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移位寄存器序列理論 版權信息
- ISBN：9787030750310
- 條形碼：9787030750310 ; 978-7-03-075031-0
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
移位寄存器序列理論 內容簡介
移位寄存器序列是序列密碼的重要組成部分，本書詳細介紹各類移位寄存器序列的密碼學性質，包括線性反饋移位寄存器序列、前饋序列、鐘控序列、Z/N上線性遞歸序列、帶進位反饋移位寄存器序列、非線性反饋移位寄存器序列。
移位寄存器序列理論 目錄
目錄
第1章 線性反饋移位寄存器序列 1
1.1 線性反饋移位寄存器序列的描述 1
1.2 極小多項式與周期 4
1.3 序列簇的分解 7
1.4 序列簇的乘積 9
1.5 狀態圖 13
1.6 LFSR序列的跡表示和根表示 16
1.7 LFSR序列的有理分式表示 19
1.8 Galois線性反饋移位寄存器 24
1.9 m-序列 25
1.10 有限序列的綜合算法 30
1.11 有限序列線性復雜度的均值與方差 36
第2章與門網絡序列 43
2.1 準備知識 43
2.2 與門網絡序列及其極小多項式 45
2.3 與門網絡的退化和等效 55
2.4 與門網絡序列的統計特性 64
2.5 多個序列的非線性組合 76
第3章鐘控序列 85
3.1 stop-and-go序列 85
3.2 [d，k]-自采樣序列 89
3.3 收縮序列和自收縮序列 93
第4章環Z/(N)上的線性遞歸序列 97
4.1 Z/(pd)上的多項式與線性遞歸序列 97
4.2 Z/(pd)上的權位序列及其周期 100
4.3 Z/(pd)上本原序列*高權位的保熵性 102
4.4 Z/(2d)上本原序列壓縮映射的保熵性 110
4.5 Z/(N)上本原序列模2壓縮的保熵性 117
第5章 帶進位反饋移位寄存器序列 121
5.1 2-adic數與有理分數導出序列 121
5.2 FCSR的結構圖 124
5.3 2-adic數、有理分數與FCSR序列 127
5.4 極大周期FCSR序列 131
5.5 FCSR進位序列 136
5.6 有理逼近算法 139
5.7 Galois-FCSR與Diversified-FCSR 146
第6章非線性反饋移位寄存器序列 151
6.1 有向圖、de Bruijn Good圖 151
6.2 非線性反饋移位寄存器及其狀態圖 153
6.3 de Bruijn序列的計數 158
6.4 非奇異NFSR狀態圖的拆圈與并圈 172
6.5 de Bruijn序列及其特征函數的構造 177
6.6 de Bruijn序列的線性復雜度與偽隨機性質 188
6.7 NFSR的串聯 191
6.8 NFSR的子簇 197
6.9 子簇存在性判別 201
參考文獻 204
第1章 線性反饋移位寄存器序列 1
1.1 線性反饋移位寄存器序列的描述 1
1.2 極小多項式與周期 4
1.3 序列簇的分解 7
1.4 序列簇的乘積 9
1.5 狀態圖 13
1.6 LFSR序列的跡表示和根表示 16
1.7 LFSR序列的有理分式表示 19
1.8 Galois線性反饋移位寄存器 24
1.9 m-序列 25
1.10 有限序列的綜合算法 30
1.11 有限序列線性復雜度的均值與方差 36
第2章與門網絡序列 43
2.1 準備知識 43
2.2 與門網絡序列及其極小多項式 45
2.3 與門網絡的退化和等效 55
2.4 與門網絡序列的統計特性 64
2.5 多個序列的非線性組合 76
第3章鐘控序列 85
3.1 stop-and-go序列 85
3.2 [d，k]-自采樣序列 89
3.3 收縮序列和自收縮序列 93
第4章環Z/(N)上的線性遞歸序列 97
4.1 Z/(pd)上的多項式與線性遞歸序列 97
4.2 Z/(pd)上的權位序列及其周期 100
4.3 Z/(pd)上本原序列*高權位的保熵性 102
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5.1 2-adic數與有理分數導出序列 121
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5.3 2-adic數、有理分數與FCSR序列 127
5.4 極大周期FCSR序列 131
5.5 FCSR進位序列 136
5.6 有理逼近算法 139
5.7 Galois-FCSR與Diversified-FCSR 146
第6章非線性反饋移位寄存器序列 151
