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高等數學(上冊) 版權信息
- ISBN：9787030696267
- 條形碼：9787030696267 ; 978-7-03-069626-7
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
高等數學(上冊) 內容簡介
《高等數學（上冊）》根據教育部頒布的本科非數學專業理工類高等數學課程教學基本要求及全國碩士研究生入學考試數學大綱編寫而成。 《高等數學（上冊）》分上、下兩冊《高等數學（上冊）》為上冊，內容包括極限與連續、一元函數微積分學等內容。《高等數學（上冊）》基本上每節都配有難易不同的A、B兩組習題，每章都附有本章小結與總復習題。《高等數學（上冊）》還配有兩類內容豐富的數字教學資源。一類是與每節配套的設計新穎的課前測、重（難）點講解、電子課件以及習題參考答案等。另一類為《高等數學（上冊）》附錄，包括數學歸納法、一些常用的中學數學公式、幾種常用的曲線、積分表、微積分歷史沿革、MATLAB軟件簡介（上）等，讀者可以掃描二維碼反復學習。
高等數學(上冊) 目錄
目錄
前言
第1章 函數、極限與連續 1
1.1 函數 1
1.2 數列的極限 26
1.3 函數的極限 36
1.4 無窮小量與無窮大量 49
1.5 極限運算法則 55
1.6 極限存在準則及兩個重要極限 66
1.7 無窮小的比較 78
1.8 函數的連續性 85
1.9 閉區間上連續函數的性質 99
本章小結 103
總復習題1 105
第2章 導數與微分 107
2.1 導數的概念 107
2.2 導數的運算法則與基本公式 119
2.3 高階導數 130
2.4 隱函數與參數方程確定的函數的導數 137
2.5 函數的微分及其應用 148
本章小結 159
總復習題2 160
第3章 微分中值定理與導數的應用 163
3.1 微分中值定理 163
3.2 洛必達法則 174
3.3 泰勒公式 184
3.4 函數的單調性與曲線的凹凸性 196
3.5 函數的極值與*大值、*小值 206
3.6 函數圖形的描繪 217
3.7 曲率 224
本章小結 233
總復習題3 236
第4章 不定積分 238
4.1 不定積分的概念與性質 238
4.2 不定積分的換元積分法 246
4.3 不定積分的分部積分法 258
4.4 簡單有理函數的積分 265
4.5.積分表的使用 272
本章小結 274
總復習題4 276
第5章 定積分 278
5.1 定積分的概念與性質 278
5.2 微積分基本定理 288
5.3 定積分的換元積分法與分部積分法 296
5.4 反常積分 306
本章小結 319
總復習題5 320
第6章 定積分的應用 323
6.1 定積分的微元法 323
6.2 定積分在幾何上的應用 325
6.3 定積分在物理學中的應用 341
本章小結 347
總復習題6 348
參考文獻 351
教學資源說明 352
前言
第1章 函數、極限與連續 1
1.1 函數 1
1.2 數列的極限 26
1.3 函數的極限 36
1.4 無窮小量與無窮大量 49
1.5 極限運算法則 55
1.6 極限存在準則及兩個重要極限 66
1.7 無窮小的比較 78
1.8 函數的連續性 85
1.9 閉區間上連續函數的性質 99
本章小結 103
總復習題1 105
第2章 導數與微分 107
2.1 導數的概念 107
2.2 導數的運算法則與基本公式 119
2.3 高階導數 130
2.4 隱函數與參數方程確定的函數的導數 137
2.5 函數的微分及其應用 148
本章小結 159
總復習題2 160
第3章 微分中值定理與導數的應用 163
3.1 微分中值定理 163
3.2 洛必達法則 174
3.3 泰勒公式 184
3.4 函數的單調性與曲線的凹凸性 196
3.5 函數的極值與*大值、*小值 206
3.6 函數圖形的描繪 217
3.7 曲率 224
本章小結 233
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第4章 不定積分 238
4.1 不定積分的概念與性質 238
4.2 不定積分的換元積分法 246
4.3 不定積分的分部積分法 258
4.4 簡單有理函數的積分 265
4.5.積分表的使用 272
本章小結 274
總復習題4 276
第5章 定積分 278
5.1 定積分的概念與性質 278
5.2 微積分基本定理 288
5.3 定積分的換元積分法與分部積分法 296
5.4 反常積分 306
