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非線性動力學系統高性能計算方法 版權信息
- ISBN：9787030711250
- 條形碼：9787030711250 ; 978-7-03-071125-0
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
非線性動力學系統高性能計算方法 內容簡介
本書內容來自團隊十余年來在非線性動力學系統計算方法方面的研究成果。全書共8章。第1章對非線性動力學系統計算方法進行了概述，以4個航空航天領域的典型問題作為全書的引導；第2～4章從經典Duffing方程、非線性氣動彈性問題入手，介紹了全局法中的時域配點法、高維諧波平衡法的混淆機理、快速諧波平衡技術，并在第5章基于近地航天器的相對運動問題給出了時域配點法的應用實例；第6、7章討論了局部法中的局部變分迭代法及局部變分迭代配點法，同樣在第8章基于軌道遞推與轉移問題給出局部變分迭代法的應用實例供讀者參考。 本書可供力學、航空、航天、機械、電子及相關專業的高年級本科生和研究生學習，也可供從事相關專業的科研人員閱讀參考。
非線性動力學系統高性能計算方法 目錄
目錄
第1章 緒論 1
1.1 非線性動力學系統計算方法概述 /1
1.2 航空航天領域的典型問題 /5
1.2.1 經典Duffing方程 /6
1.2.2 非線性氣動彈性問題 /8
1.2.3 軌道遞推與轉移問題 /10
1.2.4 近地航天器的相對運動 /12
1.3 本書的內容安排 /13
參考文獻 /15
第2章 時域配點法 19
2.1 引言 /19
2.2 時域配點法求解Duffing方程 /21
2.3 時域配點法和高維諧波平衡法的等價性分析 /23
2.3.1 諧波平衡法 /24
2.3.2 高維諧波平衡法 /26
2.3.3 時域配點法與高維諧波平衡法的等價性證明/29
2.4 拓展時域配點法 /32
2.4.1 使用響應曲線證實非物理解的存在 /33
2.4.2 Monte Carlo模擬法：拓展時域配點法消除非物理解 /35
2.5 本章小結 /36
參考文獻 /36
第3章 高維諧波平衡法的混淆機理 39
3.1 引言 /39
3.2 二元機翼振動的數學模型 /41
3.3 半解析法 /43
3.3.1 諧波平衡法 /44
3.3.2 時域配點法 /47
3.4 高維諧波平衡法的“混淆規則” /50
3.5 數值算例 /56
3.5.1 RK4的結果 /56
3.5.2 混淆現象的數值分析 /58
3.5.3 使用參數掃描法消除混淆 /62
3.5.4 時域配點法的精度 /64
3.6 本章小結 /66
3.7 本章附錄 /66
參考文獻 /68
第4章 快速諧波平衡技術 71
4.1 引言 /71
4.2 諧波平衡法 /71
4.3 顯式雅可比矩陣的推導 /73
4.4 結果與分析 /77
4.4.1 RK4的結果 /77
4.4.2 數值解的譜分析 /77
4.4.3 調頻對諧波平衡法精度的影響 /79
4.4.4 HBEJ和HBNJ的效率比較 /82
4.4.5 使用數值算例分析諧波平衡法的精度 /83
4.5 本章小結 /85
參考文獻 /86
第5章 全局法及其典型應用 88
5.1 引言 /88
5.2 周期軌道求解方法 /89
5.3 時域配點法迭代初值的選取 /94
5.3.1 Clohessy－Wiltshire方程 /94
5.3.2 Tschauner－Hempel方程 /96
5.4 時域配點法求解方案評估 /96
5.4.1 閉合投影軌道 /97
5.4.2 閉環控制策略 /97
5.5 結果與分析 /99
5.6 本章小結 /106
5.7 本章附錄 /106
參考文獻 /108
