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數學分析(上下冊) 版權信息
- ISBN：9787030807915
- 條形碼：9787030807915 ; 978-7-03-080791-5
- 裝幀：平裝
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
數學分析(上下冊) 內容簡介
本書是在作者多年講授數學分析課程講義的基礎上編寫而成的，是作者多年授課經驗與教學心得的總結。全書分上、下兩冊。
上冊分三部分。先感性認識與論述初等一元微積分:函數、極限與連續性、定積分、導數，微積分學基本定理，簡單常微分方程及一些經典應用。接著是微積分學嚴格化:實數的公理化定義和極限理論，據此論證一元函數的極限、連續性和Riemann積分的理論。然后敘述級數理論、多元函數的極限與連續性、空間定向、空間解析幾何簡介。
下冊分三部分。先講述多元函數的微分學與積分學及場論初步。然后論述微分流形上的微積分，包括歐氏空間中的微分形式和積分公式、積分的連續性、廣義重積分、微分流形、流形上的微積分等。附錄介紹微積分學中若干基本問題的延伸與發展。
本書的內容安排力圖符合微積分體系的認識論規律、貼近微積分學發展脈絡，力求在邏輯上清楚，作者會不時將個人的一些看法采用評注或評議寫出，便于讀者理解。
本書*后五講比較難，屬于現代化的分析學，希冀對有興趣的讀者有些幫助。
數學分析(上下冊) 目錄
目錄前言 第1講 函數的極限和連續性 1 1.1 集合 1 1.2 實數 2 1.3 函數 3 1.4 極限 4 1.5 函數的連續性 8 1.6 關于函數記號的評議 9 第2講 定積分 11 2.1 求積類典型例子 11 2.2 定積分概念 13 2.3 定積分的基本性質 15 第3講 定積分應用與計算初步 18 3.1 定積分概念應用舉例 18 3.2 定積分概念應用的一般程式 19 3.3 定積分計算舉例 20 3.4 對數函數ln x 23 第4講 導數.27 4.1 求導類典型問題 27 4.2 導數概念 29 4.3 導數的運算法則 31 4.4 導數概念舉例 32 第5講 求導法則和基本公式34 5.1 兩個重要求導法則 34 5.2 基本初等函數求導公式之推導 38 5.3 基本初等函數求導公式 42 5.4 高階導數 43第6講 略論導數與定積分之關系 （微積分學基本定理） 45 6.1 微積分學基本定理 45 6.2 原函數和不定積分 47 6.3 變上限的定積分與原函數的存在性 49 第7講 微分中值定理與Taylor公式 51 7.1 Lagrange中值定理 51 7.2 Cauchy中值定理 54 7.3 Taylor公式.55 第8講 微分與無窮小 58 8.1 微分概念 58 8.2 微分的運算法則和計算公式 59 8.3 高階微分 60 8.4 微分應用于近似方法 61 8.5 無窮小與無窮大概念 63 8.6 階的比較 64 8.7 待定式和 L’Hospital法則 67 第9講 積分法初步 69 9.1 求積運算法則和求積基本公式 69 9.2 積分的變量替換 71 9.3 分部積分法 78 9.4 有理函數的積分 83 第10講 一階常微分方程 87 10.1 一般概念 87 10.2 一階可分離變量的方程 89 10.3 可化為變量分離的某些一階方程 91 10.4 一階線性方程 93 第11講 二階常微分方程 99 11.1 可降階的二階常微分方程 99 11.2 二階線性常微分方程簡論 102 11.3 常系數二階線性方程 106 11.4 一些**微分方程模型及其應用 111 第12講 實數 119 12.1 數的簡史 119 12.2 自然數的Peano公理系統 120 12.3 實數的公理化定義 12112.4 數軸 123 12.5 實數的拓撲 124 12.6 演繹推理模式簡述 127 第13講 實數序列的極限 129 13.1 序列的極限概念 129 13.2 序列極限的重要性質 132 13.3 區間套原理與聚點原理 136 13.4 單調序列 139 13.5 Cauchy原理 140 13.6 確界原理 142 第14講 一元函數的極限和連續性再論 143 14.1 函數的極限概念 143 14.2 單側過程和無窮過程之極限概念 146 14.3 函數的連續性概念 147 14.4 閉區間上連續函數的性質 148 14.5 一致連續性 151 14.6 有限覆蓋定理 154 第15講 Riemann積分的理論 156 15.1 定積分概念 156 15.2 可積的一個必要條件.157 15.3 Darboux和 158 15.4 可積的充要條件 161 15.5 常見的可積函數類 164 15.6 定積分的基本性質 167 15.7 再論導數與定積分之關系 171 第16講 數項級數、廣義積分和無窮乘積 175 16.1 級數定義 175 16.2 基本性質和重要例題.178 