本章小結 319
總復習題5 320
第6章 定積分的應用 323
6.1 定積分的微元法 323
6.2 定積分在幾何上的應用 325
6.3 定積分在物理學中的應用 341
本章小結 347
總復習題6 348
參考文獻 351
教學資源說明 352
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高等數學(上冊) 節選
第1章 函數、極限與連續 17世紀法國數學家笛卡兒(René Descartes)把變量引入數學，由此運動進入了數學，辯證法進入了數學，*終形成并發展了微積分.微積分是人類思維的偉大成果之一，并廣泛應用于現代科學技術中.高等數學的基本內容是微積分，微積分包含微分學與積分學，它以函數為主要研究對象，主要用極限方法揭示連續函數的重要性態. 本章先簡單回顧函數的概念及有關性質，再著重介紹極限和連續的基本概念、重要性質與思想方法，為學好微積分打下扎實的基礎. 1.1 函數 一、變量與常用數集 恩格斯說過:“數學是研究現實生活中數量關系和空間形式的科學”.自然界千變萬化的事物是自然科學的研究對象，數學是*重要的研究工具，數學思維的方法就是把千變萬化的事物與數量聯系起來，在用數學方法描述現實生活中的許多自然現象或變化過程時，常需要用多個數量來表達其關系與結構，觀察這些數量一般可分為兩類:一類是在某過程中保持不變的量，稱為常量;另一類是在某過程中可以取不同的值，或不斷變化著的量，稱為變量.例如在觀察圓的圖形變化時，直徑與周長都是變量，而圓的周長與直徑的比值(圓周率)π是一個常量;又如在自由落體運動中，物體的下降速度、下降時間及下降距離都是變量，而物體的質量在該過程中可以看作是常量.一般地，用字母a，b，c等表示常量，用字母x，y，z，t等表示變量.一個量是變量還是常量，需要在具體問題中作具體分析.例如就小范圍的地區來說，重力加速度g可以看作是常量，而在宇宙中重力加速度g則是一個變量. 自然界中有兩類常見的變量，一類如自然數n，每兩個之間均有間隔地變化著的量，我們稱為離散型變量;另一類如實數x，連續不間斷地變化著的量，這類變量稱為連續型變量，本課程是一門以研究連續型變量為主的數學課程. 在討論變量間的數量關系時，常須明確變量的取值范圍，單個變量的取值范圍常用數集來表示.本書討論的變量在沒有特別說明的情況下都是指在實數范圍內變化的量. 常用的數集有:自然數集N、正整數集N+、整數集Z、有理數集Q、實數集R，另外區間和鄰域也是兩種常用的數集. 區間是用得較多的一類數集，設a，b∈R，且a 數集稱為開區間，記作(a，b)，即 類似地，數集均稱為半開半閉區間，分別記作[a，b)與(a，b]，即 其中a與b稱為這些區間的端點，稱為這些區間的區間長度.區間長度是有限的數值，故以上四種區間均為有限區間;此外還有下列五種無限區間，引進記號+∞(讀作正無窮大)及.∞(讀作負無窮大)，則有這些區間的區間長度都為無窮大. 因此連在一起的數是很方便用區間表示的，當包含端點時，就用方括號表示， 不包含端點時，就把方括號變為圓括號.總之以上各種情況可歸納如下: 為了討論函數在一點鄰近的某些性態，我們給出鄰域概念. 定義1設a，δ∈R，δ>0，數集稱為點a的δ鄰域，記作U(a，δ).其中點a與數δ分別稱為鄰域的中心與半徑. 幾何上，鄰域U(a，δ)表示數軸上與點a的距離小于δ的點集，因此該鄰域是以點a為中心，δ為半徑的一個開區間(如圖1-1-1(a))，即 若不強調鄰域的半徑時，用U(a)表示以點a為中心的任意開區間.有時又需將鄰域U(a，δ)的中心點a去掉，將鄰域U(a，δ)的中心點a去掉后得到的數集稱為點a的去心δ鄰域，記作(如圖1-1-1(b))，即 圖1-1-1 二、函數及有關概念 1.函數的定義 函數研究的就是變量之間的對應關系，也就是把事件量化為用變化的量來表示.在同一自然現象或變化過程中，經常會同時遇到兩個或更多個變量，它們互相聯系、互相依賴并遵循一定的規律變化著. 例如運動學中，自由落體運動的路程s與時間t是兩個變量，設初速度為0，則當時間t變化時，所經過的路程s也隨之改變，它們之間的關系為 (1-1-1) 又如電學中，在電阻兩端加直流電壓V，電阻中有電流I通過，電壓V改變時，電流I隨之改變，其變化規律為 若電阻R=2，則 (1-1-2) (1-1-1)，(1-1-2)兩式均表達了兩個變量之間相互依賴的關系或規律，依據這一規律，當其中一個變量在某一范圍內取定一個數值時，另一變量的值就隨之確定，數學上把這種對應關系稱為函數關系. 定義2設兩個變量x，y分別在集合X與Y中變化，X為非空集，如果按照一個給定的對應規則，對于每一個x∈X，按照一定的法則f總有**確定的y∈Y與之對應，則稱y為x的函數，并稱x為自變量，y為因變量，記作 y=f(x)， 其中自變量x的變化范圍X稱為函數的定義域，常用Df或D表示，即X=D. 