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物理學中的數學方法 版權信息
- ISBN：9787030367884
- 條形碼：9787030367884 ; 978-7-03-036788-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
物理學中的數學方法 本書特色
本書介紹了物理學科研工作所需的數學知識和相應的數學基礎, 包括10 章內容, 分別是變分法、希爾伯特空間、二階線性常微分方程、貝塞爾函數、狄拉克δ 函數、格林函數、范數、積分方程、數論在物理逆問題中的應用和任意維空間的基本方程. 本書內容與本科階段已經學過的數理方法銜接, 并盡可能地反映*新的科研成果. 本書對概念的說明與公式的推導力求詳盡全面, 內容敘述清楚, 便于讀者學習. 各章末尾大量的習題有助于讀者鞏固和擴展正文中學到的知識內容.本書可作為大學物理系和理工科各專業的本科高年級學生和研究生的教材或參考書, 也可供高校教師和科研人員參考.
物理學中的數學方法 內容簡介
《物理學中的數學方法》介紹了物理學科研工作所需的數學知識和相應的數學基礎, 包括10 章內容, 分別是變分法、希爾伯特空間、二階線性常微分方程、貝塞爾函數、狄拉克δ函數、格林函數、范數、積分方程、數論在物理逆問題中的應用和任意維空間的基本方程. 本書內容與本科階段已經學過的數理方法銜接, 并盡可能地反映*新的科研成果. 本書對概念的說明與公式的推導力求詳盡全面, 內容敘述清楚, 便于讀者學習. 各章末尾大量的習題有助于讀者鞏固和擴展正文中學到的知識內容.
物理學中的數學方法 目錄
前言第1章變分法.................................................................1
1.1泛函和泛函的極值問題.................................................1
1.1.1 泛函的概念........................................................1
1.1.2泛函的極值問題....................................................2
1.2 泛函的變分和*簡單情形的歐拉方程.................................. 5
1.2.1 泛函的變分........................................................5
1.2.2 *簡單情形的歐拉方程.............................................9
1.3 多個函數和多個自變量的情形........................................ 13
1.3.1 多個函數.........................................................13
1.3.2 多個自變量.......................................................15
1.4 泛函的條件極值問題..................................................17
1.4.1 等周問題.........................................................17
1.4.2 測地線問題.......................................................21
1.5 自然邊界條件.........................................................23
1.6變分原理..............................................................26
1.6.1 經典力學的變分原理..............................................27
1.6.2 量子力學的變分原理..............................................32
1.7 變分法在物理學中的應用.............................................33
1.7.1 在經典物理中的應用..............................................34
1.7.2 在量子力學中的應用..............................................41
習題........................................................................47附錄1a函數的極值問題.................................................50
參考文獻...................................................................52
第2章希爾伯特空間.........................................................53
2.1 線性空間、內積空間和希爾伯特空間..................................53
2.1.1 線性空間.........................................................53
2.1.2 內積空間.........................................................58
2.1.3希爾伯特空間.....................................................67
2.2 內積空間中的算子....................................................69
2.2.1算子與伴隨算子...................................................69
2.2.2 自伴算子.........................................................76
2.2.3 非齊次線性代數方程組有解的擇一定理..............................83
2.3 完備的正交歸一函數集合.............................................84
2.3.1 收斂的類別.......................................................84
2.3.2 函數集合的完備性................................................86
2.3.3 n 維數域空間和希爾伯特函數空間................................. 90
2.3.4 正交多項式.......................................................91
2.4 魏爾斯特拉斯定理與多項式逼近...................................... 95
2.4.1 魏爾斯特拉斯定理................................................95
2.4.2 多項式逼近.......................................................97
習題.......................................................................103附錄2a數e不是一個有理數的證明....................................107
參考文獻..................................................................108
第3 章二階線性常微分方程................................................109
3.1 二階線性常微分方程的一般理論..................................... 109
3.1.1 解的存在唯一性定理.............................................109
3.1.2 齊次方程解的結構...............................................110
3.1.3 非齊次方程的解.................................................116
3.2施圖姆–劉維爾型方程的特征值問題................................. 119
3.2.1施圖姆–劉維爾型方程的形式...................................... 119
3.2.2施圖姆–劉維爾方程的邊界條件.................................... 120
3.2.3施圖姆–劉維爾特征值問題........................................ 122
3.2.4施圖姆–劉維爾特征值問題舉例.................................... 127
3.3施圖姆–劉維爾型方程的多項式解集................................. 129
3.3.1 核函數和權函數的可能的形式..................................... 129
3.3.2 多項式的級數表達式和微商表示................................... 133
3.3.3母函數關系......................................................139
3.3.4正交的施圖姆–劉維爾多項式解集的完備性定理..................... 141
3.3.5 正交多項式解集在數值積分中的應用...............................142
3.4與多項式的施圖姆–劉維爾系統有關的方程和函數................... 145
3.4.1拉蓋爾函數......................................................145
