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中算家的計數論 版權信息
- ISBN：9787030692504
- 條形碼：9787030692504 ; 978-7-03-069250-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
中算家的計數論 內容簡介
本書研究中國傳統數學的機械化、離散性和計數特征，從古代到晚清，共分4編14章，由作者多年來發表的80余篇數學史和組合數學學術論文編輯而成，選擇典型案例系統論述三千年中算計數的發展，多有新見，說明中國人自古擅長計數，對近代計數論亦有貢獻。 本書是中國數學史大專題研究，以史料和問題為中心，以應用為導向，以相關拓展和專題研究為特點，重在體例創新，避免通史寫法；顧及數學史家、數學教師、數學家對古算的觀點和研究方法，力求廣征博引、連接中西。選材既有中算有名問題，又可滿足當前教學所需，并延伸到現代計數領域。 本書的讀者對象包括：關心古代數學文化的讀者，關心中國數學史的大、中學師生，開設離散數學、組合論、圖論和算法論課程的師生，教授珠心算的教師，鉆研中國數學史的學者、讀者等。
中算家的計數論 目錄
目錄
序（李文林） i
前言 iii
第1章 導論 1
1.1 中國傳統數學：概念、分期和特征 2
1.1.1 作為數學門類專名的歷史更迭 2
1.1.2 中算的歷史分期 5
1.1.3 傳統數學的機械化特征：吳文俊先生的論述 7
1.2 離散問題：早期的淵源和現代的復興 11
1.2.1 中英文“計數”的詞源及現代意義 11
1.2.2 組合計數的早期發展 14
1.2.3 離散數學與組合計數理論 19
1.3 中國數學史中的“計數”22
1.3.1 從語義學的觀點認識“計數” 22
1.3.2 從中算家的觀點認識“計數” 23
1.3.3 從組合論的觀點認識“計數” 23
1.3.4 從思想史的觀點認識“計數” 24
1.3.5 中算計數論經歷了五個歷史時期 25
前編
第2章 洛書與周易：古代計數思想的起源 29
2.1 龜背上的洛書：世界上*古老的三階幻方 30
2.1.1 有關河圖洛書的歷史記載 31
2.1.2 洛書即洪范九疇說、洛書即九宮說 33
2.1.3 河圖即天地生成數說、河圖即圖讖說 35
2.1.4 關于河洛起源討論的小結 36
2.2 周易卦序：排列與對稱的數學 39
2.2.1 《周易》簡介 39
2.2.2 易卦的數學解析與邵雍先天圖 41
2.2.3 數學視角中易經的幾個基本概念 42
2.2.4 二進卦值菱圖的構成和性質 45
2.2.5 二進卦值菱圖中周易卦序的對稱結構 46
2.2.6 易卦卦序結構的擴展研究 48
2.2.7 結語 49
2.3 帛書周易卦序的數學建構 50
2.3.1 伏羲卦序和太乙卦序的數學建構 50
2.3.2 帛書周易方陣的數學結構分析 51
2.3.3 帛書周易六十四卦卦位及下、上卦值構造表 53
2.3.4 結語 54
2.4 行道吉兇表的構成 54
2.4.1 “行道吉兇”包括占卜表和吉兇判據 55
2.4.2 將“行道吉兇”表數字化 56
2.4.3 對“行道吉兇”表構造的分析 57
2.4.4 吉兇統計的結果 58
2.5 對周易揲法與四柱預測的數學解析 59
2.5.1 周易揲法與分揲定理 59
2.5.2 宋代費袞對“鴿籠原理”的應用 63
第3章 律歷與博局：古代計數方法的應用 66
3.1 戰國簡天象玄戈篇：世界上*古老的四階拉丁方 67
3.1.1 解讀玄戈篇：構成一個占星表 69
3.1.2 討論玄戈占星表結構的五個問題 71
3.1.3 玄戈占星表的標準形式：四階拉丁方 74
3.1.4 用“四象占星四階拉丁方”修正玄戈篇原簡的缺陷 76
3.1.5 結語 77
3.2 干支紀日：世界上絕無僅有的循環紀日歷法 77
3.2.1 天干地支循環計數法的起源與干支序數 78
3.2.2 天干地支的排列、意義和性質 80
3.2.3 干支的同余性質在考釋歷簡年代中的應用 82
3.2.4 從干支的周期性到“年朔序”84
附記：關于“干支歷”與“干支紀日的歷法”的區別的說明 86
3.3 黃鐘大呂：上古音樂中應用的計數方法 86
