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廣義積分論 版權信息
- ISBN：9787030703019
- 條形碼：9787030703019 ; 978-7-03-070301-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
廣義積分論 內容簡介
模糊集、模糊數、非可加測度基礎知識；單值非可加積分：包括Choquet積分、凹積分、Sugeno模糊積分、N模糊積分、擬積分、廣義模糊積分、Universal積分、單調泛函，等；集值非可加積分與非可加測度：包括集值Sugeno模糊積分、集值Choquet積分；模糊值模糊積分：包括模糊值Sugeno模糊積分、模糊值Choquet積分；各種積分不等式：基于Sugeno模糊積分、擬積分的Jensen不等式，Minkowski不等式；非可加積分的應用：在決策領域、統計學習等
廣義積分論 目錄
目錄
《模糊數學與系統及其應用叢書》序
前言
第1章 積分論大意 1
1.1 測度與可測函數 1
1.1.1 測度 1
1.1.2 可測函數 3
1.2 積分 4
1.2.1 定義、性質與收斂定理 4
1.2.2 Fubini 定理 6
1.2.3 Radon-Nikodym 定理 6
參考文獻 6
第2章 模糊集、模糊測度與可測函數 7
2.1 模糊集基礎 7
2.2 模糊測度 9
2.2.1 定義與例子 9
2.2.2 模糊測度的結構特征 11
2.2.3 模糊測度序列 14
2.3 可測函數列 17
2.4 進展與注 19
參考文獻 20
第3章 模糊積分 21
3.1 Sugeno 模糊積分 21
3.1.1 定義 21
3.1.2 性質 22
3.1.3 收斂定理 24
3.1.4 轉化定理， 由積分定義的集函數 26
3.1.5 上、下 Sugeno 積分 26
3.2 (N) 模糊積分與半模模糊積分 27
3.2.1 (N) 模糊積分 27
3.2.2 半模模糊積分 29
3.3 廣義半模模糊積分 31
3.3.1 定義與性質 32
3.3.2 收斂定理 35
3.3.3 模糊測度序列在廣義半模模糊積分意義下的弱收斂 41
3.3.4 廣義半模模糊積分的水平收斂定理 44
3.3.5 廣義半模模糊積分的表示 46
3.3.6 由廣義半模模糊積分定義的模糊測度 51
3.4 進展與注 52
參考文獻 54
第4章 Choquet 積分 57
4.1 非負函數的 Choquet 積分 57
4.1.1 定義和性質 57
4.1.2 模糊測度的表示， 共單調可加性 59
4.1.3 廣義收斂定理及 Choquet 積分表示 64
4.1.4 Choquet 積分不等式 67
4.1.5 上、下 Choquet 積分 68
4.2 非對稱 Choquet 積分 70
4.2.1 定義與性質 70
4.2.2 收斂定理 72
4.2.3 由 Choquet 積分定義的集函數 73
4.3 Fubini 定理 75
4.3.1 基于代數的 Fubini 定理 75
4.3.2 基于 σ-代數的 Fubini 定理 76
4.3.3 一般情形的乘積容度與 Fubini 定理 78
4.4 Choquet 積分——其他 80
4.4.1 對稱 Choquet 積分 80
4.4.2 關于擬 Lebesgue 測度的 Choquet 積分 82
4.4.3 新 Choquet-like 積分 84
4.4.4 Choquet-Stieltjes 積分 86
4.4.5 非單調模糊測度空間及收斂 86
4.5 進展與注 89
參考文獻 89
第5章 擬積分與廣義 Choquet 積分 93
5.1 Sugeno 與 Murofushi 的擬可加測度與積分 93
5.1.1 擬可加測度與積分的基本概念 93
5.1.2 擬可加積分的收斂定理 96
5.1.3 g-積分 101
5.1.4 Choquet-like 積分 106
5.2 σ-可加測度與擬積分 107
5.2.1 半環的基本概念 107
5.2.2 擬積分的定義 110
