序言 iv

第 1章　歐幾里得之前 1

1.1　勾股定理 2

1.2　勾股數組 4

1.3　無理數 7

1.4　從無理數到無窮 8

1.5　對無窮的敬畏 11

1.6　歐多克斯 12

1.7　附注 15

第 2章　歐幾里得 16

2.1　定義、定理和證明 17

2.2　等腰三角形定理與SAS 19

2.3　平行公設的變體 22

2.4　再談勾股定理 25

2.5　代數概覽 26

2.6　數論與歸納法 29

2.7　幾何級數 32

2.8　附注 36

第3章　歐幾里得之后 38

3.1　關聯 39

3.2　順序 40

3.3　合同 43

3.4　完備 44

3.5　歐幾里得平面 47

3.6　三角形不等式 49

3.7　射影幾何 50

3.8　帕普斯定理和德薩格定理 54

3.9　附注 58

第4章　代數 60

4.1　二次方程 61

4.2　三次方程 63

4.3　作為“普遍算術”的代數 67

4.4　多項式與對稱函數 68

4.5　近世代數：群 72

4.6　近世代數：域與環 76

4.7　線性代數 80

4.8　近世代數：向量空間 81

4.9　附注 85

第5章　代數幾何 91

5.1　圓錐曲線 92

5.2　費馬和笛卡兒 94

5.3　代數曲線 96

5.4　三次曲線 100

5.5　貝祖定理 102

5.6　線性代數和幾何 104

5.7　附注 106

第6章　微積分 108

6.1　從列奧納多到哈里奧特 109

6.2　無窮求和 111

6.3　牛頓的二項式級數 115

6.4　巴塞爾問題的歐拉解法 118

6.5　變化率 120

6.6　面積和體積 124

6.7　無窮小代數和幾何 128

6.8　級數微積分 134

6.9　代數函數及其積分 138

6.10　附注 141

第7章　數論 144

7.1　初等數論 145

7.2　再談勾股數組 149

7.3　費馬*后定理 154

7.4　數論中的幾何與微積分 157

7.5　高斯整數 163

7.6　代數數論 171

7.7　代數數域 174

7.8　環和理想 178

7.9　整除和素理想 183

7.10　附注 186

第8章　代數基本定理 190

8.1　在證明之前的定理 190

8.2　代數基本定理的早期“證明”及其漏洞 193

8.3　連續性和實數 195

8.4　戴德金對實數的定義 196

8.5　代數學家的基本定理 198

8.6　附注 200

第9章　非歐幾里得幾何 201

9.1　平行公設 202

9.2　球面幾何 203

9.3　球面幾何的平面模型 207

9.4　微分幾何 209

9.5　常曲率幾何 214

9.6　貝爾特拉米的雙曲幾何模型 218

9.7　復數的幾何 222

9.8　附注 224

第 10章　拓撲學 227

10.1　圖 228

10.2　歐拉多面體公式 233

10.3　歐拉示性數和虧格 237

10.4　作為曲面的代數曲線 239

10.5　曲面的拓撲 242

10.6　曲線奇點和紐結 247

10.7　賴德邁斯特移動 250

10.8　簡單的紐結不變量 253

10.9　附注 258

第 11章　算術化 260

11.1　 的完備性 261

11.2　直線、平面和空間 263

11.3　連續函數 263

11.4　定義“函數”和“積分” 265

11.5　連續性和可微性 271

11.6　一致性 273

11.7　緊致性 277

11.8　編碼連續函數 281

11.9　附注 283

第 12章　集合論 288

12.1　無窮簡史 289

12.2　等勢集合 291

12.3　與 等勢的集合 297

12.4　序數 299

12.5　用集合實現序數 301

12.6　根據秩對集合排序 305

12.7　不可達性 306

12.8　無窮的悖論 307

12.9　附注 308

第 13章　數、幾何和集合的公理 312

13.1　皮亞諾算術 313

13.2　幾何公理 316

13.3　實數的公理 318

13.4　集合論的公理 319

13.5　附注 322

第 14章　選擇公理 324

14.1　選擇公理和無窮 325

14.2　選擇公理和圖論 326

14.3　選擇公理和分析學 327

14.4　選擇公理和測度論 329

14.5　選擇公理和集合論 332

14.6　選擇公理和代數學 333

14.7　更弱的選擇公理 337

14.8　附注 340

第 15章　邏輯與計算 342

15.1　命題邏輯 343

15.2　命題邏輯的公理 345

15.3　謂詞邏輯 350

15.4　哥德爾完備性定理 352

15.5　邏輯歸約為計算 355

15.6　可計算枚舉集 357

15.7　圖靈機 359

15.8　半群的字問題 365

15.9　附注 370

第 16章　不完全性 375

16.1　從不可解性到不可證性 376

16.2　句法的算術化 377

16.3　根岑對PA一致性的證明 380

16.4　算術中暗含的ε0 384

16.5　可構造性 387

16.6　算術概括 390

16.7　弱柯尼希引理 392

16.8　五大子系統 394

16.9　附注 396

參考文獻 397