目錄序前言譯者的話章 微分方程 11.1 微分方程概述 21.2 線性微分方程的回顧和補充 41.2.1 線性微分方程的定義以及線性Cauchy-Lipschitz(柯西-利普希茨)定理 41.2.2 朗斯基行列式和常數變易法 61.2.3 常系數線性微分方程 131.2.4 求解微分方程的例子 131.3 非線性微分方程 211.3.1 非線性Cauchy-Lipschitz定理及其推論 211.3.2 變量分離方程 241.3.3 將非線性方程轉化成線性方程的例子 251.3.4 自治方程 251.3.5 定性研究的例子 281.4 附錄 291.4.1 線性Cauchy-Lipschitz定理的證明 29第2章 積分 352.1 正值函數的積分 362.1.1 可積的正值函數和正值函數的積分 362.1.2 積分的性質 372.1.3 與廣義積分收斂性的聯系 422.1.4 參考積分 452.1.5 正值函數可積性的判據 462.1.6 比較關系的積分 492.2 實值或復值函數的積分 532.2.1 可積和積分的定義 532.2.2 積分的性質 562.2.3 空間L1(I)和L2(I) 582.2.4 比較關系的積分 612.3 證明可積性和/或計算積分的工具 632.3.1 簡單的判據 632.3.2 比較法 652.3.3 分部積分 662.3.4 換元積分 672.3.5 級數積分比較 702.4 函數項序列與積分 712.4.1 問題的闡述 712.4.2 閉區間的情況 712.4.3 單調收斂定理和Beppo-Levi定理 722.4.4 Lebesgue(勒貝格)控制收斂定理 742.4.5 函數項級數在任意區間上的積分 752.5 含參數的積分 762.5.1 控制的概念和證明的原理 762.5.2 含參積分的連續性和可導性 772.5.3 Γ(伽馬)函數 862.6 雙變量函數的積分 902.6.1 在閉矩形區域上的Fubini(富比尼)定理 902.6.2 正值函數在區域I×J上的積分 922.6.3 實值或復值函數在區域I×J上的積分 932.6.4 Fubini定理 942.6.5 二重積分的計算 972.6.6 二重積分的換元法 99第3章 概率 1003.1 事件σ代數的概念和概率測度的定義(回顧)1013.1.1 事件σ代數及其性質 1013.1.2 概率測度 1053.2 實隨機變量、分布函數和概率分布律 1083.2.1 實隨機變量 1083.2.2 實隨機變量的分布函數和概率分布律 1123.3 有密度的實隨機變量/連續型隨機變量 1153.3.1 定義和例子 1153.3.2 有密度的隨機變量的概率分布律和轉換定理 1163.3.3 數學期望及其性質,以及第二轉換定理 1223.3.4 方差和標準差 1253.3.5 Markov(馬爾可夫)不等式和Bienayme-Tchebychev(別奈梅-切比雪夫)不等式 1273.4 常見的連續型概率分布律 1293.4.1 均勻分布/一致分布 1293.4.2 指數分布 1303.4.3 正態分布 1333.4.4 Gamma(伽馬)分布的隨機變量 1373.5 獨立性 1403.5.1 與獨立性有關的主要定義和性質的回顧 1403.5.2 兩個獨立且有密度的隨機變量的和的密度 1443.6 收斂性 1493.6.1 幾乎必然收斂和依概率收斂 1493.6.2 大數定律 1533.6.3 依分布收斂 1563.6.4 不同收斂模式的比較 1583.6.5 中心極限定理 1603.6.6 離散型隨機變量的近似 161第4章 冪級數和復分析初步 1684.1 單復變量函數的求導 1694.1.1 定義和例子 1694.1.2 C-可導與R2-可微的聯系,Cauchy-Riemann(柯西-黎曼)條件 1714.1.3 全純函數以及C-可導函數的運算 1754.2 冪級數和收斂半徑的定義 1774.2.1 冪級數的定義和運算 1774.2.2 收斂半徑 1784.2.3 收斂半徑的實際計算 1804.2.4 冪級數的運算以及收斂半徑的關系 1824.3 冪級數的和函數的性質 1834.3.1 冪級數的和以及收斂開圓盤 1834.3.2 冪級數的積分和求導 1844.4 展成冪級數 1924.4.1 定義以及與Taylor(泰勒)級數的聯系 1924.4.2 常見函數的冪級數展開 1944.4.3 冪級數展開的其他方法 1974.4.4 冪級數和Fourier(傅里葉)級數的聯系 1974.4.5 冪級數展開在微分方程求解中的應用 1984.4.6 解析函數 1984.5 全純函數和積分計算 2004.5.1 連續函數在路徑上的積分 2004.5.2 點關于路徑的指數(indiced'un point par rapport a un chemin) 2024.5.3 凸開集上的Cauchy定理 2054.5.4 全純函數的解析性 2054.5.5 解析函數零點孤立性定理 2074.5.6 留數定理 2114.5.7 利用留數定理來計算積分的例子 2154.5.8 使得計算閉路徑上的積分時可以忽略某些部分的工具 2204.5.9 補充部分：復對數 226第5章 準Hilbert空間 2355.1 實的準Hilbert空間 2365.1.1 雙線性型和對稱的雙線性型 2365.1.2 R-向量空間上的內積 2395.1.3 重要的等式和不等式 2405.2 復的準Hilbert空間 2425.2.1 半雙線性型 2435.2.2 埃爾米特積 2465.2.3 重要的等式和不等式 2475.3 準Hilbert空間中的正交性 2505.3.1 定義 2505.3.2 性質 2525.3.3 正交直和 2545.3.4 Schmidt(施密特)正交化過程 2575.3.5 有限維空間中規范正交基的存在性以及到有限維子空間上的投影 2615.3.6 歐幾里得空間和埃爾米特空間 2635.4 準Hilbert空間的自同態的伴隨算子 2655.4.1 定義 2655.4.2 伴隨算子的性質 2665.4.3 有限維的情況 2675.5 歐幾里得空間或埃爾米特空間中重要的自同態 2705.5.1 對稱或自伴隨的自同態 2705.5.2 正交自同態或酉自同態 2715.5.3 正交矩陣和酉矩陣 2755.5.4 自伴隨算子在規范正交基下的矩陣刻畫 2795.5.5 基本定理：有限維空間中自伴隨算子的化簡 2805.6 實對稱矩陣或埃爾米特矩陣的化簡 2835.6.1 基本定理 2835.6.2 正的或正定的自伴隨自同態或對稱矩陣或埃爾米特矩陣 284第6章 Fourier(傅里葉)級數 2896.1 Fourier級數的理論框架 2906.1.1 準Hilbert空間D 2906.1.2 準Hilbert空間D中的一些結果 2926.1.3 不等式在全純函數中的應用 2956.1.4 三角多項式以及用三角多項式函數來逼近連續函數或D中的函數 2956.1.5 正則化函數(Fonctions regularisees) 2976.2 函數的Fourier系數和相應的Fourier級數 2996.2.1 Fourier系數和Fourier級數的定義 2996.2.2 Fourier系數的性質 3026.3 Fourier級數的收斂性 3076.3.1 均方(或在D中)收斂 3086.3.2 正規收斂 3106.3.3 簡單收斂 3166.4 推廣到T-周期函數的簡短介紹 3176.5 附錄 3186.5.1 逼近定理的證明 3186.5.2 Dirichlet(狄利克雷)定理的證明 322譯者后記 325