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電磁分析中的預條件方法 版權信息
- ISBN：9787030515094
- 條形碼：9787030515094 ; 978-7-03-051509-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
電磁分析中的預條件方法 內容簡介
本書主要介紹了預條件方法的基本理論及其在電磁分析中的應用，包括計算電磁學中的主要數值方法、Krylov子空間迭代方法、預條件技術、迭代算法的自適應加速技術、預條件技術的優化措施、基于物理模型的預條件技術、基于特征譜信息的快速迭代算法及預條件技術、高階有限元及多重網格迭代法、高階矩量法及多重網格方法、塊迭代算法、并行預條件技術等，重點介紹了多種預條件技術在矩量法和有限元方法中的應用。
電磁分析中的預條件方法 目錄
目錄
前言
第1章 緒論 1
1.1 計算電磁學發展現狀 2
1.2 迭代解法和預條件技術 5
1.3 內容安排 9
參考文獻 10
第2章 計算電磁學中的主要數值方法 26
2.1 有限元法 26
2.1.1 電磁場邊值問題 27
2.1.2 伽遼金加權余量法與里茨變分法 27
2.1.3 有限元法的步驟 28
2.1.4 數值結果 31
2.2 矩量法 35
2.2.1 矩量法的離散化過程 35
2.2.2 積分方程的選取 36
2.2.3 散射場的計算 39
2.2.4 多層快速多極子方法 40
2.2.5 并行多層快速多極子方法 44
2.2.6 數值結果 47
參考文獻 49
第3章 Krylov子空間迭代方法 53
3.1 直接解法和迭代解法簡介 53
3.2 迭代方法的分類 54
3.3 共軛梯度類迭代方法 55
3.4 廣義*小余量迭代算法 56
3.5 常用Krylov子空間迭代算法的比較 58
3.6 常用迭代算法在體積分方程中的應用 58
3.7 常用迭代算法在表面積分方程中的應用 64
參考文獻 68
第4章 預條件技術 70
4.1 預條件技術概述 70
4.2 稠密矩陣的稀疏化 71
4.3 預條件廣義*小余量迭代算法 72
4.4 對角預條件技術 73
4.5 對稱超松弛預條件技術 74
4.6 不完全LU分解預條件技術 74
4.7 稀疏近似逆預條件技術 75
4.8 幾種常用預條件技術性能的比較 77
參考文獻 82
第5章 迭代算法的自適應加速技術 84
5.1 GMRES迭代算法收斂性分析 84
5.2 基于GMRES迭代算法的自適應加速技術概述 86
5.3 Krylov子空間擴大技術 87
5.3.1 擴大子空間的廣義*小余量迭代算法 87
5.3.2 松散的廣義*小余量迭代算法 90
5.4 特征譜重復循環技術 92
5.4.1 隱式循環的廣義*小余量迭代算法 92
5.4.2 顯式循環的廣義*小余量迭代算法 95
5.5 特征譜預條件的廣義*小余量迭代算法 97
5.6 內外迭代技術 99
5.6.1 靈活的廣義*小余量迭代算法 99
5.6.2 嵌套的廣義*小余量迭代算法 102
5.7 幾種加速技術性能的比較 103
5.8 其他迭代加速技術 107
參考文獻 111
第6章 預條件技術的優化措施 114
6.1 對稱超松弛預條件技術的有效實現 114
6.2 不完全LU分解預條件技術中的擾動技術 117
6.2.1 對角線擾動技術 117
6.2.2 MFIE主值項擾動技術 120
6.3 多層快速多極子方法中一種有效的稀疏近似逆預條件技術 125
6.4 混合預條件技術 129
6.4.1 雙步混合預條件技術 129
6.4.2 SSOR預條件技術與GMRESR及FGMRES結合算法 134
6.5 多重預條件技術 138
6.5.1 多重預條件共軛梯度算法 138
6.5.2 多重預條件廣義*小余量算法 139