3.4.2勒讓德函數......................................................149
3.4.3切比雪夫函數....................................................154
3.4.4厄米函數........................................................158
3.5 切比雪夫雙曲函數...................................................165
3.5.1 微分方程的建立.................................................165
3.5.2 微分方程的求解.................................................166
3.6 二階常微分方程的復變函數理論..................................... 169
3.6.1 齊次線性方程組的解.............................................169
3.6.2 二階常微分方程.................................................181
3.7 非自伴的二階常微分方程............................................187
3.7.1 常微分方程的伴隨方程...........................................187
3.7.2施圖姆–劉維爾算子..............................................188
3.7.3 非自伴二階常微分方程的完備集................................... 191
3.8 非齊次方程有解的條件..............................................192
習題.......................................................................196附錄3a初值問題(3.1.4)的解的存在唯一性的證明.....................201附錄3b二重求和中變量的代換.........................................204附錄3c關于施圖姆–劉維爾理論向狄拉克型方程的推廣................ 204
參考文獻..................................................................205
第4 章貝塞爾函數..........................................................207
4.1 貝塞爾方程..........................................................207
4.1.1 貝塞爾方程及其解...............................................207
4.1.2 **類和第二類貝塞爾函數....................................... 213
4.2 貝塞爾函數的基本性質..............................................216
4.2.1 貝塞爾函數的遞推公式...........................................216
4.2.2 貝塞爾函數的漸近式.............................................219
4.2.3 貝塞爾函數的零點...............................................219
4.2.4朗斯基行列式....................................................222
4.3 整數階貝塞爾函數...................................................223
4.3.1 奇偶性和特殊點的值.............................................224
4.3.2 整數階貝塞爾函數的母函數....................................... 225
4.4 半奇數階貝塞爾函數.................................................229
4.5 第三類貝塞爾函數和球貝塞爾函數.................................. 232
4.5.1 第三類貝塞爾函數...............................................232
4.5.2球貝塞爾函數....................................................236
4.6虛變量(或變形)貝塞爾函數.........................................241
4.6.1 **類和第二類變形的貝塞爾函數.................................241
4.6.2 整數階變形貝塞爾函數...........................................246
4.6.3 半奇數階變形貝塞爾函數.........................................248
4.7 變量為實數的貝塞爾函數............................................248
4.7.1 貝塞爾方程的特征值問題.........................................248
4.7.2 特征函數族的性質...............................................250
4.7.3 球貝塞爾方程的特征值問題....................................... 254
習題.......................................................................255附錄4aγ(z)函數的導數與ψ(z)函數...................................261附錄4b第二類貝塞爾函數表達式.......................................263
參考文獻..................................................................265第5章狄拉克δ函數.......................................................267
5.1 δ 函數的定義與性質.................................................267
5.1.1 δ 函數的定義....................................................267
5.1.2 δ函數是一個廣義函數............................................268
5.1.3 δ 函數的傅里葉變換和拉普拉斯變換............................... 269
5.1.4 廣義函數的導數和積分...........................................270
5.1.5 δ 函數中的定值是個復數的情況................................... 272
5.2 δ 函數視為普通函數的弱收斂極限................................... 273
5.2.1 普通函數的弱收斂的幾種形式..................................... 273
5.2.2證明式(5.2.7a)的弱收斂極限是δ函數............................ 277
5.2.3證明式(5.2.9b)的弱收斂極限是δ函數............................ 277
5.2.4證明式(5.2.11)的弱收斂極限是δ函數............................ 279
5.2.5應用舉例........................................................280
5.3 多維空間中的δ函數.................................................282
5.3.1直角坐標系......................................................282
5.3.2 直角坐標系到曲線坐標系的變換................................... 283
5.4 δ 函數的廣義傅里葉展開............................................286
習題.......................................................................290
參考文獻..................................................................292
第6章格林函數............................................................294
6.1 格林函數的基本理論.................................................294
6.1.1 格林函數的定義.................................................294
6.1.2 格林函數的作用和性質...........................................295
6.1.3 格林函數的求解方法.............................................297
6.1.4 格林函數的物理意義.............................................303
6.2 拉普拉斯算子的基本解..............................................305