3.3.1 公元前三分損益法的演進：求十二律的三種途徑 87
3.3.2 十二律的精確算法和通項公式 90
3.3.3 放馬灘秦簡律書與十二律大數計算公式 92
3.3.4 黃鐘大數與十二律大數：京房的沿襲 93
3.4 漢代的博局占戲：從干支計數到位置設計 95
3.4.1 西漢木牘記載的博局占圖 95
3.4.2 博局占圖的數學分析和該圖的來源考釋 97
3.4.3 標準博局占圖的復原 98
3.4.4 博局圖與漢代銅鏡中的“TLV”紋飾 100
3.4.5 博局游戲：來自《西京雜記》的證據 100
3.4.6 結語 102
3.5 中國的Nim——從古代的游戲到現代的數學 103
3.5.1 西方的Nim就是中國古代的“抓三堆”游戲 103
3.5.2 游戲Nim變成了現代數學名詞 104
3.5.3 拓展的研究：抓三堆Nim制勝方案，Nim三元系與斯坦納三元系 107
3.5.4 掌握了Nim的計算機向你挑戰 109
第4章 管墨荀諸子書與戰國秦竹簡中的計數 110
4.1 《管子》《荀子》《韓非子》中的“計數” 111
4.1.1 管仲在《管子七法第六》中首次提出“計數”111
4.1.2 荀子、韓非子論“計數”114
4.2 相關的專題：《墨經》中的算術和早期集合概念 116
4.2.1 墨子、墨家與《墨經》簡介 116
4.2.2《墨經》中的算術和幾何知識 117
4.2.3 《墨經》中的集合與區間概念 120
4.2.4 《墨經》有關無窮和極限的概念 122
結語 124
4.3 清華大學藏戰國竹簡《算表》125
4.3.1 《清華大學藏戰國竹簡（肆）》算表的發現 125
4.3.2 清華戰國竹簡算表的構造、解讀和應用 126
4.3.3 清華簡算表在數學史上的意義 127
4.3.4 全面分析和正確解讀簡牘數據表 128
4.4 北京大學藏秦簡《陳起論數》計數內容分析 129
4.4.1 北大秦簡《陳起論數》的釋文解讀 129
4.4.2《陳起論數》現代漢語譯文 133
4.4.3 對北大秦簡《陳起論數》的分析 134
上編
第5章 《九章算術》與劉徽注中的比例、數列和體積 141
5.1 《九章》與劉注中的“率”和數列問題 142
5.1.1 劉徽是中國古代偉大的數學家 143
5.1.2 《九章算術》劉徽序 145
5.1.3 衰分章：用比例分配法解決等差、等比、調和數列6題 149
5.1.4 商功章：芻甍、芻童體屬于擬柱體 152
5.1.5 均輸章：以連比例率解復雜條件的數列4題 155
5.2 劉徽應用比例研究體積關系獲得重要定理 159
5.2.1 張衡、劉徽探索球體積的算法 160
5.2.2 劉徽用比例表示的體積定理 163
5.2.3 劉徽在開立圓術注中提出了“牟合方蓋” 164
5.3 拓展的研究：劉徽算法與劉徽猜想 165
5.3.1 劉徽算法的推廣：用積分表示 166
5.3.2 “以盒蓋為方率”求球體積的劉徽猜想 167
第6章 漢唐算經中的算術和計數舉隅 172
6.1 《周髀算經》：漢人視野中天地的算術模型 173
6.1.1 數學思想史上兩篇重要的對話 174
6.1.2 運用比例、分數和等差數列進行天文計算 176
6.1.3 應用測量和比例計算建立的宇宙模型 179
6.2 《孫子算經》的計數內容 182
6.2.1 數學思想史中的杰作：孫子對算術的評價 182
6.2.2 度量衡單位、籌算計數法和等差、等比數列 183
6.2.3 物不知數問題與各色計數問題 186
6.3 《張邱建算經》中的整數論與計數 189
6.3.1 分數乘除法和*大公約數、*小公倍數 190
6.3.2 等差、等比數列問題 192
6.3.3 不定方程：百雞問題 196
6.4 《數術記遺》中的珠算和計數工具 197
6.4.1 大數記法和循環計數理論 199
6.4.2 積算、太一算、兩儀算 200
6.4.3 三才算、五行算、運籌算 202
6.4.4 珠算和計數 204
第7章 祖沖之和祖暅：精密計算的先驅 207
7.1 祖沖之生平與成就 208
7.1.1 中古的數學天才 208
7.1.2 人類早期數學文明的標志：圓周率 209
7.1.3 祖沖之的科學貢獻永載史冊 213
7.2 祖沖之計算圓周率的方法探析 214