6.6 預條件矩陣插值 142
6.6.1 基于有理函數模型的阻抗矩陣插值技術 142
6.6.2 基于有理函數模型的稀疏近似逆預條件矩陣插值技術 145
參考文獻 149
第7章 基于物理模型的預條件技術 151
7.1 電場矢量有限元方程的病態特性 151
7.2 基于A-V場的預條件技術 153
7.2.1 A-V場有限元公式 153
7.2.2 數值結果與分析 155
7.3 基于轉移Laplace算子的預條件技術 158
7.3.1 轉移Laplace算子的預條件 158
7.3.2 數值結果與分析 160
7.4 基于吸收邊界條件的預條件技術 167
7.4.1 快速多極子結合有限元方法理論及公式 167
7.4.2 利用吸收邊界條件構造預條件矩陣 170
7.4.3 數值結果與分析 173
參考文獻 177
第8章 基于特征譜信息的快速迭代算法及預條件技術 180
8.1 改進的擴大子空間廣義*小余量迭代算法 180
8.1.1 GMRESE迭代算法基本原理 180
8.1.2 GMRESE迭代算法的收斂性能 182
8.1.3 GMRESE迭代算法的性能隨參數變化情況 186
8.1.4 GMRESE迭代算法在單站RCS計算中的應用 189
8.2 基于特征譜信息的代數多重網格迭代算法 192
8.2.1 基于特征譜信息的代數多重網格迭代算法基本原理 192
8.2.2 SMG迭代算法的收斂性能 195
8.2.3 SMG迭代算法的性能隨參數變化情況 197
8.2.4 SMG迭代算法在單站RCS計算中的應用 199
8.2.5 SMG性能隨未知量變化情況 201
8.3 基于特征譜信息的多步混合預條件技術 203
8.3.1 基于特征譜信息的雙步混合預條件技術的基本思想 203
8.3.2 基于特征譜信息的雙步混合預條件技術的性能 205
8.3.3 基于特征譜信息的多步混合預條件 208
8.3.4 多步混合預條件技術在單站RCS計算中的應用 211
8.3.5 基于等級基函數的雙步譜預條件技術 216
參考文獻 222
第9章 高階有限元及多重網格迭代法 224
9.1 高階等級基函數 225
9.2 p-型多重網格預條件技術 229
9.2.1 p-型多重網格算法 229
9.2.2 數值結果與分析 231
9.3 Schwarz預條件技術 238
9.3.1 Schwarz算法概述 238
9.3.2 數值結果與分析 239
9.4 有限元的輔助空間預條件技術 243
9.4.1 ASP的基本原理 243
9.4.2 算例分析 246
參考文獻 250
第10章 高階矩量法及多重網格方法 253
10.1 基于高階單元的Calder-n算子預條件技術 253
10.1.1 基于Calder-n算子的積分方程建立 254
10.1.2 構造基于高階單元的Calder-n算子預條件技術 256
10.1.3 數值結果與分析 261
10.2 基于網格細分的多分辨基函數及預條件技術 269
10.2.1 基于CRWG基函數構造的多分辨基函數 270
10.2.2 多分辨預條件及其改進 274
10.2.3 多分辨預條件與快速多極子算法的結合 276
10.2.4 多分辨基函數及預條件的數值算例與分析 276
10.3 新型多重網格預條件技術研究 280
10.3.1 粗網格基函數的構造及粗網格矩陣構造 280
10.3.2 多重網格預條件的構造 282
10.3.3 數值算例分析與討論 284
參考文獻 292
第11章 塊迭代算法 296
11.1 塊GMRES迭代算法 296
11.2 塊GMRES-DR迭代算法 297
11.3 塊GMRESE迭代算法 298
11.4 塊SMG迭代算法 299
11.5 數值結果 301
參考文獻 305
第12章 并行預條件技術研究 306
12.1 并行計算概述 306
12.2 有限元方法中并行區域分解算法及預條件技術 309