第6章 變分迭代法：全局估計到局部估計 110
6.1 引言 /110
6.2 變分迭代方法回顧 /110
6.2.1 Picard方法 /112
6.2.2 Adomian解耦法 /113
6.2.3 變分迭代法 /114
6.3 變分迭代法、Picard法和Adomian解耦法的數學關聯 /115
6.4 局部變分迭代 /118
6.4.1 全局變分迭代法的缺陷 /118
6.4.2 局部變分迭代法 /121
6.5 本章小結 /126
參考文獻 /126
第7章 局部變分迭代配點法 127
7.1 引言 /127
7.2 局部變分迭代法及其變型 /128
7.2.1 算法一：消除拉格朗日乘子 /128
7.2.2 算法二：拉格朗日乘子的多項式估計 /131
7.2.3 算法三：一般拉格朗日乘子的指數估計 /133
7.3 時域配點法 /133
7.4 局部變分迭代與配點法結合 /134
7.4.1 算法一弱形式 /135
7.4.2 算法二弱形式 /135
7.4.3 算法三弱形式 /138
7.5 數值算例 /138
7.5.1 Duffing方程 /139
7.5.2 Lorenz方程 /142
7.5.3 耦合Duffing方程 /144
7.6 本章小結 /147
參考文獻 /148
第8章 局部法及其典型應用 149
8.1 引言 /149
8.2 RungeKutta方法 /149
8.2.1 二元機翼振動的數學模型 /150
8.2.2 Henon法 /153
8.2.3 算例與分析 /154
8.2.4 極限環運動 /155
8.2.5 混沌響應 /155
8.2.6 暫態混沌響應 /157
8.3 修正變分迭代配點法 /160
8.3.1 修正變分迭代法 /160
8.3.2 修正變分迭代法與配點法結合 /162
8.3.3 求解軌道遞推問題 /165
8.4 變步長局部變分迭代配點法 /171
8.4.1 變步長方案 /171
8.4.2 算例與分析 /172
8.5 擬線性化變分迭代配點法 /183
8.5.1 非線性邊值問題的擬線性化 /183
8.5.2 Lambert問題求解 /184
8.5.3 限制性三體軌道問題求解 /191
8.6 本章小結 /193
8.7 本章附錄 /194
參考文獻 /195
第1章 緒論 1
1.1 非線性動力學系統計算方法概述 /1
1.2 航空航天領域的典型問題 /5
1.2.1 經典Duffing方程 /6
1.2.2 非線性氣動彈性問題 /8
1.2.3 軌道遞推與轉移問題 /10
1.2.4 近地航天器的相對運動 /12
1.3 本書的內容安排 /13
參考文獻 /15
第2章 時域配點法 19
2.1 引言 /19
2.2 時域配點法求解Duffing方程 /21
2.3 時域配點法和高維諧波平衡法的等價性分析 /23
2.3.1 諧波平衡法 /24
2.3.2 高維諧波平衡法 /26
2.3.3 時域配點法與高維諧波平衡法的等價性證明/29
2.4 拓展時域配點法 /32
2.4.1 使用響應曲線證實非物理解的存在 /33
2.4.2 Monte Carlo模擬法：拓展時域配點法消除非物理解 /35
2.5 本章小結 /36
參考文獻 /36
第3章 高維諧波平衡法的混淆機理 39
3.1 引言 /39
3.2 二元機翼振動的數學模型 /41
3.3 半解析法 /43
3.3.1 諧波平衡法 /44
3.3.2 時域配點法 /47
3.4 高維諧波平衡法的“混淆規則” /50
3.5 數值算例 /56
3.5.1 RK4的結果 /56
3.5.2 混淆現象的數值分析 /58
3.5.3 使用參數掃描法消除混淆 /62
3.5.4 時域配點法的精度 /64
3.6 本章小結 /66