7.2.1 祖沖之求圓周率方法研究：應用劉徽割圓術 215
7.2.2 華羅庚對割圓術求圓周率的現代表述 217
7.2.3 擴展的研究：求圓周率其他可能的途徑 218
7.3 《大明歷》采用391年置144閏的新閏周 220
7.3.1 拓展的研究：應用算術方法分析農歷和《大明歷》 221
7.3.2 閏周的概念與相關連分數和漸近分數 223
7.3.3 “諧月”概念的提出 225
7.4 祖暅繼承劉徽從合蓋體積獲得球體積公式 228
7.4.1 祖暅原理的應用和球體積公式導出 228
7.4.2 擴展的討論：阿基米德球體積公式和卡瓦列里原理 230
7.4.3 劉徽與祖暅的歷史貢獻：一個引起討論的問題 233
中編
第8章 沈括楊輝秦九韶：杰出的計數成果 239
8.1 沈括《夢溪筆談》中計數成就探析 240
8.1.1 沈括是科學史上的偉人 241
8.1.2 沈括“隙積術”首開中算級數論 243
8.1.3 《夢溪筆談》棋局都數 245
8.1.4 “六十甲子納音” 247
8.2 楊輝：縱橫圖與垛積術 253
8.2.1 楊輝和他的數學著作 253
8.2.2 《續古摘奇算法》是數學史上的奇書 255
8.2.3 賈憲三角形 260
8.2.4 垛積術與數列問題 263
8.3 秦九韶：“道”的思想與兩項算法的巔峰之作 267
8.3.1 秦九韶與《數書九章》 267
8.3.2 秦九韶的“道”的思想 269
8.3.3 秦九韶大衍總數術：仿周易揲法的數學杰作 273
8.3.4 拓展的研究：高次方程數值解的秦九韶程序 276
第9章 朱世杰《四元玉鑒》的垛積招差術 280
9.1 《四元玉鑒》垛積招差術（上） 280
9.1.1 朱世杰的垛積招差術是組合計數的開山之作 281
9.1.2 《四元玉鑒》垛積招差術綜述 283
9.1.3 茭草形段7題 286
9.2 《四元玉鑒》垛積招差術（下） 288
9.2.1 箭積交參7題 288
9.2.2 如象招數5題 291
9.2.3 果垛疊藏20題 297
9.3 拓展的研究：朱世杰-范德蒙公式的由來和發展 300
9.3.1 尋找“朱世杰-范德蒙公式”300
9.3.2 錢寶琮先生闡發朱世杰垛積術成果的歷史貢獻 301
9.3.3 Vandermonde公式的組合意義 303
9.3.4 徐利治先生介紹朱-范公式的現代發展 304
第10章 王文素的計數成就與珠算的發展 306
10.1 《算學寶鑒》中的珠算與計數問題 307
10.1.1 王文素和他的著作《算學寶鑒》 307
10.1.2 珠算乘法的簡算法 310
10.1.3 數列、垛積和輪流均數問題 313
10.2 《算學寶鑒》所載幻圖和“王文素問題”317
10.2.1 王文素構造的五種幻圖 317
10.2.2 王文素問題之一——“三同六變” 320
10.2.3 拓展的研究：“王文素問題”三類子問題 322
10.2.4“王文素問題”的歷史價值 326
10.3 相關的進展：珠算申報世界非物質文化遺產的過程 327
10.3.1 珠算在我國文化史、數學史中的重要地位 327
10.3.2 吳文俊先生關心珠算事業的發展
序（李文林） i
前言 iii
第1章 導論 1
1.1 中國傳統數學：概念、分期和特征 2
1.1.1 作為數學門類專名的歷史更迭 2
1.1.2 中算的歷史分期 5
1.1.3 傳統數學的機械化特征：吳文俊先生的論述 7
1.2 離散問題：早期的淵源和現代的復興 11
1.2.1 中英文“計數”的詞源及現代意義 11
1.2.2 組合計數的早期發展 14
1.2.3 離散數學與組合計數理論 19
1.3 中國數學史中的“計數”22
1.3.1 從語義學的觀點認識“計數” 22
1.3.2 從中算家的觀點認識“計數” 23
1.3.3 從組合論的觀點認識“計數” 23
1.3.4 從思想史的觀點認識“計數” 24
1.3.5 中算計數論經歷了五個歷史時期 25
前編
第2章 洛書與周易：古代計數思想的起源 29
2.1 龜背上的洛書：世界上*古老的三階幻方 30
2.1.1 有關河圖洛書的歷史記載 31
2.1.2 洛書即洪范九疇說、洛書即九宮說 33
2.1.3 河圖即天地生成數說、河圖即圖讖說 35
2.1.4 關于河洛起源討論的小結 36
