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千年難題 版權信息
- ISBN：9787542882851
- 條形碼：9787542882851 ; 978-7-5428-8285-1
- 裝幀：平裝
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
千年難題 本書特色
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7款主題藏書票，每本書隨機掉落一款！
文本優美輕盈，只需要基礎數學知識，就能沉浸其中！
千年難題 內容簡介
2000年，美國馬薩諸塞州劍橋的克萊基金會發起了一場頗具歷史意義的競賽： 任何能夠解決七大數學難題之一的人，在專家認定其解答正確之后，都可以獲得100萬美元的獎金。對這七大問題的解答（或者解答不出）將對21世紀的數學研究產生巨大的影響。這些問題涉及純粹數學和應用數學中大多數迷人的領域： 從拓撲學和數論到粒子物理學、密碼學、計算理論甚至飛機設計。著名的數學闡釋者德夫林在本書中向我們講了這七大難題的內容、由來以及它們對數學和科學的意義。
千年難題 目錄
I 序 言
001 第零章 挑戰已經發出
019 第1章 素數的音樂：黎曼假設
063 第二章 構成我們的是場：楊-米爾斯理論和質量缺口假設
108 第三章 當計算機無能為力的時候：P對NP 問題
137 第四章 制造波動：納維-斯托克斯方程
164 第五章 關于光滑行為的數學：龐加萊猜想
197 第六章 解不出方程也明白：伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想
220 第七章 沒有圖形的幾何學：霍奇猜想
238 進一步的讀物
240 注 釋
展開全部
千年難題 相關資料
求知欲是人類的本性之一。遺憾的是，已確立的各種宗教不再提供令人滿意的答案，這就轉變成對確定性和真理的一種需求。這就是數學為什么而運作，為什么人們為之奉獻終身。它是對真理的
渴望，是對驅動著數學家的數學之美妙和優雅的回應。
——克萊（Landon Clay），克萊千年難題的贊助人
2000年5月24日，在巴黎法蘭西學院（Collège de France）的演講大廳，世界著名的英國數學家邁克爾·阿蒂亞爵士（Sir Michael Atiyah）和美國數學家泰特（John Tate）宣布，對首先解決七個最困難的懸而未決的數學問題中任何一個的人或團體將授予100萬美元的獎金。他們說，這些問題從此將被稱為“千年難題”（Millennium Problems）。
這700萬美元的獎金——每個問題100萬美元，解答在時間上沒有限制——是由一位富有的美國共同基金投資公司巨頭和業余數學愛好者克萊捐贈的。一年前，克萊就建立了克萊數學促進會（Clay Mathematics Institute，簡稱CMI），這是設在他的家鄉馬薩諸塞州劍橋的一個非營利性組織，旨在促進和支持數學研究。CMI組織了巴黎會議，并將掌管千年大獎的角逐。
這七大難題是由一個國際知名數學家小組經過數月選出的。這個小組由克萊促進會首任主席賈（Arthur Jaffe）博士領導，其成員由CMI 的科學顧問委員會選定。賈菲曾任美國數學學會會長，現在是哈佛大學的克萊數學教授。選題委員會一致認為選出的這七大難題是當代數學中最重要的未解決問題。對此大多數數學家都會贊同。這些問題位于數學主要領域的中心，全世界許多最優秀的數學家曾試圖解決它們，但都無功而返。
擬訂這個問題表的專家之一是安德魯· 懷爾斯爵士（Sir Andrew Wiles），費馬大定理這個有330年歷史的難題沒被選入的唯一理由顯然是因為六年前已被他解決了。其他的專家，除了賈菲之外，還有阿蒂亞和在巴黎作了演講的泰特，以及法國的孔涅（Alain Connes）和美國的威滕（Edward Witten）。