5.2.3 Fubini 定理 112
5.2.4 擬積分轉化定理 116
5.2.5 擬積分的廣義 Minkowski 不等式 117
5.2.6 擬積分的 Jensen 不等式 121
5.3 非負可測函數的擬積分的再定義 128
5.3.1 定義 128
5.3.2 性質 130
5.3.3 收斂定理 131
5.4 廣義 Choquet 積分 134
5.4.1 半環值模糊測度 134
5.4.2 廣義 Choquet 積分——一般情形 135
5.4.3 廣義 Choquet 積分——情形 I—情形 III 136
5.4.4 廣義 Choquet 積分的收斂定理 143
5.4.5 廣義 Choquet 積分不等式 146
5.5 進展與注 148
參考文獻 149
第6章 格值廣義模糊積分 152
6.1 格 L 上的廣義三角模與 TS-L 廣義模糊積分 152
6.1.1 格 L 上的廣義三角模 152
6.1.2 TS-L 廣義模糊積分 153
6.2 _S-L 廣義模糊積分 159
6.2.1 常值函數 TS-L 廣義模糊積分的討論 159
6.2.2 ∨S-L 廣義模糊積分 161
6.3 Rm+-值廣義模糊積分 165
6.3.1 基本概念與定義 165
6.3.2 m 維廣義模糊積分定理及收斂定理 166
6.4 進展與注 170
參考文獻 171
第7章 集值函數與模糊集值函數的積分 172
7.1 預備知識 172
7.1.1 Bochner 積分 172
7.1.2 集值函數 174
7.1.3 可積選擇空間 177
7.2 集值函數的 Aumann 積分 180
7.2.1 定義 180
7.2.2 性質 181
7.3 P0(Rn) 值函數的 Aumann 積分 184
7.3.1 基本性質， 收斂定理 184
7.3.2 Fubini 定理 185
7.3.3 Debreu 積分 186
7.4 集值測度 187
7.4.1 集值測度的定義與性質 187
7.4.2 集值測度的選擇 188
7.4.3 Radon-Nikodym 定理 189
7.5 模糊集值函數的積分 191
7.5.1 n 維模糊數 191
7.5.2 一維模糊數 193
7.5.3 模糊集值函數 194
7.5.4 模糊集值函數的積分 195
7.5.5 模糊值積分的 Fubini 定理 199
7.5.6 模糊集值測度 200
7.6 Pk(R)-值與 Pk(R)-值積分的 Jensen 不等式 201
7.6.1 凸函數與經典 Jensen 不等式 201
7.6.2 集值函數與模糊集值函數積分的幾個性質 201
7.6.3 集值 Jensen 不等式 203
7.6.4 模糊集值 Jensen 不等式 207
7.7 模糊數測度與積分 214
7.7.1 模糊數測度 214
7.7.2 模糊值函數關于模糊數測度的積分 215
7.7.3 Fubini 定理 219
7.7.4 Radon-Nikodym 定理 220
7.8 進展與注 221
參考文獻 222
第8章 集值函數與模糊集值函數的模糊積分 226
8.1 預備知識 226
8.2 集值函數的模糊積分 227
8.2.1 定義與性質 227
8.2.2 收斂定理 231
8.3 模糊集值函數的模糊積分 233
8.3.1 定義與性質 233
8.3.2 收斂定理 235
8.4 集值模糊測度與擬可加集值測度 237
8.4.1 定義與例子 237
8.4.2 集值模糊測度的一種構造方法 237
8.4.3 擬可加集值測度與 Radon-Nikodym 定理 238
8.5 集值函數的集值 Choquet 積分 239
8.5.1 定義與性質 239
8.5.2 收斂定理 242
8.6 模糊集值函數的 Choquet 積分 243
8.7 集值函數的實值 Choquet 積分 244
8.7.1 定義與性質 244
8.7.2 收斂定理 246
8.8 Choquet 積分的 Jensen 不等式 247
8.8.1 實值 Jensen 不等式 247
8.8.2 集值函數實值 Choquet 積分的 Jensen 不等式 251
