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微積分(上) 版權信息
- ISBN：9787121465475
- 條形碼：9787121465475 ; 978-7-121-46547-5
- 裝幀：平裝-膠訂
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
微積分(上) 本書特色
特色之一，運用迭代的思維。我們相信好的書不是寫出來的，而是改出來的，比如《紅樓夢》就曾經“披閱十載，增刪五次”。所以，本書中的內容一開始就在“馬同學”網站、“馬同學圖解數學”微信公眾號以及知乎“馬同學”、B 站“馬同學圖解數學”這些渠道上發布。撰寫本書時，其中免費的內容已經有很多人閱讀過；而完整的付費版本也已經售賣了上萬份。在這個過程中，我們收到了大量的肯定及批評建議，根據這些或正面、或負面的反饋，我們進行了數次大的改版，本書*終才得以付梓印刷。 特色之二，盡量詳細。因為本書針對的是自學者，我們希望讀者可以在沒有老師講解的情況下讀懂內容，所以本書中涉及的知識點、證明過程、習題講解，我們都盡量做到不跳步驟、闡明邏輯、交叉引用。 特色之三，海量圖解。本書總共有三百多頁，其中包含了五百多幅精心制作的圖解圖片。這些圖片的制作十分用心，其中很多幅圖片的制作時間都在半天以上，真正起到了“圖解”的應有之義。 特色之四，講解視頻。我們還為本書中的一些難以理解的知識點精心制作了講解視頻，可在對應的章節掃碼觀看，也可直接到B 站“馬同學圖解數學”的“微積分”合集中查看，并且視頻還在不斷迭代、增加中。根據大家的反饋，這些視頻提供了不一樣的學習體驗，是對本書內容很好的補充。 特色之五，邏輯清晰而完整。舉一個例子，本書是以“線性近似”為線索的，講到“曲率”的時候也一以貫之采用了和其他教材非常不一樣的視角來引入，相信大家讀到時能感受到邏輯的流動。
微積分(上) 內容簡介
本書通過圖解的形式，在邏輯上穿針引線，講解了大學公共課"高等數學（微積分）”中與單變量函數相關知識點，也就是經典教材《高等數學》上冊中的絕大多數知識點。這些知識點是相關專業的在校、考研學生必須掌握的，也是相關從業人員深造所應推薦的。本書圍繞著"線性相似”，講解了極限、導數、微分、中值定理、洛必達法則、泰勒公式、極值、*值、定積分、牛頓萊布尼茨公式、微分方程求解等知識，邏輯上層層遞進，再輔以精心挑選的各種例題、生活案例等，大大降低了學習門檻。
微積分(上) 目錄
目錄
第1章 引言 1
1.1 開普勒第二定律 1
1.2 線性近似的思想 2
1.3 古典微積分 3
1.4 古典微積分的問題 4
第2章 函數與極限 6
2.1 柯西的數列極限 6
2.1.1 用數列來表示矩形逼近曲邊梯形這一過程 6
2.1.2 柯西的數列極限 9
2.1.3 無窮大符號 10
2.1.4 阿基里斯悖論 10
2.1.5 古典微積分問題的解決 12
2.2 魏爾斯特拉斯的數列極限 13
2.2.1 魏爾斯特拉斯的數列極限介紹 14
2.2.2 數列極限的另外一種定義 20
2.3 數列極限的性質 22
2.3.1 數列極限的唯一性 23
2.3.2 收斂數列的有界性 24
2.3.3 收斂數列的保號性 26
2.3.4 收斂數列的子數列 27
2.4 趨于無窮的函數極限 28
2.4.1 趨于無窮、正無窮、負無窮的函數極限 28
2.4.2 無窮極限存在的充要條件 34
2.5 一般的函數極限 35
2.5.1 飛矢不動 35
2.5.2 鄰域、去心鄰域以及一般的函數極限 37
2.5.3 單側極限 41
2.5.4 極限存在的充要條件 43
2.5.5 小結 45
2.6 無窮小 45
2.6.1 極限和局部 45
2.6.2 無窮小的定義和意義 47
2.6.3 極限與無窮小 49
2.7 無窮大 50
2.7.1 正無窮大、負無窮大和無窮大的定義 50
2.7.2 無窮小與無窮大 52
2.8 極限的性質 54
2.8.1 極限的唯一性 55
2.8.2 極限的局部有界性 55
2.8.3 極限的局部保號性 56
2.9 海涅定理 59
2.9.1 海涅定理的幾何意義 60
2.9.2 xn ?= x0 61
2.9.3 海涅定理的例題 62
2.10 極限的運算法則 64
2.10.1 無窮小的運算法則 64
2.10.2 極限的各種運算法則 66
2.10.3 拋物線下的面積 71
2.11 夾逼定理 72
2.12 復合函數的極限 78
2.13 漸近線 84
2.13.1 水平漸近線 84
2.13.2 鉛直漸近線 85
2.13.3 斜漸近線 86
2.14 單調有界數列必有極限 89
2.14.1 單調數列和單調函數 89
2.14.2 單調有界準則 90
2.14.3 歐拉數e 90
2.14.4 歐拉數e 的現實意義 93
2.14.5 自然底數 94
2.14.6 歐拉數e 的例題 95
2.15 無窮小的比較 95
2.15.1 具體的無窮小的比較 95
2.15.2 等價無窮小 96
2.16 函數的連續性 99
2.16.1 連續的定義 99
2.16.2 左連續、右連續 102
2.16.3 連續函數 102
2.16.4 點連續 105
2.17 函數的間斷點 106
2.18 連續函數的運算與初等函數的連續性 109
2.18.1 和、差、積、商的連續性 109
2.18.2 反函數的連續性 110
2.18.3 復合函數的連續性 111
2.18.4 初等函數的連續性 113
2.18.5 極限求解的例題 113
2.19 閉區間上連續函數的性質 114
2.19.1 *值和極值 114
2.19.2 有界性與*大值*小值定理 116
2.19.3 零點定理 117
