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高維非線性系統的全局分岔和混沌動力學(上) 版權信息
- ISBN：9787030753045
- 條形碼：9787030753045 ; 978-7-03-075304-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高維非線性系統的全局分岔和混沌動力學(上) 本書特色
在內容的安排上由淺入深、循序漸進，從理論推導到工程實例，便于讀者自學。
高維非線性系統的全局分岔和混沌動力學(上) 內容簡介
本書以高維非線性系統為研究對象，詳細介紹了兩種高維非線性系統多脈沖混沌動力學的理論-即能量相位法和廣義Melnikov方法、以及規范形理論，歸納和總結了近十年本課題組在高維非線性系統的全局分叉和混沌動力學等方面的系列化近期新理論研究成果。本書對高維非線性系統的多脈沖混沌動力學理論與應用等方面的研究具有重要參考價值。
高維非線性系統的全局分岔和混沌動力學(上) 目錄
目錄
“非線性動力學叢書”序
前言
第1章 緒論 1
1.1 研究目的與意義 1
1.2 高維非線性系統的全局分岔和混沌動力學的研究現狀與發展趨勢 2
1.2.1 Melnikov方法及全局攝動方法的國內外研究現狀 2
1.2.2 能量相位方法的國內外研究現狀 9
1.3 能量相位法與廣義Melnikov方法的比較分析 13
1.4 全局攝動方法存在的不足和發展趨勢 14
參考文獻 16
第2章 常微分方程與動力系統的基本理論 23
2.1 常微分方程基本理論 23
2.1.1 解的存在性和唯一性 25
2.1.2 解的延拓 27
2.1.3 解對初值和參數的連續性和可微性 30
2.1.4 Lyapunov運動穩定性 35
2.1.5 平面線性自治系統的奇點 40
2.1.6 平面極限環 51
2.2 動力系統基本理論 62
2.2.1 連續動力系統||流 62
2.2.2 線性流與線性化流 66
2.2.3 雙曲平衡點、穩定和不穩定流形 70
2.2.4 非雙曲平衡點中心流形定理 74
2.3 混沌 76
2.3.1 混沌的基本概念與基本特征 77
2.3.2 Smale馬蹄意義的混沌 79
2.3.3 經典Melnikov理論 82
參考文獻 84
第3章 高維非線性系統規范形 86
3.1 規范形理論 86
3.2 共軛算子法 90
3.2.1 基本概念 90
3.2.2 共軛算子法 91
3.2.3 共軛算子法的改進 92
3.2.4 程序算法 92
3.3 四維非線性系統三階規范形 93
3.3.1 算子法計算H34的正交規范形 94
3.3.2 逐項消去法計算H34的*簡規范形 99
3.4 六維非線性系統三階規范形 100
3.4.1 六維系統規范形的計算 100
3.4.2 Maple程序算法所得規范形結果 110
3.5 八維非線性系統三階規范形 110
3.5.1 八維系統規范形的計算 110
3.5.2 Maple程序算法及規范形結果 124
3.6 規范形理論在非線性動力學中的應用 129
3.6.1 弦{梁耦合系統平均方程的規范形 129
3.6.2 傳動帶系統平均方程的規范形 135
參考文獻 140
第4章 四維自治非線性系統的能量相位法和廣義Melnikov方法 145
4.1 能量相位法 145
4.2 廣義Melnikov方法 151
4.3 兩種全局攝動方法的區別和聯系 157
參考文獻 160
第5章 四維非自治非線性系統的Melnikov方法 162
5.1 引言 162
5.2 非自治非線性系統的Melnikov方法 163
5.3 直角坐標系下非自治非線性系統的廣義Melnikov方法 165
5.4 混合坐標系下非自治系統的廣義Melnikov方法 173
