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工程結構優化設計方法與應用 版權信息
- ISBN：9787030744340
- 條形碼：9787030744340 ; 978-7-03-074434-0
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
工程結構優化設計方法與應用 本書特色
本書在廣泛參考國內外相關文獻的基礎上，結合作者的科研實踐，介紹了工程結構優化設計的基本概念、常用優化方法以及工程應用。
工程結構優化設計方法與應用 內容簡介
本書主要闡述結構優化設計的基本概念，常用優化方法、程序以及結構優化設計工程應用。主要內容包括優化設計概述，數學規劃問題的數學基礎，一維搜索方法，多變量無約束優化方法，線性規劃與二次規劃，約束非線性優化方法，多目標優化方法，智能優化方法，結構優化設計的很優準則法，結構不確定性優化，結構優化設計的若干方法與策略，結構優化設計的工程應用等。
工程結構優化設計方法與應用 目錄
目錄
第1章 結構優化設計的基本概念 1
1.1 傳統結構設計與結構優化設計 1
1.2 結構優化設計的數學模型 3
1.2.1 設計變量 4
1.2.2 目標函數 4
1.2.3 約束條件 4
1.2.4 結構優化設計的數學表達式 5
1.2.5 結構優化問題的分類 5
1.3 結構優化問題的幾何表示 7
1.4 結構優化設計的求解途徑 7
1.5 結構優化設計的發展概況 9
第2章 *優化問題的數學基礎 11
2.1 向量與矩陣 11
2.1.1 向量的范數和內積 11
2.1.2 矩陣與二次型 12
2.1.3 向量與矩陣序列的極限 14
2.2 多元函數的可微性與展開 15
2.2.1 方向導數與梯度 15
2.2.2 函數的泰勒展開與黑塞矩陣 16
2.2.3 向量值函數的雅可比矩陣 17
2.3 凸集與凸函數 18
2.3.1 凸集 18
2.3.2 凸函數 19
2.3.3 凸規劃 21
2.4 *優性條件 21
2.4.1 局部*優解和全局*優解 21
2.4.2 無約束優化問題的*優性條件 22
2.4.3 等式約束優化問題的*優性條件 25
2.4.4 不等式約束優化問題的*優性條件 27
2.4.5 一般約束優化問題的*優性條件 31
第3章 迭代算法的概念與一維搜索 33
3.1 數值迭代算法一般概念 33
3.1.1 迭代算法的一般步驟 33
3.1.2 算法的收斂性 34
3.1.3 算法的終止準則 34
3.2 搜索區間與單峰函數 35
3.3 精確一維搜索的試探法 36
3.3.1 試探法的一般步驟 36
3.3.2 斐波那契法 38
3.3.3 0.618 法 41
3.4 精確一維搜索的插值法 44
3.4.1 二次插值法 44
3.4.2 三次插值法 48
3.5 不精確一維搜索方法 51
3.5.1 Goldstein 準則 51
3.5.2 Wolfe 準則 52
3.5.3 Goldstein 和 Wolfe 不精確一維搜索方法 52
3.5.4 Armijo 不精確一維搜索方法 52
第4章 無約束優化問題的解法 54
4.1 *速下降法 54
4.2 共軛梯度法 57
4.2.1 共軛方向與共軛方向法 57
4.2.2 共軛梯度法介紹 61
4.3 牛頓法 64
4.4 擬牛頓法 69
4.4.1 擬牛頓條件 69
4.4.2 DFP 算法 70
4.4.3 BFGS 算法 72
4.5 步長加速法 74
4.6 方向加速法 77
4.7 單純形法 83
第5章 線性規劃與二次規劃問題的解法 89
5.1 線性規劃問題的數學模型 89
