g′(ξ)由于ξ在a與x之間,根據夾逼準則,x→a時ξ→a,所以limx→af(x)g(x)=limξ→af′(ξ)g′(ξ)=limx→af′(x)g′(x)=A(或∞)注若limx→af′(x)g′(x)仍為00型,只要滿足定理條件,可以繼續使用洛必達法則，即limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=limx→af″(x)g″(x)并可以依次類推. 例1求limx→π31-2cosxsinx-π3. 解limx→π31-2cosxsinx-π3=limx→π32sinxcosx-π3=2sinπ3cosπ3-π3=3. 例2求limx→0ex-x-1x2. 解limx→0ex-x-1x2=limx→0ex-12x=limx→0ex2=12. 對于x→a+,x→a-,x→∞,x→+∞,x→-∞情形的00型未定式,也有相應的洛必達法則.例如,當x→∞時，有如下定理. 定理3.2.2設f(x),g(x)滿足 (1) limx→∞f(x)=0,limx→∞g(x)=0； (2) 對于充分大的|x|,f′(x)和g′(x)都存在且g′(x)≠0；
高等數學-(上冊)-(第2版) 作者簡介
代鴻，碩士，現為重慶大學城市科技學院數理教研室副主任。先后主編數學教材3部，省級課題主持1項，主研1項，校級課題主持主研多項，主持校級試點課程1門，作為主研參與高等數學精品課程建設工作。
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