由定義2可知，f(x)也表示與x對應的函數值，因此對應于x0的函數值記為f(x0)或全體函數值構成的集合稱為函數y=f(x)的值域，記作f(D)，即 一般地，在函數y=f(x)中，使得式子f(x)有意義的x的集合是該函數的定義域，這時也稱為該函數的自然定義域.但在實際問題中，函數y=f(x)的定義域還要根據問題中的實際意義來確定. 例如函數y=x2，使得式子x2有意義的x的集合是實數集R，因此y=x2的自然定義域為實數集R，為方便起見，也稱函數的定義域為實數集R;但若用函數y=x2表示邊長為x的正方形面積，則根據正方形邊長x須為正數，因此這時函數y=x2的定義域應為D={x|x>0，x∈R}，或用區間(0，+∞)表示. 函數y=f(x)就像一臺“數值變換器”，我們將x(x∈D)的值輸入該變換器中，在規則f的作用下，即滿足y=f(x)，就將數值x變換為另一個與其對應的數值y.例如，對函數表示對實數集R內的數x作e為底的指數運算，即將x(x∈R)的值輸入該數值變換器中，通過f的作用，就輸出了數值y=ex. 由函數的定義可知，函數y=f(x)由其對應法則與定義域兩個因素確定，故當兩個函數的對應法則與定義域都相同時就稱它們是同一個函數，因此也稱函數的定義域及其對應法則為函數的二要素. 例如函數y=lgx2與y=2lgx，它們的對應法則相同，但定義域不同，所以它們不是相同的函數.又如函數，它們的對應法則相同，定義域卻不相同，因此它們也不是相同的函數.而函數，其對應法則與定義域都相同，因此它們就是同一個函數了. 注 在函數y=f(x)中，符號f與x，y僅僅是該函數中對應法則、自變量、因變量的記號，因此它們可以用不同的記號表示，如f用符號φ或F代替，這時函數y=f(x)就寫成y=φ(x)或y=F(x).必須指出當同一問題中涉及多個函數時，則應取不同的符號分別表示它們各自的對應法則，以免混淆.同樣因變量與自變量也可用其他符號表示，但必須指出同一個函數在同一個問題中只能取定同一種記法. 設 函數y=f(x)，定義域為D，稱平面上的二維點集為函數y=f(x)，x∈D的圖形，y=f(x)也稱為曲線C的方程，因此函數y=f(x)的圖形是一條或一段平面曲線.如稱平面上的點集為正弦函數y=sinx的圖形. 定義2中，函數y=f(x)的自變量x在定義域內任取一值時，對應的函數值y都是**確定的，因此也稱y為x的單值函數.如均為單值函數.但事實上，有時自變量x有兩個或兩個以上的值y與之相對應，這時稱y為x的多值函數.若遇到多值函數時，我們都把它化作多個同時出現的單值函數分別來對待.如圓的方程x2+y2=4中，將“滿足方程x2+y2=4”作為變量x，y之間的對應法則，當時，可得，即當時，可得兩個值與之對應，因此，方程x2+y2=4確定了一個多值函數，其中是多值函數的兩個單值分支，它們都由方程x2+y2=4確定.從而方程x2+y2=4確定了兩個單值函數. 本書中凡是沒有特別說明的函數都是指單值函數. 例1 求函數的定義域. 解由題意可知，該函數的自變量x滿足不等式組 解得 且， 故該函數的定義域為. 例2 設 解將變量x分別用 代入，得 2.函數的表示形式 函數有多種表示形式，常見的主要有:表格法、圖示法、解析法(用代數式表示法). 表格法是把自變量x與因變量y的一些對應值用表格列出，實際應用中常用此法.例如火車時刻表，就是用列表的方法列出出站和進站對應的車次與時間的函數關系.其優點是從表上可直接看出y隨x的變化而變化的情況，使用上較方便，缺點是只能表達有限個對應數據. 圖示法是把變量x與y對應的有序數組(x，y)看作直角坐標平面內點的坐標，y與x的函數關系就可用坐標面上的曲線來表出.例如氣象站中的溫度記錄器，就記錄了空氣中溫度與時間的函數關系.該關系是借助儀器自動描繪在紙帶上的一條連續不斷的曲線來表達的.圖示法的優點是直觀性強，缺點是沒有給出函數關系的表達式，不便于做理論上的推導與演算. 解析法是把兩個變量之間的關系直接用代數式表示，故解析法也可以稱為公式法.高等數學中所涉及的函數大多用解析法來表示，解析法的優點是便于做理論上的精準分析與推演. 下面是幾種常見的用解析法表示的函數類型. (1)分段函數 在自然科學與工程技術中經常用到這樣一類函數，它在定義域的不同范圍內的自變量所對應的函數關系并不相同，這時就需用幾個不同的式子分別來表示一個函數，這樣表示的函數就是分段函數，如定義域分成兩個不同的范圍時，有如下定義.
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