5.2 線性規劃問題基本解的概念與性質 91
5.3 線性規劃問題的解法 94
5.3.1 單純形解法 94
5.3.2 修正單純形法 100
5.4 二次規劃的數學模型與*優性條件 107
5.5 二次規劃問題的解法 108
5.5.1 等式約束二次規劃問題的解法 108
5.5.2 起作用集法 111
5.5.3 Lemke 方法 115
第6章 非線性規劃問題的解法 121
6.1 約坦狄克可行方向法 121
6.2 梯度投影法 125
6.3 既約梯度法 130
6.4 復形法 135
6.5 罰函數法 139
6.5.1 罰函數法的一般概念 139
6.5.2 外點法 140
6.5.3 內點法 144
6.5.4 混合法 147
6.6 廣義乘子法 148
6.6.1 等式約束問題的廣義乘子法 149
6.6.2 不等式約束問題的廣義乘子法 151
6.7 序列線性規劃法 155
6.7.1 序列線性規劃法的一般解法 155
6.7.2 切平面法 158
6.7.3 運動極限法 160
6.8 序列二次規劃法 160
6.9 凸線性化與移動漸近線法 162
6.10 拉格朗日對偶規劃 165
第7章 智能優化算法 169
7.1 模擬退火算法 169
7.1.1 模擬退火算法的基本思想與過程 169
7.1.2 模擬退火算法的關鍵參數與操作 170
7.2 遺傳算法 172
7.2.1 遺傳算法的基本思想與步驟 172
7.2.2 遺傳算法的關鍵參數與操作 173
7.2.3 加速微種群遺傳算法 176
7.3 粒子群算法 179
7.3.1 粒子群算法的基本思想與過程 179
7.3.2 粒子群算法的關鍵參數與操作 180
第8章 多目標優化方法 184
8.1 多目標優化問題的數學模型 184
8.2 多目標優化問題解的概念 185
8.3 多目標優化問題的一般解法 186
8.3.1 約束法 186
8.3.2 分層序列法 187
8.3.3 評價函數法 188
8.4 基于模糊貼近度的多目標優化方法 189
8.4.1 模糊集與模糊貼近度 189
8.4.2 多目標優化的模糊貼近度解法 190
8.5 基于灰色關聯度的多目標優化方法 191
8.5.1 灰色系統與灰色關聯度 191
8.5.2 多目標優化問題的灰色關聯度解法 191
8.6 多目標優化的合作博弈模型與納什仲裁解法 192
第9章 *優準則法 193
9.1 滿應力設計 193
9.1.1 應力比法 193
9.1.2 齒行法 199
9.2 桁架滿位移設計 202
9.3 能量準則法 209
9.4 漸進結構優化法 211
第10章 結構設計靈敏度分析與結構重分析 216
10.1 差分法計算設計靈敏度 216
10.2 解析法計算設計靈敏度 217
10.3 擬荷載的解析計算 219
10.3.1 平面桁架單元 219
10.3.2 平面等參單元 221
10.4 結構重分析的一般方法 224
10.4.1 擾動法 224
10.4.2 組合逼近法 225
10.4.3 預條件共軛梯度法 226
10.5 結構重分析的代理模型 229
10.5.1 多項式響應面模型 229
10.5.2 徑向基函數模型 230
10.5.3 克里金模型 231
第11章 結構優化設計的工程應用 235
11.1 鋼筋混凝土基本構件的優化設計 235
11.1.1 矩形截面簡支梁的優化設計 235
11.1.2 軸心受壓矩形截面柱的優化設計 237
11.2 實體重力壩斷面優化設計 239
11.2.1 實體重力壩斷面優化設計數學模型 239
11.2.2 重力壩深層抗滑穩定安全系數計算 241
11.2.3 工程算例 243