8.8.3 集值 Choquet 積分的 Jensen 不等式 253
8.8.4 模糊集值 Choquet 積分的 Jensen 不等式 255
8.9 進展與注 256
參考文獻 257
第9章 模糊數模糊測度與模糊積分 259
9.1 預備知識 259
9.2 區間數模糊測度與模糊數模糊測度 262
9.3 模糊值函數關于模糊數模糊測度的模糊積分 264
9.3.1 區間值函數關于區間數模糊測度的模糊積分 264
9.3.2 模糊值函數關于模糊數模糊測度的模糊積分 267
9.4 模糊值函數關于模糊數模糊測度的廣義模糊積分 272
9.4.1 區間值函數關于區間數模糊測度的廣義模糊積分 272
9.4.2 模糊值函數關于模糊數模糊測度的廣義模糊積分 273
9.5 模糊值函數關于模糊數模糊測度的廣義 Choquet 積分 277
9.5.1 區間值函數關于區間值模糊測度的廣義 Choquet 積分——一般情形 277
9.5.2 區間值函數關于區間值模糊測度的廣義 Choquet 積分——半環情形 I—情形 III 278
9.5.3 模糊值函數關于模糊數模糊測度的廣義 Choquet 積分——半環情形 I—情形 III 280
9.6 進展與注 282
參考文獻 282
第10章 廣義模糊數 284
10.1 定義與基本定理 284
10.1.1 CH 廣義模糊數 284
10.1.2 廣義模糊數的再定義 285
10.2 廣義模糊數空間: 序、運算、距離 290
10.2.1 h-廣義模糊數 290
10.2.2 廣義模糊數 292
10.3 廣義模糊數序列 299
10.4 進展與注 303
參考文獻 304
《模糊數學與系統及其應用叢書》已出版書目 309
《模糊數學與系統及其應用叢書》序
前言
第1章 積分論大意 1
1.1 測度與可測函數 1
1.1.1 測度 1
1.1.2 可測函數 3
1.2 積分 4
1.2.1 定義、性質與收斂定理 4
1.2.2 Fubini 定理 6
1.2.3 Radon-Nikodym 定理 6
參考文獻 6
第2章 模糊集、模糊測度與可測函數 7
2.1 模糊集基礎 7
2.2 模糊測度 9
2.2.1 定義與例子 9
2.2.2 模糊測度的結構特征 11
2.2.3 模糊測度序列 14
2.3 可測函數列 17
2.4 進展與注 19
參考文獻 20
第3章 模糊積分 21
3.1 Sugeno 模糊積分 21
3.1.1 定義 21
3.1.2 性質 22
3.1.3 收斂定理 24
3.1.4 轉化定理， 由積分定義的集函數 26
3.1.5 上、下 Sugeno 積分 26
3.2 (N) 模糊積分與半模模糊積分 27
3.2.1 (N) 模糊積分 27
3.2.2 半模模糊積分 29
3.3 廣義半模模糊積分 31
3.3.1 定義與性質 32
3.3.2 收斂定理 35
3.3.3 模糊測度序列在廣義半模模糊積分意義下的弱收斂 41
3.3.4 廣義半模模糊積分的水平收斂定理 44
3.3.5 廣義半模模糊積分的表示 46
3.3.6 由廣義半模模糊積分定義的模糊測度 51
3.4 進展與注 52
參考文獻 54
第4章 Choquet 積分 57
4.1 非負函數的 Choquet 積分 57
4.1.1 定義和性質 57
4.1.2 模糊測度的表示， 共單調可加性 59
4.1.3 廣義收斂定理及 Choquet 積分表示 64
4.1.4 Choquet 積分不等式 67
4.1.5 上、下 Choquet 積分 68
4.2 非對稱 Choquet 積分 70
4.2.1 定義與性質 70
4.2.2 收斂定理 72
4.2.3 由 Choquet 積分定義的集函數 73
4.3 Fubini 定理 75
4.3.1 基于代數的 Fubini 定理 75
4.3.2 基于 σ-代數的 Fubini 定理 76
4.3.3 一般情形的乘積容度與 Fubini 定理 78
4.4 Choquet 積分——其他 80
4.4.1 對稱 Choquet 積分 80
4.4.2 關于擬 Lebesgue 測度的 Choquet 積分 82
