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復數與三角卷:問題驅動的中學數學課堂教學 版權信息
- ISBN：9787302535171
- 條形碼：9787302535171 ; 978-7-302-53517-1
- 裝幀：平裝
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
復數與三角卷:問題驅動的中學數學課堂教學 本書特色
本書基于數學內容的思想性針對高中復數與三角內容為中學教師和大學師范生以及數學教育研究生提供了建設性意見。對復數與三角的歷史做了一番梳理，本著尊重歷史與突出數學思想的原則設計了大量案例，其設計源于教材又不拘泥于教材。 本書有別于傳統的數學教育理論書籍，作者融數十年數學研究經驗與教學經驗于數學教育研究中，提出了一些新穎的見解，直接面向一線教學提出具體的教學建議，不失為一本具有重要指導意義的一線教師教學參考書。 本書適合大學師范生作為教法教材或參考書，也可以作為中學一線教師的培訓用書或教學指導用書及中學生的參考讀物，還可以作為數學教育研究工作者的參考書。
復數與三角卷:問題驅動的中學數學課堂教學 內容簡介
本書基于數學內容的思想性針對高中復數與三角內容為中學教師和大學師范生以及數學教育研究生提供了建設性意見。對復數與三角的歷史做了一番梳理，本著尊重歷史與突出數學思想的原則設計了大量案例，其設計源于教材又不拘泥于教材。 本書有別于傳統的數學教育理論書籍，作者融數十年數學研究經驗與教學經驗于數學教育研究中，提出了一些新穎的見解，直接面向一線教學提出具體的教學建議，不失為一本具有重要指導意義的一線教師教學參考書。 本書適合大學師范生作為教法教材或參考書，也可以作為中學一線教師的培訓用書或教學指導用書及中學生的參考讀物，還可以作為數學教育研究工作者的參考書。
復數與三角卷:問題驅動的中學數學課堂教學 目錄
第1章 復數與三角函數簡史
1．1 復數簡史
1．1．1 怪物的出現
1．1．2 虛數的萌芽
1．1．3 幾何與物理的發現
1．1．4 如果沒有復數，物理學將如何發展
1．2 三角函數簡史
1．2．1 三角學簡史
1．2．2 三角函數所蘊藏的深刻思想
1．2．3 從三角函數到傅里葉分析
1．2．4 歐拉公式
第2章 復數教學
2．1 復數教學內容簡析
2．1．1 復數教學現狀
2．1．2 復數教學內容的解讀與分析
2．2 復數教學案例設計
2．2．1 復數教學策略
2．2．2 "數系的擴充和復數的概念"教學案例設計
第3章 三角函數數學
3．1 三角函數教學策略
3．1．1 角度制與弧度制
3．1．2 三角函數教學策略
3．2 任意角、弧度制及三角函數教學案例設計
3．2．1 任意角與弧度制教學案例設計
3．2．2 再論銳角三角比
3．2．3 銳角三角函數教學案例設計
3．2．4 任意角三角函數的課堂教學重構
3．2．5 任意角三角函數教學案例設計
第4章 三角公式
4．1 為什么要研究三角公式
4．1．1 三角公式可有可無嗎
4．1．2 向量空間與內積空間
4．1．3 再談三角公式
4．2 三角公式教學案例設計
……
第5章 解三角形
第6章 復數與三角函數的應用
附錄 復數與三角部分考試題收錄
參考文獻
索引
展開全部
復數與三角卷:問題驅動的中學數學課堂教學 節選
第1章復數與三角函數簡史 1.1復 數 簡 史 1.1.1怪物的出現 古希臘的畢達哥拉斯(Pythagoras，公元前580—前500)認為： “宇宙一切事物的度量都可用整數或整數的比來表示，除此之外，就再沒有什么了。”他的觀點被他的學生希帕索斯(Hippasus，約公元前530—前500年，生卒年不詳)徹底顛覆了，希帕索斯利用畢達哥拉斯證明的勾股定理(西方稱其為畢達哥拉斯定理，當畢達哥拉斯證明了這個定理后，其學派內外異常興奮，宰了100頭牛以祭祀繆斯女神，故也稱為百牛定理)證明了單位正方形的對角線長度就不是畢達哥拉斯所說的整數或整數的比，后人稱之為根號2。這一發現不僅令畢達哥拉斯難堪，也讓希帕索斯為此命喪大海，這就是歷史上著名的**次數學危機。