2.2 周易卦序：排列與對稱的數學 39
2.2.1 《周易》簡介 39
2.2.2 易卦的數學解析與邵雍先天圖 41
2.2.3 數學視角中易經的幾個基本概念 42
2.2.4 二進卦值菱圖的構成和性質 45
2.2.5 二進卦值菱圖中周易卦序的對稱結構 46
2.2.6 易卦卦序結構的擴展研究 48
2.2.7 結語 49
2.3 帛書周易卦序的數學建構 50
2.3.1 伏羲卦序和太乙卦序的數學建構 50
2.3.2 帛書周易方陣的數學結構分析 51
2.3.3 帛書周易六十四卦卦位及下、上卦值構造表 53
2.3.4 結語 54
2.4 行道吉兇表的構成 54
2.4.1 “行道吉兇”包括占卜表和吉兇判據 55
2.4.2 將“行道吉兇”表數字化 56
2.4.3 對“行道吉兇”表構造的分析 57
2.4.4 吉兇統計的結果 58
2.5 對周易揲法與四柱預測的數學解析 59
2.5.1 周易揲法與分揲定理 59
2.5.2 宋代費袞對“鴿籠原理”的應用 63
第3章 律歷與博局：古代計數方法的應用 66
3.1 戰國簡天象玄戈篇：世界上*古老的四階拉丁方 67
3.1.1 解讀玄戈篇：構成一個占星表 69
3.1.2 討論玄戈占星表結構的五個問題 71
3.1.3 玄戈占星表的標準形式：四階拉丁方 74
3.1.4 用“四象占星四階拉丁方”修正玄戈篇原簡的缺陷 76
3.1.5 結語 77
3.2 干支紀日：世界上絕無僅有的循環紀日歷法 77
3.2.1 天干地支循環計數法的起源與干支序數 78
3.2.2 天干地支的排列、意義和性質 80
3.2.3 干支的同余性質在考釋歷簡年代中的應用 82
3.2.4 從干支的周期性到“年朔序”84
附記：關于“干支歷”與“干支紀日的歷法”的區別的說明 86
3.3 黃鐘大呂：上古音樂中應用的計數方法 86
3.3.1 公元前三分損益法的演進：求十二律的三種途徑 87
3.3.2 十二律的精確算法和通項公式 90
3.3.3 放馬灘秦簡律書與十二律大數計算公式 92
3.3.4 黃鐘大數與十二律大數：京房的沿襲 93
3.4 漢代的博局占戲：從干支計數到位置設計 95
3.4.1 西漢木牘記載的博局占圖 95
3.4.2 博局占圖的數學分析和該圖的來源考釋 97
3.4.3 標準博局占圖的復原 98
3.4.4 博局圖與漢代銅鏡中的“TLV”紋飾 100
3.4.5 博局游戲：來自《西京雜記》的證據 100
3.4.6 結語 102
3.5 中國的Nim——從古代的游戲到現代的數學 103
3.5.1 西方的Nim就是中國古代的“抓三堆”游戲 103
3.5.2 游戲Nim變成了現代數學名詞 104
3.5.3 拓展的研究：抓三堆Nim制勝方案，Nim三元系與斯坦納三元系 107
3.5.4 掌握了Nim的計算機向你挑戰 109
第4章 管墨荀諸子書與戰國秦竹簡中的計數 110
4.1 《管子》《荀子》《韓非子》中的“計數” 111
4.1.1 管仲在《管子七法第六》中首次提出“計數”111
4.1.2 荀子、韓非子論“計數”114
4.2 相關的專題：《墨經》中的算術和早期集合概念 116
4.2.1 墨子、墨家與《墨經》簡介 116
4.2.2《墨經》中的算術和幾何知識 117
4.2.3 《墨經》中的集合與區間概念 120
4.2.4 《墨經》有關無窮和極限的概念 122
結語 124
4.3 清華大學藏戰國竹簡《算表》125
4.3.1 《清華大學藏戰國竹簡（肆）》算表的發現 125
4.3.2 清華戰國竹簡算表的構造、解讀和應用 126
4.3.3 清華簡算表在數學史上的意義 127
4.3.4 全面分析和正確解讀簡牘數據表 128
4.4 北京大學藏秦簡《陳起論數》計數內容分析 129
4.4.1 北大秦簡《陳起論數》的釋文解讀 129
4.4.2《陳起論數》現代漢語譯文 133
4.4.3 對北大秦簡《陳起論數》的分析 134
上編
第5章 《九章算術》與劉徽注中的比例、數列和體積 141
5.1 《九章》與劉注中的“率”和數列問題 142
5.1.1 劉徽是中國古代偉大的數學家 143
5.1.2 《九章算術》劉徽序 145
5.1.3 衰分章：用比例分配法解決等差、等比、調和數列6題 149
5.1.4 商功章：芻甍、芻童體屬于擬柱體 152
