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實變函數與泛函數分析 版權信息
- ISBN：9787030538673
- 條形碼：9787030538673 ; 978-7-03-053867-3
- 裝幀：暫無
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
實變函數與泛函數分析 本書特色
《實變函數與泛函分析》包括集合論基礎、Rn 中的點集理論、測度理論、可測函數、勒貝格積分論、空間理論、巴拿赫空間上的有界線性算子理論、非線性算子等內容.
實變函數與泛函數分析 內容簡介
可作為高等師范院校實變函數與泛函分析教材, 工程技術人員及其他感興趣讀者
實變函數與泛函數分析 目錄
目錄
前言
第1章 集合論基礎 1
1.1 集合及其運算 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合的表示 2
1.1.3 集合的運算 3
習題 1.1 10
1.2 集合的基數 11
1.2.1 對等性 12
1.2.2 基數的概念 13
1.2.3 基數的比較 13
習題 1.2 15
1.3 可數集合 16
習題 1.3 20
1.4 基數為 c 的集合 20
習題 1.4 25
總練習題 1 26
第2章 Rn中的點集理論 27
2.1 基本概念 27
2.1.1 n維歐氏空間 Rn 27
2.1.2 點列的收斂性 28
2.1.3 點集的幾種特殊點 29
2.1.4 基本結論 30
習題 2.1 31
2.2 開集、閉集與完備集 32
2.2.1 開集與閉集 32
2.2.2 Gδ型集、Fδ型集與博雷爾集 34
2.2.3 自密集與完備集 35
習題 2.2 37
2.3 閉集套原理與覆蓋定理 38
習題 2.3 40
2.4 開集的構造 40
習題 2.4 42
2.5 點集上的連續函數 42
習題 2.5 46
2.6 點集間的距離 46
習題 2.6 48
總練習題 2 49
第3章 測度理論 50
3.1 外測度的定義與性質 50
3.1.1 外測度的定義 50
3.1.2 外測度的性質 53
習題 3.1 56
3.2 可測集的定義及性質 56
3.2.1 可測集的定義 56
3.2.2 可測集的運算性質 57
習題 3.2 62
3.3 可測集類 63
習題 3.3 67
3.4 可測集的構造 67
習題 3.4 73
總練習題 3 74
第4章 可測函數 76
4.1 可測函數的概念與運算 76
4.1.1 簡單函數 76
4.1.2 可測函數的概念與運算性質 78
習題 4.1 79
4.2 可測函數的刻畫與性質 80
4.2.1 預備定理 80
4.2.2 非負可測函數的刻畫 80
4.2.3 一般可測函數的刻畫 83
4.2.4 可測函數的性質 85
習題 4.2 87
4.3 葉果洛夫定理 88
4.3.1 幾乎處處的概念 88
4.3.2 葉果洛夫定理 89
習題 4.3 93
4.4 依測度收斂性 93
習題 4.4 98
4.5 魯金定理 99
習題 4.5 104
總練習題 4 105
第5章 勒貝格積分 106
5.1 非負可測函數的積分 106
5.1.1 定義與例子 106
5.1.2 基本性質 109
習題 5.1 116
5.2 一般可測函數的積分 116
習題 5.2 122
5.3 例子 123
習題 5.3 129
5.4 勒貝格控制收斂定理 130
習題 5.4 136
5.5 R-積分與L-積分的關系 137
習題 5.5 146
5.6 富比尼定理 147
習題 5.6 150
5.7 有界變差函數 151
習題 5.7 156
5.8 **連續函數 157
習題 5.8 163
總練習題5 164
第6章 空間理論 166
6.1 距離空間 166
6.1.1 定義與例子 166
6.1.2 完備距離空間 168
6.1.3 開集與閉集 171
6.1.4 可分距離空間 173
6.1.5 連續映射 173
6.1.6 列緊空間 176
6.1.7 壓縮映射原理 179
習題 6.1 183
6.2 賦范線性空間 185
6.2.1 定義與例子 185
6.2.2 有限維賦范線性空間 190
習題 6.2 193
6.3 內積空間 196
6.3.1 內積空間的概念與基本性質 196
6.3.2 正交分解 200
6.3.3 正規正交系 202
習題 6.3 208
6.4 拓撲空間簡介 209
6.4.1 拓撲空間 209
6.4.2 連續映射與同胚 212
習題 6.4 212
總練習題 6 213
第7章 巴拿赫空間上的有界線性算子理論 216
7.1 有界線性算子 217
7.1.1 定義、例子與基本性質 217
7.1.2 有界線性算子的范數 221
7.1.3 算子空間與巴拿赫代數 225
習題 7.1 228
7.2 哈恩-巴拿赫延拓定理 230