16.3 常用的正項級數收斂判別法 183 16.4 一般項級數 187 16.5 廣義積分 190 16.6 無窮乘積 193 第17講 函數級數 196 17.1 函數序列和函數級數的一致收斂性 196 17.2 一致收斂的判別法 19917.3 一致收斂的函數序列與函數級數的性質 200 17.4 冪級數 204 17.5 Taylor級數 209 17.6 連續函數的多項式逼近 215 第18講 Fourier級數 219 18.1 三角級數 219 18.2 Fourier級數定義 220 18.3 Fourier級數的斂散性 222 18.4 收斂定理的證明 225 18.5 例題 228 18.6 物理解釋 232 18.7 Gibbs現象 233 18.8 推廣 234 第19講 多元函數的極限和連續性 237 19.1 空間Rn的拓撲 237 19.2 Rn中的序列極限 240 19.3 多元函數的極限 242 19.4 多元函數的連續性 245 19.5 線性映射空間 246 第20講 平面和空間的定向及由向量所張的面積和體積 253 20.1 R2中兩個向量所張的面積 253 20.2 R3中的向量積 254 20.3 R2和R3中的定向 255 20.4 R3中的混合積和三個向量所張的體積 257 第21講 空間解析幾何簡介 259 21.1 平面方程 259 21.2 直線方程 261 21.3 R2中的二次*線 263 21.4 二次*面 267第22講 多元微分學的基本概念 1 22.1 偏導數和方向導數 1 22.2 全導數和梯度 2 22.3 復合求導和逆映射求導 8 22.4 高階導數 11第23講 多元微分學的基本定理 16 23.1 中值定理 16 23.2 Taylor公式 17 23.3 隱函數定理 20 23.4 反函數定理 24第24講 多元微分學的應用 26 24.1 *線的切線和法線或法平面 26 24.2 梯度與*面的切面和法線 29 24.3 極值 29 24.4 條件極值的Lagrange乘子法 32 24.5 函數相關 35 24.6 齊次函數的Euler公式 36第25講 *線積分 39 25.1 *線的弧長 39 25.2 *線積分概念和典型實例 44 25.3 *線積分的實例 46 25.4 *線積分的計算 49 25.5 Rn中的*線積分 50第26講 重積分 52 26.1 平面集合的面積概念 52 26.2 二重積分概念 62 26.3 二重積分的可積性 65 26.4 二重積分化為累次積分 69 26.5 二重積分化為累次積分（續） 72 26.6 變量替換的應用 75 26.7 Jacobi行列式的幾何意義 78 26.8 二重積分應用舉例 80 26.9 三重及更高重積分 81 26.10 關于二重積分的評議 81第27講 *面積分 83 27.1 *面概念 83 27.2 *面的定向 85 27.3 *面的面積 87 27.4 *面積分概念 90第28講 多元積分公式 95 28.1 Green公式 95 28.2 Gauss公式 100 28.3 Stokes公式 101 28.4 重積分變量替換公式的證明 （C2條件下） 103第29講 場論初步 112 29.1 數量場的梯度 112 29.2 通量與散度 112 29.3 環量與旋度 114第30講 歐氏空間中的微分形式和積分公式 117 30.1 *中微分形式的引入 117 30.2 對偶空間 120 30.3 反變的和共變的 122 30.4 *是反變的，*是共變的 125 30.5 應用于積分概念 129 30.6 積分基本公式 130第31講 積分的連續性 133 31.1 定積分的連續性 133 31.2 線積分的連續性 134 31.3 重積分的連續性 137 31.4 *面積分的連續性 138 31.5 積分號下取極限 141 31.6 磨光法的應用 147 31.7 重積分變量替換公式證明完成（C1條件下） 151第32講 廣義重積分 160 32.1 廣義二重積分概念 160 32.2 收斂性蘊涵絕對收斂性 161 32.3 典型例子與收斂定理 164 32.4 化為累次積分 166第33講 微分流形 174 33.1 拓撲空間 174 33.2 連通性、緊性、分離性和可分性 177 33.3 微分流形 180 33.4 單位分解 184第34講 流形上的微積分 185 34.1 回顧歐氏空間中重積分變量替換公式 185 34.2 Rn中在給定點處的 （切）向量 186 34.3 微分流形的切向量和余切向量 188 34.4 可微映射的導射 189 34.5 外代數 194 34.6 切叢的微分結構 196 34.7 流形上的微分形式 198 34.8 單形和鏈 202 34.9 流形上的積分 207 34.10 流形上的 Stokes定理 208附錄 212
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