根號2 的出現，不僅讓人類認識了一類新的數——無理數，也使數學的發展進入了一個新的里程碑。盡管人們無法否認無理數的存在，不過無理數的陰影籠罩著數學界達2000年之久。 16世紀中葉，當歐洲人還沒有完全理解負數、無理數時，數學上又出現了一個“怪物”，這就是復數。實際上，早在公元1世紀，希臘數學家海倫(Heron of Alexandria，公元62年左右，生卒年不詳)在解決平頂金字塔不可能問題的時候就提到過負數方根，這是關于復數*早的文獻記載。但復數真正引起關注并讓大家感到迷惑則是源于卡爾達諾(Girolamo Cardano，1501—1576)的三次方程求根公式，那個時候大家并不認為復數是個實實在在存在的東西，然而一些具有實根的三次方程用卡爾達諾的求根公式求解時卻出現了負數的平方根。例如方程x3=15x+4有三個實根4，-2+3，-2-3，但把p=15，q=4代入卡爾達諾公式 1.1復數簡史 第1章復數與三角函數簡史 x=3q2+q22-p33+3q2-q22-p33 時，平方根內部出現了負數q22-p33=-121＜0，用這個公式并不能得到上面的三個實根，而是下面這個莫名其妙的“怪物”： x=22+-121+32--121。 卡爾達諾的確也考慮過二次方程問題，他在《重要的藝術》(1545)一書中提出了一個問題： 把10分成兩部分，使其乘積為40。它等價于求解二次方程x(10-x)=40，這個方程的根是5--15 和5+-15，卡爾達諾聲稱： “不管會受到多大的良心責備，”把5--15 和5+-15相乘，可得25-(-15)=40。接著他評價道： “算術就是這樣神妙地搞下去，它的目標，正如常言所說，是既精致又不中用的。”法國數學家笛卡兒(Descartes,1596—1650)不承認復根，他造出了“虛數”(imaginary number)的概念。那時人們對復數的認識可以用萊布尼茨(Leibniz,1646—1716)的話來概括： “圣靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個理想世界的祥兆，那個介于存在與不存在之間的兩棲物，那個我們稱之為虛的-1的平方根。”在復數找到它的幾何與物理背景之前雖然常被大家提及，但并沒有引起足夠的重視，在經歷了200年數學與自然科學漫長的發展之后，人們發現了它的幾何與物理背景，這才使得復數廣為大家認同，成為數學的重要概念，隨之發展起來的復變函數對數學、物理學都產生了深遠的影響。 1.1.2虛數的萌芽 如前所述，復數由萌芽直到*終為人們普遍接受經歷了相當長的時間。卡爾達諾、萊布尼茨等數學家們大概沒有料想到復數特別是復變函數理論如今已是一個內容十分豐富并在數學與自然科學的各個領域發揮了舉足輕重影響的重要理論。 虛數概念誕生于“荒謬的矛盾”中，帶著“虛無縹緲”的色彩。虛數概念*早的確源于高次方程的求解。眾所周知，代數方程的求解一直是古代數學的核心問題之一。人們很早就懂得二次方程的配方法，從而發明了求根公式。古希臘數學家丟番圖(Diophantus,200—284)在求解一元二次方程過程中就曾遇到過負數開平方的情形。關于負數的平方根，在16世紀之前就常常會遇到，但由于它缺少實際背景，數學家們均認為這類方程沒有意義。 虛數再次出現于1545年，如前所述，在意大利文藝復興時期，數學家卡爾達諾在《重要的藝術》一書中提到一個后來常被引用的問題： 將10分成兩部分，使它們的乘積等于40。 卡爾達諾運用增量法求解方程組： x+y=10， xy=40。 設x=5+t，y=5-t即10=(5+t)+(5-t)，于是 （5+t）(5-t)=40, 52-t2=40, t2=52-40， t2=-15。 卡爾達諾比前人走多了一步，他進一步“形式化地”得出所謂的： t=-15，即x=5+-15, y=5--15。 進而運用算術的平方差公式的“形式化運算”進行驗算，得 （5+-15）（5--15）=25-（-15）=40。 卡爾達諾在書中指出這很“矯揉造作”，但卻能自圓其說。 卡爾達諾突破傳統地承認5+-15和5--15這種數，并將它們用于算術運算，而且發現： 過程很“虛幻”但結果又不矛盾。 在《重要的藝術》中卡爾達諾進一步系統地討論了高次方程求解的相關問題，包括三次、四次代數方程的公式解。