11.3 拱壩體形優化設計 244
11.3.1 拱壩體形的幾何描述 245
11.3.2 拱壩體形優化設計數學模型 247
11.3.3 工程算例 249
11.4 土石壩斷面優化設計 255
11.4.1 巖基上混凝土面板堆石壩斷面優化設計 256
11.4.2 覆蓋層上混凝土面板堆石壩斷面優化設計 259
11.4.3 土質心墻堆石壩斷面優化設計 263
主要參考文獻 267
第1章 結構優化設計的基本概念 1
1.1 傳統結構設計與結構優化設計 1
1.2 結構優化設計的數學模型 3
1.2.1 設計變量 4
1.2.2 目標函數 4
1.2.3 約束條件 4
1.2.4 結構優化設計的數學表達式 5
1.2.5 結構優化問題的分類 5
1.3 結構優化問題的幾何表示 7
1.4 結構優化設計的求解途徑 7
1.5 結構優化設計的發展概況 9
第2章 *優化問題的數學基礎 11
2.1 向量與矩陣 11
2.1.1 向量的范數和內積 11
2.1.2 矩陣與二次型 12
2.1.3 向量與矩陣序列的極限 14
2.2 多元函數的可微性與展開 15
2.2.1 方向導數與梯度 15
2.2.2 函數的泰勒展開與黑塞矩陣 16
2.2.3 向量值函數的雅可比矩陣 17
2.3 凸集與凸函數 18
2.3.1 凸集 18
2.3.2 凸函數 19
2.3.3 凸規劃 21
2.4 *優性條件 21
2.4.1 局部*優解和全局*優解 21
2.4.2 無約束優化問題的*優性條件 22
2.4.3 等式約束優化問題的*優性條件 25
2.4.4 不等式約束優化問題的*優性條件 27
2.4.5 一般約束優化問題的*優性條件 31
第3章 迭代算法的概念與一維搜索 33
3.1 數值迭代算法一般概念 33
3.1.1 迭代算法的一般步驟 33
3.1.2 算法的收斂性 34
3.1.3 算法的終止準則 34
3.2 搜索區間與單峰函數 35
3.3 精確一維搜索的試探法 36
3.3.1 試探法的一般步驟 36
3.3.2 斐波那契法 38
3.3.3 0.618 法 41
3.4 精確一維搜索的插值法 44
3.4.1 二次插值法 44
3.4.2 三次插值法 48
3.5 不精確一維搜索方法 51
3.5.1 Goldstein 準則 51
3.5.2 Wolfe 準則 52
3.5.3 Goldstein 和 Wolfe 不精確一維搜索方法 52
3.5.4 Armijo 不精確一維搜索方法 52
第4章 無約束優化問題的解法 54
4.1 *速下降法 54
4.2 共軛梯度法 57
4.2.1 共軛方向與共軛方向法 57
4.2.2 共軛梯度法介紹 61
4.3 牛頓法 64
4.4 擬牛頓法 69
4.4.1 擬牛頓條件 69
4.4.2 DFP 算法 70
4.4.3 BFGS 算法 72
4.5 步長加速法 74
4.6 方向加速法 77
4.7 單純形法 83
第5章 線性規劃與二次規劃問題的解法 89
5.1 線性規劃問題的數學模型 89
5.2 線性規劃問題基本解的概念與性質 91
5.3 線性規劃問題的解法 94
5.3.1 單純形解法 94
5.3.2 修正單純形法 100
5.4 二次規劃的數學模型與*優性條件 107
5.5 二次規劃問題的解法 108
5.5.1 等式約束二次規劃問題的解法 108
5.5.2 起作用集法 111
5.5.3 Lemke 方法 115
第6章 非線性規劃問題的解法 121
6.1 約坦狄克可行方向法 121
6.2 梯度投影法 125
6.3 既約梯度法 130
6.4 復形法 135
6.5 罰函數法 139
