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數學大百科:生活中無處不在的數學及應用 版權信息
- ISBN：9787115599704
- 條形碼：9787115599704 ; 978-7-115-59970-4
- 裝幀：平裝-膠訂
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
數學大百科:生活中無處不在的數學及應用 本書特色
真正理解數學！
讓數學變得能使用！
【16章知識匯總，127個公式、定理】
【全面講解無處不在的數學及應用】
【4大閱讀板塊，3項閱讀目標】
【實現高效、專注、有技巧地字習數數字!】
中國科學院副研究員蘇陽·高級教師王學順·超模君等·聯袂推薦
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【實現高效、專注、有技巧地字習數數字!】
中國科學院副研究員蘇陽·高級教師王學順·超模君等·聯袂推薦
本書特色：
●系統講解各領域中涉及的127個數學公式、定理
●幫助讀者高效、專注、有技巧地學習數學
●每章設置引言部分，講解本章所學條目的重要性及與其他條目的關聯
●4大閱讀板塊：閱讀目標、知識點概述和公式、知識講解、實際應用，加深理解與應用
●3項閱讀目標：入門、實用、考試，根據級有針對性地閱讀
數學大百科:生活中無處不在的數學及應用 內容簡介
本書細致、全面地介紹了身邊的數學知識，共16章，包含一次函數、二次函數與方程、不等式，指數、對數，三角函數，導數，積分，高等微積分，數值分析，數列，圖形與方程，向量，矩陣，復數，概率，統計學等在大多數行業中常用的數學知識。本書每一節分為3 個板塊：首先，標明參考星級，指導讀者按需掌握程度進行閱讀；其后，列出知識點概述和公式、法則，用文字進行簡單講解并配以趣味小圖畫，非常易于理解；*后，具體介紹這個數學知識在實際生活或工作中的應用。 本書不僅可以幫助讀者加深學習或鞏固數學知識，更能幫助讀者了解數學在各方面的應用場景。本書適合中學生和大學生，以及數學愛好者閱讀。
數學大百科:生活中無處不在的數學及應用 目錄
第 1章 初中數學回顧 001
1.0 導言 002
要點是擴展、抽象和邏輯 002
1.1 正負數 004
1.1.1 負數的計算可以用數軸來思考 004
應用 銀行貸款與溫度 005
1.2 無理數與平方根 006
1.2.1 要是沒有無理數就好了…… 006
1.2.2 為什么一定要分母有理化？ 007
1.3 代數式 008
1.3.1 使用代數式的原因 008
1.3.2 抽象化的好處 009
應用 計算機程序要用代數式編寫 009
1.4 交換律、分配律和結合律 010
1.4.1 顯而易見的交換律 010
1.4.2 為什么代數式中不使用“÷”？ 011
1.5 乘法公式與因式分解 012
1.5.1 不要想了，讓你的手作出反應！ 012
1.5.2 為什么要因式分解？ 013
應用 通過因式分解來解釋員工的努力與公司的效益之間
的關系 013
1.6 一元一次方程 014
1.6.1 方程是為了求未知數而建立的等式 015
應用 求商品的價格 015
1.7 聯立方程 016
1.7.1 聯立方程是具有多個未知數的方程 016
應用 求蘋果和橘子的個數 017
1.8 比例 018
1.8.1 身邊的比例的例子 018
1.8.2 坐標是什么？ 019
1.9 反比例 020
1.9.1 身邊的反比例的例子 020
應用 速度、時間、距離法則 = 比例·反比例 021
1.8.2 坐標是什么？ 021
1.10 圖形的性質（三角形、四邊形、圓） 022
1.10.1 圖形中*低限度要掌握的內容 023
1.11 圖形的全等和相似 024
1.11.1 相似的含義 024
應用 為什么不能制造一架巨大的飛機 025
1.12 證明 026
1.12.1 為什么要學習證明？ 026
應用 等腰三角形底角相等的證明 027
1.13 勾股定理 028
1.13.1 勾股定理很重要 028
1.13.2 把勾股定理擴展到立體圖形 029
應用 電視屏幕的尺寸 029
專欄 絕對值就是距離 030
第 2章一次、二次函數與方程、不等式 031
2.0 導言 032
函數用來做什么？ 032
為什么一次函數和二次函數很重要 032
如果通過圖像來思考，方程和不等式就比較容易理解 033
2.1 函數及其定義 034
2.1.1 函數是什么 034
2.1.2 反函數、多變量函數、復合函數 035
2.2 一次函數的圖像 036
2.2.1 一次函數是直線 036
應用 為什么斜率和截距很重要 036
2.3 二次函數及其圖像 038
2.3.1 二次函數是拋物線 038
應用 為什么頂點很重要？ 039
2.4 一元二次方程的解法 040
2.4.1 一元二次方程的三種解法 041
應用 點心鋪的利潤 041
2.5 一元二次方程的虛數解 042
2.5.1 當根號內為負數時 042
應用 虛數的價格! 043
2.6 一元二次方程的判別式、根與系數的關系 044
2.6.1 判別式是為了稍微方便一點 044
應用 快速解決問題 045
2.7 高次函數 046
2.7.1 隨著次數增加而蜿蜒曲折 046
應用 使用高次函數擬合數值數據 047