6.2.1三維情況........................................................307
6.2.2二維情況........................................................308
6.2.3一維情況........................................................310
6.3 阻尼振子的格林函數.................................................312
6.3.1齊次方程的解....................................................312
6.3.2求解格林函數....................................................313
6.3.3方程的通解......................................................314
6.3.4無阻尼的情況....................................................314
6.3.5 邊界條件對格林函數的影響....................................... 315
6.4 二階常微分方程的格林函數..........................................316
6.4.1 格林函數的對稱性...............................................317
6.4.2 二階微分方程邊值問題的解....................................... 318
6.4.3廣義格林函數....................................................320
6.4.4 求解二階微分方程邊值問題的實例.................................326
6.5 高維空間的格林函數.................................................333
6.5.1 二階微分方程與格林函數.........................................333
6.5.2 二維格林函數求解實例...........................................336
6.5.3 三維格林函數求解實例...........................................351
6.5.4光的小孔衍射....................................................354
6.5.5 三維空間中粒子散射的問題....................................... 362
6.6 鏡像法求解格林函數.................................................363
6.6.1 鏡像法的基本理論...............................................363
6.6.2二維空間實例....................................................366
6.6.3三維空間實例....................................................371
6.7 一階微分方程的格林函數............................................373
6.7.1 非齊次方程邊值問題.............................................373
6.7.2 齊次方程邊值問題...............................................373
6.7.3 非齊次方程與格林函數...........................................374
6.7.4 邊值問題的通解.................................................375
6.8 非自伴微分方程的格林函數..........................................376
6.8.1伴隨格林函數....................................................376
6.8.2 非齊次微分方程的解.............................................378
習題.......................................................................379
參考文獻..................................................................382
第7章范數.................................................................383
7.1 巴拿赫空間..........................................................383
7.1.1巴拿赫空間......................................................383
7.1.2赫爾德不等式....................................................386
7.1.3 閔可夫斯基不等式...............................................389
7.2向量范數.............................................................390
7.2.1向量范數........................................................390
7.2.2 向量范數的等價性...............................................393
7.3矩陣范數.............................................................394
7.3.1矩陣范數........................................................394
7.3.2 矩陣的譜范數和譜半徑...........................................400
7.3.3矩陣測度........................................................403
7.4算子范數.............................................................407
7.4.1算子的范數......................................................407
7.4.2伴隨算子........................................................411
7.4.3投影算子........................................................414
7.5 全連續算子..........................................................417
7.5.1 線性積分變換用有限秩線性積分變換逼近.......................... 417
7.5.2全連續算子......................................................419
習題.......................................................................424
參考文獻..................................................................426
第8章積分方程............................................................428
8.1 積分方程的基礎理論.................................................428
8.1.1 積分方程的定義和分類...........................................428
8.1.2 積分方程與微分方程的關系....................................... 430
8.1.3 關于齊次積分方程的理論.........................................433
8.2 線性積分方程的迭代技術............................................437
8.2.1 弗雷德霍姆線性積分方程.........................................437
8.2.2 沃爾泰拉線性積分方程...........................................447
8.3 非線性方程的迭代技術..............................................448
8.3.1迭代步驟........................................................448
8.3.2利普希茨條件....................................................450
8.3.3 利用收縮的概念.................................................452
8.3.4 彈簧的非諧振動.................................................453
8.4 退化核的弗雷德霍姆線性積分方程.................................. 455
8.4.1 可分核..........................................................455