參考文獻 178
第6章 六維自治非線性系統的混沌動力學 179
6.1 六維自治非線性系統的全局攝動理論 179
6.1.1 規范形理論化簡 180
6.1.2 全局攝動方法分析 188
6.2 六維自治非線性系統的能量相位法 199
參考文獻 211
第7章 六維非自治非線性系統的混沌動力學 213
7.1 混合坐標系下六維非自治非線性系統的廣義Melnikov方法 213
7.2 直角坐標系下六維非自治非線性系統的廣義Melnikov方法 224
參考文獻 233
第8章 四邊簡支薄板四維非線性系統的多脈沖混沌動力學 235
8.1 引言 235
8.2 運動方程的建立和攝動分析 237
8.3 規范形計算 241
8.4 解耦系統的動力學 244
8.5 擾動系統的動力學 248
8.6 利用廣義Melnikov方法研究多脈沖軌道 251
8.7 利用能量相位法研究多脈沖軌道 255
8.8 混沌運動的數值計算 261
參考文獻 274
第9章 四邊簡支薄板四維非自治非線性系統的混沌動力學 277
9.1 引言 277
9.2 薄板的動力學方程 278
9.3 非自治非線性薄板系統的單脈沖混沌動力學 280
9.4 非自治非線性薄板系統的多脈沖混沌動力學 283
9.5 混沌運動的數值模擬 288
參考文獻 293
第10章 壓電復合材料層合板六維自治非線性系統的多脈沖混沌動力學 295
10.1 引言 295
10.2 建立壓電復合材料層合板的動力學方程 296
10.3 規范形理論化簡 299
10.4 未擾動系統的動力學 304
10.5 擾動系統的動力學 307
10.6 利用能量相位法研究多脈沖軌道 308
10.7 混沌運動的數值模擬 313
參考文獻 315
第11章 壓電復合材料層合板六維非自治非線性系統的多脈沖混沌動力學 317
11.1 引言 317
11.2 壓電復合材料層合板的三自由度非線性動力學方程 318
11.3 規范形計算 322
11.4 非線性動力學分析 331
11.5 多脈沖Melnikov函數的計算 336
11.6 混沌運動的數值模擬 340
參考文獻 344
“非線性動力學叢書”序
前言
第1章 緒論 1
1.1 研究目的與意義 1
1.2 高維非線性系統的全局分岔和混沌動力學的研究現狀與發展趨勢 2
1.2.1 Melnikov方法及全局攝動方法的國內外研究現狀 2
1.2.2 能量相位方法的國內外研究現狀 9
1.3 能量相位法與廣義Melnikov方法的比較分析 13
1.4 全局攝動方法存在的不足和發展趨勢 14
參考文獻 16
第2章 常微分方程與動力系統的基本理論 23
2.1 常微分方程基本理論 23
2.1.1 解的存在性和唯一性 25
2.1.2 解的延拓 27
2.1.3 解對初值和參數的連續性和可微性 30
2.1.4 Lyapunov運動穩定性 35
2.1.5 平面線性自治系統的奇點 40
2.1.6 平面極限環 51
2.2 動力系統基本理論 62
2.2.1 連續動力系統||流 62
2.2.2 線性流與線性化流 66
2.2.3 雙曲平衡點、穩定和不穩定流形 70
2.2.4 非雙曲平衡點中心流形定理 74
2.3 混沌 76
2.3.1 混沌的基本概念與基本特征 77
2.3.2 Smale馬蹄意義的混沌 79
2.3.3 經典Melnikov理論 82
參考文獻 84
第3章 高維非線性系統規范形 86
3.1 規范形理論 86
3.2 共軛算子法 90
3.2.1 基本概念 90
3.2.2 共軛算子法 91
3.2.3 共軛算子法的改進 92
3.2.4 程序算法 92
3.3 四維非線性系統三階規范形 93
3.3.1 算子法計算H34的正交規范形 94
