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高等數學(下冊) 版權信息
- ISBN：9787030670427
- 條形碼：9787030670427 ; 978-7-03-067042-7
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
高等數學(下冊) 內容簡介
本書內容主要包括向量代數與空間解析幾何、多元函數的微分法及其應用、重積分、曲線積分與曲面積分、級數等。全書注重理論與應用相結合，強調直觀性、準確性和應用性。
高等數學(下冊) 目錄
目錄
前言
第八章 向量代數與空間解析幾何 1
**節 向量及其線性運算 1
第二節 數量積向量積*混合積 8
第三節 平面及其方程 15
第四節 空間直線及其方程 21
第五節 常見的空間曲面 27
第六節 空間曲線及其方程 35
第七節 Mathematica軟件應用(7) 40
第九章 多元函數的微分法及其應用 45
**節 多元函數的基本概念 45
第二節 偏導數 53
第三節 全微分 59
第四節 多元復合函數的求導法則 66
第五節 隱函數的求導公式 72
第六節 多元函數微分學的幾何應用 78
第七節 方向導數與梯度 82
第八節 多元函數的極值及其求法 85
*第九節 二元函數的泰勒公式 95
第十節 Mathematica軟件應用(8) 98
第十章 重積分 108
**節 二重積分的概念與性質 108
第二節 二重積分的計算 112
第三節 三重積分 122
第四節 重積分的應用 130
第五節 Mathematica軟件應用(9) 139
第十一章 曲線積分與曲面積分 144
**節 對弧長的曲線積分 144
第二節 對坐標的曲線積分 150
第三節 格林公式及其應用 158
第四節 對面積的曲面積分 166
第五節 對坐標的曲面積分 170
第六節 高斯公式與斯托克斯公式 177
第十二章 級數 188
**節 常數項級數的概念與性質 188
第二節 常數項級數的審斂法 193
第三節 冪級數 202
第四節 函數展開成冪級數 209
*第五節 函數的冪級數展開式的應用 217
*第六節 傅里葉級數 226
第七節 Mathematica軟件應用(10) 237
習題答案 241
參考文獻 255
前言
第八章 向量代數與空間解析幾何 1
**節 向量及其線性運算 1
第二節 數量積向量積*混合積 8
第三節 平面及其方程 15
第四節 空間直線及其方程 21
第五節 常見的空間曲面 27
第六節 空間曲線及其方程 35
第七節 Mathematica軟件應用(7) 40
第九章 多元函數的微分法及其應用 45
**節 多元函數的基本概念 45
第二節 偏導數 53
第三節 全微分 59
第四節 多元復合函數的求導法則 66
第五節 隱函數的求導公式 72
第六節 多元函數微分學的幾何應用 78
第七節 方向導數與梯度 82
第八節 多元函數的極值及其求法 85
*第九節 二元函數的泰勒公式 95
第十節 Mathematica軟件應用(8) 98
第十章 重積分 108
**節 二重積分的概念與性質 108
第二節 二重積分的計算 112
第三節 三重積分 122
第四節 重積分的應用 130
第五節 Mathematica軟件應用(9) 139
第十一章 曲線積分與曲面積分 144
**節 對弧長的曲線積分 144
第二節 對坐標的曲線積分 150
第三節 格林公式及其應用 158
第四節 對面積的曲面積分 166
第五節 對坐標的曲面積分 170
第六節 高斯公式與斯托克斯公式 177
第十二章 級數 188
**節 常數項級數的概念與性質 188
第二節 常數項級數的審斂法 193
第三節 冪級數 202
第四節 函數展開成冪級數 209
*第五節 函數的冪級數展開式的應用 217
*第六節 傅里葉級數 226
第七節 Mathematica軟件應用(10) 237
習題答案 241
參考文獻 255
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高等數學(下冊) 節選