6.1 有向圖、de Bruijn Good圖 151
6.2 非線性反饋移位寄存器及其狀態圖 153
6.3 de Bruijn序列的計數 158
6.4 非奇異NFSR狀態圖的拆圈與并圈 172
6.5 de Bruijn序列及其特征函數的構造 177
6.6 de Bruijn序列的線性復雜度與偽隨機性質 188
6.7 NFSR的串聯 191
6.8 NFSR的子簇 197
6.9 子簇存在性判別 201
參考文獻 204
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移位寄存器序列理論 節選
第1章線性反饋移位寄存器序列 這一章介紹線性反饋移位寄存器序列的基本理論，內容涉及特征多項式、極小多項式、周期、序列簇的分解和乘積、序列的表示、m-序列、序列的綜合算法、序列的線性復雜度等。 1.1線性反饋移位寄存器序列的描述 反饋移位寄存器是生成偽隨機序列的重要模型，是許多密鑰序列生成器的重要部件。 圖1.1F2上n級反饋移位寄存器 首先引入反饋移位寄存器的模型，設n是正整數，二元域F 上n級反饋移位寄存器如圖1. 所示，其中x0，x1， ，xn.1是n個比特寄存器，g(x0，x1， ，xn.1)是n元布爾函數，稱為該反饋移位寄存器的反饋函數。 反饋移位寄存器輸出序列的方式如下。 首先在n個寄存器中輸入初始值x0=a0， ，xn. =an.1(a0， ，an. ∈F2)，加載一次移位脈沖后，n 個寄存器中的比特依次左移，*左邊的寄存器x 的比特移出，并作為這一時刻的輸出比特，同時，將g(a0，a1， ，an.1)反饋到*右邊的寄存器xn.1，即設第0時刻(x0，x1， ，xn.2， xn.1)=(a0，a1， ，an.2，an.1)，則第1時刻(x0，x1， ，xn.2，xn.1)=(a1， a2， ，an.1，an)，其中， an =g(a0，a1， ，an.1)∈F 通過連續加載移位脈沖，反饋移位寄存器輸出F 上的序列a=(a0，a1，a2， )（即寄存器x 的輸出序列）。該序列滿足遞歸式： ak+n =g(ak， ，ak+n.1)，k=0，1，2， (1.1) 稱a為n級反饋移位寄存器序列，(ak， ，ak+n.1)為k時刻的狀態，特別地，稱(a0， a1， ，an.1)為該反饋移位寄存器的初始狀態。 當g(x0， ，xn.1)=c0x0+c1x1+ +cn.1xn.1(ci ∈F2(i =0，1，2， ，n.1))， 即g(x0， ，xn.1)是線性函數時，稱圖1. 給定的反饋移位寄存器為線性反饋移位寄存器(LinearFeedbackShiftRegister，LFSR)，所產生的序列稱為線性反饋移位寄存器序列，簡稱LFSR序列。此時所產生的F 上的序列滿足線性遞歸式： ak+n =c0ak +c1ak+ + +cn.1ak+n.1，k=0，1，2， (1.2) 也稱序列a=(a0，a1，a2， )為F 上的n級線性遞歸序列。 注1.1線性遞歸序列是LFSR序列的數學描述，以后在稱謂上就用LFSR序列。 在這一章中，主要介紹二元域F 上線性反饋移位寄存器序列（線性遞歸序列）的基本 理論。記F∞2={a=(a0，a1，a2， )|ai∈F2} 為域F 上所有無限序列組成的集合。 定義1.1設a=(a0，a1，a2， )∈F∞2，若a滿足線性遞歸式(1.2)，則稱f(x)=xn +cn.1xn. + +c 為a的一個特征多項式，也稱序列a以f(x)為特征多項式。記G(f(x))為F∞2中以f(x)為特征多項式的序列全體。 給定F 上的n次多項式f(x)，設a=(a0，a1，a2， )∈G(f(x))。顯然，序列a由前n比特a0，a1， ，an. 唯一確定，從而|G(f(x))|=2n。 從以上的分析可以看出，給定f(x)∈F2[x]，其中degf(x).1，就相當于給定了一個線性反饋移位寄存器，而一個線性反饋移位寄存器隨著初始狀態的不同，輸出的序列也不同。G(f(x))就是以f(x)為特征多項式的線性反饋移位寄存器所能產生的序列的全體。 注1.2利用特征多項式刻畫LFSR序列有利于運用數學（特別是代數學）對LFSR序列進行深入研究。因此，以后主要利用特征多項式來研究序列，而線性反饋移位寄存器用于形象地說明序列是如何輸出的。 除了線性反饋移位寄存器和線性遞歸式，還可以用矩陣刻畫序列的生成。 設f(x)=xn+cn.1xn. + +c ∈F2[x]，a=(a0，a1，a2， )∈G(f(x))，令 則(a1， ，an)=(a0， ，an.1)A。一般地，有 (ak， ，ak+n.1)=(a0， ，an.1)Ak，k=0，1，2， 稱A是G(f(x))（或f(x)所確定的線性反饋移位寄存器）的狀態轉移矩陣。 