3.7 本章附錄 /66
參考文獻 /68
第4章 快速諧波平衡技術 71
4.1 引言 /71
4.2 諧波平衡法 /71
4.3 顯式雅可比矩陣的推導 /73
4.4 結果與分析 /77
4.4.1 RK4的結果 /77
4.4.2 數值解的譜分析 /77
4.4.3 調頻對諧波平衡法精度的影響 /79
4.4.4 HBEJ和HBNJ的效率比較 /82
4.4.5 使用數值算例分析諧波平衡法的精度 /83
4.5 本章小結 /85
參考文獻 /86
第5章 全局法及其典型應用 88
5.1 引言 /88
5.2 周期軌道求解方法 /89
5.3 時域配點法迭代初值的選取 /94
5.3.1 Clohessy－Wiltshire方程 /94
5.3.2 Tschauner－Hempel方程 /96
5.4 時域配點法求解方案評估 /96
5.4.1 閉合投影軌道 /97
5.4.2 閉環控制策略 /97
5.5 結果與分析 /99
5.6 本章小結 /106
5.7 本章附錄 /106
參考文獻 /108
第6章 變分迭代法：全局估計到局部估計 110
6.1 引言 /110
6.2 變分迭代方法回顧 /110
6.2.1 Picard方法 /112
6.2.2 Adomian解耦法 /113
6.2.3 變分迭代法 /114
6.3 變分迭代法、Picard法和Adomian解耦法的數學關聯 /115
6.4 局部變分迭代 /118
6.4.1 全局變分迭代法的缺陷 /118
6.4.2 局部變分迭代法 /121
6.5 本章小結 /126
參考文獻 /126
第7章 局部變分迭代配點法 127
7.1 引言 /127
7.2 局部變分迭代法及其變型 /128
7.2.1 算法一：消除拉格朗日乘子 /128
7.2.2 算法二：拉格朗日乘子的多項式估計 /131
7.2.3 算法三：一般拉格朗日乘子的指數估計 /133
7.3 時域配點法 /133
7.4 局部變分迭代與配點法結合 /134
7.4.1 算法一弱形式 /135
7.4.2 算法二弱形式 /135
7.4.3 算法三弱形式 /138
7.5 數值算例 /138
7.5.1 Duffing方程 /139
7.5.2 Lorenz方程 /142
7.5.3 耦合Duffing方程 /144
7.6 本章小結 /147
參考文獻 /148
第8章 局部法及其典型應用 149
8.1 引言 /149
8.2 RungeKutta方法 /149
8.2.1 二元機翼振動的數學模型 /150
8.2.2 Henon法 /153
8.2.3 算例與分析 /154
8.2.4 極限環運動 /155
8.2.5 混沌響應 /155
8.2.6 暫態混沌響應 /157
8.3 修正變分迭代配點法 /160
8.3.1 修正變分迭代法 /160
8.3.2 修正變分迭代法與配點法結合 /162
8.3.3 求解軌道遞推問題 /165
8.4 變步長局部變分迭代配點法 /171
8.4.1 變步長方案 /171
8.4.2 算例與分析 /172
8.5 擬線性化變分迭代配點法 /183
8.5.1 非線性邊值問題的擬線性化 /183
8.5.2 Lambert問題求解 /184
8.5.3 限制性三體軌道問題求解 /191
8.6 本章小結 /193
8.7 本章附錄 /194
參考文獻 /195
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非線性動力學系統高性能計算方法 節選
