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空間信息技術常用數值分析及VC++實現 版權信息
- ISBN：9787030750921
- 條形碼：9787030750921 ; 978-7-03-075092-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
空間信息技術常用數值分析及VC++實現 內容簡介
本書重點介紹了空間信息技術常用數值計算方法的VC++編程實現過程。全書分十章內容，主要包括解線性方程組的直接解法和迭代解法、拉格朗日插值、差分、差商、牛頓插值、埃爾米特插值、三次樣條函數插值、梯形求積法、辛卜生求積法、龍貝格求積法、高斯求積法、三角形和四邊形積分區域上二重積分、一元線性回歸、多元線性回歸、非線性回歸、多項式回歸、逐步回歸分析的理論內容和編程實現算法。本書每節內容分兩部分，一部分是對算法原理的基本描述，另一部分是相應算法的VC++實現，這部分也是本書的重點，是根據作者在科學研究過程中實際應用編寫的算法實現代碼，全書共提供了20多個VC++實現函數，所有算法都經過測試和應用。
空間信息技術常用數值分析及VC++實現 目錄
目錄
前言
第1章 緒論 1
1.1 數值分析研究的對象和內容 1
1.2 數值計算的誤差 3
1.2.1 誤差的來源和分類 3
1.2.2 絕對誤差與相對誤差 4
1.3 誤差傳播與估計 7
1.4 數值計算中需注意的問題 9
習題一 12
第2章 線性方程組求解方法 14
2.1 高斯消元法 14
2.1.1 一般高斯消元法 14
2.1.2 列主元高斯消元法 17
2.1.3 全選主元高斯消元法 19
2.1.4 實現算法 19
2.1.5 驗證實例 23
2.2 矩陣三角分解法 24
2.2.1 算法公式 24
2.2.2 實現算法 27
2.2.3 驗證實例 29
2.3 平方根法 29
2.3.1 算法公式 29
2.3.2 實現算法 33
2.3.3 驗證實例 35
2.4 追趕法 36
2.4.1 三對角線性方程 36
2.4.2 帶頂點三對角線性方程 37
2.4.3 實現算法 40
2.4.4 驗證實例 41
2.5 高斯-若爾當消元法矩陣求逆 42
2.5.1 算法公式 42
2.5.2 實現算法 45
2.5.3 驗證實例 47
2.6 向量范數和矩陣范數 47
2.6.1 向量范數 47
2.6.2 矩陣范數 48
2.7 雅可比迭代法 49
2.7.1 迭代公式 49
2.7.2 實現算法 52
2.7.3 驗證實例 54
2.8 高斯-賽德爾迭代法 54
2.8.1 迭代公式 54
2.8.2 實現算法 56
2.8.3 驗證實例 58
2.9 超松弛迭代法 59
2.9.1 迭代公式 59
2.9.2 實現算法 60
2.9.3 驗證實例 62
2.10 共軛梯度法 62
2.10.1 迭代公式 62
2.10.2 實現算法 64
2.10.3 驗證實例 66
2.11 大型稀疏線性方程組求解算法 67
2.11.1 算法公式67
2.11.2 實現算法67
2.11.3 驗證實例69
習題二 69
第3章 插值算法 72
3.1 拉格朗日插值 73
3.1.1 插值公式 73
3.1.2 插值余項與誤差估計 75
3.1.3 實現算法 77
3.1.4 驗證實例 78
3.2 差分、差商 78
3.2.1 向前差分 79
3.2.2 向后差分 81
3.2.3 差商 84
3.3 牛頓插值 86
3.3.1 插值公式 86
3.3.2 等節距情形 86
3.3.3 實現算法 87
3.3.4 驗證實例 90
3.4 埃爾米特插值 90
3.4.1 插值公式 90
3.4.2 實現算法 94
3.4.3 驗證實例 95
3.5 三次樣條函數插值 95