4.4.3 新 Choquet-like 積分 84
4.4.4 Choquet-Stieltjes 積分 86
4.4.5 非單調模糊測度空間及收斂 86
4.5 進展與注 89
參考文獻 89
第5章 擬積分與廣義 Choquet 積分 93
5.1 Sugeno 與 Murofushi 的擬可加測度與積分 93
5.1.1 擬可加測度與積分的基本概念 93
5.1.2 擬可加積分的收斂定理 96
5.1.3 g-積分 101
5.1.4 Choquet-like 積分 106
5.2 σ-可加測度與擬積分 107
5.2.1 半環的基本概念 107
5.2.2 擬積分的定義 110
5.2.3 Fubini 定理 112
5.2.4 擬積分轉化定理 116
5.2.5 擬積分的廣義 Minkowski 不等式 117
5.2.6 擬積分的 Jensen 不等式 121
5.3 非負可測函數的擬積分的再定義 128
5.3.1 定義 128
5.3.2 性質 130
5.3.3 收斂定理 131
5.4 廣義 Choquet 積分 134
5.4.1 半環值模糊測度 134
5.4.2 廣義 Choquet 積分——一般情形 135
5.4.3 廣義 Choquet 積分——情形 I—情形 III 136
5.4.4 廣義 Choquet 積分的收斂定理 143
5.4.5 廣義 Choquet 積分不等式 146
5.5 進展與注 148
參考文獻 149
第6章 格值廣義模糊積分 152
6.1 格 L 上的廣義三角模與 TS-L 廣義模糊積分 152
6.1.1 格 L 上的廣義三角模 152
6.1.2 TS-L 廣義模糊積分 153
6.2 _S-L 廣義模糊積分 159
6.2.1 常值函數 TS-L 廣義模糊積分的討論 159
6.2.2 ∨S-L 廣義模糊積分 161
6.3 Rm+-值廣義模糊積分 165
6.3.1 基本概念與定義 165
6.3.2 m 維廣義模糊積分定理及收斂定理 166
6.4 進展與注 170
參考文獻 171
第7章 集值函數與模糊集值函數的積分 172
7.1 預備知識 172
7.1.1 Bochner 積分 172
7.1.2 集值函數 174
7.1.3 可積選擇空間 177
7.2 集值函數的 Aumann 積分 180
7.2.1 定義 180
7.2.2 性質 181
7.3 P0(Rn) 值函數的 Aumann 積分 184
7.3.1 基本性質， 收斂定理 184
7.3.2 Fubini 定理 185
7.3.3 Debreu 積分 186
7.4 集值測度 187
7.4.1 集值測度的定義與性質 187
7.4.2 集值測度的選擇 188
7.4.3 Radon-Nikodym 定理 189
7.5 模糊集值函數的積分 191
7.5.1 n 維模糊數 191
7.5.2 一維模糊數 193
7.5.3 模糊集值函數 194
7.5.4 模糊集值函數的積分 195
7.5.5 模糊值積分的 Fubini 定理 199
7.5.6 模糊集值測度 200
7.6 Pk(R)-值與 Pk(R)-值積分的 Jensen 不等式 201
7.6.1 凸函數與經典 Jensen 不等式 201
7.6.2 集值函數與模糊集值函數積分的幾個性質 201
7.6.3 集值 Jensen 不等式 203
7.6.4 模糊集值 Jensen 不等式 207
7.7 模糊數測度與積分 214
7.7.1 模糊數測度 214
7.7.2 模糊值函數關于模糊數測度的積分 215
7.7.3 Fubini 定理 219
7.7.4 Radon-Nikodym 定理 220
7.8 進展與注 221
參考文獻 222
第8章 集值函數與模糊集值函數的模糊積分 226
8.1 預備知識 226
8.2 集值函數的模糊積分 227
8.2.1 定義與性質 227
8.2.2 收斂定理 231
8.3 模糊集值函數的模糊積分 233
8.3.1 定義與性質 233
8.3.2 收斂定理 235
8.4 集值模糊測度與擬可加集值測度 237