2.8 因式定理和余式定理 048
2.8.1 通過具體的例子來思考，因式定理并不難 048
2.8.2 整式的長除法 049
應用 高次方程的解法 049
2.9 不等式的解法 050
2.9.1 不等式兩邊乘以負數時要注意！ 050
2.9.2 二次不等式的解法 051
2.10 不等式與區域 052
2.10.1 不等式與區域的問題要仔細地畫圖表示 052
應用 通過線性規劃*大化銷售額 053
專欄 整數的素因子分解守護著網絡和平 054
第3章指數、對數 055
3.0 導言 056
指數可以方便地處理很大的數和很小的數 056
對數是指數的逆 056
3.1 指數 058
3.1.1 指數是一種表示大數的技術 058
應用 求探測器“隼鳥號”的速度 059
3.1 指數的擴展 060
3.2.1 為什么要擴展指數 060
3.2.2 試著擴展指數 061
3.3 指數函數的圖像及性質 062
3.3.1 指數函數的特征 062
3.3.2 指數函數的圖像 063
應用 復利計算 063
3.4 對數函數的定義 064
3.4.1 對數是指數的逆 064
應用 對數的優勢是什么？ 065
3.5 對數函數的圖像及其性質 066
3.5.1 對數函數的特征 067
應用 用對數定義熵 067
3.6 換底公式 068
3.6.1 使用換底公式的問題示例 068
3.6.2 為什么底數不能是1 或負數？ 069
3.7 常用對數與自然對數 070
3.7.1 常用對數和自然對數的特征 070
應用 使用對數表進行計算 071
3.7.2 如何在計算機上計算指數和對數？ 073
3.8 對數圖的用法 074
3.8.1 怪異的軸的含義 074
應用 用對數圖表示二極管電流- 電壓特性 075
3.9 指數和對數的物理單位 076
3.9.1 表示指數的詞頭 076
應用 分貝和震級 077
專欄 數學世界的炸彈 078
第4章三角函數 079
4.0 導言 080
三角函數不是三角形的函數，而是表示波的函數 080
三角函數的要點 080
4.1 三角函數的基本公式 082
4.1.1 首先通過直角三角形掌握三角函數 082
應用 用三角法求高度 083
4.2 三角函數的擴展與圖像 084
4.2.1 定義從直角三角形變為單位圓 084
4.2.2 畫出三角函數的圖像 085
應用 用三角函數表示波 086
4.3 三角函數的各個公式 088
4.3.1 讓考生頭疼的公式們 088
應用 智能手機中使用的無線電波頻譜搬移 089
4.4 弧度制（弧度） 090
4.4.1 為什么使用弧度制？ 090
4.4.2 計算機中三角函數的角度單位 091
4.5 正弦定理和余弦定理 092
4.5.1 考試中經常出現的正弦定理、余弦定理 092
應用 三角形的各種面積公式 093
4.6 傅里葉級數 094
4.6.1 所有的波都歸結為正弦余弦 094
應用 聲、光與頻率的關系 095
4.7 離散余弦變換 096
4.7.1 智能手機照片中用到的三角函數 096
應用 圖像的壓縮方法 098
專欄 20 與20.00 的差異 100
第5章導數 101
5.0 導言 102
何為導數？ 102
能處理無窮了 103
與積分的關系 103
5.1 極限與無窮大 106
5.1.1 容易被誤解的極限 106
應用 復雜式子的閱讀理解方法 107
5.2 導數（求導的定義） 108
5.2.1 首先掌握求導的大體印象 108
5.3 導函數 110
5.3.1 xn 的導數很簡單 110
5.3.2 導函數的含義 111
5.4 三角函數、指數與對數函數的導數 112
5.4.1 三角函數的導數 112
5.4.2 自然常數登場 113
5.5 函數積的導數、復合函數的導數 114
5.5.1 驗證公式的方法 115
5.5.2 像分數一樣對待 115
5.6 切線的公式 116
5.6.1 如果理解了導數，切線應該很容易 117
應用 在計算機上編輯曲線 117
5.7 高階導數與函數的凹凸性 118
5.7.1 高階導數 118
應用 函數的凹凸性 119
5.8 中值定理與可導性 120
5.8.1 顯然的定理？ 120
5.8.2 可導性 121
專欄 不是分數？ 122
第6章積分 123
6.0 導言 124
何為積分？ 124
通過積分計算面積的方法 124
6.1 積分的定義與微積分基本定理 126
6.1.1 積分是求面積的工具 127
6.1.2 積分符號的含義 128
6.1.3 積分是求導的逆運算 128
6.2 不定積分 130
6.2.1 不定積分的方法 131
6.2.2 積分常數C 是什么 131
6.3 定積分的計算方法 132
6.3.1 定積分的計算方法 132
6.3.2 定積分的區間，面積的符號 133
6.4 分部積分法 134
6.4.1 顯而易見的交換律 134
6.4.2 為什么代數式中不使用“÷”？ 135
6.5 換元積分法 136
6.5.1 換元積分法是復合函數求導公式的逆 137
6.6 積分與體積 138
6.6.1 體積是把立體劃分為無數塊薄板算出 139
6.7 曲線的長度 140
6.7.1 曲線的長度是通過將其分成無限短的直線段來計算 141
6.8 位置、速度和加速度的關系 142
應用 牛頓運動方程 143