7.2.1 線性泛函的延拓 230
7.2.2 有界線性泛函的存在性 235
習題 7.2 236
7.3 有界線性泛函的表示 237
7.3.1 n維空間 Kn上的有界線性泛函 237
7.3.2 lp(K)上的有界線性泛函 (1
7.3.3 Lp[a，b]上的有界線性泛函 (1
7.3.4 C[a，b]上的有界線性泛函 244
7.3.5 希爾伯特空間上有界線性泛函的表示 244
習題 7.3 245
7.4 共軛空間與共軛算子 246
7.4.1 共軛空間 246
7.4.2 共軛算子 250
習題 7.4 253
7.5 逆算子定理與開映射定理 255
7.5.1 逆算子的概念與基本性質 255
7.5.2 逆算子的有界性 256
習題 7.5 261
7.6 閉圖像定理與一致有界原理 262
7.6.1 閉算子與閉圖像定理 262
7.6.2 一致有界原理及其應用 264
習題 7.6 266
7.7 強弱收斂與弱*收斂 267
7.7.1 點列的弱收斂 267
7.7.2 算子列的強、弱收斂 269
7.7.3 泛函列的強、弱收斂與弱*收斂 272
習題 7.7 272
7.8 緊算子 273
7.8.1 定義與例子 273
7.8.2 緊算子的性質 275
習題 7.8 277
總練習題 7 279
第8章 非線性算子 281
8.1 連續性與有界性 281
8.1.1 定義與例子 281
8.1.2 連續算子的性質 282
8.1.3 一類復合算子的連續性與有界性 283
習題 8.1 286
8.2 緊性與全連續性 287
8.2.1 定義與基本性質 287
8.2.2 完全連續算子的結構 289
習題 8.2 292
8.3 抽象函數的導數 293
8.3.1 實變抽象函數的導數 293
8.3.2 復變抽象函數的導數 296
習題 8.3 298
8.4 抽象函數的積分 299
8.4.1 定義與例子 299
8.4.2 可積條件 300
8.4.3 運算性質 303
習題 8.4 305
8.5 費雷歇導算子 305
8.5.1 定義與性質 305
8.5.2 中值定理與導算子的完全連續性 313
8.5.3 高階導算子與泰勒公式 315
習題 8.5 318
8.6 加特導算子 320
8.6.1 定義與性質 320
8.6.2 兩種微分之間的關系 321
習題 8.6 326
8.7 偏導算子與隱算子定理 326
8.7.1 偏導算子 327
8.7.2 隱算子存在定理 329
8.7.3 反算子存在定理 334
習題 8.7 335
總練習題 8 336
參考文獻 338
附錄 339
1. 偏序集與佐恩引理 339
2. 泛函延拓定理的證明 342
3. 算子譜論簡介 343
4. 希爾伯特空間上的有界線性算子簡介 346
5. 中外文人名對照表 348
前言
第1章 集合論基礎 1
1.1 集合及其運算 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合的表示 2
1.1.3 集合的運算 3
習題 1.1 10
1.2 集合的基數 11
1.2.1 對等性 12
1.2.2 基數的概念 13
1.2.3 基數的比較 13
習題 1.2 15
1.3 可數集合 16
習題 1.3 20
1.4 基數為 c 的集合 20
習題 1.4 25
總練習題 1 26
第2章 Rn中的點集理論 27
2.1 基本概念 27
2.1.1 n維歐氏空間 Rn 27
2.1.2 點列的收斂性 28
2.1.3 點集的幾種特殊點 29
2.1.4 基本結論 30
習題 2.1 31
2.2 開集、閉集與完備集 32
2.2.1 開集與閉集 32
2.2.2 Gδ型集、Fδ型集與博雷爾集 34
2.2.3 自密集與完備集 35
習題 2.2 37
2.3 閉集套原理與覆蓋定理 38
習題 2.3 40
2.4 開集的構造 40
習題 2.4 42
2.5 點集上的連續函數 42
習題 2.5 46
2.6 點集間的距離 46
習題 2.6 48
總練習題 2 49
第3章 測度理論 50
3.1 外測度的定義與性質 50
3.1.1 外測度的定義 50
3.1.2 外測度的性質 53
習題 3.1 56
3.2 可測集的定義及性質 56
3.2.1 可測集的定義 56
3.2.2 可測集的運算性質 57
習題 3.2 62
3.3 可測集類 63
習題 3.3 67
3.4 可測集的構造 67
習題 3.4 73
總練習題 3 74
第4章 可測函數 76
4.1 可測函數的概念與運算 76
4.1.1 簡單函數 76
4.1.2 可測函數的概念與運算性質 78
習題 4.1 79
4.2 可測函數的刻畫與性質 80
4.2.1 預備定理 80
4.2.2 非負可測函數的刻畫 80
4.2.3 一般可測函數的刻畫 83
4.2.4 可測函數的性質 85
習題 4.2 87
4.3 葉果洛夫定理 88
