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實(shí)變函數(shù)與泛函分析學(xué)習(xí)指導(dǎo) 版權(quán)信息
- ISBN：9787030689634
- 條形碼：9787030689634 ; 978-7-03-068963-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
實(shí)變函數(shù)與泛函分析學(xué)習(xí)指導(dǎo) 內(nèi)容簡介
本書對實(shí)變函數(shù)與泛函分析以及Banach空間中微積分學(xué)的一些基本問題和習(xí)題進(jìn)行了詳細(xì)的分析、解和討論，注重通過反例來加深讀者對概念和內(nèi)容的理解。全書主要內(nèi)容包括集合與測度、可測函數(shù)、Lebesgue積分、線性賦范空間、內(nèi)積空間、有界線性算子與有界線性泛函、Banach空間中的微分和積分，每一章按著知識梗概梳理、典型問題討論和習(xí)題詳解與精析來安排內(nèi)容，解決學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)與泛函分析課程中的難點(diǎn)問題，幫助讀者學(xué)好這門課程，書中還有習(xí)題精解視頻，掃描二維碼可以反復(fù)學(xué)習(xí)，鞏固掌握重難點(diǎn)。 本書可供數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)、應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的本科生使用，也可供相關(guān)專業(yè)的教師和研究生參考。
實(shí)變函數(shù)與泛函分析學(xué)習(xí)指導(dǎo) 目錄
目錄
前言
第1章 集合與測度 1
一、知識梗概梳理 1
二、典型問題討論 9
三、習(xí)題詳解與精析 12
第2章 可測函數(shù) 27
一、知識梗概梳理 27
二、典型問題討論 30
三、習(xí)題詳解與精析 33
第3章 Lebesgue積分 52
一、知識梗概梳理 52
二、典型問題討論 60
三、習(xí)題詳解與精析 68
第4章 線性賦范空間 82
一、知識梗概梳理 82
二、典型問題討論 87
三、習(xí)題詳解與精析 92
第5章 內(nèi)積空間 102
一、知識梗概梳理 102
二、典型問題討論 105
三、習(xí)題詳解與精析 108
第6章 有界線性算子與有界線性泛函 113
一、知識梗概梳理 113
二、典型問題討論 119
三、習(xí)題詳解與精析 128
第7章 Banach空間中的微分和積分 138
一、知識梗概梳理 138
二、典型問題討論 144
三、習(xí)題詳解與精析 158
參考文獻(xiàn) 174
前言
第1章 集合與測度 1
一、知識梗概梳理 1
二、典型問題討論 9
三、習(xí)題詳解與精析 12
第2章 可測函數(shù) 27
一、知識梗概梳理 27
二、典型問題討論 30
三、習(xí)題詳解與精析 33
第3章 Lebesgue積分 52
一、知識梗概梳理 52
二、典型問題討論 60
三、習(xí)題詳解與精析 68
第4章 線性賦范空間 82
一、知識梗概梳理 82
二、典型問題討論 87
三、習(xí)題詳解與精析 92
第5章 內(nèi)積空間 102
一、知識梗概梳理 102
二、典型問題討論 105
三、習(xí)題詳解與精析 108
第6章 有界線性算子與有界線性泛函 113
一、知識梗概梳理 113
二、典型問題討論 119
三、習(xí)題詳解與精析 128
第7章 Banach空間中的微分和積分 138
一、知識梗概梳理 138
二、典型問題討論 144
三、習(xí)題詳解與精析 158
參考文獻(xiàn) 174
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實(shí)變函數(shù)與泛函分析學(xué)習(xí)指導(dǎo) 節(jié)選