6.5.1 罰函數法的一般概念 139
6.5.2 外點法 140
6.5.3 內點法 144
6.5.4 混合法 147
6.6 廣義乘子法 148
6.6.1 等式約束問題的廣義乘子法 149
6.6.2 不等式約束問題的廣義乘子法 151
6.7 序列線性規劃法 155
6.7.1 序列線性規劃法的一般解法 155
6.7.2 切平面法 158
6.7.3 運動極限法 160
6.8 序列二次規劃法 160
6.9 凸線性化與移動漸近線法 162
6.10 拉格朗日對偶規劃 165
第7章 智能優化算法 169
7.1 模擬退火算法 169
7.1.1 模擬退火算法的基本思想與過程 169
7.1.2 模擬退火算法的關鍵參數與操作 170
7.2 遺傳算法 172
7.2.1 遺傳算法的基本思想與步驟 172
7.2.2 遺傳算法的關鍵參數與操作 173
7.2.3 加速微種群遺傳算法 176
7.3 粒子群算法 179
7.3.1 粒子群算法的基本思想與過程 179
7.3.2 粒子群算法的關鍵參數與操作 180
第8章 多目標優化方法 184
8.1 多目標優化問題的數學模型 184
8.2 多目標優化問題解的概念 185
8.3 多目標優化問題的一般解法 186
8.3.1 約束法 186
8.3.2 分層序列法 187
8.3.3 評價函數法 188
8.4 基于模糊貼近度的多目標優化方法 189
8.4.1 模糊集與模糊貼近度 189
8.4.2 多目標優化的模糊貼近度解法 190
8.5 基于灰色關聯度的多目標優化方法 191
8.5.1 灰色系統與灰色關聯度 191
8.5.2 多目標優化問題的灰色關聯度解法 191
8.6 多目標優化的合作博弈模型與納什仲裁解法 192
第9章 *優準則法 193
9.1 滿應力設計 193
9.1.1 應力比法 193
9.1.2 齒行法 199
9.2 桁架滿位移設計 202
9.3 能量準則法 209
9.4 漸進結構優化法 211
第10章 結構設計靈敏度分析與結構重分析 216
10.1 差分法計算設計靈敏度 216
10.2 解析法計算設計靈敏度 217
10.3 擬荷載的解析計算 219
10.3.1 平面桁架單元 219
10.3.2 平面等參單元 221
10.4 結構重分析的一般方法 224
10.4.1 擾動法 224
10.4.2 組合逼近法 225
10.4.3 預條件共軛梯度法 226
10.5 結構重分析的代理模型 229
10.5.1 多項式響應面模型 229
10.5.2 徑向基函數模型 230
10.5.3 克里金模型 231
第11章 結構優化設計的工程應用 235
11.1 鋼筋混凝土基本構件的優化設計 235
11.1.1 矩形截面簡支梁的優化設計 235
11.1.2 軸心受壓矩形截面柱的優化設計 237
11.2 實體重力壩斷面優化設計 239
11.2.1 實體重力壩斷面優化設計數學模型 239
11.2.2 重力壩深層抗滑穩定安全系數計算 241
11.2.3 工程算例 243
11.3 拱壩體形優化設計 244
11.3.1 拱壩體形的幾何描述 245
11.3.2 拱壩體形優化設計數學模型 247
11.3.3 工程算例 249
11.4 土石壩斷面優化設計 255
11.4.1 巖基上混凝土面板堆石壩斷面優化設計 256
11.4.2 覆蓋層上混凝土面板堆石壩斷面優化設計 259
11.4.3 土質心墻堆石壩斷面優化設計 263
主要參考文獻 267
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工程結構優化設計方法與應用 節選