12.2.1 并行代數域分解算法 310
12.2.2 并行撕裂對接算法 319
12.3 矩量法中并行稀疏近似逆預條件技術 328
12.3.1 近場稀疏化稀疏近似逆預條件 328
12.3.2 并行稀疏近似逆預條件構造原理 330
12.3.3 并行稀疏近似逆數值結果與討論 335
12.3.4 并行稀疏近似逆預條件結合冪級數展開技術 343
參考文獻 346
前言
第1章 緒論 1
1.1 計算電磁學發展現狀 2
1.2 迭代解法和預條件技術 5
1.3 內容安排 9
參考文獻 10
第2章 計算電磁學中的主要數值方法 26
2.1 有限元法 26
2.1.1 電磁場邊值問題 27
2.1.2 伽遼金加權余量法與里茨變分法 27
2.1.3 有限元法的步驟 28
2.1.4 數值結果 31
2.2 矩量法 35
2.2.1 矩量法的離散化過程 35
2.2.2 積分方程的選取 36
2.2.3 散射場的計算 39
2.2.4 多層快速多極子方法 40
2.2.5 并行多層快速多極子方法 44
2.2.6 數值結果 47
參考文獻 49
第3章 Krylov子空間迭代方法 53
3.1 直接解法和迭代解法簡介 53
3.2 迭代方法的分類 54
3.3 共軛梯度類迭代方法 55
3.4 廣義*小余量迭代算法 56
3.5 常用Krylov子空間迭代算法的比較 58
3.6 常用迭代算法在體積分方程中的應用 58
3.7 常用迭代算法在表面積分方程中的應用 64
參考文獻 68
第4章 預條件技術 70
4.1 預條件技術概述 70
4.2 稠密矩陣的稀疏化 71
4.3 預條件廣義*小余量迭代算法 72
4.4 對角預條件技術 73
4.5 對稱超松弛預條件技術 74
4.6 不完全LU分解預條件技術 74
4.7 稀疏近似逆預條件技術 75
4.8 幾種常用預條件技術性能的比較 77
參考文獻 82
第5章 迭代算法的自適應加速技術 84
5.1 GMRES迭代算法收斂性分析 84
5.2 基于GMRES迭代算法的自適應加速技術概述 86
5.3 Krylov子空間擴大技術 87
5.3.1 擴大子空間的廣義*小余量迭代算法 87
5.3.2 松散的廣義*小余量迭代算法 90
5.4 特征譜重復循環技術 92
5.4.1 隱式循環的廣義*小余量迭代算法 92
5.4.2 顯式循環的廣義*小余量迭代算法 95
5.5 特征譜預條件的廣義*小余量迭代算法 97
5.6 內外迭代技術 99
5.6.1 靈活的廣義*小余量迭代算法 99
5.6.2 嵌套的廣義*小余量迭代算法 102
5.7 幾種加速技術性能的比較 103
5.8 其他迭代加速技術 107
參考文獻 111
第6章 預條件技術的優化措施 114
6.1 對稱超松弛預條件技術的有效實現 114
6.2 不完全LU分解預條件技術中的擾動技術 117
6.2.1 對角線擾動技術 117
6.2.2 MFIE主值項擾動技術 120
6.3 多層快速多極子方法中一種有效的稀疏近似逆預條件技術 125
6.4 混合預條件技術 129
6.4.1 雙步混合預條件技術 129
6.4.2 SSOR預條件技術與GMRESR及FGMRES結合算法 134
6.5 多重預條件技術 138
6.5.1 多重預條件共軛梯度算法 138
6.5.2 多重預條件廣義*小余量算法 139
6.6 預條件矩陣插值 142
6.6.1 基于有理函數模型的阻抗矩陣插值技術 142
6.6.2 基于有理函數模型的稀疏近似逆預條件矩陣插值技術 145
參考文獻 149
第7章 基于物理模型的預條件技術 151
7.1 電場矢量有限元方程的病態特性 151
7.2 基于A-V場的預條件技術 153
7.2.1 A-V場有限元公式 153
7.2.2 數值結果與分析 155
7.3 基于轉移Laplace算子的預條件技術 158
