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高等數學(下冊) 版權信息
- ISBN：9787030696274
- 條形碼：9787030696274 ; 978-7-03-069627-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
高等數學(下冊) 內容簡介
本書根據教育部頒布的本科非數學專業理工類高等數學課程教學基本要求及全國碩士研宄生入學考試數學大綱編寫而成。
全書分上、下兩冊。本書為下冊，內容包括向量代數與空間解析幾何、多元微積分學、無窮級數與微分方程等內容。本書基本上每節都配有難易不同的A、B兩組習題，每章都附有本章小結與總復習題。書中還配有兩類內容豐富的數字教學資源。一類是與每節配套的設計新穎的課前測、重（難）點講解、電子課件以及習題參考答案等；另一類為MATLAB軟件簡介（下）及幾種常用曲面等。讀者可以掃描二維碼學習。
高等數學(下冊) 目錄
目錄
前言
第7章 向量代數與空間解析幾何 1
7.1 向量及其線性運算 1
7.2 向量的數量積與向量積 15
7.3 曲面及其方程 24
7.4 空間曲線及其方程 31
7.5 平面及其方程 38
7.6 空間直線及其方程 45
7.7 二次曲面 53
本章小結 61
總復習題7 61
第8章 多元函數微分學及其應用 64
8.1 平面點集與多元函數的基本概念 64
8.2 偏導數 78
8.3 全微分 88
8.4 多元復合函數的求導法則 96
8.5 隱函數的求導公式 103
8.6 多元函數微分學的幾何應用 113
8.7 方向導數與梯度 123
8.8 二元函數的泰勒公式 132
8.9 多元函數的極值及其求法 137
本章小結 152
總復習題8 154
第9章 重積分 157
9.1 二重積分的概念與性質 157
9.2 二重積分的計算 166
9.3 三重積分 190
9.4 重積分的應用 205
本章小結 211
總復習題9 212
第10章 曲線積分與曲面積分 216
10.1 對弧長的曲線積分 216
10.2 對坐標的曲線積分 229
10.3 格林公式及其應用 242
10.4 對面積的曲面積分 260
10.5 對坐標的曲面積分 270
10.6 高斯公式及散度 287
10.7 斯托克斯公式與旋度 296
本章小結 303
總復習題10 304
第11章 無窮級數 307
11.1 常數項級數的概念和性質 307
11.2 常數項級數的審斂法 319
11.3 冪級數 335
11.4 函數展開成冪級數 348
11.5 傅里葉級數 361
11.6 一般周期函數的傅里葉級數 374
本章小結 380
總復習題11 381
第12章 微分方程 384
12.1 微分方程的基本概念 384
12.2 變量可分離的微分方程 390
12.3 齊次方程 396
12.4 一階線性微分方程 403
12.5 全微分方程 410
12.6 可降階的高階微分方程 416
12.7 高階線性微分方程 423
12.8 二階常系數齊次線性微分方程 429
12.9 二階常系數非齊次線性微分方程 435
12.10 幾類變系數線性微分方程的解法 442
12.11 常系數線性微分方程組解法舉例 450
本章小結 453
總復習題12 455
參考文獻 457
教學資源說明 458
前言
第7章 向量代數與空間解析幾何 1
7.1 向量及其線性運算 1
7.2 向量的數量積與向量積 15
7.3 曲面及其方程 24
7.4 空間曲線及其方程 31
7.5 平面及其方程 38
7.6 空間直線及其方程 45
7.7 二次曲面 53
本章小結 61
總復習題7 61
第8章 多元函數微分學及其應用 64
8.1 平面點集與多元函數的基本概念 64
8.2 偏導數 78
8.3 全微分 88
8.4 多元復合函數的求導法則 96
8.5 隱函數的求導公式 103
8.6 多元函數微分學的幾何應用 113
8.7 方向導數與梯度 123
8.8 二元函數的泰勒公式 132
8.9 多元函數的極值及其求法 137
本章小結 152
總復習題8 154
第9章 重積分 157
9.1 二重積分的概念與性質 157
9.2 二重積分的計算 166
9.3 三重積分 190
9.4 重積分的應用 205
本章小結 211
總復習題9 212
第10章 曲線積分與曲面積分 216
10.1 對弧長的曲線積分 216
