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概率論與數理統計 版權信息
- ISBN：9787030346254
- 條形碼：9787030346254 ; 978-7-03-034625-4
- 裝幀：平裝膠訂
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
概率論與數理統計 本書特色
本教材是編者總結多年的教學實踐經驗，結合近年來本科畢業生面臨就業困難，導致考研學生大量增加、碩士研究生逐年擴招的社會形勢，并針對由于擴招導致的本科生學習能力下降的現狀而編寫的。本教材按照“概率論與數理統計”課程教學大綱的要求，在保證基本概念、基本理論與基本方法訓練的前提下，注重概率統計知識綜合運用能力的培養，注重分析問題和解決問題能力的訓練。本教材共10章，每章后的習題分A型和B型兩類，并提供參考答案。
概率論與數理統計 內容簡介
本教材是編者總結多年的教學實踐經驗，結合近年來本科畢業生面臨就業困難，導致考研學生大量增加、碩士研究生逐年擴招的社會形勢，并針對由于擴招導致的本科生學習能力下降的現狀而編寫的。本教材按照“概率論與數理統計”課程教學大綱的要求，在保證基本概念、基本理論與基本方法訓練的前提下，注重概率統計知識綜合運用能力的培養，注重分析問題和解決問題能力的訓練。本教材共10章，每章后的習題分A型和B型兩類，并提供參考答案。
概率論與數理統計 目錄
**章 概率論的基本概念 概率論與數理統計是研究隨機現象及其規律性的一門數學學科．它已廣泛應用于工業、國防、經濟、金融及工程技術等各個領域．事件及其概率是概率論的兩個基本概念．本章從隨機現象著手，給出事件的概念并討論其關系與運算．從概率的古典定義、幾何定義、統計定義出發，建立概率的公理化結構，進而給出三個重要的概率公式——乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式． 節 隨機試驗樣市空間事件 一、隨機現象 在自然界與人類社會中，人們觀察到的現象存在兩種重要類型：一類稱為確定性現象，另一類稱為隨機現象．確定性現象是在一定條件下必然發生，即在相同的條件下，其結果總是確定的一種現象，試驗條件不變，其結果是不變的．例如，重物總是垂直落到地面；在一個大氣壓下，純凈水加熱到100℃必然會沸騰； 電荷必相互排斥等．早期的科學就是研究這一類現象的規律性，所用的數學工具如幾何、代數、微分方程等是大家所熟悉的． 隨機現象是指事前不可預測的，即在相同條件下重復進行試驗，可能發生多種不確定結果的現象；在試驗之前，無法預測哪一種結果發生．例如拋一枚勻質硬幣，可能正面向上，也可能反面向上；新生嬰兒的牲別可能是男或女；向一目標靶射擊，各次彈著點不盡相同等，這些現象都是隨機現象． 隨機現象從表面看似乎無規律可循，就個別試驗來看，無法預知其確切結果．但人們經過長期實踐和研究，發現這一類現象在大量重復試驗或觀察下，其結果呈現一種規律性．例如，多次重復拋一枚勻質硬幣，出現正面和反面的次數幾乎各占一半；向一目標射擊，彈著點按一定的規律分布等．這種通過大量重復試驗和觀察呈現出來的規律性，稱為隨機現象的統計規律性．概率論與數理統計就是從數量角度研究隨機現象統計規律性的一門數學學科. 二、隨機試驗與事件 要對隨機現象的統計規律性進行研究，就需要對隨機現象進行重復觀察，我們把對隨機現象的觀察稱為試驗． 在概率論中，所研究的試驗有以下特征： (1)可重復性：試驗可以在相同條件下重復進行； (2)可觀察性：每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果； (3)不確定性：進行每次試驗之前不能確定哪一個結果會出現． 我們稱具有上述三個特征的試驗為隨機試驗，簡稱試驗，通常用字母E表示． 例1.1 拋一枚硬幣，觀察正面H，反面T出現的情況． 例1.2 擲一顆骰子，觀察出現的點數，結果可能是1點，2點， ，6點中的一個． 例1.3 記錄某電話交換臺在一段時間內接到的呼叫次數．為數學上的方便起見，認為呼叫次數沒有上限，則可能的呼叫次數為O，1，2， ． 例1.4 在一個均勻陀螺的圓周上，均勻刻上區間[0，1）的數字．