第八章 向量代數與空間解析幾何 類似于平面解析幾何，空間解析幾何通過建立空間坐標系，把空間的點與有次序的三個數對應起來，建立空間圖形與方程的對應關系，從而可以用代數的方法來研究幾何問題.本章介紹空間解析幾何的基本知識，其對學習多元函數微積分也是必要的. **節 向量及其線性運算 一、向量的概念 在自然科學和工程技術中所遇到的量，可以分為兩類.一類是只有大小沒有方向的量，稱為數量(或標量)，例如質量、溫度、時間、面積等等.另一類是既有大小又有方向的量，稱為向量(或矢量)，例如力、力矩、位移、速度、加速度等等. 通常用黑體字母或帶有箭頭的字母來表示向量，例如a，b或aG，b.在數學上，往往還用有向線段來表示向量：有向線段的長度表示向量的大小;有向線段的方向表示向量的方向.如圖8-1所示，向量a的起點為A，終點為B，還可記作JAJJGB. 若兩個向量a，b的大小相等，方向相同，則稱這兩個向量相等，記作a=b.由定義可以看出，兩個向量是否相等與它們的起點和終 點無關，只由它們的大小和方向決定.以后我們所研究的都是與起圖8-1點無關的向量，并稱這種向量為自由向量.因此向量可以任意移動，且移動后所得的向量與原向量相等. 向量的大小也稱為向量的模或長度.的模依次分別用|a|，|aG|，|AB|表示.模為1的向量稱為單位向量.模為0的向量稱為零向量，記作0或0G.零向量的起點與終點重合，它的方向是不確定的，可以看作是任意的.規定零向量都相等. 如果兩個非零向量的方向相同或相反，就稱這兩個向量平行.由于零向量的方向是任意的，因此可以認為零向量與任何向量都平行.若向量a與向量b平行，記作a//b. 將彼此平行的一組向量的起點歸結為同一點，它們的終點及公共起點應在同一條直線上，因此也稱這組向量共線.類似地，若將一組向量的起點歸結為同一點，它們的終點及公共起點在同一平面上，則稱這組向量共面. 二、向量的線性運算 1.向量的加法 設有兩個向量ab，任取一點A，作AB=a，再以B為起點作BC=b，記AC=c，則稱向量c為向量a與向，量b的和(圖8-2)，記作a+b，即或上述求兩向量之和的方法稱為向量加法的三角形法則.由向量相等的定義知用向量加法的三角形法則求得的兩向量之和是唯一的，即與起點A的選取無關.若，同向，則a+b的方向與兩向量的方向相同，而長度為兩向量長度之和. ab若，反向，則a+b的方向與長度較大向量的方向相同，而長度為兩向量長度之差的絕ab對值. JJJGJJJG若，不共線，則a+b也可由平行四邊形法則得到JJJG.任取一點O，作再以OAOB為鄰邊作平行四邊形OACB，則向量OC就是a與b，的和(圖8-3).性質8.1.1向量的加法適合下列規律： (1)交換律. (2)結合律. 證(1) 當ab共線時，易知.當，不共線時，如圖8-3所示，有 進而， (2)如圖8-4所示，作.則 所以. 圖8-2 圖8-3 圖8-4 因為向量的加法滿足交換律和結合律，當n個向量，相加時，先計算任兩個向量的和，所得到的結果都相等.因此n個向量的和可以記作 推廣兩向量加法的三角形法則，可得到多個向量加法的一般性法則：將多個向量經過平移，使它們首尾相連，連接**個向量的起點和*后一個向量的終點所得的向量就是這些向量的和.這種加法法則稱為多邊形法則(或折線法).具體地，若計算可依次作，如圖8-5所示，則 如果兩個向量大小相等但方向相反，則稱這兩個向量互為反向量.向量a的反向量記為.a，如圖8-6所示. 向量b與向量a的差，記作.，定義為b與.a的和(圖8-7)，即 圖8-5 圖8-6 圖8-7 顯然，任給向量AB及點O，有. 由三角形的兩邊之和大于第三邊，有下面的三角不等式： 2.數與向量的乘積 定義8.1.1 實數λ與向量a的乘積規定是一個向量，稱為λ與a的數乘，記作λa，它的模為;它的方向當λ>0時與a相同，當λ0.由定義8.1.1易知1a的長度為1，方向與a相同，即是與a方向相同的單位向量.上述由一個非零向量得到與它方向相同的單位向量的過程稱為向量的單位化. 定理8.1.1向量b與非零向量a平行的充分必要條件是存在一個實數λ，使. 證 充分性是顯然的.下證必要性.設a//b.若b與a同向，取，則b=λa;若b與a反向，取λ=.