5.1.5 均輸章：以連比例率解復雜條件的數列4題 155
5.2 劉徽應用比例研究體積關系獲得重要定理 159
5.2.1 張衡、劉徽探索球體積的算法 160
5.2.2 劉徽用比例表示的體積定理 163
5.2.3 劉徽在開立圓術注中提出了“牟合方蓋” 164
5.3 拓展的研究：劉徽算法與劉徽猜想 165
5.3.1 劉徽算法的推廣：用積分表示 166
5.3.2 “以盒蓋為方率”求球體積的劉徽猜想 167
第6章 漢唐算經中的算術和計數舉隅 172
6.1 《周髀算經》：漢人視野中天地的算術模型 173
6.1.1 數學思想史上兩篇重要的對話 174
6.1.2 運用比例、分數和等差數列進行天文計算 176
6.1.3 應用測量和比例計算建立的宇宙模型 179
6.2 《孫子算經》的計數內容 182
6.2.1 數學思想史中的杰作：孫子對算術的評價 182
6.2.2 度量衡單位、籌算計數法和等差、等比數列 183
6.2.3 物不知數問題與各色計數問題 186
6.3 《張邱建算經》中的整數論與計數 189
6.3.1 分數乘除法和*大公約數、*小公倍數 190
6.3.2 等差、等比數列問題 192
6.3.3 不定方程：百雞問題 196
6.4 《數術記遺》中的珠算和計數工具 197
6.4.1 大數記法和循環計數理論 199
6.4.2 積算、太一算、兩儀算 200
6.4.3 三才算、五行算、運籌算 202
6.4.4 珠算和計數 204
第7章 祖沖之和祖暅：精密計算的先驅 207
7.1 祖沖之生平與成就 208
7.1.1 中古的數學天才 208
7.1.2 人類早期數學文明的標志：圓周率 209
7.1.3 祖沖之的科學貢獻永載史冊 213
7.2 祖沖之計算圓周率的方法探析 214
7.2.1 祖沖之求圓周率方法研究：應用劉徽割圓術 215
7.2.2 華羅庚對割圓術求圓周率的現代表述 217
7.2.3 擴展的研究：求圓周率其他可能的途徑 218
7.3 《大明歷》采用391年置144閏的新閏周 220
7.3.1 拓展的研究：應用算術方法分析農歷和《大明歷》 221
7.3.2 閏周的概念與相關連分數和漸近分數 223
7.3.3 “諧月”概念的提出 225
7.4 祖暅繼承劉徽從合蓋體積獲得球體積公式 228
7.4.1 祖暅原理的應用和球體積公式導出 228
7.4.2 擴展的討論：阿基米德球體積公式和卡瓦列里原理 230
7.4.3 劉徽與祖暅的歷史貢獻：一個引起討論的問題 233
中編
第8章 沈括楊輝秦九韶：杰出的計數成果 239
8.1 沈括《夢溪筆談》中計數成就探析 240
8.1.1 沈括是科學史上的偉人 241
8.1.2 沈括“隙積術”首開中算級數論 243
8.1.3 《夢溪筆談》棋局都數 245
8.1.4 “六十甲子納音” 247
8.2 楊輝：縱橫圖與垛積術 253
8.2.1 楊輝和他的數學著作 253
8.2.2 《續古摘奇算法》是數學史上的奇書 255
8.2.3 賈憲三角形 260
8.2.4 垛積術與數列問題 263
8.3 秦九韶：“道”的思想與兩項算法的巔峰之作 267
8.3.1 秦九韶與《數書九章》 267
8.3.2 秦九韶的“道”的思想 269
8.3.3 秦九韶大衍總數術：仿周易揲法的數學杰作 273
8.3.4 拓展的研究：高次方程數值解的秦九韶程序 276
第9章 朱世杰《四元玉鑒》的垛積招差術 280
9.1 《四元玉鑒》垛積招差術（上） 280
9.1.1 朱世杰的垛積招差術是組合計數的開山之作 281
9.1.2 《四元玉鑒》垛積招差術綜述 283
9.1.3 茭草形段7題 286
9.2 《四元玉鑒》垛積招差術（下） 288
9.2.1 箭積交參7題 288
9.2.2 如象招數5題 291
9.2.3 果垛疊藏20題 297
9.3 拓展的研究：朱世杰-范德蒙公式的由來和發展 300
9.3.1 尋找“朱世杰-范德蒙公式”300
9.3.2 錢寶琮先生闡發朱世杰垛積術成果的歷史貢獻 301
9.3.3 Vandermonde公式的組合意義 303
9.3.4 徐利治先生介紹朱-范公式的現代發展 304
第10章 王文素的計數成就與珠算的發展 306