第1章 集合與測度 定理1.1 設(shè)是一集族， B是任一集合， 則 定理1.2 (De Morgan對偶律) 如果為全集， 是的子集族， 則 推論 設(shè)X為全集， 如果是X的子集族， 則 定義1.1 設(shè)是一列集合， 簡記為{An}. 稱集合為{An}的上限集， 記為或; 稱集合為的下限集， 記為或. 如果， 則稱集列{An}收斂， 并稱這個集合為集列{An}的極限集， 記為. 定理1.3 設(shè)是一列集合， 則 從而. 定義1.2 設(shè)是一列集合. 如果， 則稱這列集合為單調(diào)遞減集列， 簡稱為遞減集列; 如果， 則稱這列集合為單調(diào)遞增集列， 簡稱為遞增集列. 遞增集列與遞減集列統(tǒng)稱為單調(diào)集列. 單調(diào)集列收斂， 如果是遞增集列， 那么; 如果是遞減集列， 那么. 定義1.3 設(shè)為全集， ， 作上的函數(shù) 稱為集合的特征函數(shù). 定理1.4 設(shè)X為全集， 是X的子集族， 則 (1) (2) (3) (4) 如果， 當(dāng)A（i=1，2，3， ，n）互不相交時， (5) (6) 定義1.4 設(shè)X1，X2， ，Xn是n個非空集合. 稱下列有序元素組的集合 為X1，X2， ，Xn的Descartes乘積， 簡稱為X1，X2， ，Xn的積集， 記為 特別地， 記 定義1.5 設(shè)X，Y是兩個非空集合， 如果存在一個法則f， 使得對于任意x∈X， 在Y中有**確定的元素y與之對應(yīng)， 則稱f是X到Y(jié)的一個映射， 記為. y稱為x在映射f之下的像， 記為y=f(x).X稱為映射f的定義域， 記為. 集合稱為映射f的值域， 記為. 當(dāng)Y=R時， 將映射f叫做函數(shù). X×Y的子集稱為映射f的圖像， 記為. 如果， 稱Y的子集為在映射f下的像， 記為f(A); 稱X的子集為映射f下B的原像， 記為. 設(shè)X，Y，Z都是非空集合， 映射， . 定義 則是X→Z的映射， 稱為f與g的復(fù)合映射. 定義1.6 設(shè)X，Y是兩個非空集合， 映射. 如果， 當(dāng)x1≠x2時， 有， 則稱f是X到Y(jié)的單射; 如果， 則稱f是X到Y(jié)的滿射; 如果f既是X到Y(jié)的單射， 又是X到Y(jié)的滿射， 則稱f是X到Y(jié)的雙射， 或稱f是X到Y(jié)的一一對應(yīng). 如果中的集合， 則; 如果的子集， 則. 定理1.5 設(shè)是兩個非空集合， 映射. 如果集合， 是的子集族， 是的子集族， 則 (1) 當(dāng)是單射時， (2) 當(dāng)是滿射時， (3) (4) 當(dāng)為單射時， (5) 定義1.7 設(shè)A，B是兩個非空集合， 如果存在一個A到B的雙射f， 則稱集合A與集合B對等， 記為A~B. 定理1.6 (Bernstein) 設(shè)A，B是兩個集合. 如果A對等于B的一個子集， 又B對等于A的一個子集， 則A與B對等. 定義1.8 如果集合A與正整數(shù)集合N對等， 那么稱A是可數(shù)集或可列集. 如果A既不是有限集也不是可數(shù)集， 則稱A是不可數(shù)集. 將有限集和可數(shù)集統(tǒng)稱為至多可數(shù)集. 集合A是可數(shù)集當(dāng)A且僅當(dāng)中的元素可以排成無限序列的形式 定理1.7 任一無限集中含有可數(shù)子集. 推論 可數(shù)集的每個無限子集也是可數(shù)集. 定理1.8 可數(shù)個可數(shù)集的并集是可數(shù)集. 定理1.9 有理數(shù)集Q是可數(shù)集. 定理1.10 區(qū)間[0，1]是不可數(shù)集. 推論 任何區(qū)間I(開區(qū)間、閉區(qū)間、半開區(qū)間、無限區(qū)間)都是不可數(shù)集. 定理1.11 如果集合A中的元素為直線上互不相交的開區(qū)間， 那么A是至多可數(shù)集. 