||，則b=λa. 三、向量之間的夾角及向量的射影 設，則射線OA與OB構為兩個非零向量，任取空間中一點O，作OA成的介于0和π之間的角稱為向量a與b的夾角，記作，由定義易知：若ab同向，則;若;若，反向，則ab不平行，則0，π.設l是一個有向軸，A為空間中一點，過A作平面α垂直于l，則平面α與l的交點A′稱為A在軸Gl上的射影或垂足(圖8-9).設A′，B′分別為點A，B在軸Gl上的射影，則稱向量A'B′為向量AB在軸上的射影向量(圖8-10). 圖8-9 圖8-10 設e是與同向的單位向量，進而由定理8.1.1知，存在實數x使得則，稱x為向量AB在軸l上的射影，記作，即注意是一個實數，且. 性質8.1.3 證 如圖8-11所示，過點A，B分別作與軸l垂直的平面α，β，交點分別記，過點A′作與AB平行的直線，交平面β于點B1.則B′也是B1在軸l上的射影. 由性質8.1.3知，若ABCD，則PrGlAB=Gl對任意向量a，任取空間一點A作，則向量a在軸l上的射影，記作，等于.顯然，的定義與A的選取無關.如圖8-12所示，我們有以下性質. 圖8-11 圖8-12 性質8.1.4 若向量a是與軸l同向的非零向量，規定. 四、空間直角坐標系 在平面解析幾何中，通過建立平面直角坐標系，使平面上的點都能用唯一一組有序數對(x，y)表示.同樣地，為了確定空間點的位置，需要建立空間的點與有序數組之間的聯系. 在空間取一個定點O，作三條兩兩互相垂直的數軸，它們都以O為原點且具有相同的長度單位.這三條軸分別稱為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)，統稱為坐標軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸在鉛垂方向上，且這三條數軸的正方向符合右手法則，即讓右手的四指從x軸的正向以90D的角度繞向y軸的正向握住z軸，則大拇指的指向就是z軸的正向(圖8-13).這樣，點O及三條坐標軸就構成了一個空間直角坐標系，稱為Oxyz坐標系.點O稱為坐標原點(或原點). 三條坐標軸中的任意兩條軸可以確定一個平面，統稱為坐標面.x軸與y軸確定的平面稱為xOy面，x軸與z軸確定的平面稱為xOz面，y軸與z軸確定的平面稱為yOz面.三個坐標面把空間分成八個部分，每一部分稱為卦限.由x軸、y軸和z軸的正半軸所圍成的那個卦限叫作**卦限，第二、三、四卦限在xOy面的上方，按逆時針方向依次確定.第五至第八卦限在xOy面的下方，其中第五卦限在**卦限的下方，第六、七、八卦限按逆時針依次確定.這八個卦限通常分別用字母Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ表示(圖8-14). 用i，j，k分別表示與x軸、y軸、z軸同向的單位向量.此時坐標系也稱為坐標系.對空間中任意向量r，存在唯一一點M，使得以OM為對角線作長方體(圖8-15)，則有 由定理8.1.1知，存在唯一的數組，使得，所以，這個式子稱為向量r的坐標分解式.易知ijk分別為r在x軸、y軸、z軸的射影向量，x，，yz分別為r在x軸、y軸、z軸的射影. 圖8-13 圖8-14 圖8-15 顯然，給定了向量r，就唯一確定了點M(OM=r)及坐標軸上三個分量OPOQOR，，，進而唯一確定三個有序數;反之，給定三個有序數x，，yz，就唯一確定向量r及點.這樣，在Oxyz坐標系下，點M、向量、有序數組之間有一一對應的關系稱有序數組在坐標系下的坐標，記作或;有序數組xyz也稱為點M在坐標系Oxyz下的坐標，記作.注意，記號(，，)既表示點M又表示向量OM.坐標面及坐標軸上點的坐標各有一定的特征.xOy面上點的坐標為面上的點的坐標為(0yz)，zOx面上的點的坐標為(0)z.x軸上點的坐標為軸上點的坐標為，z軸上點的坐標為.原點坐標為. 五、向量線性運算的坐標表示 設，則，進而 也就是說，向量的坐標等于其終點的坐標減去其始點的坐標.a(，，)x，即 設 則利用向量線性運算的規律，易得， 因此，
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