7.3.1 轉移Laplace算子的預條件 158
7.3.2 數值結果與分析 160
7.4 基于吸收邊界條件的預條件技術 167
7.4.1 快速多極子結合有限元方法理論及公式 167
7.4.2 利用吸收邊界條件構造預條件矩陣 170
7.4.3 數值結果與分析 173
參考文獻 177
第8章 基于特征譜信息的快速迭代算法及預條件技術 180
8.1 改進的擴大子空間廣義*小余量迭代算法 180
8.1.1 GMRESE迭代算法基本原理 180
8.1.2 GMRESE迭代算法的收斂性能 182
8.1.3 GMRESE迭代算法的性能隨參數變化情況 186
8.1.4 GMRESE迭代算法在單站RCS計算中的應用 189
8.2 基于特征譜信息的代數多重網格迭代算法 192
8.2.1 基于特征譜信息的代數多重網格迭代算法基本原理 192
8.2.2 SMG迭代算法的收斂性能 195
8.2.3 SMG迭代算法的性能隨參數變化情況 197
8.2.4 SMG迭代算法在單站RCS計算中的應用 199
8.2.5 SMG性能隨未知量變化情況 201
8.3 基于特征譜信息的多步混合預條件技術 203
8.3.1 基于特征譜信息的雙步混合預條件技術的基本思想 203
8.3.2 基于特征譜信息的雙步混合預條件技術的性能 205
8.3.3 基于特征譜信息的多步混合預條件 208
8.3.4 多步混合預條件技術在單站RCS計算中的應用 211
8.3.5 基于等級基函數的雙步譜預條件技術 216
參考文獻 222
第9章 高階有限元及多重網格迭代法 224
9.1 高階等級基函數 225
9.2 p-型多重網格預條件技術 229
9.2.1 p-型多重網格算法 229
9.2.2 數值結果與分析 231
9.3 Schwarz預條件技術 238
9.3.1 Schwarz算法概述 238
9.3.2 數值結果與分析 239
9.4 有限元的輔助空間預條件技術 243
9.4.1 ASP的基本原理 243
9.4.2 算例分析 246
參考文獻 250
第10章 高階矩量法及多重網格方法 253
10.1 基于高階單元的Calder-n算子預條件技術 253
10.1.1 基于Calder-n算子的積分方程建立 254
10.1.2 構造基于高階單元的Calder-n算子預條件技術 256
10.1.3 數值結果與分析 261
10.2 基于網格細分的多分辨基函數及預條件技術 269
10.2.1 基于CRWG基函數構造的多分辨基函數 270
10.2.2 多分辨預條件及其改進 274
10.2.3 多分辨預條件與快速多極子算法的結合 276
10.2.4 多分辨基函數及預條件的數值算例與分析 276
10.3 新型多重網格預條件技術研究 280
10.3.1 粗網格基函數的構造及粗網格矩陣構造 280
10.3.2 多重網格預條件的構造 282
10.3.3 數值算例分析與討論 284
參考文獻 292
第11章 塊迭代算法 296
11.1 塊GMRES迭代算法 296
11.2 塊GMRES-DR迭代算法 297
11.3 塊GMRESE迭代算法 298
11.4 塊SMG迭代算法 299
11.5 數值結果 301
參考文獻 305
第12章 并行預條件技術研究 306
12.1 并行計算概述 306
12.2 有限元方法中并行區域分解算法及預條件技術 309
12.2.1 并行代數域分解算法 310
12.2.2 并行撕裂對接算法 319
12.3 矩量法中并行稀疏近似逆預條件技術 328
12.3.1 近場稀疏化稀疏近似逆預條件 328
12.3.2 并行稀疏近似逆預條件構造原理 330
12.3.3 并行稀疏近似逆數值結果與討論 335
12.3.4 并行稀疏近似逆預條件結合冪級數展開技術 343
參考文獻 346
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電磁分析中的預條件方法 節選