專欄 牛頓與萊布尼茨構建了微積分 144
第7章高等微積分 145
7.0 導言 146
本章的學習對高中生也有好處 146
微分方程的解是函數 146
處理多元函數 147
7.1 微分方程 148
7.1.1 微分方程是求函數的方程 148
7.1.2 微分方程的求解方法 149
應用 運動方程，放射性元素衰變 150
7.2 拉普拉斯變換 152
7.2.1 通過拉普拉斯變換容易求解微分方程 152
應用 求解電子電路的微分方程 153
7.3 偏導數與多元函數 154
7.3.1 多元函數的導數是偏導數 154
應用 多元函數的*大、*小值問題 155
7.4 拉格朗日乘數法 156
7.4.1 拉格朗日乘數法不用考慮“為什么” 157
應用 統計分析的*大值和*小值 157
7.5 多重積分 158
7.5.1 多元函數的積分是多重積分 159
應用 根據密度算出重量 159
7.6 線積分與面積分 160
7.6.1 多元函數有很多積分路徑 161
應用 計算每條路徑所需的能量 161
專欄 ε-δ 語言 162
第8章數值分析 163
8.0 導言 164
沒有指令，計算機什么也做不了 164
數值處理的難度 164
8.1 線性近似公式 166
8.1.1 函數用切線來近似 166
應用 單擺的等時性是近似的 167
8.2 泰勒展開式、麥克勞林展開式 168
8.2.1 麥克勞林展開式用xn 之和來表示函數 169
應用 使用對數表進行計算 169
8.3 牛頓迭代法 170
8.3.1 用切線解方程的方法 170
應用 讓計算機解方程 171
8.4 數值微分 172
8.4.1 在數值計算中，導數就是差商 172
應用 自行車加速數據的求導 173
8.5 數值積分（梯形公式、辛普森公式） 174
8.5.1 基于什么來求面積？ 175
應用 指數函數積分值的計算 175
8.6 微分方程的數值解法（歐拉法） 176
8.6.1 歐拉法是用切線來近似曲線 176
8.6.2 雙擺的運動 177
專欄 計算機用二進制進行計算 178
第9章數列 179
9.0 導言 180
學習數列的意義是學習離散 180
在數列中求和很重要 181
9.1 等差數列 182
9.1.1 相鄰項之差為常數，因此是等差數列 182
應用 數一數金字塔的磚的數量 183
9.2 等比數列 184
9.2.1 定義從直角三角形變為單位圓 184
應用 計算逸失利益的萊布尼茨系數 185
9.3 符號Σ 的用法 186
9.3.1 Σ（Sigma）并不可怕 186
應用 Σ 的標記方法 187
9.4 遞推公式 188
9.4.1 遞推公式是局部地觀察數列的式子 188
應用 元胞自動機和斐波那契數列 189
9.5 無窮級數 190
9.5.1 即使把無窮個數加起來也可能不會很大 190
應用 把循環小數用分數表示 191
9.6 數學歸納法 192
9.6.1 數學歸納法就像多米諾骨牌 192
9.6.2 數學歸納法的悖論 193
專欄 專欄：習慣希臘字母 194
第 10章圖形與方程 195
10.0 導言 196
用數學式子來表示圖形 196
極坐標的存在是為了讓人輕松 196
10.1 直線的方程 198
10.1.1 作為圖形的直線方程 199
應用 繪制直線的算法 199
10.2 圓的方程 200
10.2.1 把圓作為方程來看 200
應用 繪制圓的方法 201
10.3 二次曲線（橢圓、雙曲線、拋物線） 202
10.3.1 橢圓、雙曲線、拋物線的特征 203
應用 衛星的軌道 203
10.4 平移圖形的方程 204
10.4.1 移動圖形的方法 205
應用 CG 中也用到的仿射變換 205
10.5 中心對稱和軸對稱 206
10.5.1 對稱變換引起的方程變化 207
應用 奇函數與偶函數的積分 207
10.6 旋轉 208
10.6.1 旋轉由三角函數表示 209
應用 轉動參考系中的離心力和科里奧利力 209
10.7 參數 210
10.7.1 參數不是敵人 211
應用 擺線分析 211
10.8 極坐標 212
10.8.1 極坐標是指定方向和距離的坐標系 213
應用 船舶航行 213
10.9 空間圖形的方程 214
10.9.1 通過比較二維（平面）和三維（空間）來 理解本質 215
專欄 數學中必需的空間認知能力 216
第 11章向量 217
11.0 導言 218
向量不僅僅是箭頭 218
向量乘法可以用多種方式定義 219
11.1 作為箭頭的向量 220
11.1.1 作為箭頭的向量是具有大小和方向的量 221
應用 力的分解 221
11.2 向量的坐標表示、位置向量 222
11.2.1 用數字表示向量 223
應用 內分線段的點 223
11.3 向量的線性無關 224
11.3.1 線性無關很常見，線性相關是例外 224
應用 坐標軸的變換 225
11.4 向量的內積（平行和垂直的條件） 226
11.4.1 向量乘法不止一種 226
應用 給予貨物的能量 227
11.5 平面圖形的向量式方程 228
１1.5.1 為什么使用向量式方程 229
11.6 空間向量 230
11.6.1 空間向量的變與不變 231
應用 超弦理論：空間實際上是9 維的 231
11.7 空間圖形的向量式方程 232