第1章結構優化設計的基本概念 人們在進行工程結構設計時，總是希望設計方案盡可能好，能夠得到一個比較“優”的設計。在傳統的結構設計中，設計人員往往會根據經驗對設計方案反復修改，從而選出相對較優的設計。結構優化設計是利用適當的*優化方法從所有可能設計方案中選擇*優的設計方案，其思想方法與傳統的結構設計完全不同。本章首先闡明結構優化設計與傳統結構設計的區別；然后討論結構優化設計的數學模型與求解途徑；*后簡單介紹結構優化設計的發展歷程。 1.1傳統結構設計與結構優化設計 結構優化設計是相對于傳統的結構設計而言的。下面以一個簡單結構的設計說明兩者的異同。 圖1.1對稱兩桿桁架 例1.1圖1.1所示的對稱兩桿桁架，由空心圓鋼管構成。頂點承受的荷載2P=600kN，支座間距2B=6m，圓管壁厚t=0.005m。鋼的彈性模量E=2.1×105MPa，容重ρ=78kN/m3，容許壓應力為[σ]=160MPa。設計要求選擇桁架高度H和圓管平均直徑d，使桁架的重量*輕，并滿足強度條件、穩定條件和工藝要求2m.H.6m、0.1m.d.0.3m。 這個桁架總重量的數學表達式為 (1.1.1) 式中，A≈πdt為圓管橫截面的面積；L=√B2+H2為桿長。 圓管的壓應力σ為 (1.1.2) 兩端鉸支壓桿失穩時的歐拉臨界應力σcr為 (1.1.3) 式中， 為圓管橫截面的慣性矩。 圓管的強度條件是壓應力不超過容許壓應力，即 (1.1.4) 穩定條件是壓應力不超過歐拉臨界應力，即 (1.1.5) 為了設計這個桁架，傳統的結構設計方法是先假設桁架高度H，然后根據強度要求利用 (1.1.6) 確定圓管平均直徑d，再校核是否滿足壓桿穩定條件式(1.1.5)。 例如，取H=2m，將各數據代入式(1.1.6)可得d=0.215m，經檢驗滿足穩定條件式(1.1.5)，得到一個滿足要求的設計方案，對應的桁架重量為1.901kN。為了獲得重量較輕的設計方案，往往要選擇幾個方案進行比較。如取H=4m，可得d=0.149m，也是一個滿足要求的設計方案，對應的桁架重量為1.828kN；如取H=6m，由式(1.1.6)可得d=0.133m，經檢驗不滿足穩定條件式(1.1.5)，需要修改設計，增大圓管直徑，取d=0.15m，由式(1.1.2)、式(1.1.3)可得圓管壓應力σ=142.35MPa，歐拉臨界應力σcr=162.00MPa，故修改后的設計是一個滿足要求的設計方案，對應的桁架重量為2.466kN。比較三個方案可知H=4m，d=0.149m對應的桁架重量*輕，是較優的設計。 從上述過程可以看出，傳統的結構設計在選擇設計方案和修改設計時都只是從設計需要滿足的限制條件出發，而沒有考慮評判設計優劣的目標。結構優化設計則不同，它在設計過程中把設計所追求的目標與應滿足的限制條件有機結合起來，在滿足設計條件的前提下尋求使設計目標*優的方案。在本例中，就是選擇桁架高度H和圓管平均直徑d，使桁架的重量W(H，d)*小，并滿足強度條件式(1.1.4)、穩定條件式(1.1.5)以及工藝要求。寫成數學形式就是 (1.1.7) 式中，s.t.是subjectto的縮寫，表示“受 的約束”或“滿足 條件”。 可以用計算函數極值的方法求上述問題的解。假定*優化設計發生在桿件中應力達到容許應力的情形，即強度條件為等式(1.1.6)，則 (1.1.8) 將此式代入目標函數W(H，d)的表達式(1.1.1)，消去變量d，使目標函數成為只有一個變量H的函數 (1.1.9) 為求得使重量W為*小值時的H值，計算函數W(H)對變量H的一階導數，并使之等于零。即 (1.1.10) 解得H=B。 將H=B代入式(1.1.8)可得。代入具體數據得H=3m，d=0.169m。不難檢驗，此時穩定條件式(1.1.5)自然滿足。