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數學模型八講-模型.模式與文化 版權信息
- ISBN：9787301128077
- 條形碼：9787301128077 ; 978-7-301-12807-7
- 裝幀：暫無
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
數學模型八講-模型.模式與文化 節選
bsp; 前言
作為教學改革的一項重大舉措，2l世紀初，北京大學為全校本科生增設了一類新型課
程——通選課，其目的是進一步貫徹“加強基礎，淡化專業，分流培養，因材施教”的方針，打
破院系與學科界限，把按專業劃分的以傳授知識為主要目的分門別類的課程，轉變為強調指
導思想與觀點的闡述，強調對知識的整體把握，側重學科聯系，側重學生能力提高的通識教
育，力圖建立以素質培育為導向的新型課程體系．在此范圍內，筆者有幸開設了一門以介紹
數學模型為具體內容，試圖貫徹以上方針的課程．本書就是在原有講稿基礎上，在通選課所
應遵循的原則指導下，修改、充實、潤色而成．
通選課的總體目標無疑是正確的，但這并不意味著所開設的每一門課程都達到了要求．
筆者自知，他的課程與理想的通選課就有相當距離．這種現象是很自然的，主要出自于以下
兩方面原因．其一是：這的確是一項意義深遠的改革，盡管國內外優秀的同類課程不勝枚
舉，但總的說來，尚無系統的、全面成熟的經驗可供借鑒．其二則是教師個人的原因．北京大
學人才濟濟，無疑有眾多學養深厚的老一輩學者或青年才俊開設了非常優秀的通選課；但也
毋庸諱言，如筆者這樣的教師，囿于自身成長年代的社會氛圍、所受教育的背景、個人品性的
愚拙，并非是神話中的百寶箱，想要什么，就能給出什么．對筆者而言，通識教育的要求，首先
就是對教師自身的挑戰．這一挑戰涉及頗廣，它不僅涉及教師自身的知識結構、深度、廣度，
認識能力與表達能力，更要涉及教師自身的哲學指導思想，對學科內容和方法的理解與認
識．因此，對于不同的通選課程和相應教材要具體分析，認真看待每門課程的成功與不足．就
筆者個人而言，則難免有濫竽之嫌，出版這部教材的目的主要是報告一下，筆者在這方面到
底想了什么?做了什么?總結經驗，吸取教訓，聽取各方面的批評與指正，以便改進．丑媳婦
也要見公婆嘛!
手頭的這部講義以數學模型和模式的討論為主要內容，這是因為筆者此前曾為北京大
學數學系與部分理科院系本科生開設過一門數學模型課程，部分學生對其很感興趣，因而建
議在更大的范圍內講授有關內容．這就是與此有關的通選課的緣起．然而，通選課不同于講
授應用數學內容的專業課，課程素材即便類似，滲透其中的指導思想，所要傳達的信息，講授
的角度、重點、編排都會完全不同．前面已經指出，通選課不以介紹特定的專業知識、技巧與
方法為目的，它的精髓在于講授思想、深層次的哲學觀點，強調學科聯系，培養學生把握辯證
唯物主義的觀點和方法論．這是一個困難的任務，筆者只不過做了些許嘗試．
本書的**講探討數學中的主要哲學問題，其目的在于說明：數學不僅僅是一種專門
知識或研究問題的獨特方法，它實際與研究者本身的世界觀密切關聯；數學哲學不僅僅是對
數學的不同觀點，而是直接影響到你認同什么樣的數學，如何按照你所欣賞的途徑學習與發
展數學，以至影響一個人對一般科學思想與方法的理解．顯然數學哲學問題是沒有唯一答案
的，書中力圖客觀地介紹不同流派的基本思想，當然，側重點是在筆者個人贊同的派別上．這
一講中還試圖闡述數學與其他領域，或者大言不慚地說數學與文化的關系．顯然筆者本人不
具備全面地明晰闡述如上問題的學識素養，因而不得不把討論局限在數學與計算機科學以
及藝術的關系上．雖然限定后的兩個方面仍然超出筆者的能力，但此處不揣冒昧、大膽放言
的原因在于：筆者深感有關的問題現今已經實際影響了學生的行為，影響了很多學生對知
識的選擇與把握．無論如何，把矛盾揭示出來總是有益的．
本書的素材除了包含某些數學模型之外，還含有與“數學模式”有關的部分內容．“數學
模式”這個詞的使用當然與數學哲學中的結構主義流派有關，但書中是在更“自由”的意義上
使用這一詞語的．例如在第二講中，我們就把撒謊者悖論所含的邏輯結構視為一種“模式”，