11.7.1 空間圖形凸顯向量式方程的優點 233
應用 三維CAD 數據的二維化 233
11.8 向量的外積 234
11.8.1 外積的結果為向量 234
應用 坐標軸的變換 235
11.9 速度向量與加速度向量 236
11.9.1 可以用向量分析平面上的運動 236
應用 勻速圓周運動的分析 237
11.10 梯度、散度、旋度 238
11.10.1 向量微積分并不可怕 239
應用 抽象化是價值 239
專欄 數學中必需的空間認知能力 240
第 12章矩陣 241
12.0 導言 242
矩陣用于向量的運算 242
矩陣與高中數學的關系 242
12.1 矩陣的基礎及計算 244
12.1.1 注意矩陣的乘積 245
應用 程序的矩陣和數組 245
12.2 單位矩陣與逆矩陣、行列式 246
12.2.1 矩陣的除法使用逆矩陣 246
12.3 矩陣與聯立方程組 248
12.3.1 用矩陣也可以求解聯立方程組 248
應用 用高斯消元法解聯立方程組 249
12.4 矩陣與線性變換 250
12.4.1 簡潔的表示很有價值 251
應用 平移的表示方法 251
12.5 特征值和特征向量 252
12.5.1 直觀地理解特征值、特征向量 253
應用 矩陣的對角化 253
12.6 3×3 矩陣 254
12.6.1 隨著矩陣變大，計算變得復雜 255
應用 用高斯消元法求逆矩陣 255
專欄 應該在高中數學教矩陣嗎？ 256
第 13章數 257
13.0 導言 258
由人決定虛實 258
為什么要特意使用復平面？ 258
13.1 復數的基礎 260
13.1.1 注意復數的絕對值 260
應用 用復數表示反射系數 261
13.2 復平面與極坐標形式 262
13.2.1 復數與旋轉很契合 263
13.3 歐拉公式 264
13.3.1 連接指數函數和三角函數的公式 264
應用 交流電路的復數表示 265
13.4 傅里葉變換 266
13.4.1 傅里葉變換的含義 267
13.4.2 函數的正交和內積是什么？ 267
應用 無線通信技術與傅里葉變換 268
13.5 四元數（Quaternion） 270
13.5.1 通過四元數加深復數的理解 271
應用 CG 與火箭的旋轉 271
專欄 虛數時間是什么？ 272
第 14章概率 273
14.0 導言 274
概率的關鍵是語文的理解 274
現實的概率與數學的概率 274
14.1 情況數 276
14.1.1 情況數就是不重不漏 277
14.1.2 加法還是乘法？ 277
14.2 排列數公式 278
14.2.1 考慮順序時使用排列數公式 278
應用 *短路徑問題 279
14.3 組合數公式 280
14.3.1 不考慮順序時使用組合數公式 280
14.3.2 排列與組合的總結 282
應用 從楊輝三角推導出二項式定理 282
14.4 概率的定義 284
14.4.1 “等可能”的問題 285
應用 古典概率與試驗概率 285
14.5 概率的加法定理 286
14.5.1 “互斥”是指沒有公共部分 287
14.6 獨立事件的概率公式 288
14.6.1 要從反面來理解獨立 288
應用 購買紙尿褲的概率和購買啤酒的概率 289
14.7 獨立重復試驗的概率公式 290
14.7.1 獨立重復試驗考慮組合 290
應用 用于風險管理的泊松分布 291
14.8 條件概率和概率的乘法定理 292
14.8.1 條件概率是分母發生了變化 292
14.9 貝葉斯定理 294
14.9.1 如果理解了條件概率，定理的機制就很簡單 294
應用 垃圾郵件判定 294
專欄 蒙特卡羅方法 296
第 15章統計學基礎 297
15.0 導言 298
通過均值和標準差理解統計學的一半 298
正態分布是統計學上*大的發現 298
統計學成立的前提 299
15.1 均值 300
15.1.1 為什么要求均值？ 300
應用 收入分布的分析 301
15.2 方差與標準差 302
15.2.1 標準差是離散程度的指標 303
15.2.2 為什么要平方？ 304
15.2.3 用計算機計算方差和標準差時的注意事項 305
應用 過程能力指數 305
15.3 相關系數 306
15.3.1 相關系數表示兩組數據之間相關性的強度 307
應用 投資組合 307
15.4 概率分布與期望值 308
應用 賭博的期望值 309
15.5 二項分布、泊松分布 310
15.5.1 二項分布和泊松分布的關系 311
應用 安打1 次數、不合格品個數 311
15.6 正態分布 312
15.6.1 為什么正態分布如此重要？ 312
應用 正態分布的局限 313
15.7 偏度、峰度、正態概率圖 314
15.7.1 把握偏離正態分布的程度 315
應用 正態概率圖的用法 315
15.8 大數定律與中心極限定理 316
15.8.1 多少才算“很多”？ 316
15.8.2 中心極限定理中呈現正態分布的是“樣本均值” 317
專欄 數據是統計的靈魂 318
第 16章高等統計學 319
16.0 導言 320
完全交給計算機是不行的 320
統計推斷是根據樣本對總體作出推斷 320
回歸分析使預測未來成為可能 321
16.1 總體均值的區間估計 322
16.1.1 從樣本的統計值推斷總體均值 322