第1章 緒論 1864年，英國物理學家麥克斯韋(Maxwell)在“A dynamical theory of the electromagnetic field”一文中提出了位移電流的概念［1］，認為不僅變化的磁場能產生電場，而且變化的電場也能產生磁場，電磁場由此交替地向外傳播，同時提出了麥克斯韋方程組，并首次預言了電磁波的存在。1887年，德國物理學家赫茲用火花放電的實驗證實了麥克斯韋的預言，得出了電磁能量可以越過空間傳播的結論。赫茲的發現轟動了全世界科學界，開啟了人們研究電磁場理論及其應用的大門。隨著研究的不斷深入，電磁場的理論已經在航空航天、無線電通信、雷達、半導體芯片及封裝、遙測遙感、生物醫療以及光電子等行業得到了廣泛的應用。 目前，利用電磁波工作的通信、雷達設備已經在國防軍事和民用領域發揮著重要的作用，與人們的日常生活息息相關。隨著社會的發展，人們希望這些電磁設備的功能越來越齊全、結構越來越小型化、電磁波頻譜的利用率越來越高。為了降低電磁設備的設計成本，提高設備性能，需要分析電磁設備的電磁特性，因此各種電磁設備的抗電磁干擾性及彼此間的電磁耦合研究日益引起人們的重視。理論上，以上需求都可歸結為復雜的電磁分析問題，即研究電磁波和具有復雜材料構成及幾何結構的物質之間的相互作用。實際設備模型的復雜性，使經典電磁學解析求解時存在較大的局限性，甚至根本無法實現。另一個有效的途徑是，通過現場實驗來研究實際的電磁問題，但在實際環境中開展實驗的人力、物力成本巨大，研究周期長，有時因為實驗條件的缺失而無法進行研究。 伴隨著計算機技術水平的不斷提高，利用計算機進行仿真的理論手段越來越受到重視。相應地，在電磁學領域內出現了多種分析電磁問題的數值算法，從而誕生了一門解決復雜電磁場理論與微波工程問題的新興學科——計算電磁學［2，4］。在電磁學領域的科研工作者的不懈努力下，計算電磁學已經取得了豐碩的成果。隨著多種新型算法的提出和改進，計算電磁學能夠解決的問題也越來越復雜。計算電磁學可以看成數學方法、電磁場理論和計算機技術結合的產物。使用計算電磁方法，可避免高昂的現場測試費用，同時其數值解對電磁理論的發展和現場實驗也有一定的指導意義。隨著計算電磁學的發展，利用電磁仿真進行研究已經成為設計電路、天線、電磁兼容和電磁散射等實際工程應用領域內不可或缺的、甚至主要的研究手段。 1.1 計算電磁學發展現狀 電磁場數值分析是根據麥克斯韋方程，利用適當的邊界條件確定所關心區域內的電磁場或電流分布，進而求出所需要的物理參量；仡櫽嬎汶姶艑W發展的歷史，早在1864年，麥克斯韋已用偏微分方程的形式給出了電磁波現象中電場和磁場的統一表達式，他的研究成果被譽為19世紀*顯著的科學成就之一。而求解電磁場問題的方法歸納起來可分為三大類，**類是解析法，第二類是數值法，第三類是半解析數值法，其中每一類又包含若干種方法。 經典的數學分析方法是近百年來電磁學學科發展中一個極為重要的手段。解析法包括建立和求解偏微分方程或積分方程。嚴格求解偏微分方程的經典方法是分離變量法；嚴格求解積分方程的方法主要是變換數學法。解析法的優點是： (1)可將解答表示為已知函數的顯式，從而可計算出精確的結果； (2)可以作為近似解和數值解的檢驗標準； (3)在解析過程中和在解的顯式中可以觀察到問題的內在聯系和各個參數對結果所起的作用。 用解析法求解電磁場的邊值問題可以得到精確的數值結果，并能根據參量的變化推斷出解的變化趨勢。但是這種方法所能解決的問題不多，滿足不了不斷增加的工程方面的需要。于是，人們開始致力于研究求解復雜邊值問題的近似方法和數值方法。早在1897年，麥克斯韋就嘗試用積分方程的數值解來計算矩形金屬板間的電容量。在計算機出現以前，應用數值法求解更復雜的邊值問題并非易事，但隨著高速度大存儲量計算機的發展和數值方法應用的日益廣泛，過去看來難解的問題現在已能比較容易解決，并能得到足夠精確的數值解。 