這一模式不僅出現在眾多悖論的構成中，還以更復雜的形式表現在哥德爾不完全性定理的
證明里，它的變形又是圖靈停機問題的證明主線，它還是著名的集合論悖論一—羅素悖論的
本質．實際上存在有更多的數學物理的重要結果，它們均可視做這同一模式在不同領域的表
達；不僅如此，這一模式還被諸多的文學家、藝術家以多種方式幻化在各自的作品里．如此種
種不僅表現了數學模式的普遍意義，也從另一個角度說明了數學與其他領域的關系．深刻的
思想并非數學家所獨有，不同領域的優秀人物“英雄所見略同”．本書還探討了其他幾種“模
式”，如對稱模式、變分模式、投影模式，等等．這種處理是否恰當，歡迎讀者指正．
本書強調的另一主題是數學與其他學科、其他領域的廣泛聯系和交互作用．除了傳統的
物理學、力學領域外，第三講中介紹了如何利用“群”的概念，刻畫由兩性關系所決定的早期
人類社會結構．第八講中，敘述了如何利用概率統計方法“量化”一個作家的文學特點．盡管
有關用數學方法處理文學作品的理論與方法還不完全成熟，我們仍將其收入本書，目的在于
說明：對于人文、社會科學而言，數學仍是一個可能有所作為的尚待開拓的領域．本書特別
強調數學與生物學的關系，第四、第五講完全用于這方面的討論．數學生物學實際是現代科
學的前沿，它不僅包含生動、豐富的內容，而且處于蓬勃發展之中．本書的內容只是一個引
子，一個十分初等的介紹，目的僅在于引起讀者對有關課題的關注．
本書中有部分內容需要讀者有較強的數學基礎，例如第六講中關于控制論模型的論述，
第七講中關于“廣義逆”的一節等．對于是否將這些內容按現在的形式保留在書中，筆者曾考
慮再三，*終還是留下了．其原因是：讀者或選課的學生中有相當一部分具有很不錯的數學
修養，他們不僅希望通過通選課得到思想上的啟發，對學科整體有所把握，還希望對某些具
體問題與方法有比較確切的了解，這一部分內容就是為了滿足他們的需要而安排的；對于閱
讀這些內容有數學障礙的讀者。則完全可以將它們跳過，絲毫不會影響對本書主旨的把握．
本課程考核主要采取期末課程論文的形式，題目由學生自己選定．由于選課的學生文理
科各系均有，數學基礎參差不齊，獨立完成論文有困難者允許以某個專題或數學課程的讀書
報告代替，唯一的要求是不得抄襲．凡是認真對待，有獨立見解，即使未必完善，失之偏頗者
也予以鼓勵，目的是提倡學生獨立思考，發揮創造力與想象力．筆者認為，凡是以探討思想觀
點、強調整體把握與學科聯系，不以講授專門技術為主要目的通選類課程，在考查學生方面
均不宜過嚴、過細．理由有二，一是不合課程宗旨，二是難于把握．本書*后，選輯了學生論文
所使用過的50個題目作為附錄，從一個側面大致反映了學生的學習情況．
本書在編寫過程中得到了學校有關部門，尤其是數學科學學院及北京大學出版社等部
門各級負責同志的關懷和支持，也得到了眾多師友的指導和幫助．筆者特別要感謝李忠、張
順燕、王長平、郭懋正、徐樹方、劉旭峰、劉力平、周鐵、鄧明華諸位先生，他們從多個方面給予
筆者以巨大的支持、鼓勵和幫助．張樹義先生協助作者繪制了第三講中的圖3—3和圖3—4，責
任編輯曾琬婷以及出版社劉勇同志也為本書的出版付出了諸多心血，在此一并致以誠摯的
謝意．*后還要感謝我學數學的女兒雷悅，她閱讀了全部手稿，提出了一些其他批評者不便
直抒的意見．
雷功炎
2007年6月
第五講
有關生命現象的幾q-數學模型
這一講的**節首先介紹了元胞自動機的基本概念，然后敘
述了它的一個典型代表——康維的生命游戲，進而介紹了沃爾夫
對一維元胞自動機的模擬研究．第二節討論涉及生命現象的另一
模型——圖靈擴散，并介紹了對有關問題進行數值模擬的基本方
法．第三節從博弈論的觀點出發，解釋了生物群體雌雄性別比一
般為1：l的’原因．
計算機的出現和發展，大大改變了世界的面貌，它不僅改變了傳統
的生產模式，而且滲透進了人們的日常生活，甚至影響了部分人的思維
方式．當前，在世界范圍內，不僅學習與應用計算機的熱潮澎湃洶涌，同
時還泛濫著部分人對計算機的頂禮膜拜與圖騰．計算機的確是一個好東
西．但是學習、普及計算機必須有正確的觀點，在任何情況下，計算機都
只能是人所掌握的工具．永遠是人支配機器，而不可能是機器支配人．我
們面臨的問題是：如何更好地發揮計算機的潛能，更好地使用計算機?