8.4.1 定義與例子 237
8.4.2 集值模糊測度的一種構造方法 237
8.4.3 擬可加集值測度與 Radon-Nikodym 定理 238
8.5 集值函數的集值 Choquet 積分 239
8.5.1 定義與性質 239
8.5.2 收斂定理 242
8.6 模糊集值函數的 Choquet 積分 243
8.7 集值函數的實值 Choquet 積分 244
8.7.1 定義與性質 244
8.7.2 收斂定理 246
8.8 Choquet 積分的 Jensen 不等式 247
8.8.1 實值 Jensen 不等式 247
8.8.2 集值函數實值 Choquet 積分的 Jensen 不等式 251
8.8.3 集值 Choquet 積分的 Jensen 不等式 253
8.8.4 模糊集值 Choquet 積分的 Jensen 不等式 255
8.9 進展與注 256
參考文獻 257
第9章 模糊數模糊測度與模糊積分 259
9.1 預備知識 259
9.2 區間數模糊測度與模糊數模糊測度 262
9.3 模糊值函數關于模糊數模糊測度的模糊積分 264
9.3.1 區間值函數關于區間數模糊測度的模糊積分 264
9.3.2 模糊值函數關于模糊數模糊測度的模糊積分 267
9.4 模糊值函數關于模糊數模糊測度的廣義模糊積分 272
9.4.1 區間值函數關于區間數模糊測度的廣義模糊積分 272
9.4.2 模糊值函數關于模糊數模糊測度的廣義模糊積分 273
9.5 模糊值函數關于模糊數模糊測度的廣義 Choquet 積分 277
9.5.1 區間值函數關于區間值模糊測度的廣義 Choquet 積分——一般情形 277
9.5.2 區間值函數關于區間值模糊測度的廣義 Choquet 積分——半環情形 I—情形 III 278
9.5.3 模糊值函數關于模糊數模糊測度的廣義 Choquet 積分——半環情形 I—情形 III 280
9.6 進展與注 282
參考文獻 282
第10章 廣義模糊數 284
10.1 定義與基本定理 284
10.1.1 CH 廣義模糊數 284
10.1.2 廣義模糊數的再定義 285
10.2 廣義模糊數空間: 序、運算、距離 290
10.2.1 h-廣義模糊數 290
10.2.2 廣義模糊數 292
10.3 廣義模糊數序列 299
10.4 進展與注 303
參考文獻 304
《模糊數學與系統及其應用叢書》已出版書目 309
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廣義積分論 節選
第1章 積分論大意 本章將概要介紹經典積分論的內容， 包括測度、可測函數、積分、重積分、Radon-Nikodym 定理等， 這些是構建積分論的基本框架. 本章借鑒了文獻 [3] 的**章， 詳細內容建議讀者參看 [1]—[5] 等. 本書中， 將用到以下的符號和約定: N 表示正整數集， Q 表示有理數集， R = ( 1，1) 表示實數集 (R+ 表示非負實數集)， 稱為廣義實數 (非負) 集. 對于 1.1 測度與可測函數 1.1.1 測度 記 ？ 為空集. 給定任一非空集合 X， 稱其所有子集構成的集合為 X 的冪集，記為 2X 或 P(X). 稱非空集族為 σ-代數， 若滿足： (1) (2) (3) 顯然， 若 Σ 是 σ-代數， 則其關于集合的并、交、差、補 (不超過可數次) 運算封閉. 稱二元組 (X， Σ) 為可測空間. 定義 1.1.1 給定可測空間 (X， Σ). 若集函數 m : Σ → [0，1] 滿足下列條件，則稱為測度. (1) (2) (可列可加性) 其中 特別地， 若 m(X) = 1， 則稱 m 為概率， 通常記為 P; 若 m(X) t) = {x ∈ X : f(x) > t} ∈ Σ; (2) 對 t ∈ R， 均有 (f ≤ t) = {x ∈ X : f(x) ≤t} ∈ Σ; (3) 對 t ∈ R， 均有 (f < t) = {x ∈ X : f(x) < t} ∈ Σ. 