第1章緒論 1.1非線性動力學系統計算方法概述 工程中幾乎所有的問題本質上都是非線性的，線性系統是在一定假設條件下對非線性系統的理想化近似。對于非線性動力學系統而言，一般由以時間為自變量的非線性微分方程描述。根據研究對象的自由度劃分，非線性動力學系統可分為有限自由度系統（或集中質量系統），由一個或者一組非線性常微分方程所描述；無限自由度系統（或分布質量系統），由一個或一組非線性偏微分方程所描述。有限自由度系統只含有一個時間自變量，因此動力學方程表現為常微分方程的形式，研究對象一般用質點、質點系或剛體代替。例如，在軌道上運動的衛星與地球組成的系統，在不考慮其他星體引力作用時可以看成兩個質點構成的質點系，此時衛星位置可用三個坐標完全確定，如果考慮衛星姿態，此時衛星看成具有六個自由度的剛體。但是不論將衛星看成質點還是剛體，本質上都是由非線性常微分方程所描述的有限自由度系統。無限自由度系統除了時間自變量之外還有其他自變量，對于力學系統來說，通常以空間坐標為其他自變量，因此動力學方程表現為偏微分方程的形式，研究對象表現為彈性板、殼、梁，或者流體等連續介質。例如，研究柔性航天器、飛機氣動彈性變形等問題時，所面臨的就是這類無限自由度系統。通常情況下，無限自由度系統可以通過空間離散的方法（如假設模態法）退化為有限自由度系統，得到退化后的只有一個時間自變量的微分方程，因此，只需要處理非線性微分方程即可。 本書主要討論非線性常微分方程動力學系統的高性能解算方法。在實際問題中，很多動力學系統用以時間為自變量的常微分方程組x＝f（x，t）描述。其中，x是N維狀態矢量，它是關于時間t的函數。根據系統中是否顯含時間t，可分為自治系統和非自治系統。工程中絕大多數問題都是非線性的，即f是x的非線性函數。由于非線性的存在破壞了線性系統疊加性，方程組x＝f（x，t）精確解析解一般不可得。所以非線性動力學系統的研究主要依賴近似解法或數值解法。 對非線性動力學系統的求解需求由來已久，*早可以追溯到300多年前牛頓時代。1687年，牛頓發表了其*重要的著作《自然哲學的數學原理》，總結了近代天體力學和地面力學的成就，提出了力學的三大定律和萬有引力定律，使經典力學成為一個完整的理論體系。牛頓在這本著作中提出了一個基礎的天體力學問題： 如果兩個物體以連心力互相作用，力的大小與它們的距離平方呈反比，那么兩個物體會如何運動？這就是天體力學領域的“二體問題”。17世紀下半葉，牛頓和萊布尼茨發明了微積分，為動力學的數學化描述奠定了基礎。二體問題的動力學方程可用經典牛頓定律得出，如圖1－1所示，其中G為萬有引力常數，r為兩質點的距離。 圖1－1二體問題及其數學描述 1710年，瑞士數學家約翰 伯努利首先解出了二體問題的解析解，得到了問題的答案“如果在一個質點上觀察另一個質點，那么另一個質點的軌道一定是一條直線，或一條拋物線，或一個橢圓，或雙曲線的一支”。二體問題也是極少數可以精確解析求解的非線性動力學方程的經典案例。 從歷史發展的脈絡來看，非線性動力學系統的求解方法經歷了解析法、早期數值法、近似解析法、計算機輔助數值法四個時期。17世紀末，以嚴格的微分方程形式對動力學系統進行描述后，如何對微分方程進行求解是直接面臨的難題，以牛頓、伯努利為代表的科學家利用變換與積分等手段對特殊類別的方程進行了解析求解。然而，絕大多數的非線性方程無法求解甚至不存在閉合解析解，這種情況下，18世紀上半葉，泰勒、歐拉等開展了早期的數值求解方法研究，如歐拉積分法就是建立在差分原理上逐步遞推的數值方法，沿著這條思路發展出了RungeKutta法等耳熟能詳的經典方法。受限于手推計算，早期數值計算的精度不高，解算過程極其煩瑣。近似解析法出現在19世紀。眾所周知，二體問題早在牛頓時代已被解決，根據牛頓的萬有引力定律，學過高中物理的學生都不難列出三體問題的動力學方程，它是含有九個方程的微分方程組。但是，求解這個方程則是難上加難。在著名的三體問題牽引下，Poincare提出了攝動法等近似解析法。攝動法又稱小參數展開法，利用小參數展開求解非線性方程的漸近近似解析解。