旋轉這個陀螺，當它停下時，把圓周與桌面接觸點處的刻度記錄下來，每次所記錄的刻度是區間[0，1)上的一個數． 例1.5 測量人的身高，一般來說，人的身高是區間(0，3)(單位：m)中的一個實數． 進行一次試驗會觀察到多種不同的可能結果，試驗的每一個可能結果一般稱為隨機事件，簡稱事件，用大寫英文字母A，B，C， 表示． 我們把不可能再分的事件稱為基本事件．如例1.1中“出現正面”，例1.2中“出現1點”、。出現2點”等都是基本事件．曲若干個基本事件組合而成的事件稱為復合事件，例1.2中“出現奇數點”是復合事件，它是由“出現1點”、“出現3點”、“出現5點”三個基本事件組合而成，一個事件是否為基本事件是相對于試驗目的來說的. 在每次試驗中必然發生的事件稱為必然事件，必然事件用S表示，必然不發生的事件稱為不可能事件，不可能事件用乃表示．例1.2中，“出現的點數大于0”是必然事件，“出現的點數大于6”是不可能事件．必然事件與不可能事件已經失去不確定性，也就是說它們不是隨機事件，但為了以后討論方便，我們把它們當作特殊的事件． 三、事件間的關系與運算 在實際問題中，往往要研究一個試驗中不同事件間的聯系． 1．子事件若事件A發生必然導致事件B發生，則稱事件A是事件B的子事件，記作AcB或.如例1.2中，令A表示“出現奇數點”，B表示“出現點數小于等于5”，則AcB.為方便起見，規定對任一事件A，有夠cA，AcS. 2．相等若ACB且BcA，則稱事件A與事件B相等，記作A=B. 3．和事件“事件A與B至少有一個發生”這一事件稱為A與B的和事件，記為AUB.如例1.2中，令A表示“出現奇數點”，B表示“出覡的點數大于等于5”，則AUB表示“出現點數是奇數，或大于等于5”，即“出現點數為1，3，5，6之一”． 4．積事件“事件A與B同時發生”這一事件稱為A與B的積事件，記為A nB或AB.如例1.2中，令A表示“出現奇數點”，B表示“出現的點數大于等于5”，則AnB表示“出現點數是奇數，且大于等于5”，即“出現點數為5”， 和事件與積事件可以推廣到有限多個事件的情形，即 有時還需要考慮到可列無限多個事件，需要把和事件與積事件推廣到可列無限多個的情形，即 5．差事件“事件A發生而事件B不發生”這一事件稱為事件A與B的差事件，記作A-B.如例1.2中，令A表示“出現奇數點”，B表示“出現的點數大于等于5”，則A-B表示“出現點數是奇數，且不能大于等于5”，即“出現點數為1或3”． 6．互不相容事件若事件A與B不能同時發生，即AB=萬，則稱事件A與B是互不相容的（互斥的）．如例1.2中，令A表示“出現點數為1”，B表示“出現點數為2”，則事件A與B是互不相容的． 7．逆事件事件S-A稱為事件A的逆事件，記為萬．如在例1.2中，令A表示“出現奇數點”，B表示“出現偶數點”，則事件B是事件A的逆事件，即有B=A. 8. 劃分如果事件Ai，A2， ，A。滿足如下條件： (1) (2) (A1，A2， ，A這72個事件是兩兩互不相容的)，則稱A1，A2， ，A為S的一個劃分（或稱A1，A2， ，A為S的一個完備事件組）． 可以驗證一般事件的運算滿足下述運算規律： (1)交換律： (2)結合律： (3)分配律： (4)德摩根(DeMorgan)律： 對有限或可列無限多個事件A，恒有 四、樣本空間事件的集合表示 為了使概率論建立在嚴密的理論基礎上，下面從集合論的角度來描述事件，這樣 直觀且易于理解， 對一個試驗的每一個基本事件，用只含一個元素的單點集{8）表示，由若干個基本事件組成的復合事件，用包含若干個元素的集合表示，由所有基本事件對應的元素組成的集合稱為樣本空間（或基本空間），用S表示，每個基本事件對應的元素稱為樣本空間的樣本點．顯然，基本事件對應的單點集和復合事件所對應的集合都是樣本空間S的子集合． 為了表述方便，可以用適當的符號或數字表示試驗結果，用這些符號或數字組成的集合表示樣本空間．