根據問題求解域的不同，數值計算方法可分為時域和頻域兩大類。時域方法通常直接離散時域麥克斯韋方程，模擬電磁波的傳播，隨時間迭代計算，適合于寬頻帶特征瞬態電磁場的數值仿真，如典型的時域有限差分(finite difference time domain， FDTD)法［5，10］、時域有限元(finite element time domain， FETD)法［11，13］、時域譜元法［14，23］和時域積分方法［24，31］。時域方法的一個突出優點是可以給出關于問題空間豐富的時域瞬態信息，能更直觀地反映問題的物理現象。頻域方法以不包含時間變量或時間變量導數的頻域麥克斯韋方程為出發點，求解系統的相位和頻率響應。 頻域方法可分為高頻近似方法和低頻數值方法。在高頻方法分析時，電磁波和目標之間的相互作用是一種局部現象，只與作用點附近的幾何結構、材質參數和入射波性質有關，而與遠離該點的其他信息無關。高頻近似方法適合求解電大尺寸目標散射問題，具有物理概念清晰、容易實現、計算效率高等優點。不同的幾何結構需要采用不同的散射機理來處理，由于幾何結構的多樣性和復雜性，考慮所有的散射機理是不切實際的，所以高頻方法得到的結果通常是近似解，而非精確解。高頻方法大致可以分為基于射線的高頻方法和基于電流的高頻方法兩大類。基于射線的高頻方法有幾何光學(graphic optics， GO)法、幾何繞射理論(geometrical theory of diffraction， GTD)、一致幾何繞射理論(uniform theory of diffraction， UTD)等［32，43］；谏渚的高頻方法的優點是物理概念簡單；缺點是實際計算時的幾何判斷比較復雜，并且在空間分布的電磁場會出現不連續；陔娏鞯母哳l方法有物理光學(physical optics， PO)法［34，37］、等效電磁流(method of equivalent currents， MEC)法［38，39］、迭代物理光學(iterative physical optics， IPO)法［40］等；陔娏鞯母哳l方法的優點是空間分布的電磁場可以保持連續，不會出現奇異點；缺點是不能方便地處理電磁波的多次反射作用。一種較為實用的高頻方法是彈跳射線(shooting and bouncing rays， SBR)法［41，42］，該方法有效地結合了GO法和PO法的優點。 低頻數值方法一般先離散麥克斯韋方程，再求數值解。低頻數值方法計算精度高，能夠有效求解幾何結構和組成材質都較復雜的電磁問題。根據求解方程形式的不同，低頻數值方法可以分為積分方程方法和微分方程方法。微分方程方法的代表性方法有時域有限差分（FDTD）法和有限元法(finite element method， FEM)等。FDTD法是由Yee于1966年提出的［44］，該方法直接將麥克斯韋方程組在空間網格中進行離散處理。此后，為了提高FDTD法的計算精度、建模能力以及減少對計算資源的需求等，出現了交替方向隱式時域有限差分（alternating direction implicit， finite， difference time， domain，ADI，FDTD)法、高階時域有限差分（high order， finite difference time domain，HO，FDTD)法等［45，46］。FEM是一種在多種學科中應用較廣的數值方法［47］，該方法以變分原理和剖分插值技術為基礎。與FDTD法相比，FEM可以更好地模擬復雜邊界問題，但其缺點是產生的矩陣的性態較差。微分方程方法的缺點之一是存在網格的數值色散誤差。此外，微分方程方法采用全空間離散，為了分析開域問題需要引入截斷邊界條件，這樣就產生了大量的未知量。因此，微分方程方法適合分析非均勻介質問題和封閉區域內的復雜電磁問題。積分方程方法的代表性方法有矩量法(method of moment， MoM)［48，49］和邊界元法(BEM)［50］等。