10.1 《算學寶鑒》中的珠算與計數問題 307
10.1.1 王文素和他的著作《算學寶鑒》 307
10.1.2 珠算乘法的簡算法 310
10.1.3 數列、垛積和輪流均數問題 313
10.2 《算學寶鑒》所載幻圖和“王文素問題”317
10.2.1 王文素構造的五種幻圖 317
10.2.2 王文素問題之一——“三同六變” 320
10.2.3 拓展的研究：“王文素問題”三類子問題 322
10.2.4“王文素問題”的歷史價值 326
10.3 相關的進展：珠算申報世界非物質文化遺產的過程 327
10.3.1 珠算在我國文化史、數學史中的重要地位 327
10.3.2 吳文俊先生關心珠算事業的發展
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中算家的計數論 節選
第1章 導論 遠古時代人類活動的遺址不斷被發現：在聚落的規劃、神壇的建造，以及大量的出土器物中，人們清楚地看到規則圖形的運用、數量的表現，以及比例與勻稱、排列與配置等—原始數學的思想凝聚于所造物品之中，“物化”為具體的器件，經歷了漫長的歲月，不妨稱之為“物化的數學”。當人們仔細考察先民的各種祭祀和占卜活動：部落的圖騰、易經的卦序、星占的兆象等，約略現出內含其中的神秘的數字、嚴格的序關系、空間的方位、對稱與對應等—早期數學的思想和方法滲透到社會生活之中，轉化為神圣的規則，備受先民的推崇，不妨稱之為“內蘊的數學”。在史前時代，數學作為一門學科尚未成形，但是它的思想和精神，在人類活動和創造的各個方面，就已得到生動的體現。 中國傳統數學作為東方數學的代表之一，在幾千年的發展史中對人類數學文明作出了重要貢獻，產生出數百位著名數學家，上千種數學著作流傳后世。 數學知識被應用于天文、歷法、地理、氣象、物理等自然科學的各個方面。我國先人運用數學知識：步躔離定五星、確定國土疆界、測量田畝道路、修筑城垣長城、開鑿運河渠塘、建設廟堂橋塔，制作舟車弓矢、金玉瓷器等。數學成為推動文明發展的重要力量。 一百年來，以李儼、錢寶琮先生為代表的幾代學者，以他們的基礎工作，創立了以《九章算術》為核心的兩千年中國數學史學科的理論、方法與史料體系。而半個多世紀以來，考古界又有大量新發現，青銅器和簡牘等文物源源不斷地被發掘出來，其中有不少數學史的相關資料。所有這些見證中華文明的史實，都激勵今天的愛好者和研究者繼續探尋西漢末上溯至公元前一千年間那個歷史階段的數學文明。隨著信息的增長、思路的開闊和工具的演進，數學史的研究也努力開辟新的領域，達到新的高度。 李約瑟在《中國科學技術史：第三卷數學》“作者的話”中說：“我們必須記得，這些史實關系到一個民族的文化，而這個民族的人口占人類的五分之一以上，他們三千年來定居在一片至少和歐洲大小相等的土地上，并且他們的才能肯定不遜于其他民族。”① 1.1 中國傳統數學：概念、分期和特征 數學和科學均屬文化現象。數學伴隨著中國文化的產生起源于上古。這個命題涉及“數學”和“上古”等概念，在不同的文獻中可能有不盡一致的解讀，因此有必要通過對歷史的陳述，明確對這些基本概念的理解。 人們習慣于用“數學”來表述曾發生過的一切與數量、空間圖形、計算等相關的現象。一方面，這個詞得到普遍的認同，具有歷史回溯力，以今論古未嘗不可；但是另一方面，需要警惕：因這一重要概念產生于近代，歷史的真實可能因按今天的定義去理解而發生畸變。學術研究中需要嚴格把握不同階段“數學”的內涵和外延。*簡單的做法就是：用那個時期的原有名稱來指稱“數學”。 1.1.1 作為數學門類專名的歷史更迭 “數學”具有與 mathematics相對應的含義，有必要考察這一詞義的歷史更替，它的內涵和外延的古今演化。 如果把現今的數學比作一株枝葉繁盛的大樹或一片茂密的森林，那么古代的卓越成就好像是早期的樹根，深藏地下，雖然外面看不見它，卻是樹林不可或缺的組成部分。于是，提出幾個問題：①中國古人怎么稱呼現今所說的數學？②在歷史上*長久的“算術”、近代應用*多的“算學”在20世紀30年代之后為什么就很少使用了？③大體與 mathematics相同的“數學”一名出現在什么時代？以下就幾個歷史名詞作為切入點展開討論。 1）九數 《周禮 地官司徒》記載： 保氏掌諫王惡，而養國子以道，乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五御，五曰六書，六曰九數。 