很奇怪，克萊本人不是數學家。作為哈佛大學的本科生，他主修的是英文。然而他在其母校資助設立了一個數學教席，接著創辦了克萊數學促進會（目前他的捐贈達到9000萬美元）和現在的千年大獎。他說之所以有這些創舉，部分是因為他看到一個如此重要的學科，從公眾得到的資助卻如此之少。通過提供一大筆獎金并邀請世界新聞界參加宣布解題競賽開始的會議，克萊確保這些千年難題——乃至整個數學——會引起國際媒體的注意。但是為什么要到巴黎開會？
求知欲是人類的本性之一。遺憾的是，已確立的各種宗教不再提供令人滿意的答案，這就轉變成對確定性和真理的一種需求。這就是數學為什么而運作，為什么人們為之奉獻終身。它是對真理的
渴望，是對驅動著數學家的數學之美妙和優雅的回應。
——克萊（Landon Clay），克萊千年難題的贊助人
2000年5月24日，在巴黎法蘭西學院（Collège de France）的演講大廳，世界著名的英國數學家邁克爾·阿蒂亞爵士（Sir Michael Atiyah）和美國數學家泰特（John Tate）宣布，對首先解決七個最困難的懸而未決的數學問題中任何一個的人或團體將授予100萬美元的獎金。他們說，這些問題從此將被稱為“千年難題”（Millennium Problems）。
這700萬美元的獎金——每個問題100萬美元，解答在時間上沒有限制——是由一位富有的美國共同基金投資公司巨頭和業余數學愛好者克萊捐贈的。一年前，克萊就建立了克萊數學促進會（Clay Mathematics Institute，簡稱CMI），這是設在他的家鄉馬薩諸塞州劍橋的一個非營利性組織，旨在促進和支持數學研究。CMI組織了巴黎會議，并將掌管千年大獎的角逐。
這七大難題是由一個國際知名數學家小組經過數月選出的。這個小組由克萊促進會首任主席賈（Arthur Jaffe）博士領導，其成員由CMI 的科學顧問委員會選定。賈菲曾任美國數學學會會長，現在是哈佛大學的克萊數學教授。選題委員會一致認為選出的這七大難題是當代數學中最重要的未解決問題。對此大多數數學家都會贊同。這些問題位于數學主要領域的中心，全世界許多最優秀的數學家曾試圖解決它們，但都無功而返。
擬訂這個問題表的專家之一是安德魯· 懷爾斯爵士（Sir Andrew Wiles），費馬大定理這個有330年歷史的難題沒被選入的唯一理由顯然是因為六年前已被他解決了。其他的專家，除了賈菲之外，還有阿蒂亞和在巴黎作了演講的泰特，以及法國的孔涅（Alain Connes）和美國的威滕（Edward Witten）。
很奇怪，克萊本人不是數學家。作為哈佛大學的本科生，他主修的是英文。然而他在其母校資助設立了一個數學教席，接著創辦了克萊數學促進會（目前他的捐贈達到9000萬美元）和現在的千年大獎。他說之所以有這些創舉，部分是因為他看到一個如此重要的學科，從公眾得到的資助卻如此之少。通過提供一大筆獎金并邀請世界新聞界參加宣布解題競賽開始的會議，克萊確保這些千年難題——乃至整個數學——會引起國際媒體的注意。但是為什么要到巴黎開會？
答案是歷史。正是在100 年前的1900 年，巴黎是一次類似事件的發生地。起因是第二屆國際數學家大會。8月8日，德國數學家希爾伯特（David Hilbert）——數學領域中的一位國際領袖，應邀發表演講，他在演講中提出了一個20世紀數學的議程表。希爾伯特列舉了他判定為數學中意義最重大的23 個未解決難題。它們隨后被稱為“希爾伯特問題”，是指引數學家邁向未來的燈塔。