10.2 對坐標的曲線積分 229
10.3 格林公式及其應用 242
10.4 對面積的曲面積分 260
10.5 對坐標的曲面積分 270
10.6 高斯公式及散度 287
10.7 斯托克斯公式與旋度 296
本章小結 303
總復習題10 304
第11章 無窮級數 307
11.1 常數項級數的概念和性質 307
11.2 常數項級數的審斂法 319
11.3 冪級數 335
11.4 函數展開成冪級數 348
11.5 傅里葉級數 361
11.6 一般周期函數的傅里葉級數 374
本章小結 380
總復習題11 381
第12章 微分方程 384
12.1 微分方程的基本概念 384
12.2 變量可分離的微分方程 390
12.3 齊次方程 396
12.4 一階線性微分方程 403
12.5 全微分方程 410
12.6 可降階的高階微分方程 416
12.7 高階線性微分方程 423
12.8 二階常系數齊次線性微分方程 429
12.9 二階常系數非齊次線性微分方程 435
12.10 幾類變系數線性微分方程的解法 442
12.11 常系數線性微分方程組解法舉例 450
本章小結 453
總復習題12 455
參考文獻 457
教學資源說明 458
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高等數學(下冊) 節選
第7章 向量代數與空間解析幾何 平面解析幾何在代數與幾何之間架起了一座橋梁，使平面上的點p與有序數組(x，y)之間建立了一一對應關系，它用代數的方法研究幾何問題.隨著知識的深入，需要研究多元函數，以二元函數z=f(x，y)為例，它涉及三個變量，將平面解析幾何類推到空間上去.因而可以建立空間曲面與三維有序數組(x，y，z)構成的三元方程之間的對應關系，本章首先建立空間直角坐標系，然后以向量為工具，討論空間中的平面、直線、曲面和曲線的方程及其相關內容. 7.1 向量及其線性運算 一、空間直角坐標系 過空間某一定點O，作三條互相垂直的數軸，它們以O為原點且一般具有相同的長度單位.這三條軸分別稱為x軸(橫軸)，y軸(縱軸)，z軸(豎軸)，統稱坐標軸.通常把x軸和y軸置于水平面上，z軸是鉛垂線.它們的正方向符合右手規則，即以右手握住z軸，當右手的四指從x軸正向以π2角轉向y軸正向時，大拇指的指向就是z軸的正向.這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，O點稱為坐標原點(圖7-1-1). 三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統稱坐標面.x軸及y軸所確定的坐標面叫做xOy面，另外兩個坐標面分別為yOz面和zOx面. 三個坐標面把空間分成八個部分，每一部分叫做一個卦限.含有三個正半軸的卦限叫做**卦限，它位于xOy面的上方.在xOy面的上方，按逆時針方向排列著第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy面的下方，與**卦限對應的是第五卦限，按逆時針方向依次排列著是第六卦限、第七卦限和第八卦限.八個卦限分別用字母I，II，III，IV，V，VI，VII，VIII表示(圖7-1-2). 圖7-1-1 圖7-1-2 取定了空間直角坐標系后，就可以用坐標來確定點的位置了. 任給空間一點M，過M作三個平面分別垂直于x軸，y軸，z軸，垂足為P，Q，R，它們在x軸、y軸、z軸上的坐標依次為x，y，z(圖7-1-3)，則點M確定了一個有序實數組(x，y，z). 反之，對任意給定的有序實數組(x，y，z)，依次在x軸，y軸，z軸上取與x，y，z相對應的點P，Q，R，然后過點P，Q，R作三個平面，分別垂直于x軸，y軸和z軸，則這三個平面交于一點M. 因此，有序實數組(x，y，z)與空間一點M之間一一對應.稱這組數(x，y，z)為點M的坐標，x，y和z依次稱為點M的橫坐標、縱坐標和豎坐標.坐標為(x，y，z)的點M通常記為M(x，y，z). 顯然，原點的坐標為O(0，0，0);x軸，y軸和z軸上的點的坐標分別是(x，0，0)， (0，y，0)，(0，0，z). 圖7-1-3 圖7-1-4 設M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)為空間任意兩點，過M1，M2分別作平行于各坐標面的平面，組成一個長方體，它的棱與坐標軸平行(圖7-1-4).