此即古代所設六門課程：禮、樂、射、御、書、數。在《管子 幼官圖第九》中出現“九數”： 九和時節，君服白色，味辛味，聽商聲，治濕氣，用九數，飲于白后（石）之井，以介獸之火爨。藏恭敬，行搏銳，坦氣修通，凡物開靜，形生理。 以上兩文中并未解釋“九數”的內容，它在古文獻中亦不多見，應是指“數”有九個細目。東漢鄭玄在《周禮》注中引鄭眾（司農）稱： 九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股也。 2）計數 早在史前時代，原始人類經過漫長的蒙昧時期，開始認識周圍世界，終于迎來智慧的曙光，出現對“數”的認知、命名和記錄。傳說中的“隸首造數”標志著首批計數成果的誕生。史上*早記錄數學萌發期內容的專用名詞有“九數”“計數”，但后者卻未能引起史家重視。在記載春秋齊相管仲言論的《管子》（管子學派于戰國時代編成）《七法第六》①中，管仲提出治國“七法”：則、象、法、化、決塞、心術、計數，其中第七法對“計數”的解釋是： 剛柔也，輕重也，大小也，實虛也，遠近也，多少也，謂之計數。 這是史上**次對一種數學門類所作的明確定義，把硬度、重量、尺寸、密度、距離、數量等都歸為“計數”的對象。“計數”概念的歷史發展詳見§1.3節。 3）籌算（籌筭） 籌，又稱為策、籌策、算籌、算子等，是早期計數工具，亦用作布列算式、進行四則以及解方程等運算的算具。“算”亦作“筭”，顯示在算版上擺放并移動籌策的過程。籌以竹木、金屬、骨、玉等制成，一般長為13～14厘米，徑0.2～0.3厘米。1971年陜西千陽出土西漢宣帝時的骨制算籌②為現知*早的算籌。籌或策至遲在春秋時老子的《道德經》中就已出現：“善行無轍跡，善言無瑕謫，善數不用籌策”。用籌計算稱為“布籌”“運籌”；班固《漢書 貨殖傳》稱為“籌算”：“鐵山鼓鑄，運籌算”。晉代葛洪《抱樸子 雜應》稱為“籌筭”：“占風氣，布籌筭。”所以籌算成為古代的學科名稱。 早期的籌策以草莖（如蓍草，莖長可達1米）制成，也用于占筮和投壺，其功能到后代分別演化。占筮用蓍可夾在手指間，長度與籌算用蓍類似；后多用竹，運“籌”即運“筭”，皆從“竹”；迄今觀音廟可見算卦先生搖動求簽筒中標有簽號的竹簽，任其隨機分布，為求簽者抽出一簽，預言吉兇休咎；簽長達20厘米或更多，其形如箭。其實古代就以類似的箭筒用于投壺，竹簽改用箭枝，成為上層社會流傳千年*風行的游戲之一，就像今天打高爾夫球，小圈子聚會，自我欣賞，其樂陶陶。計數、占卜和游戲相輔而行，具有相近的起源。 4）數術（術數）* 數為命運、氣數，術為方術、方法，指用種種方術觀察自然或社會的現象，來推測國家或個人的氣數和命運。早期術數包括天文、歷法、五行、蓍龜、雜占、形法。南宋秦九韶在《數書九章》（有記載說它的原名就叫作《數術》或《數術大略》）序中給術數下的定義，包括了不少數學內容，也提到蓍占、河圖、洛書、八卦、九疇、太乙、六壬、奇門、遁甲等。清代《四庫全書總目 術數類》說： 術數之興，多在秦漢以后，其要旨不出乎陰陽五行、生克制化，實皆易之支派，傅以雜說耳。 后世術數泛指占星、卜筮、太乙（或太一）、六壬、奇門、遁甲、相術、拆字、起課、堪輿、占候等，今多被視為迷信，其中太乙、六壬、遁甲被稱為“三式”③，還制出專用的工具“式盤”，后代多有出土。這里討論與數學相關的一些問題。 （1）術數與《易經》的關系。《左傳 僖公十五年》說： 龜，象也；筮，數也。物生而后有象，象而后有滋，滋而后有數。 殷商前原始前兆認知發展到一定階段，形成了周代《易經》八卦六十四卦體系。它是我國*古老的一部占筮用書，為象數之宗，也是術數之鼻祖。《易經》是中國哲學史上**部經典著作，位居六經之首。它含有古代天文、數學、音律、醫理、生物等方面的知識，在科學思想史上占有重要地位。 （2）歷代疇人大都受到《易經》思想的影響。如3世紀劉徽在《九章算術注》原序中說： 昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情；作九九之術，以合六爻之變。 于是建歷紀，協律呂，用稽道原，然后兩儀四象精微之氣可得而效焉。 又如13世紀秦九韶在《數書九章》中說： 爰自河圖洛書，闿發秘奧，八卦九疇，錯綜精微，極而至于大衍皇極之用，而人事之變無不該，鬼神之情莫能隱矣。 