性質 1.1.9 函數 f : X → R 為可測的當且僅當下列條件之一成立： (1) 對任意開集 G R， 均有; (2) 對任意閉集 F R， 均有; (3) 對任意 Borel 集 B B(R)， 均有. 定理 1.1.10 設 f， g 是可測函數， 則 均為可測函數. 定理 1.1.11 設 {fn} 是可測函數列， 且 fn → f， 則 f 是可測的. 定理 1.1.12 設 {fn} 是可測函數列， 則是可測函數. 例 1.1.13 設 A ∈ Σ， 定義 A 的特征函數為 則 χA 是可測的. 例 1.1.14 設， 其中， 則 s 是可測的， 且稱為簡單函數. 例 1.1.15 若函數 f : R → R 是連續的， 則 f 是 B(R)-可測的. 給定 f : X → R， 記 則. 定理 1.1.16 函數 f 是可測的當且僅當 f-， f+ 是可測的. 定理 1.1.17 函數 f : X → R是可測的當且僅當存在簡單函數列 {sn}， 滿足， 且 sn → f.進一步： (1) 若 f 是有界的， 則 sn → f 是一致的; (2) 若 f 是非負的， 則 sn ↑ f. 證明 只證 f 是非負的情形. 設， 取函數，易知 sn ↑ f. 1.2 積分 1.2.1 定義、性質與收斂定理 給定測度空間 (X，Σ，m). 定義 1.2.1 (1) 設是非負簡單函數， 則其積分為; (2) 設 f : X → [0，1] 是非負可測函數， 則其積分為 (3) 設 f : X →[-∞， ∞] 是可測函數， 則其積分定義為. 當時， 稱 f 在 A 上關于 m 可積; 當或 -∞時， 稱 f 在 X 上關于 m 積分存在. 通常符號簡記為. 注 1.2.2 (1) 在概率空間 (X，Σ， P) 上， 通常稱可測函數 f 為隨機變量， 其積分通常稱為均值， 記為 E(f). (2) 關于 “幾乎處處”(a.e.): 設在給定測度空間 (X，Σ，m) 上一個與 x ∈ A ∈ Σ有關的命題 P(x). 若存在 N ∈ Σ， 使得 P(x) 在 A - N 上成立， 且 P(N) = 0， 則稱 P(x) 在 A 上幾乎處處成立， 記為 P(x)m-a.e.(或 a.e.) 于 A. 基于此， 我們有 “a.e. 有限， a.e. 相等， a.e. 收斂” 等概念. 性質 1.2.3 可積函數的積分具有下列性質： 定理 1.2.4(單調遞增收斂定理) 設 {fn} 是非負可測函數列， 則 推論 1.2.5(Fatou 引理) 設 {fn} 是非負可測函數列， 則 定理 1.2.6(控制收斂定理) 設 {fn} 是可測函數列， 且 fn → f. 若存在非負可積函數 g， 使得對任意 n ≥ 1， 均有， 則. 1.2.2 Fubini 定理 設 (X，Σ， μ) 與 (Y， Γ， ν) 是 σ-有限測度空間. 令 Σ×Γ = σ({A×B : A ∈Σ，B ∈ Γ}) 且記 μ×ν 是其上的乘積測度， 稱 (X ×Y，Σ×Γ， μ×ν) 為乘積空間. 定理 1.2.7(Fubini 定理) 設 f : X×Y → [0，∞] 是可測函數， 則 (1) fy(x) = f(x， y)， y ∈ Y， a.e. 是 Σ-可測函數; (2)是 Γ-可測函數; (3). (1)—(3) 中的 x 與 y 的地位是同等的. 由 Fubini 定理可以得到積分轉化定理. 定理 1.2.8(積分轉化定理) 設 f : X → [0， ∞] 是可測函數， 則，這里 λ 是 Lebesgue 測度. 1.2.3 Radon-Nikodym 定理 設 μ， ν 是 (X， Σ) 上的測度. 若 μ(A) = 0 ν(A) = 0， 則稱 ν 關于 μ 絕對連續， 記為 ν＜＜μ. 定理 1.2.9(Radon-Nikodym 定理) 設 μ， ν 是 (X， Σ) 上的 σ-有限測度， 則下列陳述等價： (1) ν＜＜μ; (2) 存在可測函數 f : X → [0， ∞]， 使得， 對一切 A ∈Σ 成立. 參考文獻
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