3.3.2 逐項消去法計算H34的*簡規范形 99
3.4 六維非線性系統三階規范形 100
3.4.1 六維系統規范形的計算 100
3.4.2 Maple程序算法所得規范形結果 110
3.5 八維非線性系統三階規范形 110
3.5.1 八維系統規范形的計算 110
3.5.2 Maple程序算法及規范形結果 124
3.6 規范形理論在非線性動力學中的應用 129
3.6.1 弦{梁耦合系統平均方程的規范形 129
3.6.2 傳動帶系統平均方程的規范形 135
參考文獻 140
第4章 四維自治非線性系統的能量相位法和廣義Melnikov方法 145
4.1 能量相位法 145
4.2 廣義Melnikov方法 151
4.3 兩種全局攝動方法的區別和聯系 157
參考文獻 160
第5章 四維非自治非線性系統的Melnikov方法 162
5.1 引言 162
5.2 非自治非線性系統的Melnikov方法 163
5.3 直角坐標系下非自治非線性系統的廣義Melnikov方法 165
5.4 混合坐標系下非自治系統的廣義Melnikov方法 173
參考文獻 178
第6章 六維自治非線性系統的混沌動力學 179
6.1 六維自治非線性系統的全局攝動理論 179
6.1.1 規范形理論化簡 180
6.1.2 全局攝動方法分析 188
6.2 六維自治非線性系統的能量相位法 199
參考文獻 211
第7章 六維非自治非線性系統的混沌動力學 213
7.1 混合坐標系下六維非自治非線性系統的廣義Melnikov方法 213
7.2 直角坐標系下六維非自治非線性系統的廣義Melnikov方法 224
參考文獻 233
第8章 四邊簡支薄板四維非線性系統的多脈沖混沌動力學 235
8.1 引言 235
8.2 運動方程的建立和攝動分析 237
8.3 規范形計算 241
8.4 解耦系統的動力學 244
8.5 擾動系統的動力學 248
8.6 利用廣義Melnikov方法研究多脈沖軌道 251
8.7 利用能量相位法研究多脈沖軌道 255
8.8 混沌運動的數值計算 261
參考文獻 274
第9章 四邊簡支薄板四維非自治非線性系統的混沌動力學 277
9.1 引言 277
9.2 薄板的動力學方程 278
9.3 非自治非線性薄板系統的單脈沖混沌動力學 280
9.4 非自治非線性薄板系統的多脈沖混沌動力學 283
9.5 混沌運動的數值模擬 288
參考文獻 293
第10章 壓電復合材料層合板六維自治非線性系統的多脈沖混沌動力學 295
10.1 引言 295
10.2 建立壓電復合材料層合板的動力學方程 296
10.3 規范形理論化簡 299
10.4 未擾動系統的動力學 304
10.5 擾動系統的動力學 307
10.6 利用能量相位法研究多脈沖軌道 308
10.7 混沌運動的數值模擬 313
參考文獻 315
第11章 壓電復合材料層合板六維非自治非線性系統的多脈沖混沌動力學 317
11.1 引言 317
11.2 壓電復合材料層合板的三自由度非線性動力學方程 318
11.3 規范形計算 322
11.4 非線性動力學分析 331
11.5 多脈沖Melnikov函數的計算 336
11.6 混沌運動的數值模擬 340
參考文獻 344
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高維非線性系統的全局分岔和混沌動力學(上) 節選