3.5.1 插值公式 96
3.5.2 實現算法 106
3.5.3 驗證實例 112
習題三 113
第4章 數值積分算法 115
4.1 梯形求積法 115
4.1.1 公式推導 115
4.1.2 實現算法 117
4.1.3 驗證實例 120
4.2 辛普森求積法 120
4.2.1 公式推導 120
4.2.2 實現算法 124
4.2.3 驗證實例 128
4.3 龍貝格求積法 129
4.3.1 公式推導 129
4.3.2 實現算法 134
4.3.3 驗證實例 138
4.4 高斯求積法 139
4.4.1 公式推導 139
4.4.2 實現算法 148
4.4.3 驗證實例 157
4.5 任意三角形積分區域上的二重積分算法 158
4.5.1 公式推導 158
4.5.2 實現算法 159
4.5.3 驗證實例 162
4.6 任意四邊形積分區域上的二重積分算法 162
4.6.1 公式推導 162
4.6.2 實現算法 164
4.6.3 驗證實例 168
4.7 任意多邊形積分區域上的二重積分算法 168
4.7.1 算法分析 168
4.7.2 實現算法 170
4.7.3 驗證實例 175
習題四 176
第5章 回歸分析算法 178
5.1 一元線性回歸 179
5.1.1 回歸模型 179
5.1.2 回歸統計檢驗 179
5.1.3 回歸方程擬合程度分析 181
5.1.4 實現算法 182
5.1.5 驗證實例 182
5.2 多元線性回歸 183
5.2.1 回歸模型 183
5.2.2 回歸方程擬合程度分析 185
5.2.3 實現算法 186
5.2.4 驗證實例 188
5.3 非線性回歸 188
5.3.1 非線性回歸模型 189
5.3.2 實現算法 192
5.3.3 驗證實例 194
5.4 多項式回歸 194
5.4.1 多項式回歸方法 194
5.4.2 實現算法 195
5.4.3 驗證實例 195
5.5 逐步回歸分析 196
5.5.1 分析過程 196
5.5.2 實現算法 200
5.5.3 驗證實例 206
習題五 207
主要參考文獻 209
前言
第1章 緒論 1
1.1 數值分析研究的對象和內容 1
1.2 數值計算的誤差 3
1.2.1 誤差的來源和分類 3
1.2.2 絕對誤差與相對誤差 4
1.3 誤差傳播與估計 7
1.4 數值計算中需注意的問題 9
習題一 12
第2章 線性方程組求解方法 14
2.1 高斯消元法 14
2.1.1 一般高斯消元法 14
2.1.2 列主元高斯消元法 17
2.1.3 全選主元高斯消元法 19
2.1.4 實現算法 19
2.1.5 驗證實例 23
2.2 矩陣三角分解法 24
2.2.1 算法公式 24
2.2.2 實現算法 27
2.2.3 驗證實例 29
2.3 平方根法 29
2.3.1 算法公式 29
2.3.2 實現算法 33
2.3.3 驗證實例 35
2.4 追趕法 36
2.4.1 三對角線性方程 36
2.4.2 帶頂點三對角線性方程 37
2.4.3 實現算法 40
2.4.4 驗證實例 41
2.5 高斯-若爾當消元法矩陣求逆 42
2.5.1 算法公式 42
2.5.2 實現算法 45
2.5.3 驗證實例 47
2.6 向量范數和矩陣范數 47
2.6.1 向量范數 47
2.6.2 矩陣范數 48
2.7 雅可比迭代法 49
2.7.1 迭代公式 49
2.7.2 實現算法 52
2.7.3 驗證實例 54
2.8 高斯-賽德爾迭代法 54
2.8.1 迭代公式 54
2.8.2 實現算法 56
2.8.3 驗證實例 58
2.9 超松弛迭代法 59
2.9.1 迭代公式 59
2.9.2 實現算法 60
2.9.3 驗證實例 62
2.10 共軛梯度法 62
2.10.1 迭代公式 62
2.10.2 實現算法 64