應用 日本成年男性的平均身高 323
16.2 總體比例的區間估計 324
16.2.1 從樣本的統計值推斷總體均值 324
應用 電視收視率 325
16.3 假設檢驗 326
應用 工廠之間產品的波動 327
16.4 簡單回歸分析 328
16.4.1 回歸分析的含義 329
應用 廣告效果 329
16.5 多元回歸分析 330
16.5.1 多元回歸是具有多個自變量的回歸分析 330
應用 天氣條件與產量的關系 331
16.6 主成分分析 332
16.6.1 主成分分析的目標 332
應用 品牌形象調查 333
16.7 因子分析 334
16.7.1 因子分析聚焦于意義 335
應用 顧客調查問卷分析 335
專欄 實用數學的*大敵人 336
結束語 337
1.0 導言 002
要點是擴展、抽象和邏輯 002
1.1 正負數 004
1.1.1 負數的計算可以用數軸來思考 004
應用 銀行貸款與溫度 005
1.2 無理數與平方根 006
1.2.1 要是沒有無理數就好了…… 006
1.2.2 為什么一定要分母有理化？ 007
1.3 代數式 008
1.3.1 使用代數式的原因 008
1.3.2 抽象化的好處 009
應用 計算機程序要用代數式編寫 009
1.4 交換律、分配律和結合律 010
1.4.1 顯而易見的交換律 010
1.4.2 為什么代數式中不使用“÷”？ 011
1.5 乘法公式與因式分解 012
1.5.1 不要想了，讓你的手作出反應！ 012
1.5.2 為什么要因式分解？ 013
應用 通過因式分解來解釋員工的努力與公司的效益之間
的關系 013
1.6 一元一次方程 014
1.6.1 方程是為了求未知數而建立的等式 015
應用 求商品的價格 015
1.7 聯立方程 016
1.7.1 聯立方程是具有多個未知數的方程 016
應用 求蘋果和橘子的個數 017
1.8 比例 018
1.8.1 身邊的比例的例子 018
1.8.2 坐標是什么？ 019
1.9 反比例 020
1.9.1 身邊的反比例的例子 020
應用 速度、時間、距離法則 = 比例·反比例 021
1.8.2 坐標是什么？ 021
1.10 圖形的性質（三角形、四邊形、圓） 022
1.10.1 圖形中*低限度要掌握的內容 023
1.11 圖形的全等和相似 024
1.11.1 相似的含義 024
應用 為什么不能制造一架巨大的飛機 025
1.12 證明 026
1.12.1 為什么要學習證明？ 026
應用 等腰三角形底角相等的證明 027
1.13 勾股定理 028
1.13.1 勾股定理很重要 028
1.13.2 把勾股定理擴展到立體圖形 029
應用 電視屏幕的尺寸 029
專欄 絕對值就是距離 030
第 2章一次、二次函數與方程、不等式 031
2.0 導言 032
函數用來做什么？ 032
為什么一次函數和二次函數很重要 032
如果通過圖像來思考，方程和不等式就比較容易理解 033
2.1 函數及其定義 034
2.1.1 函數是什么 034
2.1.2 反函數、多變量函數、復合函數 035
2.2 一次函數的圖像 036
2.2.1 一次函數是直線 036
應用 為什么斜率和截距很重要 036
2.3 二次函數及其圖像 038
2.3.1 二次函數是拋物線 038
應用 為什么頂點很重要？ 039
2.4 一元二次方程的解法 040
2.4.1 一元二次方程的三種解法 041
應用 點心鋪的利潤 041
2.5 一元二次方程的虛數解 042
2.5.1 當根號內為負數時 042
應用 虛數的價格! 043
2.6 一元二次方程的判別式、根與系數的關系 044
2.6.1 判別式是為了稍微方便一點 044
應用 快速解決問題 045
2.7 高次函數 046
2.7.1 隨著次數增加而蜿蜒曲折 046
應用 使用高次函數擬合數值數據 047
2.8 因式定理和余式定理 048
2.8.1 通過具體的例子來思考，因式定理并不難 048
2.8.2 整式的長除法 049
應用 高次方程的解法 049
2.9 不等式的解法 050
2.9.1 不等式兩邊乘以負數時要注意！ 050
2.9.2 二次不等式的解法 051
2.10 不等式與區域 052
2.10.1 不等式與區域的問題要仔細地畫圖表示 052
應用 通過線性規劃*大化銷售額 053
專欄 整數的素因子分解守護著網絡和平 054
第3章指數、對數 055
3.0 導言 056
指數可以方便地處理很大的數和很小的數 056
對數是指數的逆 056
3.1 指數 058
3.1.1 指數是一種表示大數的技術 058
應用 求探測器“隼鳥號”的速度 059
3.1 指數的擴展 060
3.2.1 為什么要擴展指數 060
3.2.2 試著擴展指數 061
3.3 指數函數的圖像及性質 062
3.3.1 指數函數的特征 062
3.3.2 指數函數的圖像 063
應用 復利計算 063
3.4 對數函數的定義 064
3.4.1 對數是指數的逆 064
應用 對數的優勢是什么？ 065
3.5 對數函數的圖像及其性質 066
3.5.1 對數函數的特征 067
應用 用對數定義熵 067
3.6 換底公式 068
3.6.1 使用換底公式的問題示例 068
3.6.2 為什么底數不能是1 或負數？ 069