由于 所以空間任意兩點間的距離公式為 特別地，點M(x，y，z)到原點O(0，0，0)之間的距離為. 例1 求證以A(4，3，1)，B(3，1，2)，C(5，2，3)三點為頂點的三角形△ABC是一個等邊三角形. 證由空間兩點間的距離公式得 由于|AB|=|AC|=|BC|，所以△ABC是一個等邊三角形. 例2 設點P在x軸上，它到點P1(0，√2，3)的距離為到點P2(0，1，.1)的距離的兩倍，求點P的坐標. 解 由題意，可設P點坐標為(x，0，0)，有 而 故 解方程，得 x=±1， 所求點的坐標為(1，0，0)和(-1，0，0). 二、向量的概念 在自然科學中存在一類既有大小，又有方向的量，如力、力矩、加速度等等，我們稱這類量為向量(或矢量).常用一條有向線段來表示向量.有向線段的長度和方向分別表示向量的大小和方向.圖7-1-5表示以A為起點，以B為終點的向量，記為.此外，有時也用一個黑體字母或字母上方加箭頭來表示向量，如a，i，v，F或F等. 圖7-1-5 本書中只研究與起點無關的向量，并稱這些向量為自由向量(簡稱向量).如果兩個向量的大小相等并且方向相同，我們就稱這兩向量相等.根據這個規定，一個向量和將它經過平行移動后所得的向量都是相等的. 向量的大小稱為向量的模，向量的模依次記作.模等于1的向量稱為單位向量.模等于零的向量稱為零向量，記作0或→0.零向量的方向可以看作是任意的. 如果兩個非零向量的方向相同或相反，就稱這兩個向量平行(或稱共線).向量a與b平行，記作a//b.由于零向量的方向是任意的，因此，零向量與任何向量都平行. 三、向量的線性運算 1.向量的加減法 在物理學中，通過研究力的合成、速度的合成等，總結出了一般向量加法的平行四邊形法則:已知兩個向量a，b，任取一點A，作，以為邊作平行四邊形ABCD，其對角線，稱為向量a與b的和.如圖7-1-6，記為c=a+b. 由圖7-1-6容易看出，如果平移向量b，使b的起點與a的終點重合，此時從a的起點到b的終點的向量就是a+b(圖7-1-7)，這種求兩個向量和的法則稱為三角形法則. 圖7-1-6 圖7-1-7 向量的加法符合下列運算規律: (1)交換律a+b=b+a; (2)結合律(a+b)+c=a+(b+c). 事實上，按向量加法的三角形法則，由圖7-1-6可得 滿足交換律. 如圖7-1-8所示，先作a+b加上c，即得(a+b)+c;如以a與b+c相加，則得同一結果，滿足結合律. 由于向量的加法滿足交換律和結合律，故n個向量相加可寫成 由向量相加的三角形法則，可得n個向量的和，只要依次把后一向量的起點放在前一向量的終點上，從a1的起點向an的終點所引的向量就是 (圖7-1-9(n=6)). 圖7-1-8 圖7-1-9 在實際問題中，還經常遇到大小相等而方向相反的向量，如作用力和反作用力等.稱與a大小相等而方向相反的向量為a的負向量，記作-a. 有了負向量的概念，可以定義兩個向量a與b的差為 即把向量.a加到向量b上，便得b與a的差(圖7-1-10).特別地，當b=a時，有. 圖7-1-10 任給向量(圖7-1-11)，有 因此，若把向量a與b都移到同一起點O，則從a的終點A向b的終點B所引向量A →B便是向量b與a的差b-a. 圖7-1-11 由三角形兩邊之和大于第三邊的原理，有等號在b與a同向或反向時成立. 2.向量與數的乘法 在應用中常遇到向量與數量的乘法，例如將速度v的方向保持不變，大小增大到2倍，可以記為2v.由此，我們引入向量與數量相乘(簡稱數乘)，定義如下. 定義1 向量a與實數λ的乘積，記為λa，它是這樣一個向量:當λ>0時與a同向;當λ<0時與a反向;而它的模是|λa|=|λ||a|.當λ=0時，λa是零向量，即λa=0.特別地，當λ=±1時，有 向量的數乘符合下列運算規律: (1)結合律λ(μa)=(λμ)a=μ(λa); (2)分配律(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb. 這是因為，按數乘的定義，向量λ(μa)，(λμ)a，μ(λa)都是平行的向量，它們的指向也是相同的，且結合律成立.分配律可同樣按數乘的定義來證明，請讀者自己證明. 向量的加法和數乘運算統稱為向量的線性運算. 設向量a是一個非零向量，a.是與a同向的單位向量.由數與向量乘積的定義可知，a與有相同的方向，并且的模為 即與有相同的模，所以
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