2.10.3 驗證實例 66
2.11 大型稀疏線性方程組求解算法 67
2.11.1 算法公式67
2.11.2 實現算法67
2.11.3 驗證實例69
習題二 69
第3章 插值算法 72
3.1 拉格朗日插值 73
3.1.1 插值公式 73
3.1.2 插值余項與誤差估計 75
3.1.3 實現算法 77
3.1.4 驗證實例 78
3.2 差分、差商 78
3.2.1 向前差分 79
3.2.2 向后差分 81
3.2.3 差商 84
3.3 牛頓插值 86
3.3.1 插值公式 86
3.3.2 等節距情形 86
3.3.3 實現算法 87
3.3.4 驗證實例 90
3.4 埃爾米特插值 90
3.4.1 插值公式 90
3.4.2 實現算法 94
3.4.3 驗證實例 95
3.5 三次樣條函數插值 95
3.5.1 插值公式 96
3.5.2 實現算法 106
3.5.3 驗證實例 112
習題三 113
第4章 數值積分算法 115
4.1 梯形求積法 115
4.1.1 公式推導 115
4.1.2 實現算法 117
4.1.3 驗證實例 120
4.2 辛普森求積法 120
4.2.1 公式推導 120
4.2.2 實現算法 124
4.2.3 驗證實例 128
4.3 龍貝格求積法 129
4.3.1 公式推導 129
4.3.2 實現算法 134
4.3.3 驗證實例 138
4.4 高斯求積法 139
4.4.1 公式推導 139
4.4.2 實現算法 148
4.4.3 驗證實例 157
4.5 任意三角形積分區域上的二重積分算法 158
4.5.1 公式推導 158
4.5.2 實現算法 159
4.5.3 驗證實例 162
4.6 任意四邊形積分區域上的二重積分算法 162
4.6.1 公式推導 162
4.6.2 實現算法 164
4.6.3 驗證實例 168
4.7 任意多邊形積分區域上的二重積分算法 168
4.7.1 算法分析 168
4.7.2 實現算法 170
4.7.3 驗證實例 175
習題四 176
第5章 回歸分析算法 178
5.1 一元線性回歸 179
5.1.1 回歸模型 179
5.1.2 回歸統計檢驗 179
5.1.3 回歸方程擬合程度分析 181
5.1.4 實現算法 182
5.1.5 驗證實例 182
5.2 多元線性回歸 183
5.2.1 回歸模型 183
5.2.2 回歸方程擬合程度分析 185
5.2.3 實現算法 186
5.2.4 驗證實例 188
5.3 非線性回歸 188
5.3.1 非線性回歸模型 189
5.3.2 實現算法 192
5.3.3 驗證實例 194
5.4 多項式回歸 194
5.4.1 多項式回歸方法 194
5.4.2 實現算法 195
5.4.3 驗證實例 195
5.5 逐步回歸分析 196
5.5.1 分析過程 196
5.5.2 實現算法 200
5.5.3 驗證實例 206
習題五 207
主要參考文獻 209
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空間信息技術常用數值分析及VC++實現 節選
第1章緒論 1.1數值分析研究的對象和內容 數值分析（numerical analysis）為數學的一個分支，是研究分析使用計算機求解數學計算問題的數值計算方法及其理論的學科。它以計算機求解數學問題的理論和方法為研究對象，是計算數學的主體部分。 數值分析的目的是設計及分析一些計算的方式，可針對一些問題得到近似但足夠精確的結果。數值分析主要研究使用計算機求解數學問題的方法、理論分析及其軟件的實現，是科學工程計算的重要理論支撐。它既有純粹數學的高度抽象性和嚴密科學性，又有具體應用的廣泛性和實際實驗的技術性。