3.7 常用對數與自然對數 070
3.7.1 常用對數和自然對數的特征 070
應用 使用對數表進行計算 071
3.7.2 如何在計算機上計算指數和對數？ 073
3.8 對數圖的用法 074
3.8.1 怪異的軸的含義 074
應用 用對數圖表示二極管電流- 電壓特性 075
3.9 指數和對數的物理單位 076
3.9.1 表示指數的詞頭 076
應用 分貝和震級 077
專欄 數學世界的炸彈 078
第4章三角函數 079
4.0 導言 080
三角函數不是三角形的函數，而是表示波的函數 080
三角函數的要點 080
4.1 三角函數的基本公式 082
4.1.1 首先通過直角三角形掌握三角函數 082
應用 用三角法求高度 083
4.2 三角函數的擴展與圖像 084
4.2.1 定義從直角三角形變為單位圓 084
4.2.2 畫出三角函數的圖像 085
應用 用三角函數表示波 086
4.3 三角函數的各個公式 088
4.3.1 讓考生頭疼的公式們 088
應用 智能手機中使用的無線電波頻譜搬移 089
4.4 弧度制（弧度） 090
4.4.1 為什么使用弧度制？ 090
4.4.2 計算機中三角函數的角度單位 091
4.5 正弦定理和余弦定理 092
4.5.1 考試中經常出現的正弦定理、余弦定理 092
應用 三角形的各種面積公式 093
4.6 傅里葉級數 094
4.6.1 所有的波都歸結為正弦余弦 094
應用 聲、光與頻率的關系 095
4.7 離散余弦變換 096
4.7.1 智能手機照片中用到的三角函數 096
應用 圖像的壓縮方法 098
專欄 20 與20.00 的差異 100
第5章導數 101
5.0 導言 102
何為導數？ 102
能處理無窮了 103
與積分的關系 103
5.1 極限與無窮大 106
5.1.1 容易被誤解的極限 106
應用 復雜式子的閱讀理解方法 107
5.2 導數（求導的定義） 108
5.2.1 首先掌握求導的大體印象 108
5.3 導函數 110
5.3.1 xn 的導數很簡單 110
5.3.2 導函數的含義 111
5.4 三角函數、指數與對數函數的導數 112
5.4.1 三角函數的導數 112
5.4.2 自然常數登場 113
5.5 函數積的導數、復合函數的導數 114
5.5.1 驗證公式的方法 115
5.5.2 像分數一樣對待 115
5.6 切線的公式 116
5.6.1 如果理解了導數，切線應該很容易 117
應用 在計算機上編輯曲線 117
5.7 高階導數與函數的凹凸性 118
5.7.1 高階導數 118
應用 函數的凹凸性 119
5.8 中值定理與可導性 120
5.8.1 顯然的定理？ 120
5.8.2 可導性 121
專欄 不是分數？ 122
第6章積分 123
6.0 導言 124
何為積分？ 124
通過積分計算面積的方法 124
6.1 積分的定義與微積分基本定理 126
6.1.1 積分是求面積的工具 127
6.1.2 積分符號的含義 128
6.1.3 積分是求導的逆運算 128
6.2 不定積分 130
6.2.1 不定積分的方法 131
6.2.2 積分常數C 是什么 131
6.3 定積分的計算方法 132
6.3.1 定積分的計算方法 132
6.3.2 定積分的區間，面積的符號 133
6.4 分部積分法 134
6.4.1 顯而易見的交換律 134
6.4.2 為什么代數式中不使用“÷”？ 135
6.5 換元積分法 136
6.5.1 換元積分法是復合函數求導公式的逆 137
6.6 積分與體積 138
6.6.1 體積是把立體劃分為無數塊薄板算出 139
6.7 曲線的長度 140
6.7.1 曲線的長度是通過將其分成無限短的直線段來計算 141
6.8 位置、速度和加速度的關系 142
應用 牛頓運動方程 143
專欄 牛頓與萊布尼茨構建了微積分 144
第7章高等微積分 145
7.0 導言 146
本章的學習對高中生也有好處 146
微分方程的解是函數 146
處理多元函數 147
7.1 微分方程 148
7.1.1 微分方程是求函數的方程 148
7.1.2 微分方程的求解方法 149
應用 運動方程，放射性元素衰變 150
7.2 拉普拉斯變換 152
7.2.1 通過拉普拉斯變換容易求解微分方程 152
應用 求解電子電路的微分方程 153
7.3 偏導數與多元函數 154
7.3.1 多元函數的導數是偏導數 154
應用 多元函數的*大、*小值問題 155
7.4 拉格朗日乘數法 156
7.4.1 拉格朗日乘數法不用考慮“為什么” 157
應用 統計分析的*大值和*小值 157
7.5 多重積分 158
7.5.1 多元函數的積分是多重積分 159
應用 根據密度算出重量 159
7.6 線積分與面積分 160
7.6.1 多元函數有很多積分路徑 161
應用 計算每條路徑所需的能量 161
專欄 ε-δ 語言 162
第8章數值分析 163
8.0 導言 164
沒有指令，計算機什么也做不了 164
數值處理的難度 164
8.1 線性近似公式 166
8.1.1 函數用切線來近似 166
應用 單擺的等時性是近似的 167
8.2 泰勒展開式、麥克勞林展開式 168
8.2.1 麥克勞林展開式用xn 之和來表示函數 169