4.3.1 幾乎處處的概念 88
4.3.2 葉果洛夫定理 89
習題 4.3 93
4.4 依測度收斂性 93
習題 4.4 98
4.5 魯金定理 99
習題 4.5 104
總練習題 4 105
第5章 勒貝格積分 106
5.1 非負可測函數的積分 106
5.1.1 定義與例子 106
5.1.2 基本性質 109
習題 5.1 116
5.2 一般可測函數的積分 116
習題 5.2 122
5.3 例子 123
習題 5.3 129
5.4 勒貝格控制收斂定理 130
習題 5.4 136
5.5 R-積分與L-積分的關系 137
習題 5.5 146
5.6 富比尼定理 147
習題 5.6 150
5.7 有界變差函數 151
習題 5.7 156
5.8 **連續函數 157
習題 5.8 163
總練習題5 164
第6章 空間理論 166
6.1 距離空間 166
6.1.1 定義與例子 166
6.1.2 完備距離空間 168
6.1.3 開集與閉集 171
6.1.4 可分距離空間 173
6.1.5 連續映射 173
6.1.6 列緊空間 176
6.1.7 壓縮映射原理 179
習題 6.1 183
6.2 賦范線性空間 185
6.2.1 定義與例子 185
6.2.2 有限維賦范線性空間 190
習題 6.2 193
6.3 內積空間 196
6.3.1 內積空間的概念與基本性質 196
6.3.2 正交分解 200
6.3.3 正規正交系 202
習題 6.3 208
6.4 拓撲空間簡介 209
6.4.1 拓撲空間 209
6.4.2 連續映射與同胚 212
習題 6.4 212
總練習題 6 213
第7章 巴拿赫空間上的有界線性算子理論 216
7.1 有界線性算子 217
7.1.1 定義、例子與基本性質 217
7.1.2 有界線性算子的范數 221
7.1.3 算子空間與巴拿赫代數 225
習題 7.1 228
7.2 哈恩-巴拿赫延拓定理 230
7.2.1 線性泛函的延拓 230
7.2.2 有界線性泛函的存在性 235
習題 7.2 236
7.3 有界線性泛函的表示 237
7.3.1 n維空間 Kn上的有界線性泛函 237
7.3.2 lp(K)上的有界線性泛函 (1
7.3.3 Lp[a，b]上的有界線性泛函 (1
7.3.4 C[a，b]上的有界線性泛函 244
7.3.5 希爾伯特空間上有界線性泛函的表示 244
習題 7.3 245
7.4 共軛空間與共軛算子 246
7.4.1 共軛空間 246
7.4.2 共軛算子 250
習題 7.4 253
7.5 逆算子定理與開映射定理 255
7.5.1 逆算子的概念與基本性質 255
7.5.2 逆算子的有界性 256
習題 7.5 261
7.6 閉圖像定理與一致有界原理 262
7.6.1 閉算子與閉圖像定理 262
7.6.2 一致有界原理及其應用 264
習題 7.6 266
7.7 強弱收斂與弱*收斂 267
7.7.1 點列的弱收斂 267
7.7.2 算子列的強、弱收斂 269
7.7.3 泛函列的強、弱收斂與弱*收斂 272
習題 7.7 272
7.8 緊算子 273
7.8.1 定義與例子 273
7.8.2 緊算子的性質 275
習題 7.8 277
總練習題 7 279
第8章 非線性算子 281
8.1 連續性與有界性 281
8.1.1 定義與例子 281
8.1.2 連續算子的性質 282
8.1.3 一類復合算子的連續性與有界性 283
習題 8.1 286
8.2 緊性與全連續性 287
8.2.1 定義與基本性質 287
8.2.2 完全連續算子的結構 289
習題 8.2 292
8.3 抽象函數的導數 293
8.3.1 實變抽象函數的導數 293
8.3.2 復變抽象函數的導數 296
習題 8.3 298
8.4 抽象函數的積分 299
8.4.1 定義與例子 299
8.4.2 可積條件 300
8.4.3 運算性質 303
習題 8.4 305
8.5 費雷歇導算子 305
8.5.1 定義與性質 305
8.5.2 中值定理與導算子的完全連續性 313
8.5.3 高階導算子與泰勒公式 315
習題 8.5 318
8.6 加特導算子 320
8.6.1 定義與性質 320
8.6.2 兩種微分之間的關系 321
習題 8.6 326
8.7 偏導算子與隱算子定理 326
8.7.1 偏導算子 327
8.7.2 隱算子存在定理 329
8.7.3 反算子存在定理 334
習題 8.7 335
總練習題 8 336
參考文獻 338
附錄 339
1. 偏序集與佐恩引理 339
2. 泛函延拓定理的證明 342
3. 算子譜論簡介 343
4. 希爾伯特空間上的有界線性算子簡介 346
5. 中外文人名對照表 348
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