第1章緒論 本章綜述了梅利尼科夫（Melnikov)方法的發展歷史。從1963年蘇聯學者Melnikov提出該方法開始，一直到目前廣義Melnikov方法的提出和發展，Melnikov方法的發展歷程可以概括為三個階段，分別綜述了每一個階段Melnikov方法的擴展和應用，論述了國內外在該方向的研究現狀和所獲得的主要結果，指出了各種Melnikov方法之間的聯系、存在的問題和不足。為了對比兩種研究高維非線性系統多脈沖混沌動力學的理論，本章還綜述了另外一種全局攝動理論，即能量相位法，總結了該方法十幾年來的發展歷史，以及國內外的理論研究成果和工程應用實例；闡述了能量相位法發展的根源及與Melnikov方法的內在聯系；比較了能量相位法和廣義Melnikov方法兩種理論研究對象的差別，以及各自所存在的不足和問題。 1.1研究目的與意義 在實際工程系統中，有許多問題的數學模型和動力學方程都可用髙維非線性系統來描述，例如，黏彈性傳動帶由于在運動過程中可以忽略彎曲剛度，因此其動力學模型可以簡化成為具有黏彈性特性的軸向運動弦線；內燃機曲軸、機器人柔性機械臂等可以簡化成懸臂梁；還有廣泛應用在航空航天工程領域的薄板和薄殼結構，由流體誘發的輸流管的非線性振動問題，在機械、航空等領域廣泛應用的主動電磁軸承等。如何研究由這些工程實際問題所建立的無限維或高維非線性動力學方程是工程科學領域中非常重要的研究課題。對于高維非線性動力系統來說，其研究難度比低維非線性動力系統要大得多，不僅有理論方法上的困難，而且還有空間幾何描述和數值計算方面的困難。對于髙維非線性系統和無限維非線性系統來說，從理論上講都可用中心流形理論和慣性流形理論對高維非線性系統和無限維非線性系統進行降維處理，使系統的維數有所降低，但是降維后系統的維數仍然很高，并且髙維非線性系統中的穩定流形和不穩定流形的空間幾何結構難于直觀的構造和描述，其后續研究仍然非常困難。因此發展能夠處理髙維非線性動力學系統的理論研究方法是非常重要和迫切的。 髙維非線性系統的復雜動力學、全局分岔和混沌動力學，是目前國際上非線性動力學領域的前沿課題，受到科學家的廣泛關注。大部分工程實際問題都可用髙維非線性系統來描述，并且大多數都是高維擾動哈密頓（Hamilton)系統。然而，目前研究高維非線性系統的復雜動力學、全局分岔和混沌動力學的方法還不是很多，國際和國內均處于發展階段。盡管對于髙維非線性系統已有一些理論研究方法和結果，但由于高維非線性系統的復雜性和多樣性，現有的數學成果還遠不能滿足工程實際問題的需要，而且研究高維非線性系統動力學的很多數學理論和方法高度抽象，目前階段尚難于在工程實際問題中進行大規模應用。 因此，結合工程實際中有典型意義的髙維非線性動力學模型，在理論方面發展相應的適用研究方法，對于解決工程實際問題來說是至關重要的。目前對于高維非線性系統復雜動力學、全局分岔和多脈沖混沌動力學的研究主要是以理論分析和數值模擬為主。盡管在數值模擬中發現了大量的各種分岔與混沌現象，但對于產生這些復雜現象的非線性本質及它們的物理意義還缺乏實驗方面和工程上的合理解釋。盡管研究高維非線性系統的全局分岔和混沌動力學具有很大的挑戰性和困難，但是近幾十年來，國內外的學者還是取得了一些研究成果。 1.2高維非線性系統的全局分岔和混沌動力學的研究現狀與發展趨勢 1.2.1Melnikov方法及全局攝動方法的國內外研究現狀 髙維非線性系統是由微分方程描述的，為了揭示其混沌現象，科學家們提出了一些判斷混沌現象的準則，數值研究中經常用到的判據有：解的功率譜連續，李雅普諾夫(Lyapunov)指數大于零，有非整數維吸引子，拓撲熵大于零等。理論研究中常用到判據是Melnikov方法，它是判斷混沌運動不變集存在性的解析方法。該方法的基本思想是將連續動力系統歸結為平面上的一個龐加萊（Poincax句映射，研究該映射是否存在橫截同宿軌道或異宿軌道的數學條件，從而得出映射是否具有Smale馬蹄變換意義下的混沌屬性。因此，Melnikov方法是研究一類非線性動力系統Smale馬蹄變換意義下出現混沌現象的判據。 1.2.1.1Melnikov方法及全局攝動方法 非線性系統的全局動力學分析一般包括：環面運動和混沌運動存在性的有關判據，全局分岔和奇怪吸引子的刻畫等。