應用 使用對數表進行計算 169
8.3 牛頓迭代法 170
8.3.1 用切線解方程的方法 170
應用 讓計算機解方程 171
8.4 數值微分 172
8.4.1 在數值計算中，導數就是差商 172
應用 自行車加速數據的求導 173
8.5 數值積分（梯形公式、辛普森公式） 174
8.5.1 基于什么來求面積？ 175
應用 指數函數積分值的計算 175
8.6 微分方程的數值解法（歐拉法） 176
8.6.1 歐拉法是用切線來近似曲線 176
8.6.2 雙擺的運動 177
專欄 計算機用二進制進行計算 178
第9章數列 179
9.0 導言 180
學習數列的意義是學習離散 180
在數列中求和很重要 181
9.1 等差數列 182
9.1.1 相鄰項之差為常數，因此是等差數列 182
應用 數一數金字塔的磚的數量 183
9.2 等比數列 184
9.2.1 定義從直角三角形變為單位圓 184
應用 計算逸失利益的萊布尼茨系數 185
9.3 符號Σ 的用法 186
9.3.1 Σ（Sigma）并不可怕 186
應用 Σ 的標記方法 187
9.4 遞推公式 188
9.4.1 遞推公式是局部地觀察數列的式子 188
應用 元胞自動機和斐波那契數列 189
9.5 無窮級數 190
9.5.1 即使把無窮個數加起來也可能不會很大 190
應用 把循環小數用分數表示 191
9.6 數學歸納法 192
9.6.1 數學歸納法就像多米諾骨牌 192
9.6.2 數學歸納法的悖論 193
專欄 專欄：習慣希臘字母 194
第 10章圖形與方程 195
10.0 導言 196
用數學式子來表示圖形 196
極坐標的存在是為了讓人輕松 196
10.1 直線的方程 198
10.1.1 作為圖形的直線方程 199
應用 繪制直線的算法 199
10.2 圓的方程 200
10.2.1 把圓作為方程來看 200
應用 繪制圓的方法 201
10.3 二次曲線（橢圓、雙曲線、拋物線） 202
10.3.1 橢圓、雙曲線、拋物線的特征 203
應用 衛星的軌道 203
10.4 平移圖形的方程 204
10.4.1 移動圖形的方法 205
應用 CG 中也用到的仿射變換 205
10.5 中心對稱和軸對稱 206
10.5.1 對稱變換引起的方程變化 207
應用 奇函數與偶函數的積分 207
10.6 旋轉 208
10.6.1 旋轉由三角函數表示 209
應用 轉動參考系中的離心力和科里奧利力 209
10.7 參數 210
10.7.1 參數不是敵人 211
應用 擺線分析 211
10.8 極坐標 212
10.8.1 極坐標是指定方向和距離的坐標系 213
應用 船舶航行 213
10.9 空間圖形的方程 214
10.9.1 通過比較二維（平面）和三維（空間）來 理解本質 215
專欄 數學中必需的空間認知能力 216
第 11章向量 217
11.0 導言 218
向量不僅僅是箭頭 218
向量乘法可以用多種方式定義 219
11.1 作為箭頭的向量 220
11.1.1 作為箭頭的向量是具有大小和方向的量 221
應用 力的分解 221
11.2 向量的坐標表示、位置向量 222
11.2.1 用數字表示向量 223
應用 內分線段的點 223
11.3 向量的線性無關 224
11.3.1 線性無關很常見，線性相關是例外 224
應用 坐標軸的變換 225
11.4 向量的內積（平行和垂直的條件） 226
11.4.1 向量乘法不止一種 226
應用 給予貨物的能量 227
11.5 平面圖形的向量式方程 228
１1.5.1 為什么使用向量式方程 229
11.6 空間向量 230
11.6.1 空間向量的變與不變 231
應用 超弦理論：空間實際上是9 維的 231
11.7 空間圖形的向量式方程 232
11.7.1 空間圖形凸顯向量式方程的優點 233
應用 三維CAD 數據的二維化 233
11.8 向量的外積 234
11.8.1 外積的結果為向量 234
應用 坐標軸的變換 235
11.9 速度向量與加速度向量 236
11.9.1 可以用向量分析平面上的運動 236
應用 勻速圓周運動的分析 237
11.10 梯度、散度、旋度 238
11.10.1 向量微積分并不可怕 239
應用 抽象化是價值 239
專欄 數學中必需的空間認知能力 240
第 12章矩陣 241
12.0 導言 242
矩陣用于向量的運算 242
矩陣與高中數學的關系 242
12.1 矩陣的基礎及計算 244
12.1.1 注意矩陣的乘積 245
應用 程序的矩陣和數組 245
12.2 單位矩陣與逆矩陣、行列式 246
12.2.1 矩陣的除法使用逆矩陣 246
12.3 矩陣與聯立方程組 248
12.3.1 用矩陣也可以求解聯立方程組 248
應用 用高斯消元法解聯立方程組 249
12.4 矩陣與線性變換 250
12.4.1 簡潔的表示很有價值 251
應用 平移的表示方法 251
12.5 特征值和特征向量 252
12.5.1 直觀地理解特征值、特征向量 253
應用 矩陣的對角化 253
12.6 3×3 矩陣 254
12.6.1 隨著矩陣變大，計算變得復雜 255
應用 用高斯消元法求逆矩陣 255
專欄 應該在高中數學教矩陣嗎？ 256