8.4.2有限秩核........................................................462
8.4.3 核按特征系的展開...............................................471
8.5 卷積型積分方程的求解..............................................473
8.5.1 弗雷德霍姆卷積型積分方程....................................... 473
8.5.2 沃爾泰拉卷積型積分方程.........................................476
8.6 多項式類型的積分方程..............................................479
8.6.1 只含多項式的弗雷德霍姆積分方程的解法.......................... 479
8.6.2母函數法........................................................481
習題.......................................................................483
參考文獻..................................................................488
第9 章數論在物理逆問題中的應用......................................... 490
9.1陳–莫比烏斯變換....................................................490
9.1.1引言............................................................490
9.1.2莫比烏斯變換....................................................492
9.1.3陳–莫比烏斯變換................................................497
9.2 晶體中聲子態密度的逆問題..........................................500
9.2.1逆變換公式......................................................500
9.2.2低溫近似........................................................502
9.2.3高溫近似........................................................505
9.3 晶體內原子間相互作用勢的逆問題.................................. 507
9.3.1一維情況........................................................508
9.3.2二維情況........................................................512
9.3.3三維情況........................................................516
9.4 加性莫比烏斯變換及其應用..........................................523
9.4.1 函數的加性莫比烏斯變換及其應用.................................523
9.4.2 數列的加性莫比烏斯變換及其應用.................................529
9.5 與表面和界面有關的對勢反演問題.................................. 532
9.5.1 孤立原子與半無限大晶體內原子的對勢.............................532
9.5.2 晶體表面原子弛豫...............................................534
9.5.3 界面原子間作用勢的逆問題....................................... 535
習題.......................................................................539附錄9a黎曼ζ函數的數值.............................................541附錄9b倒易系數的計算................................................543
參考文獻..................................................................544
第10章任意維空間的基本方程.............................................547
10.1任意維歐幾里得空間................................................547
10.1.1 直角坐標系與球坐標系..........................................547
10.1.2 梯度、散度和拉普拉斯算子...................................... 551
10.2 拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程的格林函數.......................... 553
10.2.1 拉普拉斯方程的格林函數........................................553
10.2.2 亥姆霍茲方程的格林函數........................................555
10.3有心勢下的徑向方程................................................557
10.3.1 高維空間有心勢下的徑向方程.................................... 557
10.3.2 亥姆霍茲方程..................................................558
10.3.3 無限深球方勢阱................................................559
10.3.4 有限深球方勢阱................................................560
10.3.5 庫侖勢.........................................................561
10.3.6諧振子勢.......................................................563
10.3.7 兩項負冪次分子勢..............................................565
10.3.8 正負冪次分子勢................................................566
10.3.9 指數衰減吸引勢................................................566
10.3.10 徑向方程具有解析解的條件..................................... 567
10.4 角向方程的解.......................................................568
10.4.1四維空間.......................................................569
10.4.2五維空間.......................................................573
10.4.3 n 維空間......................................................574
10.4.4 總角動量的線性無關分量........................................577
10.5 贗球坐標系.........................................................580
10.5.1 四維空間贗球坐標系............................................580
10.5.2 拉普拉斯方程的解..............................................581
10.5.3 五維和六維空間................................................584
10.6 非歐幾里得空間....................................................585
10.6.1度規張量.......................................................585
10.6.2 五維閔可夫斯基空間和四維德西特空間........................... 589
習題.......................................................................596附錄10a超幾何方程與超幾何函數.....................................598
參考文獻..................................................................599
外國人名英漢對照表...........................................................600
索引...........................................................................602
展開全部
物理學中的數學方法 作者簡介
王懷玉，清華大學物理系教授，博導。長期致力于凝聚態物理理論方面的工作。目前從事光與物質的相互作用的研究，成果豐碩。
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