目前成功地用于全局動力學分析的理論方法還不多，主要有符號動力學理論、斯梅爾(Smale)馬蹄理論及兩種解析方法，即Melnikov方法和施爾尼科夫(Shilnikov)方法。但是它們在高維非線性系統復雜動力學問題的研究中都遇到很大的困難。因此，對多于兩個自由度的非線性動力系統全局分岔和混沌動力學進行分析的研究方法還非常有限。在髙維非線性動力學系統的全局分岔和混沌動力學問題中，除了單脈沖同宿分岔和異宿分岔外，還存在多脈沖同宿分岔和異宿分岔。針對多脈沖分岔問題，目前主要有兩種解析方法可以進行研究，即廣義Melnikov方法和能量相位法。 1.2.1.2Melnikov方法的護展和全局攝動法 1963年，蘇聯學者MelnikovW在研究保守系統同宿軌線和異宿軌線受擾動后發生破裂時，提出了一種度量破裂后穩定流形與不穩定流形之間距離的方法，后來發展成為一種研究混純運動的解析方法，稱為Melnikov方法。從Melnikov方法的擴展到廣義Melnikov方法的提出，是一個有著30～40年歷史發展的過程。繼Melnikov之后，1964年，Arnold[2]把Melnikov方法推廣到兩個自由度完全可積的Hamilton系統，建立了Arnold擴散理論。此后，在十幾年的時間里，Melnikov方法沒有得到進一步的發展。直到1979年，Holmes^]用Melnikov方法分析了單自由度受迫Duffing振子，得到了一些有重要意義的結果。隨后，一些學者開始把Melnikov方法與其他攝動方法相結合，從而改進和發展了Melnikov方法。 1980年，Holmes[4]修正了Melnikov方法中的時間變量函數，利用KB平均法、PoincarS映射和Melnikov方法研究了受迫振子同宿運動和異宿運動，給出了研究單自由非線性系統混沛運動的一種解析方法。1981年，Holmes和Marsden[5]研究了Banach空間中周期受迫振動方程存在Smale馬蹄意義映射的充分條件，初步把Melnikov方法推廣到無限維系統，利用不變流形理論、非線性半群理論和Melnikov方法分析了非線性平面運動屈曲梁的混沛運動。1982年，Holmes和Marsden[6]利用Melnikov方法和KAM理論研究了具有一個同宿軌道和兩類周期軌道的二自由度擾動Hamilton系統，發現Arnold擴散使系統的穩定流形和不穩定流形橫截相交。1983年，Holmes和Marsden[7]在近可積Hamilton系統上分析了馬蹄映射和Arnold擴散的存在性，他們利用了李群理論中的對稱群、基空間理論和Melnikov方法研究了近可積Hamilton系統同宿軌道的擾動。1987年，Salam[8]利用Melnikov方法研究了二維耗散系統的同宿軌道。 1988年，Robinson[9]利用Melnikov方法分析了四維完全可積Hamilton系統的同宿軌道，統一了Melnikov函數的兩種表達形式，提出了向量場Melnikov函數的概念。同年，Wiggins!10!在其專著中，把髙維擾動Hamilton系統分為三類，利用標準的Melnikov方法詳細研究了這些系統的全局分岔和混沌動力學。在此基礎上，Kovacic、Wiggins和許多學者不斷地改進和完善這種分析髙維非線性動力學系統的全局攝動方法。Feng和Sethna研究了具有對稱性的四維擾動Hamilton系統的全局分忿，利用Melnikov方法分析了擾動情況下三類異宿環破裂后，產生Smale馬蹄意義下混沛運動的現象。1992年，Kovacic和Wiggins[12]綜合了Melnikov方法、幾何奇異攝動理論和不變流形纖維叢理論，提出了一種研究高維非線性系統全局分岔和混沌動力學的新全局攝動方法，這種全局攝動方法是髙維Melnikov方法的進一步改進和發展。