第 13章數 257
13.0 導言 258
由人決定虛實 258
為什么要特意使用復平面？ 258
13.1 復數的基礎 260
13.1.1 注意復數的絕對值 260
應用 用復數表示反射系數 261
13.2 復平面與極坐標形式 262
13.2.1 復數與旋轉很契合 263
13.3 歐拉公式 264
13.3.1 連接指數函數和三角函數的公式 264
應用 交流電路的復數表示 265
13.4 傅里葉變換 266
13.4.1 傅里葉變換的含義 267
13.4.2 函數的正交和內積是什么？ 267
應用 無線通信技術與傅里葉變換 268
13.5 四元數（Quaternion） 270
13.5.1 通過四元數加深復數的理解 271
應用 CG 與火箭的旋轉 271
專欄 虛數時間是什么？ 272
第 14章概率 273
14.0 導言 274
概率的關鍵是語文的理解 274
現實的概率與數學的概率 274
14.1 情況數 276
14.1.1 情況數就是不重不漏 277
14.1.2 加法還是乘法？ 277
14.2 排列數公式 278
14.2.1 考慮順序時使用排列數公式 278
應用 *短路徑問題 279
14.3 組合數公式 280
14.3.1 不考慮順序時使用組合數公式 280
14.3.2 排列與組合的總結 282
應用 從楊輝三角推導出二項式定理 282
14.4 概率的定義 284
14.4.1 “等可能”的問題 285
應用 古典概率與試驗概率 285
14.5 概率的加法定理 286
14.5.1 “互斥”是指沒有公共部分 287
14.6 獨立事件的概率公式 288
14.6.1 要從反面來理解獨立 288
應用 購買紙尿褲的概率和購買啤酒的概率 289
14.7 獨立重復試驗的概率公式 290
14.7.1 獨立重復試驗考慮組合 290
應用 用于風險管理的泊松分布 291
14.8 條件概率和概率的乘法定理 292
14.8.1 條件概率是分母發生了變化 292
14.9 貝葉斯定理 294
14.9.1 如果理解了條件概率，定理的機制就很簡單 294
應用 垃圾郵件判定 294
專欄 蒙特卡羅方法 296
第 15章統計學基礎 297
15.0 導言 298
通過均值和標準差理解統計學的一半 298
正態分布是統計學上*大的發現 298
統計學成立的前提 299
15.1 均值 300
15.1.1 為什么要求均值？ 300
應用 收入分布的分析 301
15.2 方差與標準差 302
15.2.1 標準差是離散程度的指標 303
15.2.2 為什么要平方？ 304
15.2.3 用計算機計算方差和標準差時的注意事項 305
應用 過程能力指數 305
15.3 相關系數 306
15.3.1 相關系數表示兩組數據之間相關性的強度 307
應用 投資組合 307
15.4 概率分布與期望值 308
應用 賭博的期望值 309
15.5 二項分布、泊松分布 310
15.5.1 二項分布和泊松分布的關系 311
應用 安打1 次數、不合格品個數 311
15.6 正態分布 312
15.6.1 為什么正態分布如此重要？ 312
應用 正態分布的局限 313
15.7 偏度、峰度、正態概率圖 314
15.7.1 把握偏離正態分布的程度 315
應用 正態概率圖的用法 315
15.8 大數定律與中心極限定理 316
15.8.1 多少才算“很多”？ 316
15.8.2 中心極限定理中呈現正態分布的是“樣本均值” 317
專欄 數據是統計的靈魂 318
第 16章高等統計學 319
16.0 導言 320
完全交給計算機是不行的 320
統計推斷是根據樣本對總體作出推斷 320
回歸分析使預測未來成為可能 321
16.1 總體均值的區間估計 322
16.1.1 從樣本的統計值推斷總體均值 322
應用 日本成年男性的平均身高 323
16.2 總體比例的區間估計 324
16.2.1 從樣本的統計值推斷總體均值 324
應用 電視收視率 325
16.3 假設檢驗 326
應用 工廠之間產品的波動 327
16.4 簡單回歸分析 328
16.4.1 回歸分析的含義 329
應用 廣告效果 329
16.5 多元回歸分析 330
16.5.1 多元回歸是具有多個自變量的回歸分析 330
應用 天氣條件與產量的關系 331
16.6 主成分分析 332
16.6.1 主成分分析的目標 332
應用 品牌形象調查 333
16.7 因子分析 334
16.7.1 因子分析聚焦于意義 335
應用 顧客調查問卷分析 335
專欄 實用數學的*大敵人 336
結束語 337
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數學大百科:生活中無處不在的數學及應用 作者簡介
藏本貴文：出生于1978年1月。畢業于日本關西學院大學理學院物理系，作為工程師就職于大型半導體企業。目前專攻建模工作,運用微積分、三角函數、復數等,通過數學公式描述半導體元件的特性。著有多本數學科普書。 楊瑞龍：畢業于北京大學數學科學學院,現就職于一家機器人公司從事軟件研發。譯有《深度學習的數學》。
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