數學史上三次方程一般解法的優先歸屬權本屬于塔爾塔利亞(Tartaglia，1499—1557，意大利)，雖然卡爾達諾在書中也作了解法來源的說明，但由于《重要的藝術》的影響力，三次方程的求根公式*終還是被冠以“卡爾達諾公式” 或“卡當(或卡丹)公式”流傳開來。 按照歐洲人的習慣，那時的方程只有正系數項，在《重要的藝術》中卡爾達諾將各種含二次項的三次方程轉化為下列4種不含二次項的方程： x3=px+q,x3+px=q,x3+px+q=0, x3+q=px(其中p,q均為正數)。 《重要的藝術》還對每種方程解的正確性分別給出了幾何上的直觀證明。探討過程并非一帆風順，卡爾達諾、塔爾塔利亞和此后的另一位意大利數學家邦貝利(R.Bombeli,1526—1572)都曾討論了三次方程求解的一個不能合理解釋的疑難點，即三次方程的3個根是不同的實數，但此時方程的求根公式中卻出現了負數的平方根，稱之為“不可約”。 邦貝利通過觀察和試算發現，三次方程x3=15x+4有3個根4，-2+3，-2-3，這3個根都是實數。 另一方面邦貝利套用卡爾達諾公式卻得到了令人困惑的不同結果。邦貝利考察了方程： x3=px+q(其中p,q均為正數)。 設x=3u+3v(分離變量法)，于是 (3u+3v)3=p(3u+3v)+q, u+v+33u3v(3u+3v)=q+p(3u+3v)， 從而 u+v=q, 33u3v=p,即u+v=q, uv=p33。 u和v是一元二次方程y2-qy+p33=0的根，即 u，v=q2±q22-p33。 于是得到方程x3=px+q的一個正根 x=3q2+q22-p33+3q2-q22-p33。 對于三次方程x3=15x+4，即取p=15，q=4，于是出現了 “不可約”情形，即q2-p33=-121＜0，求解公式中的被開平方數是負數，并非前面所說的3個實數根中的任何一個，而是一個不明的“怪物” x=32+-121+32--121。 相比卡爾達諾和塔爾塔利亞，邦貝利又向前多邁了一步，他猜想既然2+-121和2--121只相差一個符號，那么它們的三次方根也應該只相差一個符號。于是他假設 32+-121=a+-b，32--121=a--b, 由此解出： a=2和b=1，于是得 x=32+-121+32--121=(2+-1)+(2--1)=4。 聰明的邦貝利利用兩個“怪物”-121和-1解決了兩種解法所得不同結果之間不和諧的矛盾，使得這個“怪物”多少有了一點存在的理由。笛卡兒將這個“怪物”命名為“虛數”(imaginary number)，-1稱為虛數單位，記為i，即i2=-1。 邦貝利創造了復數的代數形式，并使用了與實數類似的算術運算法則。
復數與三角卷:問題驅動的中學數學課堂教學 作者簡介
曹廣福，男，1960年出生，江蘇海安人，博士，博士后，教授，博士生導師。主要從事數學研究與數學教育工作，在國內外重要刊物上公開發表研究論文100余篇，連續主持了六項國家自然科學基金項目，三項教育部高等學校博士點專項（博導類）基金項目，2003年獲得首屆國家高等學校教學名師獎，2016年入選國家“萬人計劃”領軍人才。長期關注基礎教育，以講座、同課異構等形式經常與中學師生交流，發表了一系列關于基礎教育的研究論文，是廣州市教育名家工作室負責人，多次獲得省級、國家教學成果獎。 盧建川，男，1966年出生，廣東揭陽人，博士，副教授，碩士研究生導師，中國數學奧林匹克高級教練，“希望杯”全國數學邀請賽組織委員會委員，廣東省高師數學教育研究會副秘書長，廣東省中小學教師繼續教育專家委員會委員及廣東省中小學教師繼續教育學科指導小組成員。研究方向為數學課程與教學論，在國內重要刊物上發表研究論文10余篇，作為主要參與人獲得國家基礎教育教學成果獎二等獎。 沈威，男，1982年出生，安徽靈璧人，博士，副教授。主要從事數學教育與數學教育研究工作，研究方向為數學課程與教學論，在國內重要刊物上發表研究論文30余篇，部分論文被《人大復印資料》全文轉載，主持廣東省教育廳等教育科研項目、教學研究與教學改革項目多項。
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