他們利用這種全局攝動法研究了未擾動系統是完全可積Hamilton系統的四維非線性系統的同宿軌道和異宿軌道，分析了有阻尼受迫振動Sine-Gordon方程的全局分盆和混沛動力學。同時，根據Shilnikov定理，指出如果方程在鞍焦點處存在同宿軌線，那么系統就會產生混沌運動。從動力學和幾何學角度來講，髙維非線性系統混沌動力學的機理就是通過脈沖來連接空間兩個相關狀態。Kovacic[13，14]利用全局攝動法，分析了二自由度擾動Hamilton系統和近可積耗散系統共振情形下的同宿軌道。運用全局攝動法，分別研究了未擾動系統是完全可積Hamilton系統和近可積耗散系統的全局分岔和混沌動力學，提出了共振區同宿軌道統一理論，并且證明了橫截同宿軌道的存在性。 Camassal研究了Lorenz系統的不變流形和雙曲結構，利用系統的反對稱性擴展了Melnikov方法，應用擴展后的Melnikov方法和奇異攝動理論分析了系統的同宿分盆和混純動力學。Bountis等引入了N維映射推導出了Melnikov向量場函數，研究了四維系統的不變流形橫截。Vered等研究了兩自由度近可積非解耦Hamilton系統的同宿軌道，他們根據Melnikov函數的幾何含義，在角變量坐標上，定義了同宿軌道破裂后穩定流形和不穩定流形之間的距離，提出了角變量坐標形式的Melnikov函數。Kollmann和Bountis利用Melnikov向量場函數分析了二模態截斷和三模態截斷非線性薛定愕(Schrodinger)方程的孤立波解。 在Melnikov方法擴展到高維非線性系統全局分岔和混沌動力學的研究方面，日本學者Yagasaki也做出了重要的貢獻。Yagasaki[21]利用Melnikov方法和平均法研究了四維擾動Hamilton系統同宿流形和三維共振圓環面的混沌動力學。Yagasaki發展了次諧Melnikov方法，給出了周期軌道存在性、穩定性和分岔定理，改進了兩類研究同宿軌道的Melnikov方法，討論了次諧Melnikov方法和同宿軌道Melnikov方法之間的聯系，并利用這些理論分析了二自由度受迫弱耦合振子的同宿軌道。Yagasaki研究了四自由度非平面運動彎曲梁的非線性振動，由于未擾動系統是鞍-中心結構，穩定流形和不穩定流形不重合，但在低維流形上相交而且不一定完全可積。所以，在這種情況下，改進的Melnikov方法不能使用。為此，Yagasaki又進一步發展了高維Melnikov方法Yagasaki利用這種髙維Melnikov方法分析了二自由度擾動Hamilton系統和二自由度不可積系統的Smale馬蹄意義下的混沌動力學。 還有一些學者也為Melnikov方法的發展做出了貢獻。Doelman和Hek[26]研究了三維擾動系統由于鞍-結分岔產生的同宿軌道，利用Melnikov函數分析了N脈沖同宿軌道的穩定流形和不穩定流形的動力學特性。綜合利用Melnikov向量場函數、Backlund-Darboux變換、Fenichel纖維叢理論研究了四維非線性Schr6dinger方程的同宿軌道、異宿軌道、余維二橫截同宿管。 此外，國內的一些專家和學者也對Melnikov方法的擴展做出了重要的貢獻。劉曾榮和戴世強㈣深入研究了Melnikov函數的含義，發現根據攝動理論中的正 1.2髙維非線性系統的全局分岔和混沌動力學的研究現狀與發展趨勢 交條件可以推導出Melnikov函數。劉曾榮等把Melnikov方法推廣到髙階情況，推導了二階次諧Melnikov函數表達式，并且證明了在一定條件下可以用二階次諧Melnikov函數來判定系統的次諧或超次諧的存在性。徐振源和劉曾榮利用Kovacic和Wiggins提出的全局攝
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