例如，在例1.1中，樣本空間為S=(H，T）；在例1.2中，若用數字“i”表示“出現i點”(i=1，2，3，4，5，6)，則S={l，2，3，4，5，6）便是由所有結果構成的樣本空間；在例1.4中，以數字z表示“陀螺圓周與桌面接觸點的刻度”，則區間S=[0，1）便是樣本空間， 一般地，稱樣本空間S的子集A為事件，在隨機試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現時，稱這一事件發生， 事件可以用樣本空間的子集來表示，將事件間的關系及運算與集合間的關系及運算進行比較，可以看出事件間的關系及運算與集合間的關系及運算是一致的．我們把兩者間的關系及運算列于表1-1． 表1-1 以平面上的一矩形區域表示樣本空間，矩形內的每一點表示樣本點，用兩個小圓形表示上述事件A與B，陰影部分表示事件A與B的各種關系及運算，見圖1 -1． 第二節 事件的市既率 研究試驗不僅要知道它可能出現哪些事件， 重要的是要研究事件出現的可能性大小，也就是找到一個合適的數量指標來表征事件在一次試驗中發生的可能性大小．這個數量指標至少應滿足兩個要求： (1)它應具有一定的客觀性，不能隨意改變，并且理論上可通過在相同條件下大量重復試驗予以檢驗． (2)它要符合實際，事件發生可能性大的，對應值就大；事件發生可能性小的，對應值就小；必然事件對應的值 ，不可能事件對應的值 小，等于0． 我們把表征事件發生可能性大小的數量指標稱為事件的概率，事件A的概率以P(A)表示． 在概率論的發展 ，人們曾針對不同的問題，從不同的角度給出了定義概率和計算概率的各種方法．我們將從這些概率模型著手，給出概率定義的公理化方法． 一、古典概型 我們稱具有下列兩個特點的試驗模型為古典概率模型： (1)基本事件總數為有限個； (2)每個基本事件發生的可能性大小相同． 古典概率模型簡稱古典概型，又稱等可能概型．它是概率論發展初期的主要研究對象，也是實際應用中常見的一種概率模型． 下面我們討論古典概型中事件概率的計算公式． 設試驗的樣本空間為S= （e1，e2， ，e3)．試驗中每一個基本事件發生的可能性相同，則對任意一個事件A，定義其概率P(A)為 (2.1) (2.1)式定義的概率稱為古典概率， 例2.1 擲一顆勻質骰子，設A表示“出現奇數點”，求P(A)． 解樣本空間S={1，2，3，4，5，6），而A=（1，3，5），S中包含有限個元素，且每個基本事件發生的概率相同，故 例2.2 一個口袋中裝有10只球，其中6只紅球，4只白球，從袋中取球兩次，每次一只，取球方式有兩種： (1) 次取一只，觀察顏色后放回，然后再取下一只，這種取球方式稱為放回抽樣； (2) 次取一只不放回袋中，再從余下的球中取第二只，這種取球方式稱為不放回抽樣，試就兩種方式分別求取到兩只球都是紅球的概率． 解 設A表示“取到的兩只球都是紅球”． (1)放回抽樣 因為是放回抽樣，每次都是從10只球中取一只球，所以所有可能取法有102種，即樣本空間的基本事件數為. 袋中紅球有6只，取到兩只球都是紅球的取法有62種，即A包含的基本事件數為忌=62.按古典概率計算 (2)不放回抽樣 由于是不放回抽樣，因此 次從10只球中抽取一只球，而第二次只能從剩下的9只球中抽取一只，故所有可能取法有10×9=90種，即樣本空間的基本事件數為n=90． 同理，可求得A包含的基本事件數為k-6×5=30. 所以，不放回抽樣時 一般情況下，放回抽樣與不放回抽樣計算的概率是不同的．當抽取的個體數量很大時，放回抽樣與不放回抽樣計算的概率差別很小．例如本例中，當球的總數為100只，其中紅球60只，白球40只時，計算出事件A的概率分別為0.360和0.358.所以實際工作中常利用這一點，把抽樣對象數量較大時的不放回抽樣，當作放回抽樣來處理，這樣計算概率較簡單． 例2.3 設有k(k≤365)個人，且每個人的生日在一年（以365天計算）中的每 都是等可能的，求他們生日各不相同的概率． 解 基本事件總數為3656，所求事件包含基本事件數為365×364× ×（365-k+l），故所求概率為 例2.4 設有N件產品，其中N1件一等品，N2件二等品，N3件三等品，N1+N2 +N3 =N.從中任取n件，問其中恰有n1件一等品，n件二等品，三等品的概率是多少？ 解 從N件產品中任取n件共有n種取法，n件中恰有n件一等品，n2件二等品
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