因此，對本桁架，H=3m，d=0.169m就是滿足所有設計條件且總重量*輕的設計，桁架總重量為1.755kN。 從本例的設計可以看出，傳統的結構設計與結構優化設計既有區別也有聯系。傳統的結構設計要求設計者根據設計要求和實踐經驗去選擇設計方案，然后進行結構分析計算以校核是否滿足強度、剛度、穩定性等各方面的設計要求，并決定是否需要修改設計方案。因此，傳統的結構設計本質上是結構分析，其過程大致是假設—分析—校核—重新設計。重新設計的目的也是要選擇一個合理的方案，但它仍然只是“分析”的范疇，且只能憑設計者的經驗作很少幾次重復以期能通過“校核”。結構優化設計實質上是結構綜合，它在設計過程中綜合考慮了設計目標和設計要求，采用適當的優化方法尋找*優設計方案。這里采用了求函數極值的方法。但是，對大多數實際工程問題，一般需要采用數值方法尋找*優解，其過程大致是假設—分析—搜索—*優設計。這里的搜索過程也是修改設計的過程，但這種修改是按一定的優化方法以使設計方案達到“*佳”的修改，是一種主動的、有規劃的、以達到“*優”為目標的搜索過程。 傳統的結構設計的另一個特點是所有參與計算的量必須以常量出現。結構優化設計中待確定的量是以變量形式出現的，可以形成全部可能的結構設計方案集。在這個設計方案集中既有眾多滿足設計規范和要求的可行設計方案，也有眾多不滿足設計規范和要求的不可行設計方案。優化設計利用數學手段，按預定的設計目標，從設計方案集中選出一個*好的可行設計方案。由于結構優化設計與傳統結構設計采用的是相同的結構分析理論、同樣的計算公式，遵守的是同樣的設計規范和設計要求，因而優化設計所得的設計方案，不但是傳統設計中可行的設計方案，而且是眾多可行方案中*優的設計方案。 1.2結構優化設計的數學模型 根據例1.1的分析可以看出，結構優化設計的數學描述包含三個基本要素：設計變量、目標函數和約束條件。下面對它們作具體的討論。 1.2.1設計變量 一個結構的設計方案是由若干個參數來描述的，這些參數可以是構件的截面尺寸幾何參數，如面積、慣性矩等，也可以是結構的形狀布置幾何參數，如高度、跨度等，還可以是結構材料的力學或物理特性參數。這些參數中的一部分是按照某些具體要求事先給定的，它們在優化設計過程中始終保持不變，稱為預定參數；另一部分在優化設計過程中是可以變化的、需要設計人員確定的參數，稱為設計變量。在式(1.1.7)中P、B、t、ρ、[σ]是預定參數，H、d這兩個待定參數是設計變量。設計變量的個數稱為*優化問題的維數，對n維*優化問題的設計變量x1，x2， ，xn常用列向量表示成x=[x1，x2， ，xn]T。 設計變量的個數越多，結構優化問題越復雜，所需要的計算時間越長，但設計的自由度越大，可望獲得的結果越好。因此設計者要精心選擇那些對優化結果*有影響的參數作為設計變量，合理選擇設計變量的數目。 在優化設計中，設計變量可以是允許在連續區間取值的連續變量，也可以是只能在某些離散值中取值的離散變量。例1.1中，圓管直徑d允許在0.1～0.3m取任意值，即是連續設計變量。實際上，圓管都是從工廠中成批按一定的規格生產的，其直徑也許只能在0.10m、0.11m、0.12m等有限個不同的尺寸中進行選擇，即是離散設計變量。在很多情況下，按離散設計變量優化得到的結果更符合工程實際，但優化問題求解的難度要大得多，需要采用專門的方法。設計者為了簡化計算，有時權宜地視為連續變量，而在*后決定方案時，再選取*為接近的離散值，但這往往只能得到一個接近*優解的設計方案。 1.2.2目標函數 結構優化設計中表示設計方案優劣標準的數學表達式稱為目標函數。它是所有設計變量的函數，對n個設計變量的優化問題，目標函數可寫成f(x)=f(x1，x2， ，xn)。