但要切忌淪為機器的附庸與奴隸，把思維淪落為計算機的刻板機械模
式．要清除一切神化計算機的反科學宣傳，把計算機稱做“電腦”是一種
比喻，電腦絕對趕不上人腦．計算機在什么意義下擁有“智能”?這種“智
能”的限度是什么?諸多此類問題一直是學術界關心的課題．
當然，計算機的確有“過人之處”，問題是：這一過人之處到底是什
么?事實上，計算機無疑優于人腦之處只是它的算術運算速度．正像起
重機比人的手臂更有力，汽車比人跑得更快、更持久，計算機能夠快速運
算自然是它的極大優點，現代計算機的所有優越性基本說來都建立在這
一點之上．應該充分認識這一優點的巨大意義和潛能，但不應在這一能
力之外認為計算機具有其他“超人”的能力．實際上，計算機特有的算術
運算能力對于生物生存并不是*基本的需要．如果這種能力對生物和人
類是必需的，那么可以想象，經過幾十億年之久的進化過程，現在的人類
早就發展出了超過計算機的此類本領．如果對“計算’’這一概念從更廣的
意義上加以理解，即不是指純粹的加減乘除，而是把與生物生存有關的
各種信息的收集、識別、估計、判斷、整理、加工包括在內，那么我們就會發現，人腦的工作“語
言”并不是現在通行的數學語言，更不是現在的計算機語言．人腦在上述各方面都大大優于
電腦．例如，不足一歲的嬰兒就能識別人臉，會對父母微笑；而直至今日，人臉識別還是計算
機科學的前沿課題之一．人腦是穩健的、容錯的，神經細胞每天都有生有死，但我們的記憶和
思維并未因此而受到影響．然而，計算機存儲系統一個二進位的偶然跳動，就有可能引起整
個系統癱瘓．人腦具有很強的學習功能，我們從一降生開始，就在與外部世界的接觸過程中，
通過經驗不斷地學習，或者說改變著自身思維器官的功能與結構．這是一種天賦的能力，無
須經由特定的外部設備，把利用某種人工語言，例如C十+或JAVA精心編制的程序化了的
信息強行輸入．而且人腦可以處理具有概率意義的，模糊或不確定的信息，其中可以包含“噪
聲”，甚至不相容的矛盾內容．這不但不會引發混亂，有時還會產生意想不到的結果，如引發
了靈感，引發了創造，進而產生了社會進步．然而，如果你發給計算機的指令中有矛盾，看看
會產生什么后果，它可能使你焦頭爛額．人是可以一心二用的，很多同學一邊聽報告，一邊記
外語單詞，而且從容不迫．這說明人腦有并行處理的功能．現代計算機也可以有類似的功能，
但無論是機器結構還是具體應用，都要經過專門設計．從耗能的觀點，人腦也大大優于電腦．
人腦體積很小，結構緊湊，只消耗很少的功率，而對計算機而言，盡管元件的集成度不斷提
高，模數、數模轉換器件的尺度越做越小，但在耗能上仍然無法與人腦相比，尤其對大型計算
機系統說來，電費仍是一筆可觀的支出．
還在現代數字計算機發明不久的時候，它的創始人馮·諾依曼就已認識到計算機的局
限，它并不是一個*理想的機器．在很多方面，現代計算機遠遠不及生物所具有的廣義計算
能力．因此馮·諾依曼在20世紀50年代初就開始了新的探索．實際上，人腦時時刻刻都在進
行“計算”，我們在見到任何一副面孔的同時就在識別、搜索或存儲與之有關的一切信息；我
們行走或行駛在一條道路上時，隨時依據各種情況進行估計與判斷，以避免碰撞并選擇*佳
路線；人們在百貨商店琳瑯滿目的貨架間漫步，不經意間已經決定了自己所選擇的商品，它
們通常具有*高的性能價格比．在進行上述活動時，人們并不認為自己運用了什么高深的學
問或技能，但是你如果試圖利用計算機處理上述問題，則其中任何平凡的一部分，肯定是計