2.19.4 介值定理 117
2.19.5 通過極限求出圓的面積 119
第3章 微分與導數 120
3.1 微分與線性近似 120
3.2 通過導數求出微分 123
3.2.1 微分的定義 123
3.2.2 導數的定義 128
3.2.3 左導數、右導數 129
3.2.4 連續與可導 131
3.2.5 微分與切線 133
3.2.6 割線與切線 133
3.2.7 圓周率等于4 134
3.2.8 微分與導數的符號 136
3.3 常用的一些導函數 136
3.4 函數和、差、積、商的求導法則 140
3.5 復合函數的導函數 142
3.5.1 鏈式法則 142
3.5.2 關于鏈式法則的常見誤解 145
3.6 反函數的導函數 145
3.7 隱函數的導函數 149
3.7.1 函數、顯函數和隱函數 149
3.7.2 局部的隱函數 151
3.7.3 對數求導法 153
3.8 參數方程的導函數與相關變化率 154
3.8.1 參數方程的導函數 154
3.8.2 相關變化率 156
3.9 高階導數 157
3.10 小結 159
第4章 微分中值定理與導數的應用 161
4.1 微分中值定理 161
4.1.1 費馬引理和駐點 161
4.1.2 羅爾中值定理 163
4.1.3 拉格朗日中值定理 166
4.1.4 柯西中值定理 170
4.1.5 微分中值定理的例題 174
4.2 洛必達法則 174
4.2.1 未定式 176
4.2.2 洛必達法則的較弱形式和加強形式 177
4.2.3 洛必達法則的更多形式 180
4.2.4 洛必達法則的局限性 182
4.3 泰勒公式 182
4.3.1 泰勒定理和皮亞諾余項 183
4.3.2 為什么可以通過多項式來逼近函數f(x) 187
4.3.3 泰勒公式的系數和余項 189
4.3.4 麥克勞林公式 191
4.3.5 皮亞諾余項和拉格朗日余項 192
4.3.6 泰勒公式的例題 193
4.4 函數的單調性與凹凸性 194
4.4.1 導數與函數的單調性 194
4.4.2 函數的凹凸性 197
4.4.3 拐點 200
4.5 函數的極值與*值 203
4.5.1 極值的充分條件 203
4.5.2 閉區間上函數的*值 207
4.6 曲率 208
4.6.1 圓的曲率 209
4.6.2 曲線的曲率 209
第5章 不定積分 217
5.1 不定積分的概念與性質 217
5.1.1 原函數 217
5.1.2 達布定理 218
5.1.3 不定積分的定義 219
5.1.4 基本積分表 220
5.1.5 不定積分的性質 221
5.2 不定積分的換元法 222
5.2.1 不定積分的**類換元法 223
5.2.2 不定積分的第二類換元法 225
5.3 分部積分法和有理函數的積分 227
5.3.1 分部積分法 227
5.3.2 有理函數的積分 229
第6章 定積分 232
6.1 定積分與曲邊梯形 232
6.1.1 定積分的定義 232
6.1.2 曲邊梯形及其面積 237
6.2 定積分的可積條件和性質 239
6.2.1 可積的充分條件 239
6.2.2 定積分的補充規定 241
6.2.3 定積分的齊次性與可加性 242
6.2.4 定積分的性質 243
6.3 微積分基本定理 247
6.3.1 積分上限函數 247
6.3.2 微積分**基本定理 249
6.3.3 微積分第二基本定理 250
6.4 定積分的換元法和分部積分法 253
6.4.1 定積分的換元法 253
6.4.2 定積分的分部積分法 256
6.5 反常積分 256
6.5.1 無窮限的反常積分 256
6.5.2 無界函數的反常積分 261
第7章 定積分的應用 265
7.1 定積分與曲線長度 265
7.1.1 光滑曲線及其長度 265
7.1.2 圓的曲率 269
7.1.3 曲線的曲率 270
7.2 定積分與面積 271
7.2.1 曲線之間的面積 271
7.2.2 極坐標系下的面積 277
7.3 表面積與體積 279
7.3.1 圓錐面的表面積 279
7.3.2 圓臺面的表面積 280
7.3.3 旋轉面的表面積 281
7.3.4 旋轉體的體積 285
7.3.5 截面積已知的立體圖形的體積 287
7.4 定積分在物理中的應用 288
7.4.1 變力沿直線做功 288
7.4.2 水壓力 290
7.4.3 力矩與質心 291
7.4.4 萬有引力 293
第8章 微分方程 296
8.1 微分方程的基本概念 296
8.1.1 微分方程的定義 296
8.1.2 解、通解、特解和初值條件 300
8.2 可分離變量的微分方程 300
8.2.1 可分離變量的微分方程的定義 301
8.2.2 可分離變量的微分方程的求解方法 301
8.3 齊次方程 303
8.4 一階線性微分方程 304
8.4.1 一階線性微分方程的求解方法 304
8.4.2 伯努利微分方程 306
8.5 可降階的高階微分方程 308
8.5.1 y(n) = f(x) 型的微分方程 308
8.5.2 y= f(x, y) 型的微分方程 309
8.5.3 y= f(y, y) 型的微分方程 309
8.6 高階線性微分方程 309
8.6.1 高階線性微分方程的定義 310
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微積分(上) 作者簡介
馬同學是專業的數學知識內容創作團隊，從2016年起就在公眾號上進行數學內容創作，作品累計數千萬人次觀看，知乎認證數學話題優秀答主，收獲四十余萬贊。
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