序列的基本運算定義如下。 設a=(a0，a1，a2， )，b=(b0，b1，b2， )∈F∞2，c ∈F2，定義序列的加法和數 乘為 定義左移運算如下： 一般地，有并且定義 根據上面的定義，多項式對序列的作用有如下基本性質。 引理1.1設f(x)，g(x)∈F2[x]，a，b∈F∞2，c ∈F2，則有 (f(x)+g(x))a=f(x)a+g(x)a f(x)(a+b)=f(x)a+f(x)b f(x)(ca)=c(f(x)a) 證明是顯然的。 對于f(x)∈F2[x]，degf(x).1，a∈F∞2，記0=(0，0， )是全0序列，根據上述序列運算的定義，有 a∈G(f(x))當且僅當f(x)a=0 即 G(f(x))={a∈F∞ |f(x)a=0} 注1.3當f(x)=0或1時，以f(x)為特征多項式的序列無法按線性遞歸方式進行定義，但按多項式作用于序列的定義，可以認為：以f(x)=1為特征多項式的序列只有全 序列0，而F∞2中的每一個序列都以f(x)=0為特征多項式，從而可以定義 G(1)def ==={0}，G(0)def ===F∞ 這樣，對于f(x)∈F2[x]，a∈F∞2，有a∈G(f(x))當且僅當f(x)a=0，即 G(f(x))={a∈F∞ |f(x)a=0} G(f(x))是F 上的向量空間，并且有下面的維數結論。 定理1.1設0.=f(x)∈F2[x]，degf(x)=n，則G(f(x))是F 上的n維向量空間。 證明當n=0時，即f(x)=1時，結論顯然成立。 下面設n.1。對于任意的a，b∈G(f(x))和c∈F2，由引理1.1可得 f(x)(a+b)=f(x)a+f(x)b=0，f(x)(ca)=c(f(x)a)=0 所以a+b∈G(f(x))，ca∈G(f(x))，G(f(x))是F 上的向量空間。 又因為|G(f(x))| =2n，所以G(f(x))是F 上的n維向量空間。 本書主要討論二元序列，即F 上的序列。在討論F 上的序列的過程中，會涉及一般有限域上的序列。為此，將線性遞歸序列及相關概念推廣到一般有限域上。 定義1.2設Fq是q元有限域，c0， ，cn.1∈Fq，若Fq上的序列a=(a0，a1，a2， )滿足 an+k =c0ak +c1ak+ + +cn.1ak+n.1，k=0，1，2， 則稱a是Fq上的n級線性遞歸序列，并稱f(x)=xn.(cn.1xn. + +c0)是序列a的一個特征多項式。同樣，記 F∞q={a=(a0，a1，a2， )|ai∈Fq} 為Fq上所有無限序列組成的集合，并記G(f(x))為F∞q中以f(x)為特征多項式的序列全 體，則有 G(f(x))={a∈F∞q |f(x)a=0} 如果不做特別說明，所討論的線性遞歸序列或LFSR序列是指二元域F2上的序列。 1.2極小多項式與周期 設a=(a0，a1， )∈F∞2，因為對于任意非負整數i和j，有xi+ja=xi(xja)=xj(xia)所以對于任意f(x)∈F2[x]，有 (xif(x))a=xi(f(x)a)=f(x)(xia) 從而對于任意f(x)，g(x)∈F2[x]，有(f(x)g(x))a=f(x)(g(x)a)=g(x)(f(x)a) 即有引理1.2。 引理1.2設f(x)，g(x)∈F2[x]，a∈F∞2，則有 (f(x)g(x))a=f(x)(g(x)a)=g(x)(f(x)a) 設序列a∈F∞2以f(x)為特征多項式，即f(x)a=0，則對于任意0.=g(x)∈F2[x]，由引理1.2可知，g(x)f(x)也是a的特征多項式，所以序列a的特征多項式不唯一。 對于a∈F∞2，定義 由引理1.1和引理1.2，得定理1.2。 定理1.2設a是LFSR序列，則A(a)是F2[x] 的一個理想，即若f(x)，g(x)∈A(a)， h(x)∈F2[x]，則f(x)+g(x)∈A(a)，h(x)f(x)∈A(a)。 注1.4稱A(a)為序列a的特征多項式理想。 顯然A(0)是單位理想，即A(0)=F2[x]。 定義1.3設a是LFSR序列，稱a的次數*小的特征多項式為a的極小多項式，并 稱a的極小多項式次數為a的線性復雜度，記為LC(a)。 注1.5序列的極小多項式為f(x)=1；而序列1def (1，1，1， )的極小多項式為x.1；而非0LFSR 序列的極小多項式次數.1。 序列的極小多項式與特征多項式有下面的關系。 定理1.3設a∈F∞2 是LFSR序列，則a的極小多項式是唯一的。進一步，設m(x)是a的極小多項式，f(x)是a的一個特征多項式，則m(x)|f(x)。
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