算機科學的尖端領域之一．事實上，生物系統在用一種與現代計算機完全不同的原則處理問
題．它既不需要算術運算，也不需要離散近似，在生物進化的數十億年間，已創造出不計其數
既靈巧又高效的方式，解決各種各樣的涉及“計算”的問題．馮·諾依曼認為，人類有必要研究
某些生物的基本功能．但這種研究不是簡單機械地模仿．他提出，首先我們應當研究那些具
有類似生物系統功能，具有自組織能力的系統．所謂“自組織能力”是指一種自我生長、自我
復制、與環境交換信息交互作用的能力．這種能夠自我復制的系統似乎是有生命的，故馮·諾
依曼稱之為“活的機器”．但是馮·諾依曼深知，利用已有的技術無法造出一臺真正的活機器，
因而他轉而考慮用計算機模擬一類模型，探尋這種活機器“生命”過程的邏輯．為實現這一設
想，馮·諾依曼*終采用了他的同事與學生烏拉姆(Ulam)為解決這一任務所提出的一個極
其聰明的建議，即以一種抽象方式，建立一個一般性框架，稱之為“元胞空間”，在此空間中
建立模擬生命過程的模型．這是今日諸多科學與工程領域的多種離散模型的共同來源．當今
更為流行的名字是“元胞自動機”．下面就對有關內容作一簡單介紹．
§1元胞自動機的基本概念
元胞自動機實際是一類數學模型的總稱，是今日眾多離散模型的共同框架．首先，設想
一個幾何上規則的空間點陣，或者說一塊規則的晶體．然后把每個格點(或格子)視為一個細
胞，因此所考慮的是一個細胞組成的世界．每一個細胞可以處于有限多種不同的狀態，例如
存活或死亡，這時可以由兩種不同的編碼如O或1表達．在一般情況下，細胞的有限個不同
狀態可以由一組2進制數字表征．對于任何一個格點(或格子)，按照一定規則，指定其鄰近
的一組有限格點(或格子)，作為所討論格點(或格子)的鄰域．在所考慮的細胞組成的世界
里，時間是離散的．在離散的時間進程中，細胞狀態隨時間變化，任何時刻一個細胞的狀態僅
取決于此細胞及其鄰域內細胞在上一時刻的狀態．給定了這樣一組兩個時刻細胞狀態間的
對應規則和一組細胞的初始狀態分布，我們就可以在時間進程中跟蹤元胞自動機整體的狀
態演化，研究它的發展和規律．在元胞自動機的框架下，可以有多種多樣的具體模型．例如僅
就平面模型而言，點陣就可以取做正三角形、正方形或正六邊形；由于問題不同，細胞可以有
不同數目的有限狀態；而變化規則更可以有各種不同，它們可以是確定性規則，也可以引入
隨機性考慮，這些都大大豐富了模型的種類．正是因為元胞自動機所具有的如此豐富的內
涵，使之成為了今日多種科學與工程領域大量離散型模型的基礎．然而，此類模型都具有如
下的共同特點：(1)空間是離散的；(2)時間是離散的；(3)細胞(因而，自動機)狀態是離散
的；(4)細胞狀態隨時間的演化規則是局域的．由于上述特點，又有人將此類模型稱為全離
散模型．
馮·諾依曼和烏拉姆設計這樣一臺機器的目的之一是試圖尋找一種完全不同于現代計
算機原理的工作方式，為實現廣義意義上的“計算”任務，開辟新的途徑．然而，從理論上說
來，元胞自動機完全可以具有現代計算機的功能，盡管實現起來十分復雜．*重要的是，元胞
自動機有極強的模擬功能，幾乎所有自然科學領域，如數學、物理學、化學、生物學、地質學、
地理學、醫學、生態學、材料學等學科的眾多課題都可利用元胞自動機加以模擬．這已為今天
的科學發展所證實．
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