希爾伯特陳述的問題中有少數幾個比他預料的要容易，不久就被解決了。還有幾個問題太不準確而不能得到一個確定的答案。但是絕大多數問題確實是十分困難的數學問題，這些“真正的”希爾伯特問題中的任一個能得到解答將立即使解答者在數學界聲譽鵲起，完全就像獲得諾貝爾獎一樣意義重大。而且還有這樣的好處：這些獲得成功的數學家能立刻享有他們（所有的解答者都是男性）成功帶來的好處，而不必等待數年之久——在數學界確認解答正確之時，榮譽同時到達。
到2000年，所有真正的希爾伯特問題除了一個之外都已被解決，這正是數學家再一次總結的適宜時間。哪些是第二個千年結束之時最有價值的問題？哪些未解決問題是每個人都認為的數學之珠穆朗瑪峰？
巴黎會議部分是對創造歷史的一種嘗試，但并非完全是。正如懷爾斯指出的，在擬訂千年難題表時CMI 的目的與希爾伯特并不完全相同。“ 希爾伯特試圖用他的問題引導數學的發展，”懷爾斯說，“我們則試圖記載重大的未解決難題。在數學中有著一些大問題，它們很重要，但很難從中孤立出單獨的問題來在這張列表中占有一席之地。”換句話說，千年難題不可能向你提供關于數學走向的思想。但是它們十分精彩地簡述了現今的前沿在何處。
七大難題
那么千年難題是些什么問題？當今數學的狀態使得它們沒有一個能在缺乏相當多背景知識的情況下被正確地描述出來。這就是為什么你是在閱讀一本書而不是一篇文章。但現在我至少能為你提供它們的名稱，并讓你對它們有個初步印象。
黎曼假設 這是1900年希爾伯特列出的問題中唯一一個至今還未解決的問題。全世界的數學家都認為這個關于一特定方程之可能解的看上去晦澀難懂的問題，是數學中意義最重大的未解決難題。
1859年，德國數學家黎曼（Bernhard Riemann）試圖回答數學中最古老的問題之一：如果素數在全體計數數中的分布具有一定的模式，那么這個模式是什么？在這個過程中，他提出了這個假設。大約公元前350年，著名的希臘數學家歐幾里得（Euclid）證明了素數是無窮盡的，即存在無窮多個素數。此外，由觀察可知，當你向大整數方向行進時，素數好像越來越“稀疏”、越來越少見了。但是你能說得比這更多些嗎？正如我們將在第一章中看到的，答案是肯定的。黎曼假設的證明將加深我們對素數和對描述素數的方法的理解。它遠遠不只是滿足數學家的好奇心。此外，它在數學中的影響遠遠超過了素數的分布模式。它還將在物理學和現代通信技術中產生影響。
楊-米爾斯理論和質量缺口假設 數學發展的許多動力來自科學，特別是來自物理學。例如，由于物理學的需要，17世紀數學家牛頓（Isaac Newton）和萊布尼茨（Gottfried Leibniz）發明了微積分。通過為科學家提供了描述連續運動的一種數學上的精確方法，微積分徹底改變了科學。雖然牛頓和萊布尼茨
的方法奏效了，但人們大約花了250年的時間才使微積分背后的數學得以嚴格地建立起來。今天，在過去大約半個世紀以來發展起來的物理學的某些理論中，存在著類似的情況。這第二道千年難題向數學家發出再次趕上物理學家的挑戰。
楊-米爾斯方程來自量子物理學。大約50年之前，物理學家楊振寧和米爾斯（Robert Mills）在描述除引力之外所有的自然力時建立了這些方程。他們做了一項杰出的工作。來自這些方程的預測描述了在世界各地實驗室中觀察到的粒子。雖然從實踐的角度說楊-米爾斯理論成功了，但它作為一個數學理論卻還沒有研究出來。在某種程度上，這第二道千年難題是要求從公理開始，補上這個理論的數學發展。這種數學將必須符合一些在實驗室中已被觀察到的情況。特別是，它將（在數學上）確定“質量缺口假設”，這涉及楊-米爾斯方程的假設存在的解。這個假設已被大多數物理學家接受，它提供了電子為什么有質量的一種解釋。質量缺口假設的證明被看作對楊-米爾斯理論的數學發展的一個極好的檢驗。它同時也使物理學家受益。他們都不能解釋電子為什么有質量；他們僅僅觀察到它們有質量。