目標函數是用來作為選擇“*優設計”的標準的，故應代表結構的某個*重要的特征或指標。結構的造價、體積、重量、剛度、承載能力、自振頻率、振幅等都可以根據需要作為優化設計中的目標函數。例如，航空工業中的飛行器優化設計，一般取重量為目標函數，希望一個飛行器設計得盡可能輕，以便節省燃料，使飛行器達到更高的飛行高度和更快的飛行速度；土木、水利工程中的結構，建造成本比較重要，因而通常取造價為目標函數；機械工業中的許多零部件設計，常常以應力集中系數為目標函數，因為降低了應力集中，結構的抗疲勞和斷裂能力就可提高，結構的使用壽命也就得到延長；對動力基礎的設計，關鍵在于使機器的運轉處于*佳狀態，可把結構的振幅*小或機器與結構之間的相對振幅*小取作目標函數；等等。總之，目標函數隨著問題的要求不同，表現的形式也是不一樣的，因此，具體問題需進行具體分析。 1.2.3約束條件 在結構優化設計中應該滿足的某些限制條件，稱為約束條件。它反映了有關設計規范、計算規程、施工、構造等各方面的要求，有的約束條件還反映了設計人員的意圖。結構優化時受到的約束條件可以分成兩類。一類是直接加在設計變量上的尺寸約束。如例1.1中對H和d的取值范圍的約束。這種約束往往來源于設計規范、生產工藝等對設計變量在幾何尺寸上的要求，而且通常是對取值范圍的限制，因此也稱為幾何約束或界限約束。由于這類約束是直接加在設計變量上的，所以往往是以顯式出現的，比較簡單、易處理。另一類是加在結構性態變量上的約束，如關于結構位移、應力、自振頻率、失穩臨界荷載等的約束，稱為性態約束。例1.1中的式(1.1.4)和式(1.1.5)，分別是對桿件應力和失穩臨界應力的約束，就是性態約束。在這個例子中，由于結構十分簡單，可以寫出結構在外荷載下的應力及結構穩定臨界應力的顯式表示，因此約束是顯式的。一般情況下，結構的性態變量要經過復雜的結構分析才能得到，與設計變量之間的關系是隱式的。因此，性態約束一般是隱式約束。 結構優化設計中約束條件絕大部分以不等式的形式出現，稱為不等式約束。但是，在有些描述中也會有以等式形式出現的等式約束。 1.2.4結構優化設計的數學表達式 綜合以上分析，結構優化設計問題的一般數學表達式可寫為 (1.2.1) 式中，gi(x)(i=1，2， ，m)為不等式約束函數；hj(x)(j=1，2， ，l)為等式約束函數。 1.2.5結構優化問題的分類 式(1.2.1)表示的數學問題稱為*優化問題或數學規劃問題。當l=m=0時稱為無約束*優化問題，實際上就是普通的函數極值問題；否則稱為有約束*優化問題。在有約束*優化問題中，等式約束的數目l必須小于設計變量的數目n。當l=n時，問題的解是唯一的，就沒有優化的意義；如果l>n，則*優化問題無解。當目標函數和所有約束函數均為設計變量的線性函數時，*優化問題是線性規劃問題；否則是非線性規劃問題。 式(1.2.1)中只有一個目標函數，稱為單目標優化問題；在一些實際問題中，可能需要同時實現幾個目標的優化，這時目標函數就不止一個，這類問題稱為多目標優化問題，它的一般表達式為 (1.2.2) 式中，F(x)是目標函數向量，其元素是p個標量分目標函數fi(x)(i=1，2， ，p)。考慮設計變量x所代表的結構幾何特征，結構優化問題一般可分為尺寸優化、形狀優化和拓撲優化三類。 尺寸優化中設計變量x代表的是結構的幾何尺寸，如桁架桿件的橫截面面積或者板的厚度。圖1.2(a)所示為以桁架桿件的橫截面面積為設計變量的尺寸優化問題。 形狀優化中設計變量x代表結構的外形或部分邊界輪廓。例如，將桁架中的節點位置取成設計變量，修改這些設計變量時，桁架形狀發生變化，
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