與微分方程方法相比，積分方程方法在公式中已經隱含了無窮遠處的輻射邊界條件。因此，積分方程方法只需對目標進行離散，其產生的未知量遠遠小于微分方程方法。積分方程方法主要分為基于矩量法的體積分方程(volume integral equation， VIE)方法和基于矩量法的面積分方程(surface integral equation， SIE)方法兩種。由于求解SIE只需要對物體表面進行剖分，而求解VIE需要對整個物體進行剖分，所以相對于VIE方法，SIE方法只需要較少的未知量就可以解決問題。在分析均勻介質結構問題時，VIE方法和SIE方法都是可行的，但是VIE方法可以很好地處理非均勻介質的復雜結構。由于格林（Green）函數的非局部性，積分方程方法的缺點是產生的阻抗矩陣是稠密的，因而對計算機的存儲量和計算量的需求分別為O(N2)和O(N3)，其中N是矩陣的維數。當未知量N很大時，就需要很大的內存和很長的計算時間。這些在現實應用中都是難以忍受的，因此需要引入快速算法來求解頻域積分方程問題，主要有以下三類快速算法。 其一，基于格林函數展開的快速方法？焖俣鄻O子算法(fast multipole algorithm， FMA)［51，53］的思想*初由Rokhlin等提出。隨后，周永祖教授課題組將其發展到求解三維Helmholtz問題，利用插值方法提出了多層快速多極子算法(multilevel fast multipole algorithm， MLFMA)［54，55］，并開發出能在高性能微機和小型工作站上解決百萬量級電大尺寸目標的電磁散射問題的電磁計算軟件FISC(fast Illinois solver code)。MLFMA利用加法定理對格林函數展開，通過聚合，轉移，配置過程計算遠場組之間的相互作用。MLFMA可以把MoM的內存和計算復雜度降為O(NlogN)，由于其解決電磁散射問題時效率高，國內外眾多學者對其進行了深入的研究。White等把MLFMA用于三維靜態場提取復雜結構電容參數［56］。MLFMA的后續研究主要有MLFMA并行技術［57，62］和MLFMA中的近似算法解決電大目標電磁散射，包括射線傳播多層快速多極子、快速遠場近似等［63，64］，MLFMA解決低頻問題［65，69］，MLFMA解決復雜環境如半空間［70，73］、平面微帶［74，76］、封裝結構［77，78］，MLFMA加速有限元邊界積分方程方法（FEBI）等［79，81］。MLFMA強烈依賴于問題格林函數，當問題的格林函數很復雜時，對其進行展開就相對復雜。有些問題的格林函數很難得到其展開形式，因此就無法采用MLFMA。類似的方法還有浙江大學的王浩剛博士等在2005年提出的多層格林函數插值方法(multilevel Green’s function interpolation method， MLGFIM)［82］，美國Purdue大學的Jiao教授等在2008年提出的H矩陣（hierarchical matrix）方法和2009年提出的H2矩陣方法［83，84］。 其二，基于快速傅里葉變換(fast Fourier transformation， FFT)的方法。共軛梯度快速傅里葉變換（conjugate gradient， fast Fourier transformation， CG， FFT)方法僅適用于相同的長方體網格離散的規則結構以實施卷積，對于任意形狀的結構，只能用階梯形去近似逼近。近年來又產生了基于快速傅里葉變換的自適應積分方法(adaptive integral method， AIM)［85］、預修正快速傅里葉變換（precorrected， FFT，P，FFT)方法［86］、積分方程快速傅里葉變換（integral equation， FFT，IE
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