P對NP問題 這是唯一一個關于計算機的千年難題。對此，許多人會覺得很意外。“畢竟，”他們會問，“現在大多數數學問題不都是在計算機上做的嗎？”不，事實上不是。的確，絕大多數數值計算是在計算機上完成的，但是，數值計算僅僅是數學的很小一部分，而不是數學的主要部分。
雖然電子計算機出自數學——在20世紀30年代，首臺計算機建成之前數年，有關數學的最后部分被解決——但計算機領域迄今僅僅產生了兩個值得包含在世界最重大問題之中的數學問題。這兩個問題涉及的計算是作為概念上的過程而不是任何特殊的計算設備，然而這不妨礙它們對真正的計算發揮重要的影響。希爾伯特把它們中的一個作為第10個問題寫在他的1900年列表上。這個問題在1970年被解決，它要求證明某類方程不能由計算機解出。
接下來的一個問題是最近提出的。這個問題是關于計算機解決問題的效率的。計算機科學家把計算問題分成兩種主要類型：P類型任務能在計算機上有效地處理；E類型任務可能要花費幾百萬年去計算。遺憾的是，絕大多數出現在工業和商業中的大型計算任務屬于第三類——NP類型，它似乎是P和E的中間類型。但是它是這樣嗎？NP是否僅僅是一種偽裝的P類型？大多數專家相信NP與P是不相同的（即NP類型的計算任務與P類型的任務并不相同）。但是經過30年努力之后，沒有人能夠證明NP與P是否相同。一個肯定的解答將對工業、商業和電子通信（包括萬維網）產生重大的影響。
納維-斯托克斯方程 納維-斯托克斯方程描述了液體和氣體（如船體周圍的水或飛機機翼上方的空氣）的運動。它們是一種數學家所謂的偏微分方程。學科學和工程的大學生照例要學習如何求解偏微分方程，而納維-斯托克斯方程看上去就像大學微積分課本中作為練習給出的方程。但外表是有欺騙性的。
直到現在，任何人都沒有線索來找出這些偏微分方程的求解公式——即使這樣的公式是存在的。
這個失敗并沒有妨礙船舶工程師設計出高效的船舶，也沒有妨礙航空工程師制造出性能較好的飛機。雖然沒有求解方程的一般公式（比方說，就像二次方程求根公式那樣的一般公式），設計高性能船舶和飛機的工程師可以用計算機以某種近似方法求解這些方程的特例。像楊-米爾斯問題一樣，納維-斯托克斯問題是數學家要趕上其他人所做事的另一種情況——這兒是趕上工程師。
“趕上”的說法可能給人這樣的印象，即某些問題的重要性僅僅是對那些不愿意被甩在后面的數學家的自尊心而言的。但是這樣的想法會誤解科學知識發展的方式。由于數學的抽象性，關于一個現象的數學知識通常代表了對它的最深刻和最可靠的理解。對事物理解得越深刻，我們就越能更好地利用它。正如質量缺口假設的數學證明將是物理學上的一個重要進展，納維-斯托克斯方程的解出將同樣導致船舶和航空工程的進展。
龐加萊猜想 這個問題是在大約一個世紀之前由法國數學家龐加萊（Henri Poincaré）首次提出的。它開始于一個看起來很簡單的問題：你怎樣才能把一個蘋果和一個炸面圈區別開來？是的，這好像不是一個值100萬美元賞金的數學問題。使它變得困難的是，龐加萊要求一個能在更一般情況中采用的數學回答。這樣就排除了許多明顯的解決方法，比如只要把每一個都咬一口。下面是龐加萊自己對這個問題的回答。如果你在一個蘋果的表面繃上一根橡皮帶子，你就能通過慢慢地移動它，不扯斷它，也不讓它離開表面，而將它收縮成一點。另一方面，請你想象把同樣一根橡皮帶子以某種方式緊繃在炸面圈的適當位置上，然而不存在一種方法，在既不弄斷橡皮帶子也不弄破炸面圈的情況下使它收縮成為一點。令人驚訝的是，當你問同樣這個橡皮帶思想能否區分蘋果和炸面圈的四維類似物（這才是龐
加萊真正要探尋的）時，竟然沒有人能夠給出回答。龐加萊猜想是說橡皮帶思想確實能識別出四維蘋果。