定義1.9 設(shè)是非空集合， 如果映射 滿足下列條件(稱為度量公理): (1) 正定性， 且; (2) 對稱性 (3) 三角不等式 則稱是上的度量函數(shù)或距離函數(shù)， 非負(fù)實(shí)數(shù)稱為兩點(diǎn)之間的距離．定義了距離的集合稱為度量空間或距離空間， 記為. 如果不需要特別指明度量， 簡記為. 如果X1是度量(X，d)空間的非空子集， 顯然也是X1上的度量函數(shù)， 這時稱是的子空間. 命題1.1 中的Euclid距離滿足度量公理. 在Rn中可以定義其他的度量， 如， 定義或. 以后我們提到空間， 除非特別說明， 都是指賦予Euclid距離的度量空間. 定義1.10 設(shè)是度量空間中的一個點(diǎn)列，如果， 則稱點(diǎn)列收斂于， 也稱是點(diǎn)列的極限， 記為或. 定理1.12 度量空間（X，d）中的極限具有**性. 定理1.13 設(shè)度量空間（X，d）中的點(diǎn)列{xn}收斂于x0， 則{xn}的任意子列也收斂于. 命題1.2 在度量空間Rn中， 點(diǎn)列收斂于當(dāng)且僅當(dāng)時， . 設(shè)，度量空間中的集合 叫做以x0為球心、δ為半徑的開球， 也稱為x0的δ鄰域. 如果度量空間X中的子集M能被包含在一個開球中， 則稱M為有界集， 否則稱為無界集. 設(shè)是的非空子集， 如果存在的鄰域， 則稱是的內(nèi)點(diǎn)， 的全體內(nèi)點(diǎn)的集合稱為的內(nèi)部， 記為. 如果存在的鄰域， 使得， 則稱是的外點(diǎn). 如果， 有 則稱是的邊界點(diǎn)， 的全體邊界點(diǎn)的集合記為， 稱為的邊界. 如果， 有 則稱是的聚點(diǎn)， 的全體聚點(diǎn)的集合記為， 稱為的導(dǎo)集. 如果集合的每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)， 即， 則稱為開集. 如果， 則稱為閉集. 記， 稱為的閉包. 如果但不是的聚點(diǎn)， 則稱是的孤立點(diǎn). 空集以及本身既是開集也是閉集. 定理1.14 設(shè)是度量空間， 是的非空子集. (1) 是閉集， 并且， 另外是包含的*小閉集， 即當(dāng)是閉集且時， ; (2) 是開集， 并且， 另外是包含于的*大開集， 即當(dāng)是開集且時， ; (3) 是閉集當(dāng)且僅當(dāng); (4) (5) 是的外點(diǎn); (6) 若是開集， 則是閉集; (7) 若是閉集， 則是開集; (8) 任意多個開集的并集是開集， 有限個開集的交集是開集; (9) 任意多個閉集的交集是閉集， 有限個閉集的并集是閉集; (10) 當(dāng)且僅當(dāng)存在， ， 使得. 定理1.15 設(shè)是度量空間中的子集， 則是閉集當(dāng)且僅當(dāng)對中的任意點(diǎn)列， 如果時， ， 那么. 設(shè)， 是度量空間中的非空子集， 稱為點(diǎn)到集合的距離， 記為. 定理1.16 設(shè)， 是度量空間中的非空閉子集. 如果， 則到的距離. 設(shè)是度量空間， 是的非空子集， 顯然也是上的度量函數(shù)，稱為的度量子空間， 在不產(chǎn)生混淆時簡稱子空間. 設(shè)， 子空間中的開球 稱為在子空間中的鄰域. 設(shè)是的非空子集， 如果存在在子空間中的鄰域， 則稱是在子空間中的內(nèi)點(diǎn)， 在子空間中全體內(nèi)點(diǎn)的集合稱為的相對內(nèi)部， 記為. 記， 如果并且， 有 則稱是在子空間中的邊界點(diǎn)， 在子空間中的全體邊界點(diǎn)的集合記為， 稱為相對邊界. 如果， 有 則稱是在子空間中的聚點(diǎn)， 在子空間中全體聚點(diǎn)的集合稱為的相對導(dǎo)集， 記為. 如果集合的每一點(diǎn)都是它在子空間中的內(nèi)點(diǎn)， 即， 則稱為相對開集. 如果， 則稱為相對閉集. 記， 稱為的相對閉包. 空集以及本身既是相對開集也是相對閉集. 定理1.17 設(shè)為的度量子空間， 是的非空子集.
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