數值分析主要應用于科學與工程計算，它研究各種科學與工程計算中求解數學問題的數值計算方法的設計、分析，有關的數學理論及其具體實現等問題，所以數值分析這門學科現在也常被稱為科學與工程計算。 對于很多數學問題，人們往往難以簡明、準確地表示出其解，如，盡管被積函數較簡單，但它的原函數難以用初等函數表示成有限形式，因此無法使用牛頓-萊布尼茨公式計算積分值。另外，有些被積函數的原函數過于復雜，計算不方便，甚至即使有準確的計算方法也常常難以得到結果。例如，用克拉默法則求解一個n階線性方程組，需要計算n+1個n階行列式的值，總共需要計算次乘法。當n值很大時，計算量是相當驚人的，如用克拉默法則求解20階線性方程組，其乘除法運算大約需要執行次。由于計算量太大，用克拉默法則求解高階線性方程組是不現實的，因此，需要能夠用于實際求解的計算方法。在我國古代就有對計算圓周率和用消去法解線性方程組等數值分析方法的研究。微積分出現以后，就有了數值微積分和解常微分方程等各種數值分析方法。在20世紀中葉，數值分析開始真正迅速發展，隨著計算機和相關技術的發展，數值分析的應用已經深入科學、工程技術和經濟等領域，在這期間，它自身的發展也是十分迅速的。現在，很多復雜的、大規模的計算問題都可以在計算機上實現，新的、更有效的計算方法在不斷出現。科學與工程計算已經成為自然科學、工程和技術科學不斷發展所必需的研究手段與闡述方法。 在計算機上求解一個科學技術問題通常經歷以下步驟。 （1）根據實際問題建立數學模型； （2）由數學模型給出數值計算方法； （3）根據數值計算方法編制算法程序（數學軟件），并在計算機上計算出結果。 數值分析主要對應這個過程的第（2）步，需要對各種方法進行研究和分析，該過程涉及的因素主要包括誤差、穩定性、收斂性、計算工作量（復雜度）、存儲量和自適應性等。這些基本的因素用于確定數值分析的適用范圍、可靠性、準確性、效率和使用的方便性等。 數值分析與計算機及其他學科有著十分緊密的聯系，它除了具有純數學的高度抽象性與嚴密科學性等特點，還有以下特點。 （1）面向計算機。根據計算機的特點，數值分析可提供切實可行的算法，即算法只能包括加、減、乘、除運算和邏輯運算，這些運算是計算機能直接處理的運算。 （2）有可靠的理論分析。數值分析能任意逼近結果真值并達到精度要求，其近似算法要保證收斂性和數值穩定性，還要對誤差進行分析，這些都建立在相應數學理論的基礎上。 （3）有較低的復雜度。較低的計算復雜度指計算所需時間較少；較低的空間復雜度指計算所需的存儲空間較小，這也是建立算法需要研究的問題，它關系到算法能否在計算機上實現。 （4）可進行數值實驗。任何一個數值分析算法除了從理論上滿足上述特點外，還要通過數值實驗證明其有效。 在實際的科學與工程計算中，所計算的問題往往是大型的、復雜的和綜合的。數值分析的基本內容包括線性代數問題（方程組問題、特征值問題和線性*小二乘問題）、非線性方程和方程組的數值解法、函數的插值和逼近、數值微分和積分及常微分方程初值問題的數值解法等。 根據“數值分析”課程的特點和要求，讀者學習時首先要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法處理的技巧及其與計算機的結合，要重視誤差分析、收斂性及穩定性的基本理論；其次，要通過例子，學習使用各種數值方法解決實際計算問題，學習算法編程實現的方法和技巧；*后，為了掌握本課程內容，還應做一定的理論分析和編程實現練習。本課程內容包括了線性代數、微積分等的數值方法，讀者必須掌握上述課程的基本內容，另外還需要掌握一定的編程知識和編程語言。 1.2數值計算的誤差 1.2.1誤差的來源和分類 誤差是數值計算所得到的近似解與實際問題的精確解之間的差別。在科學計算中誤差是不可避免的，用數學方法解決實際問題時，通常按照以下步驟進行：實際問題（抽象簡化）→數學模型（數值計算）→問題近似解。 下面介紹誤差的分類，誤差可以分為如下四類。 1.