涉及術數的中算史料不乏其例，上面引用的兩段都是在一書的序言里作為總綱或指導思想提出的，因而在研究中算史時，輕易帶過或將其排除在中算史之外都難以交代。 （3）中算史上許多疇人博通經史，對易學、術數亦有研究。漢徐岳撰《數術記遺》主要是數術著作。北周甄鸞撰、唐李淳風等注《五經算術》，以數理講解經義，其中有“易策數法”的名目。宋沈括《夢溪筆談》中討論過揲蓍之法。由于程朱理學的興起， 象數內容在宋以后的算書中俯拾皆是。清屈曾發《九數通考》十三卷卷首赫然寫道：“（河）圖（洛）書為數學之源” 凡此種種，中算史研究無法回避，應予正視。 （4）古代數術的地位，遠在算學之上。多年來學界將術數與迷信畫等號，視為文化糟粕。例如“圖書”二字，來源于河圖洛書，本是數學、科學、文化的源頭，這種觀點卻遭批判。在歷史上，數術確曾處于舉足輕重的地位，與天文、歷算相提并論。可以說，昔日之視術數，猶今日之視科學。《漢書 藝文志》總序中說：“術數者，皆明堂羲和史卜之職也。”《史記 日者列傳》記載：“孝武帝時聚會占家問之：某日可取婦乎？五行家曰可，堪輿（按即風水）家曰不可。”看來他們有權在皇帝面前爭論。光武帝更重用術士，提拔大搞圖讖的王梁、孫咸作大司空、大司馬 操占卜、星象的術士，其地位高于持籌的算家。 把術數（或其一部分）看作數學可能不易被接受。實際上，古代數學的思想和方法往往與巫祝的占卜、禱告與祈神等摻合在一起，難解難分。其內在的精華被外在的表現形式所掩蓋，往往被當作糟粕，為某些研究者所不屑。像中醫早期巫醫不分、利用化學反應求長命仙丹一樣，真實的科學史，湮沒在神學活動的霧霾之中。像不離璞，企圖清洗掉“璞”的背景而獲得純粹的“像”，好比在上古尋找中小學書本上“純粹的數學”。 本書前編將辟第2、第3兩章，力圖進入到占卜和游戲的一角，嘗試發掘其中的內涵，這兩類活動對數學史而言較為偏遠，雖與以往的研究旨趣相異，但同樣屬于古人數學思維活動的領域。 5）算數 算術 算經 《算數書》系西漢呂后至文帝初年（前186年之前）由200余支竹簡、約七千字隸書撰成，現今所知中算史上**部用“算數”作為學科名稱的著作。 漢唐之間至少有十部重要數學書籍流傳于世，唐代立于學官，成為政府指定的數學教材。明代稱之為《十經》或《十書》，清代稱為《算經十書》。其中稱為“算經”的有《周髀算經》《孫子算經》等七種；稱為“算術”的兩種：《九章算術》《五經算術》，稱為“數術”的一種：《數術記遺》。“算經”“算術”均有“筭”，說明它們均以籌算為中心。中算史許多內容集中在對算術的研究。 6）算學與中算史 宋元時才出現“算學”的名稱，越靠近代所見越多，尤其是清代。例如，（元）朱世杰著《新編算學啟蒙》，（明）王文素著《算學寶鑒》，（清）汪萊撰《衡齋算學》，（清）李善蘭撰《則古昔齋算學》等；晚清編的數學叢書大都取名“算學叢書”，例如，丁取忠編著“白芙堂算學叢書”，劉鐸輯“古今算學叢書”。只是到辛亥革命之后，“算學”才逐步為“數學”替代：北京大學1913年秋成立數學系（門）①，國內有的大學則稱為“算學系”，如清華大學。到1935年，中國算學會經大會決議改稱中國數學會（見《科學》，1935年19卷8期，第1329頁）。此后全國的算學系皆改為數學系。 李儼先生《中國算學史》②稱“算學”；“中算史論叢”③對幾何學、縱橫圖、內插法、級數論等的系列研究，著眼點均在“中算家的”，符合歷史實際，深得傳統數學要旨，既簡練、又貼切。 7）數學 1244年，秦九韶任建康府（南京）通判，奔母喪回湖州守孝三年，著《數學九章》（1247年），《永樂大典》和四庫全書均采此書名。秦九韶進見宋理宗趙昀時呈《數學大略》，同時代周密所記亦
中算家的計數論 作者簡介
羅見今，1942年生，1962年從教，資深科學史、數學史工作者。1978年進入科學技術史、中國數學史研究領域，1992年為內蒙古師范大學科學史研究所教授，領取國務院政府特殊津貼，兼西北大學教授，先后任西北大學和內蒙古師范大學博士生導師。曾任內蒙古師范大學科學史研究所所長、科學史與科技管理系主任，中國數學會數學史分會副理事長，全國組合數學研究會首屆會員、理事。主要研究方向：科學史、數學史、組合數學、簡牘年代學。
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