近似解析法使用過程中需要大量的公式推導，往往只能進行前幾階計算，且對強非線性問題求解效果不佳。20世紀中葉，現代計算機技術的出現為非線性動力學系統的求解打開了一扇窗戶，依托計算機輔助計算，數值計算方法得到了前所未有的蓬勃發展。 在飛機、導彈等國防工業需求牽引下，計算機輔助數值計算的研究熱潮首先出現在固體、流體等連續介質力學領域，求解對象在數學本質上為偏微分方程。求解思路是通過有限差分法、有限元法等將空間坐標離散，得到相應的代數方程組（靜力學問題）或者常微分方程組（動力學問題）。有限差分法是*早發展的空間離散算法，基于廣義加權殘余法的思想，通過離散化空間域中殘差為零的不同處理形式，發展了一系列數值算法，其中主要包括： ① Galerkin法（Galerkin method），試函數與權函數可以相同也可以不同，但二者均為任意階連續的全局函數，當試函數與權函數不同時，即為Petrov－Galerkin法（Petrov－Galerkin method）；② 配點法（collocation method），試函數采用任意階連續的局部或全局函數，權函數采用狄拉克δ函數；③ 有限體積法（finite volume method），試函數采用任意階連續的局部或全局函數，權函數采用局部Heaviside階躍函數；④ 初等Galerkin有限元法（primal Galerkin finite element method），試函數與權函數均為相同的全局任意階連續函數；⑤ 無網格局部Petrov－Galerkin方法（meshless local Petrov Galerkin method），Satya N. Atluri與合作者自1998年以來發展了一系列此類方法，其中試函數采用單位劃分、移動*小二乘或徑向基函數等無網格函數，權函數則采用狄拉克δ函數、Heaviside函數、徑向基函數等。將偏微分方程通過上述任何一種方法進行空間坐標離散，可以得到非線性常微分方程，即非線性動力學系統，即本書主要研究內容。 本書中前5章所涉及的時域配點法、諧波平衡法和高維諧波平衡法均為全局法，即求解動力學方程時，以整個時間域為對象進行求解，不進行子域分割。全局法適用于求解具有周期特性的非線性動力學系統。當非線性動力學系統的解具有周期性時，傳統求解方法是攝動法和諧波平衡法。攝動法受限于復雜符號推導和弱非線性，不利于高精度計算。諧波平衡法本質上是時域的Galerkin法。諧波平衡法是求解非線性動力學系統周期解的強有力的工具。諧波平衡法的原理是，首先假設系統的近似解為Fourier級數形式，然后將其代入動力學方程令各次諧波自相平衡得到以Fourier系數為變量的非線性代數方程組。該方法不受非線性強弱的限制，且對于不太復雜的周期響應一般只需幾個諧波即可得到高精度的解。但是，諧波平衡法在對非線性項進行Fourier級數展開過程中涉及煩冗的公式推導，并且隨著諧波個數的增多會變得越來越復雜。為了克服這個缺點，2002年美國杜克大學的Hall等[1]提出了高維諧波平衡法，該方法隨后被廣泛應用到各種動力學問題的求解中。高維諧波平衡法避免了傳統諧波平衡法的復雜公式推導，但是產生了多余的非物理解。之后，Liu等[2]指出，高維諧波平衡法的非物理“假解”源于高次諧波對低次諧波的混淆（即著名的混淆現象）。但是，高次諧波到底以何種規律混入低次諧波這一問題沒有得到解答。本書將深入研究高維諧波平衡法、諧波平衡法等非線性動力學系統的半解析求解方法，在2.3節對高維諧波平衡法與諧波平衡法的關系進行證明，澄清了困擾學術界十余年的“高維諧波平衡法是諧波平衡法變種”的誤解。在3.4節給出高維諧波平衡法產生混淆現象的機理，解釋“假解”產生的本質原因（圖12）。 圖1－2高維諧波平衡法的混淆機理示意圖 本書第6～8章介紹的變分迭代積分法、改進RungeKutta法等數值積分法，均為局部法。