模型誤差 給實際問題建立數學模型的過程，是將復雜的實際問題抽象、歸結為數學問題的過程，由于不可能將所有因素都考慮進去，所以往往會將一些次要因素忽略，對問題做一些必要的簡化。這樣建立的數學模型必然會與實際問題存在差別，產生誤差，即數學模型的解與實際問題的解之差，這種誤差稱為模型誤差（modeling error）。 2.觀測誤差 建模和具體運算過程所采用的一些初始參量數據往往是通過實際觀測得來的，由于觀測設備本身精度的問題，觀測值和理論值必然會存在誤差，觀測值只能是近似的，這種誤差稱為觀測誤差（observational error）。 3.截斷誤差 問題通常難以求出精確解，需要把問題簡化為較易求解的問題，以簡化問題的解作為原問題的解的近似。比如，求一個收斂的無窮級數之和，總是用它的部分和作為近似值，截去該級數后面的無窮多項，即僅保留無窮過程的前段有限序列，這就帶來了誤差，稱其為截斷誤差（truncation error）或方法誤差。 例如，函數sinx和ln1.可分別展開為無窮冪級數： 若取級數的起始若干項的和作為x.1時函數值的近似計算公式，例如，取 則它們的第四項和以后各項都舍棄了，自然產生了誤差，這就是截斷誤差。 4.舍入誤差 在計算的過程中往往要對數字進行舍入。比如，某些無理數和有理數實數化會出現無限循環小數，如等。而計算機受機器字長的限制，它能表示的數據只能有一定的位數，這時就需要把數據按四舍五入法則舍入成一定位數的近似值來代替，由此引起的誤差稱為舍入誤差（round-offerror）或湊整誤差。 例如，在10位十進制數限制下：而實際是. 1.2.2絕對誤差與相對誤差 1.絕對誤差和絕對誤差項 定義：設x為準確值，x*為x的一個近似值，稱.*.x*.x為近似值x*的絕對誤差，簡稱誤差。 誤差可正可負。當時，近似值偏大，叫強近似值；當時，近似值偏小，叫弱近似值。誤差的大小反映了實驗、觀察、測量和近似計算等所得結果的精確程度。 由于準確值和的準確值無法計算出，但一般可估計出絕對誤差的上限，即可求出一個正數，使得. 則稱為近似值的絕對誤差項，簡稱誤差項，或稱精度。有時也寫為 值越小，表示該近似值x*的精度越高。 例1：已知，求近似值的誤差項。 所以誤差項分別為。 2.有效數字 在例1中，x1*、x2*、x3*的誤差都不超過其末位數字的半個單位，即 定義：若x的近似值x*的誤差項.是某一位上的半個單位，該位到x*的**位非零數字共有n位，則稱x*有n位有效數字，可表示為 式中，都是中的一個數字，均為整數。 若x*的誤差項.* 則稱x為具有n位有效數字的有效數，其精度為。 例2：設是某數x經四舍五入所得，則其誤差項不超過x*末位的半個單位，即 故該不等式又可寫成. 由有效數字定義可知，有位有效數字，分別是。 由有效數字定義可知，x*有3位有效數字，分別是。 3.相對誤差 用絕對誤差不能完全評價近似值的精確度，因此評價一個近似值的精確度，除了要看其絕對誤差的大小，還必須考慮該量本身的大小，這就需要引進相對誤差的概念。 定義：設x為準確值，x*為x的一個近似值，則近似值的誤差.*與準確值x的比值 稱為近似值x*的相對誤差，記作.r*。 在實際應用中，由于準確值x總是難以求出，通常取. 作為x*的相對誤差。相對誤差也可正可負，它的絕對值上界叫作相對誤差項，記作 相對誤差不僅能表示出絕對誤差，而且在估計近似值計算結果時，相對誤差比絕對誤差更為重要。相對誤差也很難準確求取，但也和絕對誤差一樣，可以估計它的大小范圍，即有一個正數.，使 則稱為近似值x*的相對誤差項。 4.有效位數與誤差的關系 由可知，從有效數字可以算出近似數的絕對誤差項；有效數位n越多，則絕對誤差項越小，并可以從有效數字中求出其相對誤差項。 當近似值x*具有n位有效數字時，顯然有* 則其相對誤差的絕對值為
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