這個問題位于當今數學最迷人的分支之一，即拓撲學的中心。除了它的內在的而且有時是怪異的魅力——例如，它告訴你一些深刻而基本的方式，在這些方式中，炸面圈與咖啡杯是一回事——之外，拓撲學在數學的許多領域中都有應用，這一學科中取得的進展對硅芯片和其他電子器件的設計和制造，對運輸業，對理解大腦，甚至對電影工業都有影響。
伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想 隨著這個問題，我們回到了與黎曼假設同樣的數學領域。自從古希臘時代以來，數學家一直在致力于求出像
x2 y2=z2
這樣關于整數x、y、z的代數方程的所有解的問題。
對這個特定的方程，歐幾里得給出了完整的解答——也就是說，他發現了一個能產生所有解的公式。在1994年，懷爾斯證明對任何大于2的指數n，方程
xn yn=zn
沒有非零整數解。（這個結果被稱為費馬大定理。）但是對更加復雜的方程，要弄清是否存在解或者是什么樣的解，就變得極其困難了。伯奇和斯溫納頓- 戴爾猜想提供了關于某些困難情況下的可能解的信息。
正如同它有關聯的黎曼假設一樣，對這一問題的解答將增加我們對素數的全面理解。在數學之外它是否比較有影響還不清楚。對伯奇和斯溫納頓- 戴爾猜想的證明可能僅僅對數學家是重要的。
另一方面，把這個問題或任何數學問題歸入“沒有實際用處”是愚蠢的。不可否認，在“純數學”的抽象問題上進行研究的數學家的工作熱情通常更多地是由好奇心而不是由實際效用所激發的。但是純數學上的發現一次又一次地被證實有著重要的實際應用。
況且，數學家為解決某一問題而研究出來的方法往往被證實對一些完全不同的問題具有應用。懷爾斯對費馬大定理的證明，完全就是這種情況。同樣，對伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的一個證明幾乎肯定會涉及將來被發現有其他用處的新思想。
霍奇猜想 這是另一個關于拓撲學的“失落的一角”問題。從總體上說，這個問題是關于復雜的數學對象如何能由較簡單的對象構成。在所有的千年難題中，這或許是非專業人士最難于理解的問題了。與其說是因為這個問題的內在直觀性比其他問題更加隱晦或者據認為它比其他六個問題更困難，倒不如說霍奇猜想是與數學家對某些抽象對象進行分類的技能有關的高度專業化問題。它從這門學科的深處產生，處于高度抽象的水平上，理解它的唯一方法是通過那些抽象程度逐漸增加的各個層次。這就是為什么我把這個問題放在了最后。
通向這個猜想之路始于20世紀上半葉。當時數學家發現了研究復雜對象形狀的有力方法。基本的想法是把維數逐漸增加的簡單幾何砌塊黏合在一起，來逼近一個給定對象的形狀，問題是你能逼近到什么程度。這個技術原來是如此有用，以至于它以許多不同的方式被推廣，最終導致了使數學家能對許多不同種類的對象進行整理分類的有力工具的出現。遺憾的是，這種推廣模糊了這個過程的幾何源頭。數學家必須加上去的部件又沒有一點幾何解釋。霍奇猜想斷言，對于這些對象中的一類重要對象（稱作射影代數簇），被稱作霍奇閉鏈的部件不過是幾何部件（稱作代數閉鏈）的組合。
這些就是千年難題——在第三個千年到來之時數學中意義最重大和最有挑戰性的未解決難題。如果從我的描述中你居然得出了有關它們的什么結論，那么這個結論很可能是：它們看來極其深奧難懂。
千年難題 作者簡介
[美] 基思·德夫林
Keith Devlin
斯坦福大學人類科學與技術高級研究所聯合創始人、執行董事，斯坦福大學語言與信息研究中心行政主任、數學系教授，美國科學院數學科學教育委員會委員，美國科學促進會成員。
他定期為美國全國公共電臺的“周末版”節目撰寫稿件（在節目中他被稱作“數學小子”），而且出現在“說說國民”“科學星期五”等廣播節目中。
2007年，基思·德夫林被授予卡爾·薩根科普獎。
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