局部法即求解問題時其時間域先被離散為有限個子域，然后求解；每個子域上又可以采用各種全局方法進行求解，例如，本書第7章提出的變分迭代配點法就利用變分迭代和時域配點的思想進行快速計算。可見，全局法和局部法是不可分割的，從其發展歷程來看，二者是相互促進相互依存的關系（圖13）。借助現代化計算機，數值積分法成為研究非線性動力系統響應*為直接的方法。在文獻中存在著數以百計的數值積分法，其中大部分是有限差分法，如RungeKutta法、HilbertHughesTaylor法及Newmark法。這些方法直接使用了微分的定義以及Taylor級數理論對原始的常微分方程離散化，并在時間間隔較小的離散點上給出數值估計。基于每個時間間隔中的估計方法是前向估計還是后向估計，一般可以將其分為顯式方法和隱式方法。一般來說，隱式方法比顯式方法更加穩定，但是前者一般需要求解相關的非線性代數方程組。 圖1－3非線性系統數值積分方法發展歷程[38] 1.2航空航天領域的典型問題 航空航天領域存在著大量非線性動力學問題，結合作者十余年的研究經歷，本書主要圍繞四個典型問題進行計算方法的理論研究和應用分析。這四個問題分別為經典Duffing方程、非線性氣動彈性問題、軌道遞推與轉移問題、近地航天器的相對運動。其中軌道轉移問題是兩點邊值問題，其他為初值問題。 Duffing方程是工程中*常見的非線性方程之一。很多航空航天領域中的問題都可以直接用Duffing方程描述或者處理后退化為Duffing方程。例如，使用Galerkin法將超聲速流中板的顫振模型進行空間離散，得到的模態方程就是耦合Duffing方程組。對于二元機翼模型，它經過積分變換后可以轉化為含有三次非線性項的微分方程組，如果考慮二元機翼受簡諧作用外力的話，該系統中的非線性方程將表現為Duffing方程形式，如果不考慮二元機翼系統的氣動力，那么該模型振動問題將退化為兩自由度耦合Duffing振子模型，鑒于Duffing方程在非線性動力學領域的廣泛代表性，本書將其作為計算方法的驗證原型反復使用。此外，非線性氣動彈性問題也是航空航天領域重點關注的問題之一，由于機翼氣動彈性引起的顫振、抖振等效應是飛行器設計過程中必須考慮的問題之一，對氣動彈性問題的研究及高精度的氣動彈性仿真計算結果將對飛行器設計產生重要影響。本書將圍繞亞聲速二元機翼動力學模型開展相關的計算方法研究，并對機翼顫振問題進行探究。衛星軌道遞推與軌道轉移問題是航天動力學與控制領域的基礎問題。航天器正常工作的基礎在于其始終保持在目標工作軌道位置，這需要通過軌道遞推方程不斷計算航天器在當前以及未來時刻所應到達的目標位置，并通過計算當前實際位置與目標位置的距離偏差進行調整。軌道轉移計算可以看成一類受到兩點邊值約束軌道遞推問題，在轉移軌道過程中受到與軌道遞推問題相同的二體運動方程約束，在諸如火星探測等遠距離深空探測任務中，航天器軌道運算結果的精度對任務成敗起到決定性作用。而星際探測航天器往往面臨著星載計算機計算能力低下的硬件限制，因此，研究可在計算能力低下的星載計算機中實現的高精度軌道遞推計算的數值算法，是星際探測任務中亟須解決的重要問題。此外，近年來興起的空間衛星編隊技術以及空間在軌服務技術對近地航天器相對運動問題的高效高精度求解提出了迫切需要，適用于星載計算機快速求解復雜近地航天器相對運動方程的高效高精度數值計算方法研究成為相關技術發展的核心問題之一。 1.2.1經典Duffing方程 Duffing方程是一種描述強迫振動的微分方程模型。該模型是非線性理論中常用的一種典型非線性振動系統模型，這一系統雖然形式簡單，但卻具有高度的代表性。事實上，工程實際中諸多非線性振動問題的數學模型都可以歸結為
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